第六章 几何图形初步全章高频重点题型突破（三大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦几何图形初步全章高频重点，以基础-提升-专练三级架构覆盖核心题型，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|3题型，含图形识别、线段计算等|侧重概念辨析与基础计算，如几何体识别、点线面体关系|从图形直观认识到基本量计算，构建几何初步认知体系| |核心提升|3题型，含中点、角平分线应用|突出和差倍分及方程思想，如线段中点计算、余角补角方程求解|深化线段与角的数量关系，培养逻辑推理与模型意识| |题型专练|综合选择、填空、解答|覆盖全章高频重难，如正方体展开图、角度动态计算|整合基础与提升，强化知识迁移与综合应用能力|

第六章 几何图形初步全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 几何图形识别与点线面体 题型2 直线、射线、线段及其计算 题型3 角的度量与互余互补 核心提升：重难题型归纳 题型1 线段的和差倍分与中点 题型2 角的和差倍分与角平分线 题型3 余角补角的方程思想 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 几何图形识别与点线面体 1．如图所示几何体中，是圆柱的为（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 3．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．钢笔在纸上书写出字，是属于______的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线段最短 5．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 6．将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 7．2025年9月3日纪念抗战胜利80周年阅兵仪式中，飞机表演的飞机拉线可以用数学知识解释为________．（填序号：①点动成线，②线动成面，③面动成体．） ◆题型2 直线、射线、线段及其计算 8. 如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 9.如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 10．往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同） 11．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 12．如图，点是线段上的两个点，，．若，则线段的长为_____． 13．如图，若，，且是的中点，求线段的长为________． 14．如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 15．已知点C是直线上一点，线段，．那么A、C两点的距离是______． 16.如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． 17．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． ◆题型3 角的度量与互余互补 18．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 19．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 20．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 21．图中有______个角． 22．如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是_______． 23．_______________． 24．计算： __________°． 25．比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 26．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 27．计算：_____________． 28．9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为_____度． 29．若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 30．已知，则的余角是______． 31．已知，与互余，则______． 32．已知，则的补角等于______． 33．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 34．已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 35．若与互补，和互余，若，则的度数为____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型1 线段的和差倍分与中点 1．如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 2．如图，已知，是的中点，厘米，厘米，求线段的长． 3．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． ◆题型2 角的和差倍分与角平分线 4．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 5．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 6．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，求的度数． 7．解答以下问题 (1)已知点在线段上，取的中点，的中点，，求； (2)如图，已知，平分，平分，则的度数为______． 8．如图，已知点O为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． ◆题型3 余角补角的方程思想 9．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 10．如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 11．如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 一、选择题 1．一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（     ） A．满 B．少 C．年 D．怀 2．如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（     ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 3．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 4．下面的图形能折成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 5．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 6．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 8．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 9．如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 10．年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 11．․ 12．时钟上7点15分，时针与分针形成的角是__________ 度． 13．若与互余，与互补，，则________． 三、解答题 14．如图，在平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)连接，并延长至，使． 15．已知：C为线段的中点，D在线段上，且，，求线段的长度． 16．如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点． (1)若，，求的长度； (2)若，求的长度． 17．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 18．如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，求的度数． 19．如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步全章高频重点题型突破 ◆题型1 几何图形识别与点线面体 1.【答案】A 【分析】根据各选项几何体的特征判断即可． 【详解】解：A．圆柱，故A符合题意； B．四棱柱，故B不符合题意； C．圆锥，故C不符合题意； D．四棱锥，故D不符合题意． 2.【答案】C 【分析】上下底面是三角形，侧面是长方形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱． 3.【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 4.【答案】A 【分析】根据点、线、面、体的关系，并结合钢笔书写的实际场景即可解答． 【详解】解：钢笔的笔尖可看作一个点，书写过程中点不断移动，形成线条组成字，即符合点动成线的规律． 5.【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 6.【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 7.【答案】① 【分析】本题主要考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体的几何原理是解题的关键．本题可根据点、线、面、体之间的关系，判断飞机拉线所对应的几何现象，从而选出正确答案． 【详解】解：飞机可视为一个点，其在空中运动的轨迹形成一条线，这一过程对应几何中的点动成线． 故答案为：①． ◆题型2 直线、射线、线段及其计算 8. 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 9.【答案】3 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 10.【答案】10 【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价． 【详解】解：此题相当于一条线段上有5个点，有多少种不同的票价即有多少条线段， 故不同的票价有：． 11.【答案】两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线 12.【答案】2 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，根据线段的和差关系求出的长，根据，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：2． 13.【答案】 【分析】根据线段的和差关系得到线段的长度，根据线段中点的定义得到线段的长度，继而得到线段的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 14. 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质． 15.【答案】或 【分析】本题主要考查了线段上两点间的距离、线段的和差等知识点．分为点C在线段上和在线段的延长线上两种情况，分别画出图形，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：①如图1，点C在线段上，则； ②如图2，点C在线段的延长线上，． 故答案为：或． 16.【答案】(1) 如图所示，直线即为所求． (2) 如图所示，线段即为所求． (3) 如图所示，射线和点即为所求． (4) 如图所示，线段和即为所求． 17.【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义与线段和差的计算，利用线段和差先求出的长度，再根据中点定义求出的长度，最后计算得到的长度． 【详解】解 已知， ，   ∴ ， ∵ N是线段的中点， ∴ ∴ ． ◆题型3 角的度量与互余互补 18.【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 19.【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 20.【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西。 21.【答案】 【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以为开始边的有，4个角； 以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角； 以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选：． 22.【答案】/155度 【分析】根据题意得，，，求出，然后利用求解． 【详解】解：如图， 根据题意得，， ∴ ∴． 23.【答案】 【分析】根据度分秒的换算，度分秒之间的进率为．将度的小数部分依次乘以进率换算为分和秒即可求解． 【详解】解：的整数部分为度，即． 剩余小数部分换算为分：． 的整数部分为分，即． 剩余小数部分换算为秒：． 因此． 24.【答案】 【分析】度分秒换算的核心是60 进制，从秒到分、分到度，依次除以 60，注意逐级换算，避免跳步出错． 度、分、秒的换算规则：，，将分、秒逐级转化为度即可． 【详解】 故答案为：． 25.【答案】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 26.【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 27.【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 28.【答案】105 【分析】本题考查钟面角，理解钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为是解决问题的前提． 根据钟面角的特征进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面角的定义可知，   ， ， ， 故答案为：105 29.【答案】．/40度 【分析】互为余角的两个角的和为，据此求解． 【详解】解：已知该角的度数为，它的余角为． 30.【答案】 【分析】本题主要考查余角的定义.角的运算知识点.掌握和为的两个角互为余角是解题的关键.根据余角的定义列式计算即可； 【详解】解：由题意可得的余角为； 31.【答案】 【详解】解：∵，与互余， ∴． 32.【答案】145 【详解】解：∵， ∴的补角． 33.【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 34.【答案】 【分析】根据互余的定义求出的度数，再根据补角的定义计算的补角度数即可． 【详解】解：与互余， ∴， ∴的补角的度数为． 35.【答案】/143度 【分析】根据互余的定义，两个角互余则两角和为，可先求出的度数，再根据互补的定义，两个角互补则两角和为，代入的度数计算即可得到的度数． 【详解】解：∵和互余， ∴， 又∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴． ◆题型1 线段的和差倍分与中点 1．【答案】 【分析】利用线段的和差以及数量关系求解． 【详解】解：，， ，， ，分别为线段，的中点， ，， ． 2．【答案】6厘米． 【分析】利用线段的中点以及线段的和差求解即可． 【详解】解：是的中点，厘米， 厘米， 厘米， 厘米， ， 厘米， 厘米． 3.【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． ◆题型2 角的和差倍分与角平分线 4．【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 5．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 6.【答案】 【详解】解：∵射线和射线分别平分和， ，， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ． 7.【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了线段双中点模型和角的双角平分线模型．利用中点的定义和角平分线的定义即可解题． 【详解】（1）解：的中点为，的中点为， ，， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ， ， ． 8.【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义： （1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）根据与互余求出即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：与互余，， ， ∴； ◆题型3 余角补角的方程思想 9．【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 10．【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同角的余角相等，角平分线的定义，解一元一次方程． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）根据平分得到，根据得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：． 11.【答案】(1)，； (2)成立，证明见解析 (3)与是互补关系，证明见解析 (4)成立，证明见解析 【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键． （1）根据直角关系，求出，，并得到二者角度相等； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）将直角代入计算，可证出，即二者互补； （4）同理，将直角代入计算，得出，即二者互补． 【详解】（1）解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴，， 故． （2）解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． （3）解：互补关系，理由如下： ∵， ， ∴， 即与是互补关系． （4）解：成立，理由如下： ∵， 结合， 上式为， 即， 故与依旧是互补关系． 1．C 2．A 3．B 4．C 5. C 6. C 7. 两点确定一条直线 8. 点动成线 9. ② 10. 两点之间线段最短 11. 78, 15 12. 127.5 13. 120° 14. (1) 直线即为所求； (2) 射线即为所求； (3) 线段即为所求； (4) 线段、即为所求． 15. 16. (1)4 (2)4 17.(1)（或） (2) (3) 18. (1) (2) 19. （1）100°；（2）22.5° 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 几何图形识别与点线面体 题型2 直线、射线、线段及其计算 题型3 角的度量与互余互补 核心提升：重难题型归纳 题型1 线段的和差倍分与中点 题型2 角的和差倍分与角平分线 题型3 余角补角的方程思想 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 几何图形识别与点线面体 1．如图所示几何体中，是圆柱的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项几何体的特征判断即可． 【详解】解：A．圆柱，故A符合题意； B．四棱柱，故B不符合题意； C．圆锥，故C不符合题意； D．四棱锥，故D不符合题意． 2．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A． 正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】C 【分析】上下底面是三角形，侧面是长方形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱． 3．下列图形是正方体的展开图的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：一、二、三、四图能折叠成正方体，共4个． 4．钢笔在纸上书写出字，是属于______的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线段最短 【答案】A 【分析】根据点、线、面、体的关系，并结合钢笔书写的实际场景即可解答． 【详解】解：钢笔的笔尖可看作一个点，书写过程中点不断移动，形成线条组成字，即符合点动成线的规律． 5．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 6．将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 7．2025年9月3日纪念抗战胜利80周年阅兵仪式中，飞机表演的飞机拉线可以用数学知识解释为________．（填序号：①点动成线，②线动成面，③面动成体．） 【答案】① 【分析】本题主要考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体的几何原理是解题的关键．本题可根据点、线、面、体之间的关系，判断飞机拉线所对应的几何现象，从而选出正确答案． 【详解】解：飞机可视为一个点，其在空中运动的轨迹形成一条线，这一过程对应几何中的点动成线． 故答案为：①． ◆题型2 直线、射线、线段及其计算 8. 如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 9.如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【答案】3 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 10． 往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同） 【答案】10 【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价． 【详解】解：此题相当于一条线段上有5个点，有多少种不同的票价即有多少条线段， 故不同的票价有：． 11．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【答案】两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线． 12．如图，点是线段上的两个点，，．若，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，根据线段的和差关系求出的长，根据，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：2． 13．如图，若，，且是的中点，求线段的长为________． 【答案】 【分析】根据线段的和差关系得到线段的长度，根据线段中点的定义得到线段的长度，继而得到线段的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 14．如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质． 15． 已知点C是直线上一点，线段，．那么A、C两点的距离是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段上两点间的距离、线段的和差等知识点．分为点C在线段上和在线段的延长线上两种情况，分别画出图形，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：①如图1，点C在线段上，则； ②如图2，点C在线段的延长线上，． 故答案为：或． 16.如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． 【答案】(1) 如图所示，直线即为所求． (2) 如图所示，线段即为所求． (3) 如图所示，射线和点即为所求． (4) 如图所示，线段和即为所求． 【分析】本题主要考查线段、射线和直线： （1）线段向两个方向无限延伸得到直线，直线没有端点； （2）线段有两个端点； （3）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点； （4）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 17．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义与线段和差的计算，利用线段和差先求出的长度，再根据中点定义求出的长度，最后计算得到的长度． 【详解】解 已知， ，   ∴ ， ∵ N是线段的中点， ∴ ∴ ． ◆题型3 角的度量与互余互补 18．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 19．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 20．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A． 北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西。 21．图中有______个角． 【答案】 【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以为开始边的有，4个角； 以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角； 以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选：． 22．如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是_______． 【答案】/155度 【分析】根据题意得，，，求出，然后利用求解． 【详解】解：如图， 根据题意得，， ∴ ∴． 23． _______________． 【答案】 【分析】根据度分秒的换算，度分秒之间的进率为．将度的小数部分依次乘以进率换算为分和秒即可求解． 【详解】解：的整数部分为度，即． 剩余小数部分换算为分：． 的整数部分为分，即． 剩余小数部分换算为秒：． 因此． 24． 计算： __________°． 【答案】 【分析】度分秒换算的核心是60 进制，从秒到分、分到度，依次除以 60，注意逐级换算，避免跳步出错． 度、分、秒的换算规则：，，将分、秒逐级转化为度即可． 【详解】 故答案为：． 25． 比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 26．如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 27.计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 28．9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为_____度． 【答案】105 【分析】本题考查钟面角，理解钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为是解决问题的前提． 根据钟面角的特征进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面角的定义可知，   ， ， ， 故答案为：105 29． 若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 【答案】．/40度 【分析】互为余角的两个角的和为，据此求解． 【详解】解：已知该角的度数为，它的余角为． 30． 已知，则的余角是______． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的定义.角的运算知识点.掌握和为的两个角互为余角是解题的关键.根据余角的定义列式计算即可； 【详解】解：由题意可得的余角为； 31． 已知，与互余，则______． 【答案】 【详解】解：∵，与互余， ∴． 32． 已知，则的补角等于______． 【答案】145 【详解】解：∵， ∴的补角． 33． 一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 34． 已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 【答案】 【分析】根据互余的定义求出的度数，再根据补角的定义计算的补角度数即可． 【详解】解：与互余， ∴， ∴的补角的度数为． 35．若与互补，和互余，若，则的度数为____________． 【答案】/143度 【分析】根据互余的定义，两个角互余则两角和为，可先求出的度数，再根据互补的定义，两个角互补则两角和为，代入的度数计算即可得到的度数． 【详解】解：∵和互余， ∴， 又∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴． ◆题型1 线段的和差倍分与中点 1．如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】利用线段的和差以及数量关系求解． 【详解】解：，， ，， ，分别为线段，的中点， ，， ． 2．如图，已知，是的中点，厘米，厘米，求线段的长． 【答案】6厘米． 【分析】利用线段的中点以及线段的和差求解即可． 【详解】解：是的中点，厘米， 厘米， 厘米， 厘米， ， 厘米， 厘米． 3．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． ◆题型2 角的和差倍分与角平分线 4．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 5．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 6．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵射线和射线分别平分和， ，， ∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ． 7．解答以下问题 (1)已知点在线段上，取的中点，的中点，，求； (2)如图，已知，平分，平分，则的度数为______． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了线段双中点模型和角的双角平分线模型．利用中点的定义和角平分线的定义即可解题． 【详解】（1）解：的中点为，的中点为， ，， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ， ， ． 8．如图，已知点O为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义： （1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）根据与互余求出即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：与互余，， ， ∴； ◆题型3 余角补角的方程思想 9．如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． 10．如图，和都是． (1)与相等的角是________； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同角的余角相等，角平分线的定义，解一元一次方程． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）根据平分得到，根据得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：． 11．如图1，与都是直角，． (1)求和的度数，并说明和的大小关系如何． (2)若的大小不确定，其他条件不变，（1）中的和的大小关系仍然成立吗？请说明理由． (3)试猜想与是相等、互余，还是互补关系，并说明你的猜想是否合理． (4)当绕点O旋转到图2的位置时，（3）中的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)成立，证明见解析 (3)与是互补关系，证明见解析 (4)成立，证明见解析 【分析】本题考查角度的和差计算以及余角、补角的概念，熟练掌握角度之间的计算关系是解题的关键． （1）根据直角关系，求出，，并得到二者角度相等； （2）根据同角的余角相等即可证明； （3）将直角代入计算，可证出，即二者互补； （4）同理，将直角代入计算，得出，即二者互补． 【详解】（1）解：∵与都是直角， ∴， ∵， ∴，， 故． （2）解：成立，理由如下： ∵， ∴， ∴（同角的余角相等）． （3）解：互补关系，理由如下： ∵， ， ∴， 即与是互补关系． （4）解：成立，理由如下： ∵， 结合， 上式为， 即， 故与依旧是互补关系． 一、选择题 1．1．一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（     ） A． 满 B．少 C．年 D．怀 【答案】C 【详解】解：根据正方体展开图可知：有“壮”字一面的相对面上的字为“年”． 2．如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（     ） A． 三棱柱 B．四棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥 【答案】A 【详解】选项，三棱柱展开侧面是长方形，底面是三角形，符合题意 选项，四棱柱展开侧面是长方形，底面也是长方形，不符合题意 选项，四棱锥展开侧面是三角形，底面是长方形，不符合题意 选项，三棱锥展开侧面是三角形，底面也是三角形，不符合题意 3．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可． 【详解】解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B． 4．下面的图形能折成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，第二种：“”结构；第三种：“”结构，；第四种：“”结构，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； B、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； C、符合“”结构，能折成一个正方体，故该选项符合题意； D、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； 5．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 6．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． 二、填空题 7．要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】分析两枚钉子固定挂衣架的实际作用，对应数学中“两点确定一条直线”的性质，通过两个点锁定挂衣架的位置，使其保持水平状态且不会随意偏移． 【详解】解：用两枚钉子固定实木挂衣架时，两枚钉子的位置相当于两个点，这两个点能唯一确定挂衣架所在的直线位置，从而将挂衣架水平固定在墙上，防止其晃动或移位． 因此其中蕴含的数学知识是两点确定一条直线． 8． 诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了“点线面体”的关系， 根据点、线、面、体的运动关系，雨滴可视为点，散丝表示线，点移动形成线． 【详解】解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 9．如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键． 根据相关知识点解题即可． 【详解】解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段的长． 故答案为：② ． 10．年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】题干中“缩短了路程”说明两点间的距离变小，将弯曲的路变为直路，依据线段的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短． 11.․ 【答案】， 【分析】本题考查度分秒的单位换算，度分秒之间的进率为，将原度数的小数部分乘以进率换算为分，即可得到结果． 【详解】解：． 12.时钟上7点15分，时针与分针形成的角是__________ 度． 【答案】127.5 【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算，即可解答． 【详解】解：7点15分时，分针在刻度3上，时针在刻度7后，从刻度3到刻度7有个大格，夹角为．时针在7点整的基础上额外转动了15分钟，角度为，所以两个指针的夹角为． 13．若与互余，与互补，，则________． 【答案】 【分析】根据与互余，与互补进行计算即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 14．如图，在平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)连接，并延长至，使． 【答案】(1) 直线即为所求； (2) 射线即为所求； (3) 线段即为所求； (4) 线段、即为所求． 【分析】本题考查作图——复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据直线的定义画出图形； （2）根据射线定义画出图形； （3）根据线段的定义画出图形； （4）连接，在的延长线上截取即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 15．已知：C为线段的中点，D在线段上，且，，求线段的长度． 【答案】 【分析】根据已知可求得的长，从而可求得的长，利用的长，可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵C是的中点 ∴， ∴． 16．如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点． (1)若，，求的长度； (2)若，求的长度． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可； （2）先根据M是的中点得，再根据N是的中点得，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵M是的中点，， ∴， ∵N是的中点，， ∴， ∴； （2）解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 17．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】本题主要考查几何中角度的和差计算，角平分线的定义，互余的概念及计算． （1）根据余角的概念，结合图形求解即可； （2）根据同角的余角相等得到，再根据角平分线的定义即可求解； （3）根据题意得到，结合题意得到，根据平角等于列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的一个余角是（或）； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 18．如图，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若与互为余角，求的度数． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两角互余的定义，角平分线的性质，平角的定义； （1）设，则，根据两角互余列方程解答即可； （2）由题意得，设，则，根据平角的定义列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， 设，则， ∵与互为余角， ∴ 解得， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， 设，则， ∴， 解得， ， ∴ 19．如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）100°；（2）22.5° 【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC易得结果； （2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°−x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得． 【详解】解：（1）因为是的角平分线，， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 所以． （2）因为是的角平分线， 所以设． 因为，所以，． 因为是的角平分线，所以 因为，所以， 所以，即． 【点睛】本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而根据等量关系求出角的度数． 1 / 14 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