专题05 全等三角形中的辅助线作法（重难点讲义）数学新教材人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦全等三角形辅助线作法核心知识点，系统梳理倍长中线、角平分线辅助线（向两边作垂线或截等线段）、截长补短、一线三垂直、连接两点或作平行线五大类辅助线思路，构建从原理（构造全等）到条件判断（中线、角平分线等）再到综合应用（结合全等判定与三角形性质）的学习支架。 资料以分题型+典例设计为亮点，如倍长中线法求中线取值范围、角平分线辅助线解决面积问题，助力学生通过几何直观（数学眼光）发现辅助线构造方向，通过推理能力（数学思维）完成全等证明，形成模型意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后提供梯度训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 05 全等三角形中的辅助线作法 1.掌握全等三角形 5 大类核心辅助线添加思路，匹配对应模型； 2.能根据题干条件（中线、角平分线、垂直、线段和差、倍分）快速判断辅助线类型； 3会结合全等判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）完成证明； 4结合三角形三边关系、等腰三角形、分类讨论综合解题。 一、核心辅助线原理 添加辅助线本质：构造全等三角形，将分散的边、角集中到同一个三角形中，转化已知条件，补齐证明全等缺少的边 / 角。 二、五大类辅助线作法（分题型 + 典例） 辅助线 1：遇中线→倍长中线法（最常考） 作法：延长中线至一点，使延长部分与原中线长度相等，连接端点，构造 SAS 全等。 辅助线 2：遇角平分线→两种作法 作法①：向角两边作垂线（AAS/HL 全等） 作法②：截等线段构造 SAS 全等 辅助线 3：求证线段和差→截长补短法 （1）截长法 作法：在较长线段上截取一段等于其中一条短线段，再证明剩余线段等于另一条短线段。 （2）补短法 作法：延长其中一条短线段，延长长度等于另一条短线段，拼接后证明总长等于长线段。 辅助线 4：出现垂直 / 直角→构造一线三垂直（K 型全等） 作法：过直角顶点向直线作垂线，或向线段两端作垂直，形成两组直角三角形。 辅助线 5：公共边 / 等腰 / 线段等量→连接两点、作平行线 作法：连接两点：图形分散，缺少公共边，直接连线创造公共边，证 SSS/SAS； 作平行线：有中点、等角，作平行线构造内错角相等，创造全等角条件； 等腰三角形三线合一：等腰底边中点，直接连顶点，同时得到中线、高、角平分线，多组相等条件。 题型 01 倍长中线法 【典例1】在△ABC中，AB＝4，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜5 B．4＜AD＜6 C．2＜AD＜10 D．3＜AD＜6 A【解析】延长AD至点E，使得DE＝AD， ∵在△ABD和△CDE中，， ∴△ABD≌△CDE（SAS）， ∴AB＝CE，AD＝DE ∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB， ∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：A． 【变式】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9 D【解析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE． ∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB． 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜18，∴1＜AD＜9．故选：D． 题型 02 角平分线辅助线 【典例2】如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 A【解析】延长BD与AC交于点E， ∵∠A＝∠ABD， ∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD， ∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD， ∴∠EBC＝∠BEC，∴△BEC为等腰三角形， ∴BC＝CE， ∵BE⊥CD， ∴2BD＝BE， ∵AC＝6，BC＝4，∴CE＝4， ∴AE＝AC﹣EC＝6﹣4＝2，∴BE＝2，∴BD＝1．故选：A． 【变式】如图，△ABC的面积为4cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 B【解析】延长AP交BC于点D， ∵BP平分∠ABD，∴∠ABP＝∠DBP， ∵BP⊥AP，∴∠BPA＝∠BPD＝90°， ∵BP＝BP，∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝PD， ∴△BPD的面积△ABD的面积，△CPD的面积△CAD的面积， ∵△ABC的面积为4cm2， ∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△CPD的面积 △ABD的面积△CAD的面积 （△ABD的面积+△CAD的面积） △ABC的面积 4 ＝2（cm2）， 故选：B． 题型 03 一线三等角 【典例3】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5） D【解析】作BD⊥x轴于D， ∵B（6，1），∴BD＝1，OD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCD＝90°， ∵∠ACO+∠OAC＝90°， ∴∠BCD＝∠OAC， ∵∠AOC＝∠BDO， ∴△ACO≌△CBD（AAS），∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，∴A（0，5），故选：D． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7） D【解析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D， ∴∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°， ∵点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 由旋转得：CB＝BA，∠CBA＝90°， ∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠ABO＝∠DCB， ∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BOA≌△CDB（AAS）， ∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4， ∴DO＝DB+OB＝4+3＝7，∴点C的坐标是（3，7），故选：D． 题型 04网格模型 【典例4】如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则∠α+∠β的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° A【解析】如图： 由网格可得，△CEF是等腰直角三角形，∴∠FCE＝45°， 在△ADB与△CBE中，， ∴△ADB≌△CBE（SSS）， ∴∠α＝∠BCE，∴∠α+∠β＝∠β+∠BCE＝∠FCE＝45°，故选：A． 【变式】如图是2×4正方形网格图，点A、B、C、D、E都是格点，则∠BAC﹣∠BDE＝　　 °． 45【解析】作△AFG≌△DBE，连接BF， ∴∠FAG＝∠BDE，∠BAC﹣∠BDE＝∠BAC﹣∠FAC＝∠BAF， ∵AC＝BE，∠BEF＝∠ACB，BC＝EF， ∴△ABC≌△BFE， ∴∠BAC＝∠FBE，AB＝BF， ∵∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°， ∵AB＝BF，∴△ABF是等腰直角三角形， ∴∠BAF＝45°，故答案为：45． 【巩固训练】 1. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 C【解析】延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC， ∵AD是边BC上的中线，∴CD＝BD， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB＝EC＝6， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7，故选：C． 2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD＝3，BC＝4，则CD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 C【解析】如图，延长CE交DA延长线于F，∵AD∥BC， ∴∠1＝∠3，又AE＝EB，∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC，又∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3，CD＝DF＝AD+AF＝AD+BC＝7故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在第四象限，其中点A（a，﹣1），点B（m，﹣3），若AO＝AB，∠OAB＝90°，则a的值为　2　 ． 2【解析】如图，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于D， 则∠AOC+∠OAC＝90°， ∵∠OAB＝90°， ∴∠BAD+∠OAC＝90°，∴∠AOC＝∠BAD， 在△AOC和△BAD中，， ∴△AOC≌△BAD（AAS）， ∴BD＝AC＝1，OC＝AD，∴AD＝3﹣1＝2，∴OC＝2，∴a＝2，故答案为：2． 4. 如图，AB＝BE，∠DBC∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：　　 ．（填序号） ①BC平分∠DCE； ②∠ABE+∠ECD＝180°； ③AC＝2BE+CE； ④AC＝2CD﹣CE． ①②④【解析】延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G， ∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF∠FBC， ∵∠DBC∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE， ∵AB＝BE，∴△FAB≌△CEB（SAS）， ∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE， ∴BC平分∠DCE，故①正确； ∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°， ∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确； ∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC， ∴△BDC≌△BGC（AAS）， ∴AD＝GE，CD＝CG， ∵AC＝AD+DC， ∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE， ∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE， 故④正确；故答案为：①②④． 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，S△BCD＝8，则BC的长为　　 ． 4【解析】过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，∵∠ABC＝90°，DM⊥BC， ∴∠ABC＝∠CMD＝90°， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCM＝90°， ∵∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠MCD， ∵，∴△ABC≌△CMD（AAS）， ∴BC＝DM， ∵S△BCD＝8，∴，∴BC＝4，BC＝﹣4（舍去），故答案为：4． 6. （1）证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） （2）在△ABC中，若∠C＞∠B，求证：AB＞AC． 解:（1）已知：在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． 证明：过点A作AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB＝AC； （2）证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC， 下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立． ①若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾； ②若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD＝AC，连接 DC， ∵AD＝AC，∴△ADC为等腰三角形，∴∠D＝∠ACD， 又∵∠ABC为△BCD的一个外角， ∴∠ABC＞∠D， ∴∠ABC＞∠ACD， ∵∠ACD＞∠ACB，∴∠ABC＞∠ACB，与已知矛盾， 综上，假设不成立，故原命题成立． 7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AD上，连接BE，CE．若BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．求证：AE＝DE．(依据所做辅助线解答) 证明：延长BE交CD的延长线于点F， ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠F．（两直线平行，内错角相等） 又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠FCE．（角平分线的定义） ∴∠CBE＝∠F． 在△CBE和△CFE中， ， ∴△CBE≌△CFE．（AAS） ∴BE＝FE．（全等三角形对应边相等） 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（ASA），∴AE＝DE． 【强化训练】 1. （2026春•奉节县期末）如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE，CE．BD平分∠ABE，CE∥AB．若CE＝3，BE＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 C【解析】如图，CE∥AB，连接ED并延长，交AB于点F， ∴∠A＝∠DCE，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD， 在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴DF＝DE，AF＝CE＝3， 延长BD至点G，使DG＝BD，连接EG， 在△BDF和△GDE中，， ∴△BDF≌△GDE（SAS），∴∠FBD＝∠G，BF＝GE，∵BD平分∠ABE， ∴∠FBD＝∠EBD， ∴∠G＝∠EBD，∴BF＝BE＝8，BE＝GE，∴AB＝AF+BF＝3+8＝11．故选：C． 2. （2025秋•城厢区校级期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝16，BC＝12，则AF的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 D【解析】如图所示：连接AE、BE，过点E作EG⊥BC于点G， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，CF＝CG， 在Rt△AEF和Rt△BEG中，， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG， 设CF＝CG＝x，∵AF＝AC﹣CF＝16﹣x，BG＝BC+CG＝12+x， ∴16﹣x＝12+x，解得x＝2，∴AF＝16﹣2＝14，故选：D． 3. （2026•定州市模拟）如图，在△ABC中，AC＞BC，点M是∠ACB的平分线上一点（不与点C重合），连接AM，BM，可得AC﹣BC♡AM﹣BM，则♡处应填写的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．＝ D．≤ A【解析】如图，在AC上截取DC＝BC， ∵AC＞BC，点M是∠ACB平分线上的点，∴∠ACM＝∠BCM，CM＝CM， 在△DCM和△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SAS）， ∴DM＝BM． 在△ADM中，AD＞AM﹣DM，即AC﹣BC＞AM﹣BM，故选：A． 4. （2026春•南海区期末）如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的点，∠MAN＝45°，MN＝2MC，则∠NAD＝　　 ． 15°【解析】如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE， 则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， 在△EAN和△MAN中，，∴△EAN≌△MAN（SAS）， ∴∠ANM＝∠ANE， ∵MN＝2MC，在Rt△MNC中，∠MNC＝30°， ∵∠ANE+∠ANM+∠MNC＝180°，∴∠ANE＝75°，∴∠NAD＝15°．故答案为：15° 5. （2024秋•惠阳区校级期中）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至E，连接AE、DE，则△ADE的面积是　1　 ． A【解析】如图所示，作EF⊥AD 交AD的延长线于点F，作DG⊥BC于 G， ∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF＝90°，DE＝CD， 又∵∠CDF+∠CDG＝90°， ∴∠CDG＝∠EDF， 在△DCG与△DEF 中，， ∴△DCG≌△DEF（AAS）， ∴EF＝CG， ∵AD＝2，BC＝3， ∴CG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，∴EF＝1， ∴△ADE的面积是．故选：A． 6. （2026春•永登县期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝9，AC＝5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝EB，这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程； （2）如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE＝DC，过E作EF∥AB与AD相交于点F，且EF＝AC．求证：AD平分∠BAC． 解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．因为D是BC的中点， 所以BD＝CD． 在△ADC和△EDB中（对顶角相等）， 根据SAS判定，△ADC≌△EDB． ∴AC＝BE．已知 AC＝5，所以BE＝5． 在△ABE中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 即：AB﹣BE＜AE＜AB+BE． 代入AB＝9，BE＝5， 得：9﹣5＜AE＜9+5， 即4＜AE＜14． 因为AE＝AD+DE，且DE＝AD， 所以AE＝2AD． 将AE＝2AD代入不等式4＜2AD＜14， 两边同时除以2，得：2＜AD＜7； 证明：（2）延长AD到点M，使MD＝AD，连接EM． 在△ADC与△MDE中，， ∴△ADC≌△MDE，∴∠DAC＝∠M，AC＝ME， ∵EF＝AC， ∴EF＝ME， ∴∠EFM＝∠M， ∵EF∥AB，∴∠EFM＝∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAD，即AD平分∠BAC． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 05 全等三角形中的辅助线作法 1.掌握全等三角形 5 大类核心辅助线添加思路，匹配对应模型； 2.能根据题干条件（中线、角平分线、垂直、线段和差、倍分）快速判断辅助线类型； 3会结合全等判定（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）完成证明； 4结合三角形三边关系、等腰三角形、分类讨论综合解题。 一、核心辅助线原理 添加辅助线本质：构造全等三角形，将分散的边、角集中到同一个三角形中，转化已知条件，补齐证明全等缺少的边 / 角。 二、五大类辅助线作法（分题型 + 典例） 辅助线 1：遇中线→倍长中线法（最常考） 作法：延长中线至一点，使延长部分与原中线长度相等，连接端点，构造 SAS 全等。 辅助线 2：遇角平分线→两种作法 作法①：向角两边作垂线（AAS/HL 全等） 作法②：截等线段构造 SAS 全等 辅助线 3：求证线段和差→截长补短法 （1）截长法 作法：在较长线段上截取一段等于其中一条短线段，再证明剩余线段等于另一条短线段。 （2）补短法 作法：延长其中一条短线段，延长长度等于另一条短线段，拼接后证明总长等于长线段。 辅助线 4：出现垂直 / 直角→构造一线三垂直（K 型全等） 作法：过直角顶点向直线作垂线，或向线段两端作垂直，形成两组直角三角形。 辅助线 5：公共边 / 等腰 / 线段等量→连接两点、作平行线 作法：连接两点：图形分散，缺少公共边，直接连线创造公共边，证 SSS/SAS； 作平行线：有中点、等角，作平行线构造内错角相等，创造全等角条件； 等腰三角形三线合一：等腰底边中点，直接连顶点，同时得到中线、高、角平分线，多组相等条件。 题型 01 倍长中线法 【典例1】在△ABC中，AB＝4，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜5 B．4＜AD＜6 C．2＜AD＜10 D．3＜AD＜6 【变式】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9 题型 02 角平分线辅助线 【典例2】如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式】如图，△ABC的面积为4cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2 题型 03 一线三等角 【典例3】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（　　） A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5） 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7） 题型 04网格模型 【典例4】如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则∠α+∠β的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【变式】如图是2×4正方形网格图，点A、B、C、D、E都是格点，则∠BAC﹣∠BDE＝　　 °． 【巩固训练】 1. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 2. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD＝3，BC＝4，则CD的长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3. 如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在第四象限，其中点A（a，﹣1），点B（m，﹣3），若AO＝AB，∠OAB＝90°，则a的值为　2　 ． 4. 如图，AB＝BE，∠DBC∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：　　 ．（填序号） ①BC平分∠DCE； ②∠ABE+∠ECD＝180°； ③AC＝2BE+CE； ④AC＝2CD﹣CE． 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，连接BD，S△BCD＝8，则BC的长为　　 ． 6. （1）证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） （2）在△ABC中，若∠C＞∠B，求证：AB＞AC． 7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AD上，连接BE，CE．若BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．求证：AE＝DE．(依据所做辅助线解答) 【强化训练】 1. （2026春•奉节县期末）如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE，CE．BD平分∠ABE，CE∥AB．若CE＝3，BE＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 2. （2025秋•城厢区校级期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝16，BC＝12，则AF的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 3. （2026•定州市模拟）如图，在△ABC中，AC＞BC，点M是∠ACB的平分线上一点（不与点C重合），连接AM，BM，可得AC﹣BC♡AM﹣BM，则♡处应填写的符号是（　　） A．＞ B．＜ C．＝ D．≤ 4. （2026春•南海区期末）如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的点，∠MAN＝45°，MN＝2MC，则∠NAD＝　　 ． 5. （2025秋•惠阳区校级期中）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至E，连接AE、DE，则△ADE的面积是　1　 ． 6. （2026春•永登县期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AB＝9，AC＝5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． （1）嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝EB，这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程； （2）如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE＝DC，过E作EF∥AB与AD相交于点F，且EF＝AC．求证：AD平分∠BAC． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $