专题06平方根与立方根的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 以“符号判定+定义还原”为主线，系统整合平方根与立方根六类题型，通过通法引领-题型精析-压轴突破三阶训练，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2条主线|符号判定（平方根非负/立方根同号）、定义还原（列方程求解）|从概念本质出发，构建“判定-求解-检验”完整流程| |题型归纳|6类（每类1例+3变式）|非负性用“≥0”列方程、规律探究用特殊值归纳、数形结合用数轴标点|覆盖定义应用（非负性）→综合运算（方程结合）→拓展探究（规律/数形）的递进逻辑| |压轴挑战|11题|综合运用定义与性质，强化分类讨论与逆向思维|衔接中考高频考点，提升复杂问题解决能力|

专题06 平方根与立方根的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、算术平方根的非负性 1 题型二、平方根与方程结合 3 题型三、平方根与立方根综合 4 题型四、立方根的规律探究 6 题型五、计算方程中x的值 8 题型六、数形结合问题 10 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平方根与立方根是七年级数学的基础考点，做题时 符号判定与定义还原 这两条主线贯穿始终——一条是 先判类型、再下笔：平方根看正负（被开方数必须非负，结果也非负），立方根只看被开方数（任何实数都有立方根，符号与被开方数一致）；另一条是 吃透定义、列方程求解 ——非负性问题用"≥0"列方程求范围，求 x 值用平方/立方定义列方程，规律题用特殊值归纳一般式，数形结合用数轴标点比较，综合题分清适用条件分别求解。所有运算结果，最终都要用 "是否符合定义、是否符合非负性"两步回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、算术平方根的非负性 例1若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】 ，，且， ，， 解得： ，， ． 变式1-1若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 变式1-2如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 变式1-3已知，则的值是___________． 【答案】12 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的非负性．根据二次根式和绝对值的非负性，结合已知条件求出x和y的值，从而求得的值． 【详解】解：∵， 又∵且， ∴且， ∴且， 即且， ∴． 题型二、平方根与方程结合 例2已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 变式2-1如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______ 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再求出其中的一个平方根，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴． 变式2-2若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 【答案】 【分析】根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0，求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得            这个正数的其中一个平方根为，   这个正数为． 变式2-3已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 题型三、平方根与立方根综合 例3已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 变式3-1已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 变式3-2已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 变式3-3按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 题型四、立方根的规律探究 例4如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 变式4-1小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 变式4-2我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)两； ；， (2) 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1） ， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 题型五、计算方程中x的值 例5．求下列各式中x的值． ； 【答案】或 【分析】首先将原方程整理为，根据平方根的性质可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴或． 变式5-1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 变式5-2．解方程： 【答案】或 【详解】解： 或 ∴或． 变式5-3． 【答案】， 【详解】解： ， ， 开平方得， 即或， 解得，． 题型六、数形结合问题 例6如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的边长是___________． 【答案】 【分析】求出正方形的面积即可求出正方形的边长． 【详解】解：由题意得：， 设正方形ABCD的边长为x， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，正确求出正方形的面积是解题的关键． 变式6-1数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 【分析】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）略 变式6-2公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 【答案】(1)1，1 (2) 【分析】（1）根据图1中每个直角三角形的面积是正方形面积的可得每个直角三角形的面积，图2中内部缺口正方形的边长为直角三角形的两直角边的差； （2）利用大正方形的面积等于小正方形加4个三角形面积列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形面积的面积为， 图1中每个直角三角形的面积是， 图2中内部缺口正方形的边长为； 故答案为：1，1； （2）解：由图形可得， ， ∴大正方形的边长为：． 【点睛】本题考查图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知与互为相反数，若，则的值为______． 【答案】 【分析】利用相反数的定义和非负数的性质求出的值，再代入代数式求出的值，最后根据算术平方根的定义解答即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∴的值为． 2．若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 3．若一个正实数m的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求m的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据正实数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可； （2）由平方根的平方可得m的值． 【详解】（1）解：∵正实数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴． 4．已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 5．按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 【答案】(1)9 (2)9或1 【分析】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：∵与都是的平方根， ∴当与不相等时， 解得， ∴； 当与相等时， 解得， ∴； 综上，的值为9或1． 6．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 7．求式子中的x：． 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 8．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 9．解方程： 【答案】或． 【详解】解：， 开平方得， 当时，解得， 当时，解得， 即或． 10．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 11．如图所示，每个小正方形的边长都为1. (1)图中阴影正方形的面积是多少？它的边长是多少？ (2)估计阴影正方形的边长在哪两个整数之间； (3)把表示阴影正方形的边长的点在数轴上表示出来． 【答案】(1) 17，；(2) 4与5之间；(3)见解析. 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，对面积开方即可（2）根据（1）中求得的正方形边长估算根式的大小（3）由（2）估算得到的边长大小，在数轴上找出来表示即可. 【详解】解：(1)阴影正方形的面积＝大正方形的面积－4个小直角三角形的面积＝25－4××4×1＝17， 所以图中阴影正方形的边长为. (2)因为42＝16，52＝25，()2＝17，16＜17＜25，所以图中阴影正方形的边长在4与5之间． (3)如图所示． 【点睛】此题重点考查学生对根式的灵活应用，熟练根式的开方和大小估算是解题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平方根与立方根的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、算术平方根的非负性 1 题型二、平方根与方程结合 3 题型三、平方根与立方根综合 4 题型四、立方根的规律探究 6 题型五、计算方程中x的值 8 题型六、数形结合问题 10 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平方根与立方根是七年级数学的基础考点，做题时 符号判定与定义还原 这两条主线贯穿始终——一条是 先判类型、再下笔：平方根看正负（被开方数必须非负，结果也非负），立方根只看被开方数（任何实数都有立方根，符号与被开方数一致）；另一条是 吃透定义、列方程求解 ——非负性问题用"≥0"列方程求范围，求 x 值用平方/立方定义列方程，规律题用特殊值归纳一般式，数形结合用数轴标点比较，综合题分清适用条件分别求解。所有运算结果，最终都要用 "是否符合定义、是否符合非负性"两步回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、算术平方根的非负性 例1若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 变式1-1若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 变式1-2如果与互为相反数，那么的平方根是________． 变式1-3已知，则的值是___________． 题型二、平方根与方程结合 例2已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 变式2-1如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______ 变式2-2若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． 变式2-3已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 题型三、平方根与立方根综合 例3已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 变式3-1已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 变式3-2已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 变式3-3按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 题型四、立方根的规律探究 例4如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 变式4-1小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 变式4-2我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ (2)已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 题型五、计算方程中x的值 例5．求下列各式中x的值． ； 变式5-1．解方程： (1)； (2)． 变式5-2．解方程： 变式5-3． 题型六、数形结合问题 例6如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的边长是___________． 变式6-1数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 变式6-2公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知与互为相反数，若，则的值为______． 2．若，求的平方根． 3．若一个正实数m的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求m的值． 4．已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 5．按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 6．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 7．求式子中的x：． 8．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 9．解方程： 10．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 11．如图所示，每个小正方形的边长都为1. (1)图中阴影正方形的面积是多少？它的边长是多少？ (2)估计阴影正方形的边长在哪两个整数之间； (3)把表示阴影正方形的边长的点在数轴上表示出来． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $