第2章 随机事件的概率章节复习（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

第2章 随机事件的概率章节复习 教学目标 1. 认识必然事件、不可能事件、随机事件，能够辨别事件类型，理解等可能性含义，掌握概率的概念与取值范围，建立随机现象的基本认知。 2. 会运用列表法、树状图列举等可能试验的全部结果，利用概率公式计算简单随机事件的概率，掌握用频率估计概率的基本方法。 3. 经历试验、猜想、计算、应用的学习过程，会用概率判断游戏公平性，解决生活简单实际问题，发展数据分析观念，体会概率的现实价值。 教学重难点 1.重点 （1）识别各类事件，理解概率的意义，掌握古典概型概率计算公式，能在等可能条件下求解简单事件的概率，明确概率取值范围，夯实概率计算基础。 （2）熟练使用列表法、树状图完整列举两步试验的所有等可能结果，准确统计总结果数与事件发生结果数，运用概率知识判断游戏是否公平，处理常见实际应用题。 2.难点 （1）区分频率与概率的概念，理解大量重复试验下频率的稳定性，明白频率只是概率的估计值，不能把单次试验频率直接等同于事件的真实概率，建立随机思想。 （2）在复杂情境中准确判断试验结果是否具备等可能性，区分放回与不放回模型，避免列举结果出现重复、遗漏，综合概率模型分析、解决综合性实际问题。 知识点01 事件的可能性 1、必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 2、不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 3、随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 要点： 必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”； 4、事件可能性的大小 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 知识点02 简单事件的概率 1、概率的范围（0≤P≤1） P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1 2、概率的计算公式 如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=. 3、用列举法和画树状图法求概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 画树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断所有结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点03 用频率估计概率 概率的简单应用 1、频率与概率 定义 频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2、频率与概率的关系 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 要点： （1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 题型01 事件发分类 【典例1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B．正月十五的晚上一定能看到圆月 C．打开电视机，正在播放广告 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【变式2】（2026·江苏常州·中考真题）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是__________事件．（填“不可能”“随机”或“必然”） 【变式3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 题型02 根据概率公式计算概率 【典例1】（2026·四川乐山·二模）在分别写有、、、的四张卡片中，随机抽取一张，这张卡片上的数为正数的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（第六章概率的进一步认识高效同步练习1用树状图或表格求概率第2课时利用概率判断游戏的公平性）口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【变式2】（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）八水绕长安，是形容长安城被八条河流环绕，形成了独特的水系景观．地理课上，地理老师准备了6个红球，8个蓝球和12个黑球（这些球除颜色不同外其余完全相同），分别用红球、蓝球、黑球表示八水中的渭河、泾河、沣河，将这些球放入不透明的箱子中摇匀，该班每个学生都从箱子中随机摸出一个球，记下小球的颜色后放回摇匀（每次仅一个同学摸球），根据摸出球的颜色所对应的河流名称分享该条河流的知识． (1)“该班的小君摸到白球”是___________事件；（“必然”“随机”或“不可能”） (2)分别求该班的小乐讲解渭河知识的概率和讲解泾河知识的概率． 题型03 几何概率 【典例1】（25-26七年级下·江西九江·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 题型04 列表法或树状图法求概率 【典例1】（26-27九年级上·全国·课堂例题）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 【变式2】（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． (1)若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． (2)小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 【变式3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． (1)若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； (2)班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 题型05 由频率估计概率 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 题型06 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（2025九年级下·北京·专题练习）某同学在抛掷硬币的试验中做了次，得到正面朝上的频率为，则出现正面朝上的次数是（    ） A．180 B．200 C．450 D．220 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________． 【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”．在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为___________个． 题型07 概率在转盘抽奖中的应用 【典例1】（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 题型08 游戏的公平性 【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【变式1】（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说，________________（填“公平”或“不公平”） 【变式3】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 一、单选题 1．（26-27七年级上·河北秦皇岛·开学考试）有一个正方体，其中一面涂上红色，两面涂上绿色，三面涂上黄色，小明向上抛出正方体，落下后向上一面的颜色为（     ） A．红色 B．绿色 C．黄色 D．无法确定 2．（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，一名同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率分别稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）．转出的汉字为“我”的概率是（     ） 如 A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 二、填空题 6．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国的第五大发明”．小兰购买了五张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”“惊蛰”和“芒种”各一张，每张邮票的形状、大小、背面图案都相同，将它们洗匀后背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是_____． 7．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 三、解答题 11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为A、B、C三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张不在同一区域观看比赛的概率． 12．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 13．（25-26七年级下·宁夏·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 14．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校随机抽取部分学生进行了你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）的问卷调查．并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)参加问卷调查的学生人数是__________人，扇形统计图中D对应扇形的圆心角的大小为__________；补全条形统计图． (2)若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有 人； (3)现从喜好编导表演的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 一、单选题 1．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”这一事件是（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法判断 2．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）小明将分别印有“凉”“都”“六”“盘”“水”的五张卡片，装在一个不透明的盒子中，它们除印的字不同外其余完全相同．从中任意抽出一张卡片，抽出印有“凉”字的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东清远·期末）清远特产英红九号是一种根系发达，移栽成活率高的茶树．某研究院跟踪调查了在春季移栽的英红九号树苗的成活情况，得到如下表格：由此可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是（     ） 移栽数量/棵 200 400 600 800 1000 1200 成活率 87% 93% 91% 89% 90% 90% A．80% B．85% C．90% D．95% 4．（25-26七年级下·山西晋中·期末）同学们开展“探访世界文化遗产”主题活动，制作了四张印有文化遗产标识的卡片（除内容外，其余完全相同），正面分别印有：中国平遥古城、意大利威尼斯水城、中国云冈石窟、希腊雅典卫城，并将这四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽到中国文化遗产卡片的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（     ） A．从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 B．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 C．张彩票中有1张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D．小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 二、填空题 6．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）景区文创盲盒里装有6个民族徽章、4个山水徽章、1个动物徽章，随机抽取一枚，抽到________徽章可能性最大，动物徽章数量占徽章总数量的________（填分数）． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个扇形，每个扇形上分别写有“10元”、“20元”和“谢谢”的字样．自由转动转盘，当转盘停止时，顾客可获得指针所指扇形相应金额的代金券．转动一次转盘，顾客获得代金券的概率为________． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物，并记录正确识别的次数．下表是多次测试过程中的一组统计数据： 测试次数m 50 100 200 400 500 1000 正确识别次数n 43 88 182 358 450 901 正确识别频率 0.860 0.880 0.910 0.895 0.900 0.901 由表中数据估计，该系统可以正确识别障碍物的概率为________．（结果保留一位小数） 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 10．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 三、解答题 11．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 12．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． (1)小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________； (2)小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 13．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 14．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 15．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 随机事件的概率章节复习 教学目标 1. 认识必然事件、不可能事件、随机事件，能够辨别事件类型，理解等可能性含义，掌握概率的概念与取值范围，建立随机现象的基本认知。 2. 会运用列表法、树状图列举等可能试验的全部结果，利用概率公式计算简单随机事件的概率，掌握用频率估计概率的基本方法。 3. 经历试验、猜想、计算、应用的学习过程，会用概率判断游戏公平性，解决生活简单实际问题，发展数据分析观念，体会概率的现实价值。 教学重难点 1.重点 （1）识别各类事件，理解概率的意义，掌握古典概型概率计算公式，能在等可能条件下求解简单事件的概率，明确概率取值范围，夯实概率计算基础。 （2）熟练使用列表法、树状图完整列举两步试验的所有等可能结果，准确统计总结果数与事件发生结果数，运用概率知识判断游戏是否公平，处理常见实际应用题。 2.难点 （1）区分频率与概率的概念，理解大量重复试验下频率的稳定性，明白频率只是概率的估计值，不能把单次试验频率直接等同于事件的真实概率，建立随机思想。 （2）在复杂情境中准确判断试验结果是否具备等可能性，区分放回与不放回模型，避免列举结果出现重复、遗漏，综合概率模型分析、解决综合性实际问题。 知识点01 事件的可能性 1、必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 2、不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 3、随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 要点： 必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”； 4、事件可能性的大小 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 知识点02 简单事件的概率 1、概率的范围（0≤P≤1） P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1 2、概率的计算公式 如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=. 3、用列举法和画树状图法求概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 画树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断所有结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点03 用频率估计概率 概率的简单应用 1、频率与概率 定义 频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2、频率与概率的关系 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 要点： （1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 题型01 事件发分类 【典例1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，有两次正面朝上，这一事件是（     ） A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵连续抛掷一枚质地均匀的硬币四次，正面朝上的次数可能为0次，1次，2次，3次，4次， ∴有两次正面朝上的情况可能发生,也可能不发生， ∴该事件是随机事件． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）下列事件为必然事件的是（     ） A．某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B．正月十五的晚上一定能看到圆月 C．打开电视机，正在播放广告 D．口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【答案】D 【分析】根据必然事件的概念判断即可． 【详解】解：选项：买张中奖率为的彩票不一定中奖，为随机事件，不符合题意； 选项：正月十五晚上可能因天气等原因看不到圆月，为随机事件，不符合题意； 选项：打开电视机不一定在播放广告，为随机事件，不符合题意； 选项：口袋中装有个红球和个白球，白球仅有个，摸出个球时，最多有个白球，故必有红球，是必然事件，符合题意． 【变式2】（2026·江苏常州·中考真题）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是__________事件．（填“不可能”“随机”或“必然”） 【答案】随机 【分析】抛掷质地均匀的硬币，共有两种可能的结果，事先无法确定哪一种结果会发生，据此判断事件类型． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上，结果事先无法确定 ∴“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是随机事件． 【变式3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，即可得到结果． 【详解】解：必然事件的定义为：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件， ①明天是否为晴天不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件， ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，属于随机事件， ③标准大气压下，冰在温度高于时会熔化为水，高于，该事件一定发生，属于必然事件， ④根据有理数的大小比较法则，大于一切负数，该事件一定成立，属于必然事件． 题型02 根据概率公式计算概率 【典例1】（2026·四川乐山·二模）在分别写有、、、的四张卡片中，随机抽取一张，这张卡片上的数为正数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正确识别正数，统计符合条件的卡片数与总卡片数，计算概率． 【详解】解：四张卡片上的数分别为、、、随机抽取一张共有种等可能的结果，其中正数为，，共种结果，所求概率为． 【变式1】（第六章概率的进一步认识高效同步练习1用树状图或表格求概率第2课时利用概率判断游戏的公平性）口袋里有除颜色外其余都相同的2个红球、4个白球和6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是红球，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜．谁获胜的概率大（     ） A．甲 B．乙 C．甲乙一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先求总摸球等可能结果数，再求甲、乙各自获胜的结果数并计算概率，最后比较大小即可． 【详解】解：口袋中球的总数为个，从12个球中摸出2个球，所有等可能的结果总数为种， 甲获胜对应摸出2个红球，结果数为种，概率为， 乙获胜对应摸出2个黑球，结果数为种，概率为， ∵， ∴乙获胜的概率更大． 【变式2】（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张是中心对称图形的概率是________． 【答案】 【分析】先根据中心对称图形的定义确定符合条件的图形个数，再利用概率公式计算所求概率. 【详解】解：由题意，总共有种等可能的抽取结果，其中菱形是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形；正方形是中心对称图形； ∴符合条件的结果共种， ∴从中任意抽取一张是中心对称图形的概率. 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）八水绕长安，是形容长安城被八条河流环绕，形成了独特的水系景观．地理课上，地理老师准备了6个红球，8个蓝球和12个黑球（这些球除颜色不同外其余完全相同），分别用红球、蓝球、黑球表示八水中的渭河、泾河、沣河，将这些球放入不透明的箱子中摇匀，该班每个学生都从箱子中随机摸出一个球，记下小球的颜色后放回摇匀（每次仅一个同学摸球），根据摸出球的颜色所对应的河流名称分享该条河流的知识． (1)“该班的小君摸到白球”是___________事件；（“必然”“随机”或“不可能”） (2)分别求该班的小乐讲解渭河知识的概率和讲解泾河知识的概率． 【答案】(1)不可能 (2)小乐讲解渭河知识的概率为，小乐讲解泾河知识的概率为 【分析】（1）根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义，即可获得答案； （2）首先计算地理老师准备的球的总数，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：地理老师准备了6个红球，8个蓝球和12个黑球，没有白球， 所以，“该班的小君摸到白球”是不可能事件． （2）解：地理老师准备的球的总数为（个）， 所以该班的小乐讲解渭河知识的概率为， 该班的小乐讲解泾河知识的概率为． 题型03 几何概率 【典例1】（25-26七年级下·江西九江·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在空白区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何概率的定义，指针落在空白区域的概率等于空白区域圆心角与周角度数的比值，即可求解． 【详解】解：空白区域的圆心角为，周角为， 故指针落在空白区域的概率为． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可． 【详解】解：A、此选项中石子落在阴影部分可能性为； B、此选项中石子落在阴影部分可能性为； C、此选项中石子落在阴影部分可能性为； D、此选项中石子落在阴影部分可能性为； 所以石子落在阴影部分可能性最大的是B选项所示图形， 【变式2】（2026·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【答案】 【分析】它最终停留在黑砖上的概率是黑色区域的面积与总面积的比值，解答即可． 【详解】解：设每块小正方形的面积为1，则总面积为12，黑砖的面积为6， 故它最终停留在黑砖上的概率是． 【变式3】（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 题型04 列表法或树状图法求概率 【典例1】（26-27九年级上·全国·课堂例题）某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过画树状图或列表的方法求解即可． 【详解】解：设“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别记为A，B，C． 根据题意，画树状图如下∶ 由图可得，共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”（A）的结果有1种， 所以甲、乙两位同学同时抽到“智能机器人”的概率是． 【变式1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 【答案】 【分析】先通过树状图找出所有等可能的选取结果总数，再找出恰好选中1名男生1名女生的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，得树状图如下： 由图可知，共种等可能结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果共种， ∴所求概率为． 【变式2】（2026·江苏淮安·中考真题）小明计划假期来淮安品尝美食，他打算从个特色菜（A．软兜长鱼；B．盱眙龙虾；C．钦工肉圆；D．开洋蒲菜；E．平桥豆腐）中随机选择． (1)若小明从这个特色菜中随机选择个，则选中“软兜长鱼”的概率为__________． (2)小明先从A，B，C中随机选择个菜，再从D，E中随机选择个菜．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中B，D两个菜品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率计算即可； （2）画树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种，所以小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 【详解】（1）解：个特色菜每个被选中的机会相同， 选中“软兜长鱼”的概率为； （2）解：画树状图，如下图所示： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中同时选中B、D的情况有种， 小明恰好选中B，D两个菜品的概率为． 【变式3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）陕西作为中华文化的重要发源地之一，有着悠久的文化底蕴和历史积淀，也拥有着许多珍贵的文化遗产．如：西安鼓乐、陕北秧歌、秦腔和华阴老腔深受人们喜爱．为了促进同学们热爱家乡的意识，班里准备召开“我为家乡代言”的主题班会． (1)若从中随机抽选一种，喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是 ； (2)班里决定在以上四种项目中任选一种进行宣传和推广，请利用列表或画树状图的方法分析甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）利用列表法以及概率公式求解即可． 【详解】（1）解：喜欢“鼓乐”的小明同学恰好抽到心仪的项目的概率是； （2）解：分别用A，B，C，D表示陕北秧歌、秦腔、西安鼓乐和华阴老腔，用列表法把所有等可能结果表示出来如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学恰好选中同一种的有4种， ∴甲、乙两名同学恰好选中同一种的概率为． 题型05 由频率估计概率 【典例1】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， 可估计这种豆苗成活的概率约是． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）篮球是陕西省中考体育统一考试（现场测试）中“项目四·球类技能”的选项之一、如图是小强在平时运动过程中的投篮记录，请结合图示，估计现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图知小强投篮命中的频率是，得到现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【详解】解：由图知小强投篮命中的频率是， ∴现阶段小强随机投篮一次正好命中的概率约为． 【变式2】（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 【答案】 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，可将这个常数作为该事件发生概率的估计值． 【详解】解：观察表格数据可得，随着射击总次数不断增大，击中靶心的频率逐渐稳定在附近，因此估计该运动员射击一次击中靶心的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【分析】设这个“福”字的面积是，由题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设这个“福”字的面积是， 由题意可得， 解得， ∴这个“福”字的面积是． 题型06 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（2025九年级下·北京·专题练习）某同学在抛掷硬币的试验中做了次，得到正面朝上的频率为，则出现正面朝上的次数是（    ） A．180 B．200 C．450 D．220 【答案】A 【分析】本题考查频率与频数的关系，根据“频数试验总次数频率”的公式即可计算出正面朝上的次数． 【详解】解：∵频数试验总次数频率， 又∵试验总次数为，正面朝上的频率为， ∴正面朝上的次数， 故选：． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________． 【答案】14 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据题意，得到摸到红球的频率为，从而估计概率为，再乘以总球数20，得到红球个数即可． 【详解】共摸了100次球，有70次摸到红球，摸到红球的频率为， 因此估计摸到红球的概率为， 则口袋中红球的个数约为． 故答案为：14． 【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”．在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为___________个． 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：由图可知，摸到黑球的概率约为， ∴ 解得： 故答案为：． 题型07 概率在转盘抽奖中的应用 【典例1】（25-26九年级上·广东清远·期末）学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 【变式1】（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． 题型08 游戏的公平性 【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【答案】D 【分析】此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 对图①、图②分别是两种站立方式分别进行判断即可． 【详解】解：图①中，若干名同学到筐的距离不相等，则图①不公平； 图②中，若干名同学到筐的距离相等，则图②公平； 故选：D． 【变式1】（2025·河南·模拟预测）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说，________________（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 计算甲获胜和乙获胜的概率，比较两者是否相等． 【详解】解：总牌数为张，甲获胜需抽到至的牌，共张； 乙获胜需抽到以下的牌，共张； 甲获胜概率为，乙获胜概率为，两者不相等，故不公平． 故答案为：不公平． 【变式3】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【答案】(1) (2) 6 (3) 摸出红球和黄球的可能性不相同，游戏不公平．　 理由如下： 放入2个红球后，总球数为（个）， 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出两种球的可能性不同，游戏不公平． 【分析】（1）利用大量重复试验的频率稳定值估计概率，计算摸到黄球的频率即可； （2）根据黄球的概率公式列分式方程求解白球数量； （3）分别计算摸出红球和黄球的概率，比较概率大小判断可能性与游戏公平性． 【详解】（1）解：∵ 重复摸球试验200次，摸到黄球80次， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为； （2）解：由（1）可知，摸到黄球的概率为， ∴袋子中总球数为（个）， ∴袋子中白球的数量为（个）． （3）略． 一、单选题 1．（26-27七年级上·河北秦皇岛·开学考试）有一个正方体，其中一面涂上红色，两面涂上绿色，三面涂上黄色，小明向上抛出正方体，落下后向上一面的颜色为（     ） A．红色 B．绿色 C．黄色 D．无法确定 【答案】D 【分析】随机事件的结果具有不确定性，可能性大不代表必然发生． 【详解】解：正方体六个面中，红色面、绿色面、黄色面，抛出后落下时向上一面的颜色是随机事件， 落下后向上一面三种颜色均有可能出现， 无法确定具体结果． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）已知事件：①小明去公交车站的路上经过一个十字路口，正好是绿灯；②小明到达公交车站时，公交车正在驶来．下列说法正确的是（     ） A．①是随机事件，②是必然事件 B．①②都是必然事件 C．①是必然事件，②是随机事件 D．①②都是随机事件 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：①经过十字路口时，信号灯颜色不确定，正好是绿灯可能发生也可能不发生，是随机事件； ②到达公交车站时，公交车是否驶来不确定，正在驶来可能发生也可能不发生，是随机事件； 故①②都是随机事件 ． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有个，除颜色外其他完全相同，一名同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率分别稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：由题意可得，盒子中白色球有：（个）． 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）．转出的汉字为“我”的概率是（     ） 如 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率公式即可求解． 【详解】 解： 转盘被分成等份，其中标有“我”字的有份， 转出的汉字为“我”的概率是． 5．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（     ） A．2000 B．2500 C．3500 D．4000 【答案】B 【分析】先计算各次试验“针与直线相交”的频率，确定出随着抛掷次数的增加，频率趋于稳定的值的大小，最后将这一数值乘以8000，即可求解． 【详解】解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，， ，， 随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为， 该数值最接近． 二、填空题 6．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国的第五大发明”．小兰购买了五张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”“惊蛰”和“芒种”各一张，每张邮票的形状、大小、背面图案都相同，将它们洗匀后背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是_____． 【答案】 【分析】根据题意确定所有等可能的结果数和恰好抽到“立春”的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好抽到“立春”的结果有种， 从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是． 7．（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据频率估计概率，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；故③正确，①错误； 当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数可能是；故②错误； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620；故④正确； 综上正确的是③④. 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据概率公式分别求出取出两种公仔的概率，再观察折线图中频率的稳定值，将两者进行对比即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，箱子中共有公仔（个）， 则取出A型公仔的概率为，取出B型公仔的概率为 观察折线统计图可知，随着试验次数的增加，该种公仔出现的频率在至之间波动并趋于稳定， ∵在至之间，而不在该范围内， ∴该折线图所反映的频率最有可能是型公仔． 10．（25-26七年级下·四川达州·期末）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为 __________．（π取3） 【答案】 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 【详解】解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 三、解答题 11．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为A、B、C三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张不在同一区域观看比赛的概率． 【答案】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再找到两人不在同一区域观看比赛的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能的结果，其中小明和小张不在同一区域观看比赛的结果有6种， ∴小明和小张不在同一区域观看比赛的概率为． 12．（2026·江苏常州·中考真题）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． (1)任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． (2)先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可． （2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，任意抽取1张卡片，共有3种等可能性结果，抽到每张卡片的可能性是相同的， 抽到“马”的概率为． （2）解：画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果有2种， 抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率为． 13．（25-26七年级下·宁夏·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 a 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 b 0.948 (1)补全表格中的数据，__________，__________，并估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1)1427，0.949，0.95 (2) (3)5个 【分析】（1）根据表格数据，用频率估计概率和频率公式即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出x个黑球，则放入x个黄球，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由得， ， ∵随着抽取的彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， ∴估计这批彩色弹力球“优等品”概率的值大约是0.95； （2）解：从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有（种），且每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴从袋子中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 14．（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校随机抽取部分学生进行了你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）的问卷调查．并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)参加问卷调查的学生人数是__________人，扇形统计图中D对应扇形的圆心角的大小为__________；补全条形统计图． (2)若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有 人； (3)现从喜好编导表演的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率． 【答案】(1)，，补全条形图如下， (2) (3) 【分析】（1）用最喜欢B的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用360度乘以最喜欢D的人数占比即可求出扇形统计图中对应扇形的圆心角的大小；求出样本中最喜欢A的人数，进而求出样本中最喜欢C的人数，即可补全条形图； （2）用1500乘以样本中最喜欢C的人数占比即可得到答案； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好甲和丁同学被选到的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴参加问卷调查的学生人数是240人， ∴扇形统计图中对应扇形的圆心角的大小为， ∴喜欢的人数为（人）， ∴喜欢的人数就为（人）， 图略； （2）解：∵样本中喜欢的人数就为（人）， ∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有（人）； （3）解：树状图如下， 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种， ∴恰好甲和丁同学被选到的概率为． 15．（26-27九年级上·全国·单元复习）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用概率公式，符合条件数量除以总数量； （2）画树状图列举全部等可能结果，统计含华罗庚图案的结果数，求出概率． 【详解】（1）解：共有张卡片，其中是数学家刘徽邮票图案的有张， 故抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． （2）解：从，，，四张卡片中随机抽取张卡片，画树状图如下：           共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有种结果， 故（小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 一、单选题 1．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”这一事件是（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据不同类型事件的定义判断该事件的类型即可． 【详解】解：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的不确定事件． 又∵随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，结果不确定， ∴该事件是随机事件． 2．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）小明将分别印有“凉”“都”“六”“盘”“水”的五张卡片，装在一个不透明的盒子中，它们除印的字不同外其余完全相同．从中任意抽出一张卡片，抽出印有“凉”字的卡片的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】一共有5张卡片，任意抽1张，总共会出现5种不同的抽取结果， 印着“凉”字的卡片只有1张，也就是符合要求的抽取结果只有1种， 抽出印有“凉”字的卡片的概率，就是符合要求的结果数占全部结果数的比例， 所以所求概率是． 3．（25-26七年级下·广东清远·期末）清远特产英红九号是一种根系发达，移栽成活率高的茶树．某研究院跟踪调查了在春季移栽的英红九号树苗的成活情况，得到如下表格：由此可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是（     ） 移栽数量/棵 200 400 600 800 1000 1200 成活率 87% 93% 91% 89% 90% 90% A．80% B．85% C．90% D．95% 【答案】C 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率越接近真实概率，观察表格中成活率的稳定情况即可得到估计概率. 【详解】解：∵大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，且移栽数量越多，结果越可靠， 由表格可知，随着移栽数量增加，英红九号树苗移栽成活率逐渐稳定在， ∴可估计英红九号移栽树苗成活的概率大约是. 4．（25-26七年级下·山西晋中·期末）同学们开展“探访世界文化遗产”主题活动，制作了四张印有文化遗产标识的卡片（除内容外，其余完全相同），正面分别印有：中国平遥古城、意大利威尼斯水城、中国云冈石窟、希腊雅典卫城，并将这四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽到中国文化遗产卡片的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足条件“抽到中国文化遗产卡片”的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】∵ 共有4张卡片，分别为中国平遥古城、意大利威尼斯水城、中国云冈石窟、希腊雅典卫城， 所有等可能的结果共有4种，其中属于中国文化遗产的卡片有“中国平遥古城”和“中国云冈石窟”这2张， ∴ 抽到中国文化遗产卡片的结果有2种， ∴ 抽到中国文化遗产卡片的概率为． 5．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列说法正确的是（     ） A．从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较小 B．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 C．张彩票中有1张奖票，人去摸，先摸的人比后摸的人中奖概率大 D．小强连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，3次都是正面朝上是随机事件 【答案】D 【分析】根据相关知识点逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A：在1,2,3,4,5这5个数中，奇数有3个，偶数有2个，，取得奇数的可能性更大，A错误； B：“水中捞月”是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不是随机事件，B错误； C：10张彩票中有1张奖票，每个人摸到奖票的概率都是，中奖概率和摸奖顺序无关，C错误； D：连续抛掷硬币3次都是正面朝上，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，D正确． 二、填空题 6．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）景区文创盲盒里装有6个民族徽章、4个山水徽章、1个动物徽章，随机抽取一枚，抽到________徽章可能性最大，动物徽章数量占徽章总数量的________（填分数）． 【答案】 民族 【分析】所占数量越多，抽到的可能性越大，求动物徽章占总数量的分数，用动物徽章数量除以徽章总数量即可． 【详解】解：①∵ 民族徽章数量是，山水徽章数量是，动物徽章数量是， ∴ ，民族徽章数量最多，随机抽取时抽到民族徽章的可能性最大； ②∵ 徽章总数量为：（枚）， ∴ 动物徽章数量占徽章总数量的． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个扇形，每个扇形上分别写有“10元”、“20元”和“谢谢”的字样．自由转动转盘，当转盘停止时，顾客可获得指针所指扇形相应金额的代金券．转动一次转盘，顾客获得代金券的概率为________． 【答案】0.75 【详解】解：当转盘停止时，指针落在白色区域的概率为. 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物，并记录正确识别的次数．下表是多次测试过程中的一组统计数据： 测试次数m 50 100 200 400 500 1000 正确识别次数n 43 88 182 358 450 901 正确识别频率 0.860 0.880 0.910 0.895 0.900 0.901 由表中数据估计，该系统可以正确识别障碍物的概率为________．（结果保留一位小数） 【答案】 【详解】解：由表格中的数据可得，随着测试次数不断增大，该系统正确识别障碍物的频率逐渐稳定在附近， 因此估计该系统可以正确识别障碍物的概率为． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为_________． 【答案】 【分析】设小方格的边长为，观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成，求出阴影部分总面积，再除以方格纸的总面积即可得出概率． 【详解】解：设小方格的边长为，则方格纸的总面积为． 观察图形可知，阴影部分由9个小方格组成， 阴影部分的总面积为， 飞镖落在阴影部分的概率为． 10．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 三、解答题 11．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的列表可知，两球上的数字之和为的结果数有种 ∴乙获胜(记作事件）的概率 ∵ ， ∴甲获胜的概率小于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【分析】（1）根据题意，画出树状图，即可得到所有等可能的结果，进行解答，即可； （2）根据树状图，得到甲乙双方的获胜概率，进行解答，即可． 【详解】（1）解：树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种，即：，， ∴甲获胜(记作事件）的概率； （2）略． 12．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． (1)小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________； (2)小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明和小莉两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体中，将石蕊溶液滴入食用碱溶液呈现蓝色，小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； （2）解：将装有蒸馏水，白醋溶液，食用碱溶液，柠檬水溶液的个烧杯分别记为列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表知，共有种等可能的结果，将石蕊溶液滴入溶液中，食用碱溶液呈现蓝色，白醋溶液、柠檬水溶液呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有种结果，一杯变红、一杯变蓝的概率为 13．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 14．（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）为迎接党的二十大胜利召开，我市组织了形式多样的主题教育，某校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现．现将该校九年级学生成绩统计如图所示． (1)该校九年级共有 名学生，“D”等级所占圆心角的度数为 ； (2)m的值为 ，请将条形统计图补充完整； (3)学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】(1)500， (2)40； (3)解：此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中选甲乙的有8种结果，选丙丁的有4种结果， ∴P（选甲乙），P（选丙丁）． 又∵， 此规则不合理． 【分析】（1）利用“总数量部分数量对应百分比”，即可解答；利用“圆心角的度数”，即可得出答案； （2）根据题意先求出“B”等级的人数，据此即可补全条形统计图；进一步得出“B”等级所占百分比，即可得出m的值； （3）根据题意画出树状图，得出所有可能出现的结果，再由概率公式求出选甲乙的概率和选丙丁的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，总人数为：（人）， “D”等级所占圆心角的度数为． （2）解：由题意得，“B”等级的人数为：（人）， ∴“B”等级所占百分比为：，   ∴； 图略． （3）略 15．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】(1)抽奖箱中白球的个数为15个； (2)从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； (3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设抽奖箱中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以抽奖箱中剩余球的总个数即可． 【详解】（1）解：抽奖箱中红球的个数为（个）， 则抽奖箱中黄、白球的总个数为（个）， 设抽奖箱中白球的个数为x个， 则， 解得， ∴抽奖箱中白球有15个； （2）解：由（1）知，抽奖箱中黄球的个数为个， 所以从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $