专题2.2 用频率估计概率 概率的简单应用（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦“用频率估计概率”核心知识点，前承古典概率（结果有限且等可能），后接概率实际应用（如游戏公平性、数量估算），明确频率与概率的联系与区别，强调大量重复试验下频率的稳定性，构建从理论到应用的完整学习支架。 该资料特色在于结合生活情境设计8类题型（如转盘抽奖、保险业应用），通过试验数据（如树苗移植成活统计、色盲概率估算）培养数据意识和模型观念，课中助力教师引导学生用数学思维分析随机现象，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升用概率知识解决实际问题的能力。

专题2.2 用频率估计概率 概率的简单应用 教学目标 1. 理解当试验次数足够大时，频率具备稳定性，掌握用频率估计概率的方法，区分频率与概率的联系与区别。 2. 能够运用频率估计概率、古典概率公式解决游戏公平性、估算数量等实际问题，建立概率模型，提升数据分析能力。 3. 在试验与问题探究中感受随机现象的特点，能用概率思维分析生活场景，形成理性判断，体会概率的实用价值。 教学重难点 1.重点 （1）理解频率稳定性规律，掌握利用大量重复试验的频率估计随机事件概率的基本方法，能规范开展相关计算。 （2）灵活运用概率知识解决简单实际应用问题，会判断游戏规则是否公平，能借助概率对实际问题进行合理估算与简单决策。 2.难点 （1） 理解随机性与规律性的辩证关系，明白单次试验结果不确定，但大量重复试验后频率趋向稳定，突破对随机现象的认知误区。 （2）从复杂生活情境中提炼概率模型，合理选择频率估计概率或公式计算概率，运用概率结果做出科学、合理的分析与决策。 知识点01 频率与概率 1、频率与概率 定义 频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2、频率与概率的关系 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 要点： （1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即学即练】1．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用频率估计概率时，当试验次数足够大，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率，据此解答即可． 【详解】解：观察统计图，随着移植数量增加，成活频率逐渐稳定在附近，因此可以估计树苗移植成活的概率为． 2．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查了用列举法求事件的概率，游戏的公平性，正确理解题意是关键．通过列表列举所有可能结果，计算双方获胜概率，并比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】解：根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， ， 因此游戏公平． 故答案为：公平． 3．为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字不同外，其余完全相同．七年级学生想知道盒子中“国学常识”的卡片数量，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡次数 50 100 150 200 250 300 摸到“国学常识”的卡片次数 16 29 46 60 b 90 摸到“国学常识”的卡片频率 0.32 0.29 0.31 a 0.30 0.30 (1)填空：表中________（保留两位小数），________； (2)根据表中数据，估计从盒子中任意摸出一张卡片摸到“国学常识”卡片的概率（保留一位小数）． 【答案】(1)，； (2)0.3 【分析】（1） 由频率=频数总次数，可分别求出和的值． （2） 观察表中频率随摸卡次数增大的变化趋势，当试验次数足够大时频率趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】（1）解：频率， ， 第5列频率为0.30，摸卡次数为250， ． （2）解：观察表中频率数据： 0.32，0.29，0.31，0.30，0.30，0.30， 随着摸卡次数的增大，频率在0.3附近波动并趋于稳定， 估计从盒子中摸到“国学常识”卡片的概率为0.3． 题型01 求某事件的频率 【典例1】（2026·山西吕梁·二模）在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出所有等可能的摸球结果，找出颜色相同的结果数，计算出对应概率，多次试验的频率会稳定在概率附近，据此即可得到答案． 【详解】解：记两个红球分别为，白球为，黄球为． ∵从中一次摸出两个球，所有等可能结果为： ， ， ， ， ， ，共种等可能的结果， 其中摸到两个球颜色相同的结果只有种，即 ， ∴摸到两个颜色相同的球的概率为 ． 根据频率估计概率，多次重复试验后，频率会稳定在概率附近，因此频率最可能接近． 【点睛】 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点，当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率的稳定范围，即可估计的值． 【详解】解：∵当试验次数逐渐增大时，频率会稳定在事件发生的概率附近，观察表格给出的频率，可知发芽频率稳定在附近，范围在之间， ∴时，频率应接近该稳定范围，选项中只有符合要求． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率是事件发生次数与总试验次数的比值，计算即可． 【详解】解：出现点数6的次数为5次，总试验次数为20次， 频率． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【答案】 【详解】解：这串数字 中，共有个数字，其中数字出现了次，则出现的频率为． 题型02 由频率估计概率 【典例1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】B 【分析】以抽取体检表数较大时的频率稳定值为依据，估计男性患色盲的概率． 【详解】解：当抽取的体检表数时，色盲患者的频率稳定在附近， 因此估计男性患色盲的概率为． 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制了如图的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（     ） A．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是的倍数 B．从一副扑克牌中抽到一张黑桃的扑克 C．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 D．一个装有个红球、个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】A 【分析】先求出这个实验的概率，再利用概率公式计算选项中每个事件的概率，由此即可得． 【详解】解：由频率分布折线图可知，试验频率在之间波动，并趋于稳定，稳定值约为，即这个实验的概率． A、掷一个正六面体的骰子共有6种等可能的结果，其中，朝上点数是的倍数有3和6两种结果，则这个事件的概率为，符合题意； B、从一副扑克牌中抽取一张扑克共有54种等可能的结果，其中，从一副扑克牌中抽到一张黑桃的扑克的结果有13种，则这个事件的概率为，不符合题意； C、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书共有4种等可能的结果，其中，取到的是《西游记》的结果有1种，则这个事件的概率为，不符合题意； D、一个装有个红球、个黑球的袋子中任取一球共有种等可能的结果，其中，取到的是红球的结果有4种，则这个事件的概率为，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【答案】 【分析】大量重复试验中，频率稳定后的值可作为概率的估计值，观察表格中试验次数增大后的频率即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验次数不断增加，次品的频率逐渐稳定在，则任意抽取一只乒乓球是次品的概率估计值是． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，小明发现操场上有一个不规则的封闭图形，他在封闭图形内画出了一个圆，向封闭图形内掷石子，投掷结果记录如表所示，根据表中数据，随机投掷一个石子，落在圆内的概率为______．（结果保留2位小数） 掷石子的总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 … 石子落在圆内的次数 61 93 165 246 759 996 1503 … 石子落在圆内的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 … 【答案】 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，结合表格中的数据即可得到答案． 【详解】解：由表格的数据可知，随着试验次数的增加，石子落在圆内的频率逐步稳定在附近， ∴石子落在圆内的概率约为． 题型03 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（25-26七年级下·河北邯郸·期中）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【分析】用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可． 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为，可得该事件的概率约为； A：∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为 ，符合要求； B：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C：∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D：∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为 ，不符合要求． 【变式1】（2026·广东茂名·一模）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据频率与总球数的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设盒子中红球有个 ∵ 口袋中总球数为，大量试验后摸到红球的频率稳定为，即摸到红球的概率为 ∴ 列方程得 得， 解得： 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计盒子中大约有红球2个． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【答案】24 【分析】利用白球的频率和个数求出总数，即可得出黑球的个数． 【详解】解：根据题意可知白球的概率为， （个）， （个）， ∴估计游戏中黑球的个数为24个． 【变式3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 【答案】30 【分析】根据表格数据估计摸到黑球的概率，再结合球的总数求得黑球的数量即可． 【详解】解：由表可知，随着摸球次数增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，因此可估计摸到黑球的概率为， 所以黑球的个数约为个． 题型04 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例1】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 【变式1】（2025九年级下·北京·专题练习）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【答案】10 【分析】本题考查了利用概率计算随机事件发生的平均次数．根据概率的意义，事件A平均每200次发生的次数等于试验次数乘以概率，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵事件A发生的概率是， ∴大量重复试验中，平均每200次发生的次数为， 故答案为：10． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 题型05 概率在保险业中的应用 【典例1】（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 【变式1】（2026九年级下·全国·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【答案】(1) (2)不低于元 【分析】本题主要考查了概率的应用，频率估计概率： （1）根据频率估计概率解答即可； （2）设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：估计长途客车一次行驶的失事概率． （2）解：设保险公司应该向每位乘客收取x元保险费，行驶n次， 由题意可得：， 解得：， 答：保险公司应该向每位乘客收取不低于元的保险费． 【变式2】（2026九年级下·全国·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 【答案】(1)10 (2) (3)元 【分析】本题主要考查了频数分布表，求概率，求平均数： （1）用100减去出险次数为0，1，3，4，的频数，即可求出m的值； （2）求出本年度保险费不高于基本保险费的频数，再根据概率公式计算即可； （3）根据平均数的公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：10； （2）解：本年度保险费不高于基本保险费的频数为：， ∴其本年度保险费不高于基本保险费的概率； （3）解：续保人本年度保险费的平均值（元）． 题型06 概率在转盘抽奖中的应用 【典例1】（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 【变式1】（24-25九年级下·河北石家庄·阶段检测）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 【变式2】（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【答案】 【详解】解：指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，结果有“骐骐”，“骥骥”，“驰驰”，“骋骋”，共4种等可能的结果，其中指针仍回到“骥骥”所在区域的结果为1种， ∴指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 【答案】 【分析】转盘被平均分成9等份，共有9种等可能结果，小于7的数字有6个，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字， ∴共有9种等可能的结果， ∵小于7的数字有1，2，3，4，5，6，共6个， ∴小明转出的数字小于7的概率为． 题型07 概率在比赛中的应用 【典例1】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 【变式2】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 【变式3】（2026·河南平顶山·一模）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 题型08 游戏的公平性 【典例1】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果， 其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种， ∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为． ∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大， 故选：D． 【变式2】（25-26六年级下·上海松江·期末）小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】根据概率公式计算双方获胜的概率，比较概率是否相等即可得出结论． 【详解】解：抛掷骰子，共有这种等可能的结果， 其中素数为，共种结果， 因此姐姐打扫的概率为， 不是素数的结果为，共种结果， 因此小军打扫的概率为， 双方概率相等，因此规定对小军公平． 【变式3】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． (1)想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (2)想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (3)想让游戏公平，要选择 转盘玩． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何概率的意义及应用，熟练掌握几何概率的大小与对应区域面积占比的关系是解题的关键． （1）想让团团获胜的可能性大，则指针停在阴影区域的概率要大，则选转盘； （2）想让圆圆获胜的可能性大，则指针停在白色区域的概率要大，则选转盘； （3）由于转盘指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大，所以想让游戏公平，要选择转盘． 【详解】（1）解：因为转盘中阴影区域的面积比白色区域的面积大， 所以指针停在阴影区域的概率大，则想让团团获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （2）解：因为转盘中白色区域的面积比阴影区域的面积大， 所以指针停在白色区域的概率大，则想让圆圆获胜的可能性大，要选择转盘玩； 故答案为：； （3）解：因为转盘的阴影区域的面积与白色区域的面积一样，指针停在白色区域的概率和指针停在阴影区域的概率一样大， 所以想让游戏公平，要选择转盘玩． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 【答案】A 【详解】解：抛掷同一枚啤酒瓶盖次为大量重复试验，已知“凸面向上”的频率约为， 可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为． 2．（2026·广东清远·三模）粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把昭君出塞卡片记为，帝女花卡片记为，紫钗记卡片记为，花木兰卡片记为， 树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为：． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用能获得购物券的区域数除以区域总数即可得到答案． 【详解】解：， 故她获得购物券的概率是． 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】大量重复试验后，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率，观察表格中频率的稳定趋势即可求解． 【详解】解：观察表格可得，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为． 5．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，在大量重复试验下，事件发生的频率会趋近于某个数附近，这个数即概率． 根据概率的意义，事件发生的可能次数等于概率乘以实验次数，求解即可． 【详解】解：事件发生的概率为，进行1000次独立重复实验， 事件发生的次数约为， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 【答案】公平 【分析】计算双方获胜的概率，比较概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平． 【详解】解：任意掷一次骰子，共有6种等可能的结果，掷出1和掷出2的概率都是， 哥哥与弟弟获胜的概率是完全相等的，都为，因此这个游戏公平． 8．（25-26八年级下·河北张家口·期末）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中红球的个数为______． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为，结合总球数计算白球个数，进而即可求解． 【详解】解：通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， 由频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又袋中白球和红球共个， 估计袋中白球的个数为：， 估计袋中红球的个数为． 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 【答案】 【分析】由图②得小球落在不规则图案内的概率约为，求出矩形的面积，再根据小球落在不规则图案内的概率估计其面积即可． 【详解】解：由图②得，小球落在不规则图案内的概率约为， 由题意得矩形的面积为， 设不规则图案的面积为，则， ∴， ∴不规则图案的面积大约为． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 200 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 338 435 530 624 718 814 901 发芽种子频率 0.935 0.845 0.870 0.883 0.891 0.898 0.904 0.901 则估计该作物种子发芽的概率为_______（精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】根据多次试验的频率估计概率解答． 【详解】解：由频率估计概率可得所求的概率是0.9． 三、解答题 11．（21-22九年级下·云南曲靖·期中）五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 【答案】(1) 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，， (2)解：游戏对甲乙两位同学公平，理由如下： ∵组成的两位数是的倍数的结果有，，共种， ∴甲同学去的概率为 ， ∵组成的两位数是7的倍数的结果有，，共种， ∴乙同学去的概率为 ， ∵甲同学去的概率和乙同学去的概率相等， ∴这个游戏对甲乙两位同学公平． 【分析】（1）运用列表法列出所有情况即可． （2）分别计算甲乙同学去的概率，再进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，运用列表法可得       个位数 十位数                　 　 　 　 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，． 12．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）根据概率求出符合要求的个数． 【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是； （2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个）， 所以（个）， 所以需要再将3个空白扇形涂上颜色． 13．（25-26七年级下·陕西西安·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 (1)填空：表中（精确到0.01），； (2)根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率表计算和的值； （2）大数次重复试验中，频率的稳定值即为概率的估计值． 【详解】（1）解：当，时，； 当，频率为时，； （2）解：观察表格可知，随着摸棋子次数增大，摸到白棋的频率逐渐稳定在附近，因此估计随机摸出一枚棋子摸到白棋的概率为． 14．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_____名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】(1) (2)补全条形统计图如图所示： (3) (4)名 【分析】（1）利用喜欢娱乐的人数除以所占比例即可得出一共调查的学生的人数； （2）先求出喜欢阅读的人数，即可补全条形统计图，利用乘以喜欢阅读的人数所占的比例即可得出结果； （3）用喜欢阅读的人数除以总人数即可得出结果； （4）用乘以爱好运动的学生人数所占的比例即可得出结果． 【详解】（1）解：在这次研究中，一共调查了名学生； （2）解：喜欢阅读的人数为（名）， 图略； 阅读部分圆心角是； （3）解：由题意可得，选出的恰好是爱好阅读的学生概率是； （4）解：（名）， 故估计全校爱好运动的学生人数为名． 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：随着抛掷次数不断增大，“正面朝上”的频率逐渐稳定，当抛掷次数足够大后，频率稳定在， 根据用频率估计概率的原理，估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球 C．掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上 D．转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域 【答案】A 【详解】解：由题干折线统计图可得，当试验次数很多时，频率稳定在， A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数的概率为，故A符合题意； B、从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球的概率为，故B不符合题意； C、掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上的概率为，故C不符合题意； D、转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域的概率为，故D不符合题意． 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 【答案】A 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 5．（25-26七年级下·广东清远·期末）某农业技术站为估计一批大豆种子的发芽率，随机抽取若干种子进行重复发芽试验，随着试验种子数量的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.91附近．下列说法正确的是（     ） A．这批种子的发芽率一定等于0.91 B．抽取100粒种子，一定有91粒发芽 C．当试验种子数量很大时，可用频率估计发芽概率 D．再做一次发芽试验，发芽频率一定还是0.91 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定后的频率估计概率，频率具有随机性，概率是稳定的固有属性． 【详解】解：A、频率稳定在附近，只能估计这批种子发芽率约为，并非一定等于，故A错误； B、频率具有随机性，抽取粒种子时，发芽的种子数不一定为粒，故B错误； C、根据统计规律，当试验种子数量很大时，可用稳定的发芽频率估计种子的发芽概率，故C正确； D、频率具有随机性，再次试验得到的发芽频率不一定为，故D错误． 二、填空题 6．（25-26七年级下·广东佛山·期末）在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 【答案】 【分析】根据大量重复试验中频率可估计概率，用总小球数乘以摸到白球的频率即可估计白球个数． 【详解】解： 小球总个数为，摸到白色小球的频率稳定在， 口袋中白球的个数估计为， 可估计口袋中白球的个数是个． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）数学学习小组做某油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 “该批油菜籽发芽”概率的估计值是________（精确到）． 【答案】 【分析】根据大量重复试验下，频率的稳定值即为概率的估计值，观察表格中频率的稳定值即可求解． 【详解】解：由表格可知，随着试验次数不断增加，该批油菜籽发芽的频率稳定在附近，因此“该批油菜籽发芽”概率的估计值为． 8．（25-26六年级下·上海普陀·期末）小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查游戏公平性的判断． 判断游戏公平性需要计算双方获胜的概率． 概率相等则规则公平，否则不公平． 分别求出双方获胜的概率，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵骰子六面的数字为1，2，3，4，5，6． 其中6的因数为1，2，3，6，共4个． ∴小海获胜的概率为，小华获胜的概率为， ∵双方获胜的概率不相等，所以这个规则不公平． 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 【答案】25 【分析】大量反复试验下频率的稳定值即为概率，根据统计图得到频率的稳定值，进而得到摸到白球的概率，再根据概率公式估计白球的数量即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐步稳定在附近， ∴摸到白球的概率约为， ∴估计盒子里白球有个． 10．（25-26九年级下·山西太原·阶段检测）小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色）：如图为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成面积相等的4份和3份．游戏者同时转动两个转盘，转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是根据题意，用树状图列出所有等可能结果，进行解答，即可． 【详解】解：树状图如下： 共种等可能结果，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的结果有种，即有种结果可以配成紫色； ∴转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为：． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东济宁·期末）暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：转盘均分12份，红色占1份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （2）解：转盘均分12份，黄色占2份，故任意转动一次转盘获得元的概率为； （3）解：转盘均分12份，绿色占3份，故任意转动一次转盘获得元的概率为. 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 13．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 14．（24-25七年级下·广东茂名·期中）研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个白球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号的球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号的球的频率 0.25 0.22 0.19 (1)请你完成上表中数据，并估计摸到有记号的球的概率是多少？（结果精确到0.1） (2)估计盒中共有球多少个？没有记号的球有多少个？ 【答案】(1)补全表格中摸球次数为500、800、1000时对应的频率依次为、、；估计摸到有记号的球的概率为 (2)估计盒中共有球个，没有记号的球有个 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数求出表格中对应的频率，再根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值可得对应的概率； （2）根据概率公式计算球的总数，进而可求出没有记号的球的个数． 【详解】（1）解：，，； 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到有记号的球的频率逐步稳定在附近， ∴估计摸到有记号的球的概率是； （2）解：个， 个， 答：估计盒中共有球个，没有记号的球有个． 15．（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 用频率估计概率 概率的简单应用 教学目标 1. 理解当试验次数足够大时，频率具备稳定性，掌握用频率估计概率的方法，区分频率与概率的联系与区别。 2. 能够运用频率估计概率、古典概率公式解决游戏公平性、估算数量等实际问题，建立概率模型，提升数据分析能力。 3. 在试验与问题探究中感受随机现象的特点，能用概率思维分析生活场景，形成理性判断，体会概率的实用价值。 教学重难点 1.重点 （1）理解频率稳定性规律，掌握利用大量重复试验的频率估计随机事件概率的基本方法，能规范开展相关计算。 （2）灵活运用概率知识解决简单实际应用问题，会判断游戏规则是否公平，能借助概率对实际问题进行合理估算与简单决策。 2.难点 （1） 理解随机性与规律性的辩证关系，明白单次试验结果不确定，但大量重复试验后频率趋向稳定，突破对随机现象的认知误区。 （2）从复杂生活情境中提炼概率模型，合理选择频率估计概率或公式计算概率，运用概率结果做出科学、合理的分析与决策。 知识点01 频率与概率 1、频率与概率 定义 频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2、频率与概率的关系 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 要点： （1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即学即练】1．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 2．冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）． 3．为弘扬中华传统文化，学校准备开展“国学知识挑战赛”．张老师将7张写有“成语故事”和若干张写有“国学常识”的卡片放入一个不透明的盒子中，这些卡片除上面的字不同外，其余完全相同．七年级学生想知道盒子中“国学常识”的卡片数量，于是他们将卡片搅匀后从中任意摸出1张卡片，记下卡片上面的字后放回，不断重复上述过程，获得数据如表： 摸卡次数 50 100 150 200 250 300 摸到“国学常识”的卡片次数 16 29 46 60 b 90 摸到“国学常识”的卡片频率 0.32 0.29 0.31 a 0.30 0.30 (1)填空：表中________（保留两位小数），________； (2)根据表中数据，估计从盒子中任意摸出一张卡片摸到“国学常识”卡片的概率（保留一位小数）． 题型01 求某事件的频率 【典例1】（2026·山西吕梁·二模）在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率（精确到） 小明发现当每批粒数为时，发芽的频数不小心被墨水遮盖，请你根据所学知识估计值最可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 题型02 由频率估计概率 【典例1】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【变式1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制了如图的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（     ） A．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是的倍数 B．从一副扑克牌中抽到一张黑桃的扑克 C．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 D．一个装有个红球、个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表，从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是次品的概率估计值是________．（精确到） 抽取的乒乓球数 次品的频数 次品的频率 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，小明发现操场上有一个不规则的封闭图形，他在封闭图形内画出了一个圆，向封闭图形内掷石子，投掷结果记录如表所示，根据表中数据，随机投掷一个石子，落在圆内的概率为______．（结果保留2位小数） 掷石子的总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000 … 石子落在圆内的次数 61 93 165 246 759 996 1503 … 石子落在圆内的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501 … 题型03 用频率估计概率的综合应用 【典例1】（25-26七年级下·河北邯郸·期中）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【变式1】（2026·广东茂名·一模）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）在一次摸球游戏中共有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为__________个． 【变式3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 题型04 利用概率计算随机事件发生的平均次数 【典例1】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【变式1】（2025九年级下·北京·专题练习）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若事件A发生的概率是，大量重复做这种试验，事件A平均每200次发生______次． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 题型05 概率在保险业中的应用 【典例1】（2025·西藏阿里·一模）某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【变式1】（2026九年级下·全国·专题练习）某客运公司的长途客车每车次约有40名乘客．某保险公司在网上对长途客车行驶过程中的事故情况进行了调查（下表是其调查结果），该保险公司要为乘客保险，许诺客车一旦出事故，向每位遇难乘客赔偿万元人民币．（假设每次事故有的幸存者，每车次平均有的乘客买保险） 长途客车行驶的次数 10010 20010 30000 40000 出事故的次数 2 4 6 8 (1)估计长途客车一次行驶的失事概率； (2)在（1）的估计值的条件下，平均来说，保险公司应该向每位乘客如何收取保险费呢？ 【变式2】（2026九年级下·全国·专题练习）某险种的基本保险费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，保险公司规定：续保人本年度的保险费与其上年度出险次数有关，具体规定如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 本年度保险费（元） 小明随机调查了该险种的100名续保人在上年度的出险情况，得到如下尚不完整的统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 频数 30 30 m 15 10 5 (1)　　； (2)在这100名续保人中随机抽取1名续保人，求其本年度保险费不高于基本保险费的概率； (3)请估计续保人本年度保险费的平均值．（结果用含a的代数式表示） 题型06 概率在转盘抽奖中的应用 【典例1】（2026·河北石家庄·一模）如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·河北石家庄·阶段检测）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北十堰·二模）2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案，电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机旋转转到圆盘区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按一次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为_____． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图是一个均匀的可以自由转动的转盘，被平均分成9等份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动如图所示的转盘，则小明转出的数字小于7的概率为________． 题型07 概率在比赛中的应用 【典例1】（2025九年级上·山西晋中·专题练习）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【变式2】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【变式3】（2026·河南平顶山·一模）某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 题型08 游戏的公平性 【典例1】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【变式1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（    ） A．这个游戏小刚获胜的可能性最大 B．这个游戏小刚获胜的可能性最小 C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大 D．这个游戏对三人是公平的 【变式2】（25-26六年级下·上海松江·期末）小军和姐姐用抛掷骰子的方法决定谁打扫房间，姐姐规定，掷到素数姐姐打扫，否则小军打扫．你觉得姐姐的规定对小军__________．（填“公平”或“不公平”） 【变式3】（2025九年级下·北京·专题练习）如图，有，，三个转盘，团团和圆圆做转盘游戏，指针停在阴影区域团团胜，在白色区域圆圆胜． (1)想让团团获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (2)想让圆圆获胜的可能性大，要选择 转盘玩； (3)想让游戏公平，要选择 转盘玩． 一、单选题 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（     ） A．0.47 B．0.50 C．0.51 D．0.53 2．（2026·广东清远·三模）粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共个．将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下表是试验中统计的数据．若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率约为（     ） 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率（结果保留三位小数） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东威海·自主招生）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）在某实验中，已知事件A发生的概率为，那么进行1000次这种实验，事件A发生的次数约为______次． 7．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）家里只剩一块儿巧克力了，哥哥和弟弟都想得到它，妈妈给他们一个骰子，让他们设计一个游戏，获胜的就得到巧克力．哥哥说“掷出2时哥哥胜，掷出1时弟弟胜，若掷出其它数字就再掷一次，直到掷出1或2”，弟弟说这不公平，2比1大．你认为这个游戏公平吗？填空：________．（填“公平或不公平”） 8．（25-26八年级下·河北张家口·期末）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中红球的个数为______． 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积．他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为_______． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子个数 200 400 500 600 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 338 435 530 624 718 814 901 发芽种子频率 0.935 0.845 0.870 0.883 0.891 0.898 0.904 0.901 则估计该作物种子发芽的概率为_______（精确到0.1）． 三、解答题 11．（21-22九年级下·云南曲靖·期中）五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？       个位数 十位数                　 　 　 　 12．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 13．（25-26七年级下·陕西西安·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 (1)填空：表中（精确到0.01），； (2)根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 14．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图， 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_____名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_____； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东泰安·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（     ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是3的倍数 B．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中，随机摸出一个球，摸到白球 C．掷出一枚均匀的硬币，落地后国徽面朝上 D．转动如图转盘，转盘停止后，指针停在黑色区域 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（    ） A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 5．（25-26七年级下·广东清远·期末）某农业技术站为估计一批大豆种子的发芽率，随机抽取若干种子进行重复发芽试验，随着试验种子数量的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.91附近．下列说法正确的是（     ） A．这批种子的发芽率一定等于0.91 B．抽取100粒种子，一定有91粒发芽 C．当试验种子数量很大时，可用频率估计发芽概率 D．再做一次发芽试验，发芽频率一定还是0.91 二、填空题 6．（25-26七年级下·广东佛山·期末）在一个不透明的口袋中，装有黑色、白色的小球共个，小球除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是_________个． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）数学学习小组做某油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 “该批油菜籽发芽”概率的估计值是________（精确到）． 8．（25-26六年级下·上海普陀·期末）小海、小华和张老师一起进行掷骰子游戏．骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字．骰子由张老师掷出，如果朝上的数字是6的因数，小海胜；否则就是小华胜．你认为这个规则公平吗？_____________．（填“公平”或“不公平”） 9．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把球放回，不断重复上述过程，如图是摸到白球的频率折线统计图．估计盒子里白球有______个． 10．（25-26九年级下·山西太原·阶段检测）小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色）：如图为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成面积相等的4份和3份．游戏者同时转动两个转盘，转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为__________． 三、解答题 11．（25-26七年级下·山东济宁·期末）暑假期间，某书城为了招揽顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成份），并规定：读者每购买元图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得元、元、元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． (1)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (2)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ； (3)写出任意转动一次转盘获得元的概率为 ． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 13．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 14．（24-25七年级下·广东茂名·期中）研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个白球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号的球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号的球的频率 0.25 0.22 0.19 (1)请你完成上表中数据，并估计摸到有记号的球的概率是多少？（结果精确到0.1） (2)估计盒中共有球多少个？没有记号的球有多少个？ 15．（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $