培优04 立方根的概念、性质与运算（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优04 立方根的概念、性质与运算 题型1 概念辨析题 题型描述：考查立方根的定义、性质及与平方根的区别，如“负数是否有立方根”“立方根的符号特征”“立方根等于本身的数”等。 核心要点：紧扣立方根的定义与性质，逐一验证条件。 1. 立方根的定义：若，则x是a的立方根，记为，任何数都有且仅有一个立方根。 2. 立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0（符号与被开方数一致）。 3. 与平方根的区别：平方根的被开方数非负（负数无平方根），且正数有两个平方根（互为相反数）；立方根的被开方数可以是任意实数，且每个数只有一个立方根。 解题技巧： 1. 对于“负数是否有立方根”的问题，直接用定义判断； 2. 对于“立方根等于本身的数”的问题，列举所有可能的数。 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的性质及命题真假的判断，需逐一分析各选项，结合相关性质判断命题是否为真命题． 【详解】解：A选项： ∵当时，，但 ∴该命题是假命题． B选项： ∵ ∴ 又∵ ∴ 根据立方根的唯一性，得 ∴ ∴该命题是真命题． C选项： ∵1的平方根是，不等于它本身，只有0的平方根是0，等于其本身， ∴该命题是假命题． D选项： ∵当，，时，，，但 ∴该命题是假命题． 故选B 2．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列句子是命题的是（    ） A．正数大于一切负数吗 B．作一条直线和已知直线垂直 C．将27开立方 D．三角形任何两角之和大于第三角 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一核心特征是解题的关键．根据命题的定义（能够判断真假的陈述句），逐一判断各选项是否为命题，从而选出符合条件的选项． 【详解】解：命题是可以判断真假的陈述句， A选项为疑问句，不符合命题的定义； B选项为祈使句，无法判断真假，不符合命题的定义； C选项为祈使句，无法判断真假，不符合命题的定义； D选项是可判断事物的陈述句，符合命题的定义； 故选：D． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的基本概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A. 4的平方根是，该选项正确，不符合题意； B. 的立方根是，该选项正确，不符合题意； C. 5的算术平方根是，该选项错误，符合题意； D. 0的平方根和立方根都是0，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 题型2 直接求根题 题型描述：求给定数（整数、分数、小数、负数）的立方根，或求与立方根相关的表达式。 核心要点：利用立方与开立方的逆运算关系，逆向推导。 1. 整数立方根：记住常见整数的立方，逆向求立方根。 2. 分数立方根：将分数化为最简形式，分子、分母分别开立方。 3. 小数立方根：将小数化为分数。 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）下列实数中，有理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，有理数包含整数与分数，无理数是无限不循环小数，据此对各选项判断即可． 【详解】解：是无理数，和是开方开不尽的数，属于无理数， 是分数，属于有理数，只有选项B符合题意． 2．（25-26九年级下·天津·开学考试）计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式． 3．（25-26九年级下·重庆·开学考试）若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 4．（25-26七年级上·山东淄博·期末）的立方根是_____，的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根、平方根的求解．根据立方根，平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 则的平方根是， 故答案为：，． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）计算_________． 【答案】4 【分析】本题考查立方根的运算，先依据立方根的定义求出的值，再进行有理数的符号运算即可求解． 【详解】解：根据立方根的定义，由于， 因此， 则． 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据正数有两个平方根，它们是互为相反数求出x的值，进而求出a的值；根据立方根的性质求出b的值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解∶∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型3 解方程题 题型描述：利用立方根的定义解一元三次方程。 核心要点：将含立方的部分视为整体，利用立方根的定义转化为一元一次方程。 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）求的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或； （2）解： ， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）求下列各式中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义:若，则． 【详解】（1）解： ， ∴或 ； （2）解：， ， ， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程： （1）直接根据平方根的性质解方程即可； （2）直接利用立方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： 解得 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，通过移项、系数化为1等步骤，将方程转化为可直接开方的形式． （1） 先移项，将常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的定义开方求解； （2） 先把方程两边同时除以2，将三次项系数化为1，再根据立方根的定义求出的值，进而解得． 【详解】（1）解： 即 （2）解： 5．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，熟记定义是解题的关键． （1）整理后，运用平方根的定义求解即可； （2）整理后，运用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 化简得， 开平方得， 解得或； （2）解：， 化简得， 开立方得． 题型4 实际应用题 题型描述：结合几何（如正方体体积、长方体锻造）或实际问题（如水箱容积、物体棱长），利用立方根的定义求解。 核心要点：找到“立方关系”的等量式，用立方根的定义求解。 1．（25-26八年级上·江苏常州·期末）古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）体积为8立方米的正方体的棱长是______米． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a米，则， 因此，则体积为8立方米的正方体的棱长是米． 故答案为：2． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期末）一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的实际应用，关键是熟练应用立方体的体积公式；金属块总体积不变，分成四个相同立方体，每个体积为总体积的四分之一，再根据立方体体积公式求棱长． 【详解】解：设立方体的棱长为， 则，解得． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 【详解】解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 题型5 综合拓展题 题型描述：结合平方根与立方根的综合或规律探究，综合考查立方根的概念与运算。 核心要点： 1. 平方根与立方根的综合：通过平方根求a的值，再通过立方根求b的值，最后计算目标表达式。 2. 规律探究：立方根的小数点移动规律（被开方数的小数点向右或向左移动3位，立方根的小数点向右或向左移动1位）。 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知的平方根是的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题主要考查平方根、立方根和算术平方根的计算，掌握平方根，立方根和算术平方根的计算方法是解题的关键． 根据的平方根是可得，根据的立方根是可得，将m和n代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴ 解得， ∵的立方根是， ∴ 将，代入得，， ∴， ∴的算术平方根为4． 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 6．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解、的值，再代入，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； ∴， ∴的平方根为． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优04立方根的概念、性质与运算 划重点·冲高分 概念辨析题 直接求根题 立方根的概念、性质与运算 解方程题 实际应用题 综合拓展题 题型1概念辨析题 解题大 题型描述：考查立方根的定义、性质及与平方根的区别，如“负数是否有立方根”“立方根的符号特 征”“立方根等于本身的数”等。 核心要点：紧扣立方根的定义与性质，逐一验证条件。 1. 立方根的定义：若x=a,则x是a的立方根，记为a,任何数都有且仅有一个立方根。 12. 立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0（符号与被开方数一 致)。 3. 与平方根的区别：平方根的被开方数非负（负数无平方根），且正数有两个平方根（互为相反 数)；立方根的被开方数可以是任意实数，且每个数只有一个立方根。 解题技巧： 1.对于“负数是否有立方根”的问题，直接用定义判断： 2:_对于“立方根等于本身的数”的问题：列举所有可能的数。-.一.一. 1.(25-26八年级上山东济南期末)下列命题中，是真命题的是() A.如果>0 x>0 ,则 B.如果治+6=0 则a+b=0 C.平方根等于本身的数有0和1 D.如果a≠b,b≠c,则a≠c 1/6 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26七年级上·浙江湖州期末)对问题“已知 一可=x-1,求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值. 下列对甲、乙说法的判断正确的是() A.甲说得对，符合条件的x的值只有1B.乙说得对，x还有另一个值2 C.乙说得对，x还有另一个值-1 D.两人说得都不对，x应有3个不同值 3.(25-26八年级上浙江绍兴·期末)下列句子是命题的是() A.正数大于一切负数吗 B.作一条直线和已知直线垂直 C.将27开立方 D.三角形任何两角之和大于第三角 4.(25-26七年级上山东泰安·期末)下列说法不正确的是() A.4的平方根是±2 B.-8的立方根是-2 C.5没有算术平方根 D.0的平方根和立方根都是0 5.(25-26八年级上·福建三明·期末)一个数的立方等于-8，那么这个数是 6。(25-:26七年级下·全国课后作业)若-2 有意义，则x的取值范围是 题型2直接求根题 。。。 大 题型描述：求给定数（整数、分数、小数、负数）的立方根，或求与立方根相关的表达式。 核心要点：利用立方与开立方的逆运算关系，逆向推导。 1. 整数立方根：记住常见整数的立方，逆向求立方根。 2.分数立方根：将分数化为最简形式，分子、分母分别开立方。 3.小数立方根：将小数化为分数。 1. (25-26八年级上·上海浦东新·期末)下列实数中，有理数是() 3 A.元-3 B.7 C. D.阿 2.(25-26九年级下天津开学考试)计算：-8 3.(25-26九年级下重庆开学考试)若实数0，b同时满足“-间=-2,4+h=6,则而的值为 4.(25-26七年级上·山东淄博·期末)0.512的立方根是，81的平方根是 2/6 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上陕西咸阳期末)计算64 6.(25-26八年级上江苏宿迁月考)已知正数a的两个平方根分别是2x+1和术-4，且+2b与-36 互为相反数，求3a-b的平方根. 题型3解方程题 解题土招 题型描述：利用立方根的定义解一元三次方程。 核心要点：将含立方的部分视为整体，利用立方根的定义转化为一元二次方程。一 1.(25-26七年级上山东威海·期末)求x的值： (02x-2)2-32=0, 2)8(x-3)3=27. 2.(25-26八年级上·江苏淮安·月考)求下列各式中的x ①x-22=9 (28(x+1)3-27=0 3.(25-26八年级上江苏扬州期末)解方程： (x+)2=25 (28r+27=0 4.(25-26八年级上江苏徐州期末)求x的值： ①4r2-81=0 (2)2(x+1)3=-16 5.(25-26八年级上江苏宿迁·期末)求下列各式中x的值： 04+2=10 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)c+43=1 6.(25-26八年级上江苏泰州期末)求x的值： 04x-3y2=16 a2x号 题型4实际应用题 解题大超 题型描述：结合几何（如正方体体积、长方体锻造）或实际问题（如水箱容积、物体棱长），利用立方 根的定义求解。 核心要点：找到“立方关系”的等量式，用实方根的定义求解： 1.(25-26八年级上·江苏常州期末)古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题， 即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍.若已知正方体的棱长是1，则求作的这 个正方体的棱长是 2.(25-26八年级上·四川成都期末)体积为8立方米的正方体的棱长是米. 3。(25-26七年级上·浙江温州期末)一块体积为32cm 的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该 立方体的棱长为 cm 4. (25-26七年级上·浙江台州期末)小斌对书本第99页第14题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为540mL,瓶内装着一些溶液.当瓶子正放时，瓶内溶液的高度 为20cm;倒放时，空余部分的高度为5cm.瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体 容器（容器壁的厚度忽略不计）. 单位：cm 请解答下列问题： 4/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长， 5.(2526七年级下·全国课后作业)一个铅球体积是 00rcm,则它能否被装到容积为1331cm的立方 体容器中？谐说明理由。（球的休积公式为”-好R,其中y为球的体积，R为球的半径） 3 6.(25-26七年级下·全国·周测)如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为 16000cm3. ()求长方体水池的长、宽、高. (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为cm的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水 的体积为水池体积的0，求该小球的半径（球的体积公式：V-,其中为球的半径，取3，结 果精确到0.01cm). 题型5综合拓展题 解 题型描述：结合平方根与立方根的综合或规律探究，综合考查立方根的概念与运算。 核心要点： 1. 平方根与立方根的综合：通过平方根求的值，再通过立方根求b的值，最后计算目标表达式。 2. 规律探究：立方根的小数点移动规律（被开方数的小数点向右或向左移动3位，立方根的小数点向 右或向左移动1位2.·-一一一50 1. 25.26八年级上辽宁沈阳期师)已知：>0且0的立方根是它本身，功1的算术平方根是4，则 a+b的平方根为 2.(25-26八年级上江苏泰州期中)已知2a+1的算术平方根是3，b的立方根为-1. (1)求a与b的值： (2)求a-4b的立方根. 5/6 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2m+1 ±3，n 3.(25-26八年级上宁夏银川期中)已知 的平方根是 的立方根是2，求2m+n 的算术平方根。 3a-7 4.(25-26八年级上·陕西汉中·期中)已知的算术平方根为 55b-1 的立方根为1，求@+26 的 立方根 5.(25-26八年级上·吉林长春期中)已知正数x的两个平方根分别是2a-1和a+7,负数y的立方根与它 本身相同. (I)求a,x,y的值： (2)求x-1y的算术平方根. 6,(25-26八年级上江苏泰州期中)已知3+的算术平方根是4，x+2y 3x+1 2x-5y +少的立方根是1，求 的 平方根. 6/6