精品解析：湖北省武汉市第二中学2026届高三上学期9月月考数学试题

2025年武汉二中高三上学期九月月考数学试卷 一、单选题 1. 设i为虚数单位，若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先将复数化简，然后求出其模，最后代入求出答案即可. 【详解】由已知得，所以，所以. 故选:C. 2. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解. 【详解】由题意知. 故选：C. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值. 【详解】∵，∴， 即， 又∵为锐角，∴， ∴， 即，∴. 故选：A 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式求出，观察角的关系，利用诱导公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又， 所以. 故选：D. 5. 已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得，则， 时，所以,则k的取值范围为. 故选：D 6. 向量在向量上的投影为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到和的关系，根据得到和的关系，求出. 【详解】由题意，，即， 又，则，即， 所以，，则. 故选：A． 7. 已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数化成正弦型函数，根据横向平移的特点将其解析式设成通式，将看成整体角，结合的图象特点，使的区间的长度在到之间计算即得. 【详解】由可得：， 若沿轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数. 令，即，，取，则. 依题意知，在上至少有2解，至多有3解， 则须使区间的长度在到之间，即，解得. 故选：A. 8. 已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及基本不等式求解即可. 【详解】设， 则，， 由平面向量数量积的运算可得： ， ， 又， 所以，即， 即，当且仅当时取等， 又，即，即， 则 . 故选：D. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，令，则（ ） A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为 C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】观察图象确定的最小值，周期求，结合对称性可得函数过点由此可求，通过三角恒等变换求，验证是否为的对称中心判断A，求的对称轴判断B，由条件求的范围，结合余弦函数性质判断C，结合余弦函数性质求函数的单调递减区间判断D. 【详解】由题图可得函数的最小值为，， 又，，，所以， 结合对称性可得函数的图象过点， 所以，解得，又，所以， 所以， 所以， 所以. 对于A，当，，所以是的一个对称中心，故A正确； 对于B，令，，可得，，故的对称轴方程为，，故B正确； 对于C，时，，所以，故在上的值域为，故C错误； 对于D，令，解得， 所以的单调递减区间为，故D正确. 故选：ABD. 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D. 【详解】对于A，因为，所以，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确； 对于C，若为锐角三角形，则，， 则，则，即， 由正弦定理可知：，故C错误； 对于D，若D为边上的中点，则， 所以 由余弦定理知，得， 又，所以， 当且仅当时取得等号， 所以， 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（ ） A. 如果，则，，使得 B. 如果，则，，使得 C. 如果，则，，使得 D. 如果，，使得，则，，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，由，按照分类讨论求解；对于选项B，由，求出，则有，取是不超过的最大整数，故，使得，从而得解；对于选项C，利用导数法证明，，将和利用同向正数不等式具有可乘性得到，结合选项B得解；对于选项D，如果，，使得，则利用绝对值不等式的性质得到，从而得解. 【详解】对于选项A，由，可得， 或0，故令，则有，，使得，故A选项正确； 对于选项B，如果，则， ， 则，取是不超过的最大整数，， 使得，故B选项正确； 对于选项C，下证，，令，， 则在上单调递减， ，， 存在，使得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，又， 故在恒成立，即，，， 则有，由选项B可知，当，则，， 使得，同理当，则，， 使得，故当，则，， 使得，故C选项错误； 对于选项D，如果，，使得， 则， 故对于，，使得，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 记为等差数列的前项和，若，，则_____. 【答案】88 【解析】 【分析】设首项为，公差为，代入已知条件建立方程组，求解出和后，再计算． 【详解】解：设首项为，公差为，由，， 可得， 解得，所以． 故答案为：88． 13. 在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由计算，代入数值计算得到二次函数，利用二次函数的图像求最小值. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若，已知数列中，首项，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 四、解答题 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可化为，再由余弦定理得，即可得到； （2）由外接圆面积，得，再由正弦定理可得 ，由面积公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周长. 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得， ， 所以， 又， 所以49= ， 故， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） 因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先根据二面角的大小确定相关线段的关系，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，最后求其最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，得，故 ， 设 ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 17. 设函数的定义域为R，当时，，且对于任意的实数，有成立.又数列 满足，且. （1）求证：是R上的减函数； （2）求数列 的通项公式； （3）记数列 的前n项和为 ，若不等式 对一切均成立，求实数的最小值. 【答案】（1）令，由得，即； 因为时，，所以，解得； 当时，，即， 所以，由得， 因为，所以时，； 综上所述，在定义域为R恒为正； 令，则，可得， 则， 由得，即； 所以函数在定义域为R上单调递减. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数符合的等式性质，通过赋值法，证明函数值恒正，再通过定义法证明单调性即可； （2）通过函数符合的等式性质，求出数列递推公式，从而得出数列为等差数列及其基本量，求出通项公式即可； （3）根据等差数列求和公式，和数列裂项相消求和法，求出代数式的值，根据不等式的性质，判断参数最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，由得，即，可得，即， 可得数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，则， 数列的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）可知，所以， 所以， 得， 因为，所以， 当不等式 对一切恒成立时，，则的最小值为1. 18. 已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. （1）求的标准方程； （2）求证：； （3）记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 【答案】（1） （2） 设，由于在第一象限，故斜率存在， 设直线的方程为， 由于在第一象限，可得，， 所以切线斜率为，即直线的方程为， 令得，由题意知， 故，， 故 （3）为定值， 【解析】 【分析】（1）根据准线方程求抛物线方程即可； （2）利用导数求出切线方程，求出斜率，根据斜率之积为得证； （3）由（2）类比得出方程，联立求出，同理求出，可得，再由，可证得共线，即可计算为定值1. 【小问1详解】 由题意，抛物线准线方程为，故， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 设， 由关于轴对称，可得， 由，，可得， 所以，即， 联立与，，解得 同理，故， 设直线与轴交于，则关于点对称，即， 由，令，得，所以， 故，则， 可得垂直于，故，可得， 延长交轴于，则， 又，故，从而与重合，即共线， 进而，注意到，故. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.当且时，试比较与的大小. 【答案】（1）递减区间为，无递增区间； （2）； （3）当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，再判断其正负求得单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数并求出其值域即得. （3）构造函数，利用导数比较与的大小. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 求导得， 所以函数的递减区间为，无递增区间. 【小问2详解】 任意，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，，则函数在上单调递增， 因此，，所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 令函数，求导得， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，而， 则当时，；当时，， 所以当时，；当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年武汉二中高三上学期九月月考数学试卷 一、单选题 1. 设i为虚数单位，若复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 向量在向量上的投影为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象如图所示，令，则（ ） A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为 C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则只有一解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 11. 已知数列的通项为，前项和为，则下列选项中正确的有（ ） A. 如果，则，，使得 B. 如果，则，，使得 C. 如果，则，，使得 D. 如果，，使得，则，，使得 三、填空题 12. 记为等差数列的前项和，若，，则_____. 13. 在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 14. 若，已知数列中，首项，，，则_____. 四、解答题 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 17. 设函数的定义域为R，当时，，且对于任意的实数，有成立.又数列 满足，且. （1）求证：是R上的减函数； （2）求数列 的通项公式； （3）记数列 的前n项和为 ，若不等式 对一切均成立，求实数的最小值. 18. 已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. （1）求的标准方程； （2）求证：； （3）记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）帕德近似（）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.当且时，试比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $