专题01 平方根与立方根有关的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平方根与立方根有关的六种模型 题型归纳 题型一求Va(20)的平方根或立方根 题型二利用算术平方根的非负性解题 题型三求算术平方根的整数部分和小数部分 题型四利用平方根与立方根的定义解方程 题型五平方根与立方根的综合 题型六与算术平方根、立方根有关的规律探索题 题型专练 题型一：求Va(a20)的平方根或立方根 1 1.4 +2 2.+2 3 ±3 4. 8 ±V5 5.0或1 1 3 2 +2 题型二：利用算术平方根的非负性解题 6.-8 7.2 8.±√2 9.±3 10.+2 1/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：求算术平方根的整数部分和小数部分 11.2 12.6-V13 13.20-2191-2W19+20 14.2 15.0 题型四：利用平方根与立方根的定义解方程 16. 【容类10x政=} (2)x=-1 【详解】(1)解：4(x+1)2=49, 两边同隆以1商：+广-9。 开平方得：x+1=士？ 2 2或xs、9 5 解得：x 2: (2)解：(3x-)°+64=0， 移项得：(3x-1)=-64 开立方得：3x-1=4, 解得：x=-1. 17. 【答案】(1) x=7,x2=6 3 (②x=5 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：(2x-12-169=0, (2x-12=169. :(±13)2=169， .2x-1=13或2x-1=-13, 解得，x=7,x2=6； (2)解：125(x-2)°=-343， (x-2）3=-343 1251 到器 t-2=-7 5 解得，x=3 -5· 18. 【答案】(1)x=-2 因x名或=青 【详解】(1)解：(x-1)+27=0, (x-1)3=-27 x-1=-3 解得x=-2: (2)解：9(x-1)2=16 -旷-9 1号 解得x=了或x=} 7 3 19. 【答案】(1)x=2或x=-6 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)x=-1 【详解】(1)解： 2+1=tV4=2, 解得：x=2或x=6: (2)解：2(x-1)°=-16 (x-1°=-8， x-1=-8=-2, 解得：x=-1. 20. 【谷案】国=子= 3 四=月 【详解】(1)解：9(x+1)2=4, (+-号 x+1=t2 3 = 1 3 (2)解：8(x-1)°=-125 8 (x-1)°=125 64 1 1 x=- 4 题型五：平方根与立方根的综合 4/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21. 【答案】(1)a=5b=lc=3 (2)±3 【详解】(1)解，一个正数的两个平方根互为相反数，和为0 .(a+1)+(a-1)=0 整理得2a=10, 解得a=5 .5a+2b的立方根是3 5a+2b=33=27 把a=5代入得25+2b=27,解得b=1 .9<11<16 可得3<11<4 由题意可知c是V1的整数部分， 因此c=3 (2)a+b+c=5+1+3=9 (3)2=9 ∴.9的平方根是±3 即a+b+C的平方根为±3. 22 【答案】(1)a=5,b=2,m=V7 (2)万 【详解】(1)解：，2a-1的平方根是±3， ∴.2a-1=9, 解得：a=5, 25+b的立方根是3， .25+b=27 解得：b=2, .∴.a+b=2+5=7 ,是a+b的算术平方根， 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.m=Va+b=V5+2=√7 (2)解：2<√7<3， :m=√7，的整数部分是x,小数部分是y, x=2,y=V7-2, x+y=2+V7-2=√万 23 【答案】(1)a,b值分别为3,4 (2)2a+b-6的算术平方根为2 【详解】(1)解：：一个正数的两个平方根是2a+1和2-3a, .2a+1+2-3a=0. 解得a=3: :a+2b-3的立方根是2， .a+2b-3=23, 解得b=4, 答：a,b值分别为3,4： (2)解：a=3,b=4 .V2a+b-6=V2×3+4-6=2, 答：2a+b-6的算术平方根为2. 24. 【答案】(1)18： (2)6 【详解】(1)解：，2a-1的平方根是±3， .2a-1=9 解得a=5, .3a+b-9的立方根是2， ∴.3a+b-9=8 解得b=2, .4a-b=18: (2)解：由(1)知4a-b=18, 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .√4a-b=√18」 4<18<5, .x=V18-4, .8<V71<9, y=8 .x+5y-V4a-b=V18-4+40-V18=36, .62=36, x+5y-V4a-b的算术平方根是6. 25. 【答案】(1)士V2 (2)4 【详解】(1)解：“a是8的立方根， ,非零实数b的算术平方根是b, .b=1, 2a-6+4-2}1+4-2, :2a-b+4的平方根是±W2; (2)解：-16}=16=16,6=折=1， “c是-16}的平方根与b的立方根之和， .c=±16+1=t4+1, c=5或-3， 4a+e-4x个5=4x6=6或4〔2a+e=42}=4x6=4. .4(2a+c/的立方根是64=4. 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六：与算术平方根、立方根有关的规律探索题 26. 【答案】()10 2n+1=n (n+l)2n+1 1 5 2024 (4④2025 【详解】(1)解： 19=9 100109 - 2×2-11 (2)解：第1个等式： 22 3 2×3-1_2 第2个等式： 3 第3个等式： 2×4-1_3 V16 42- 4 ，9 2×5-14 第4个等式： 25 52 5 2(n+1)-1 第n个等式： 1 (n+1)2 n+1: 29 (3)解： 225 1.234.14 234515 =5: 4049 (4)解：1- 3 4049 2n-1_n-1 n2 n 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即2n-1=4049, 解得n=2025, 2025-12024 ..x= 2025 2025· 27. 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148.1.45 (3)286 【详解】(1)解：观察表格中数据，发现：当x=14.6时，x2=213.16, .√213.16=14.6： 当x=14.4时，x2=207.36 .V20736=V207.36×100=V207.36×V100=14.4×10=144: 当x=14.2时，x2=201.64, .√0.020164=√201.64÷10000=V201.64÷V10000=14.2÷100=0.142: (2)解：，21904<22000<22201， .148<V22000<149. 22000与21904更接近， ∴.与√22000最接近的整数是148， …2.0736<2.1<2.1025,且2.1与2.1025更接近， 且V2.1025=V210.25÷100=√210.25÷V100=14.5÷10=1.45, V2.1≈1.45； (3)解：V204.49=14.3,V207.36=14.4, .V20449=143,V20736=144, .143<Vn<144, .V20449<Vn<√20736， .20449<n<20736」 .整数n的个数为：20736-20449-1=286 28. 【答案】(1)0.1：10： 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①31.6：②32400： (3)12.89 【详解】(1)解：x=V0.01=0.1: y=V100=10 (2)解：①根据表格观察发现，被开方数左右移动两位，算术平方根左右移动一位， 被开方数从10到1000，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位. V10≈3.16， V1000≈31.6 ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位. 算术平方根从18变成180.小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位. V3.24=1.8 ∴.a=32400 (3)解：被开方数左右移动三位，立方根左右移动一位. 2.14≈1.289， ·被开方数从2.14变为2140，小数点向右移动三位， ∴立方根小数点向右移动一位， .2140≈12.89. 29 11183 【答案】1+3i4:182 (2)9999 100 11 【详解】(1)解：根据题意， ,11 +1-r号+写++g0网） 10/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 100-1 100 9g99 100 30. 【答案】(1)-15 (2)5 3) [x=1x=2 ,=2或。4或x=3 y=3y=3y=2 y=- 【详解】(1)解：10°=1000,1003=1000000,1000<3375<1000000， .3375是两位数， 53=125, .3375的个位数字应是5， 将3375的小数点向前移动3后约为3， 13=1,23=8, .3375的十位数字应为1， .3375=15, 依据“负数的立方根是负数”得到：-3375=-15： (2)解：5-4x=-x+10. .5-4x=-（x+10), 解得：x=5; (3)解：x-2+2=x, .x-2=x-2, .（x-2)3=x-2, x-2=0或1或-1， x=2或3或1， 当x=1时，可得：1-2x=-1=-1, :3y-1与1-2x互为相反数， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3y-1=1, 2 解得：y=3, [x=1 即 当x=2时，可得：1-2x=3=-5, :3y-1与1-2x互为相反数， 3y1=3, 即3y-1=3, 解得：y=3 x=2 即 4 y=3 当x=3时，可得：-2x=5=-5, :3y-1与1-2x互为相反数， 3y-1=5 即3y-1=5. 解得：y=2 12/12 专题01 平方根与立方根有关的六种模型 题型一 求(a≥0)的平方根或立方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 求算术平方根的整数部分和小数部分 题型四 利用平方根与立方根的定义解方程 题型五 平方根与立方根的综合 题型六 与算术平方根、立方根有关的规律探索题 题型一：求(a≥0)的平方根或立方根 1．（25-26七年级下·四川德阳·期中）的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵ ，算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是； ∵， 的平方根是， 即的平方根是． 2．（25-26七年级下·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 2 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）7的算术平方根________；的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出7的算术平方根，化简后，再根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解： 7的算术平方根为． ．故的平方根为． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）64的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 8 【分析】平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．注意第二个空先求出，再计算平方根． 【详解】解：， 的算术平方根是8， ， 的平方根是， 故答案为：8，． 5．（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 【答案】 0或 8 2 【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答． （2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答． （3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答． 【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于 即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或； （2）， （3）先化简得，的平方根为； 化简，的立方根为． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 6．（2026·广东茂名·一模）若实数、满足，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出与的值，再代入计算即可得到结果 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为， ，， 解得，， 将，代入得：． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则_______． 【答案】2 【分析】根据被开方数为非负数，求出的值，进而求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ，且 ， ∴， ∴. 8．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 9．（25-26七年级下·重庆·期中）实数、满足，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质得出，，进而求出的平方根即可． 【详解】解：∵实数、满足，，， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根是． 10．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型三：求算术平方根的整数部分和小数部分 11．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）的整数部分值为________． 【答案】2 【分析】确定介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为． 12．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到整数的值，再估算出的取值范围，得到小数部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∵ 是的整数部分， ∴ ， 不等式两边同时加，得 ， ∵ 是的小数部分， ∴ ， ∴ ． 13．（25-26七年级上·重庆合川·期末）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，找出离19最近的两个平方数，求出的取值范围，进而求出a，b，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·河南焦作·期末）的算术平方根为，的整数部分为，则的立方根为__________． 【答案】2 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值．再估算无理数得到的值．最后计算的立方根即可． 【详解】解：，的算术平方根为． ． ，即． 的整数部分． ． 的立方根为． 的立方根为． 15．（25-26八年级上·四川成都·期中）若的整数部分是，的整数部分是，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 利用估算方法求出和的值后代入运算即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 题型四：利用平方根与立方根的定义解方程 16．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：或； （2）解：， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 17．（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 18．（25-26七年级下·辽宁抚顺·阶段检测）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 19．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 20．（25-26七年级上·山东烟台·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程两边同时除以9，再开平方，即可作答； （2）方程两边同时除以8，再开立方，即可作答； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 题型五：平方根与立方根的综合 21．（25-26七年级下·四川泸州·期中）已知一正数的平方根是与，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再根据立方根的定义求出的值，通过估算无理数的大小得到它的整数部分； （2）计算并求它的平方根． 【详解】（1）解 ∵一个正数的两个平方根互为相反数，和为0 ∴ 整理得， 解得 ∵的立方根是3 把代入得，解得 ∵， 可得 由题意可知是的整数部分， 因此 （2） ∵ ∴的平方根是 即的平方根为． 22．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)求a，b，m的值； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值，再计算的值，然后根据算术平方根的定义求出m的值； （2）根据无理数的估算方法估算的取值范围，即可求出x、y的值，再计算即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是3， ∴． 解得：， ． ∵m是的算术平方根， ． （2）解：∵， ∵，m的整数部分是x，小数部分是y， ∴，， ∴． 23．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 24．（25-26七年级下·河南许昌·期末）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求的值． (2)若的小数部分是x，的整数部分是y，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b，进而即可求出的值； （2）根据（1）所求得出x，再根据的范围求出y，最后结合平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是2， ∴ 解得， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根是6． 25．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）已知实数是的立方根，非零实数的算术平方根是． (1)求的平方根； (2)若是的平方根与的立方根之和，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的定义可求出，根据算术平方根的定义求出，再根据平方根的定义即可求解； （2）根据平方根及立方根的定义求出的值即可求解； 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∵非零实数的算术平方根是， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）解：，， ∵是的平方根与的立方根之和， ∴， ∴或， ∴或， ∴的立方根是． 题型六：与算术平方根、立方根有关的规律探索题 26．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 27．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 28．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 29．（25-26七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 30．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $