第6章 第5讲 数列中的子数列问题(配套作业)-【名师带你过关】2026-2027学年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦子数列生成与求和，通过等差等比结合、插入项构造、集合元素合并等题型，强化原数列性质到新数列构建的推理逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公共项子数列|2题|等差等比数列公共项构成新数列求通项及和|基于原数列基本量计算，通过项值关系确定公共项规律| |插入项构造子数列|3题|在原数列项间插入特定项形成新数列求和|分析插入项数量与位置，结合原数列求和公式推导新数列和| |集合合并子数列|1题|两集合元素排序构成新数列求项数及和|通过元素互异性与大小比较确定数列构成，体现数据观念| |综合型|1题|前n项和与等差数列结合求子数列和|以Sn与an关系为基础，构建子数列项与和的模型|

第6讲　数列中的子数列问题 (限时训练:30分钟) 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.(2025·南阳模拟)已知等比数列的公比与等差数列的公差均为2,且a1=b1+2=2,设数列满足cn=n∈N*,则数列的前20项的和为 (　　) A. B. C. D. 2.已知集合A={x|x=2k1,k1∈N*},B={x|x=,k2∈N*},将A∪B中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列,设数列的前n项和为Sn,若am=27,则m的值为　　　　,S50的值为　　　　.  3.在各项均为正数的等差数列中,a3=13,a1,a2-2,a5成等比数列,保持数列中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个3,使它们和原数列的项构成一个新的数列,记的前n项和为Tn,则T90=　　　　.  4.(2025·长春模拟)设Sn为数列的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),数列的通项公式为bn=4n+3(n∈N*),将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列,则数列的通项公式为　　　　.  5.已知等差数列的前n项和为Sn,为等比数列,且a1=b1=1,S4=b5,a2+a3=b4. (1)求数列,的通项公式; (2)若在bk与bk+1之间依次插入数列中的k项,构成新数列{cn}:b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,b4,…,记该数列的前n项和为Tn,求T70. 6.设Sn为数列的前n项和,已知a1=1,S4=10,且为等差数列. (1)求的通项公式; (2)若bn=求的前2n项和T2n. 7.(2025·天津模拟)已知等比数列的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2(n∈N*). (1)求数列的通项公式; (2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列. ①求数列的通项公式及; ②在数列中是否存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲　数列中的子数列问题 【A级基础夯实】 1.B　2.16; 2 282　3.348　4.dn=32n+1(n∈N*) 【B级能力进阶】 5.(1)解:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 由a1=b1=1,S4=b5,a2+a3=b4, 得解得 故an=1+2(n-1)=2n-1,bn=1×2n-1=2n-1. (2)由题意可知新数列中,bk项(含bk)之前共有1+2+3+…+(k-1)+k=项, 令≤70,由于k∈N*,则k≤11,当k=11 时,=66, 即新数列的前70项中,含有中的前11项,含有中的前59项,故T70=(a1+a2+…+a59)+(b1+b2+…+b11)=59×1+×2+=5 528. 6.(1)解:设等差数列的公差为d,a1=S1=1,所以-=3d, 即-1=3d,解得d=, 所以=1+(n-1),即Sn=, 当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-=n, 又a1=1满足上式,所以an=n. (2)由(1)知bn= 则T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(1+3+5+…+2n-1)+=+×=n2+-. 7.(1)解:当n≥2 时,an=2Sn-1+2,所以an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an,则an+1=3an, 因为为等比数列,所以等比数列的公比为3, 当n=1 时,a2=2S1+2=2a1+2, 所以3a1=2a1+2,解得a1=2, 所以an=2·3n-1(n∈N*). (2)①dn===,所以数列的通项公式为dn=. =×32(n-k)=×. 设Tn==, 所以Tn=, 两式相减得Tn===, 所以Tn=. ②假设存在满足题意的3项, 因为dm,dk,dp成等比数列,所以=dm·dp,即=·=. 因为m,k,p成等差数列,所以2k=m+p, 所以=, 所以(k+1)2=(m+1)(p+1)=mp+m+p+1=mp+2k+1,整理可得k2=mp, 又k2=,所以mp==, 即(m-p)2=0,解得m=p,与题设矛盾. 所以假设不成立,即不存在满足题意的3项. 学科网（北京）股份有限公司 $