专题02 不等式与基本不等式（专项训练）（全国通用）2027年春季高考数学

专题02 不等式与基本不等式 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 不等式的性质 2 题型02 解不等式 3 题型03 基本不等式 4 03 分层训练・达标过关 6 巩固过关 6 能力提升 8 1、 解答不等式的基本思路是： （1）等价变形化简：依据不等式性质，移项、通分、因式分解，把不等式整理成标准形式；注意乘除负数、分母含未知数时不能直接乘除，要移项通分。 （2）找零点定分界：求出对应方程的根（零点），把实数轴划分成若干区间。。 （3） 判断区间符号：结合函数图像或代入测试点，判断每个区间内式子正负，写出解集； 最后检验端点能否取等号。 2、 解答基本不等式的基本思路是： （1）定结构：识别式子能否写成正数相加、乘积为定值，或是正数相乘、和为定值；必须先确认各项>0，不满足要换元、变号处理。 （2）凑定值：对代数式配凑（拆项、添项、系数调整），凑出“和定积最大，积定和最小”的形式；凑完检查等号成立条件。 （3）验等号：求出等号成立时变量取值，若取值在题目定义域内，最值有效；取不到等号，则改用函数单调性求解。 口诀：一正、二定、三相等 题型01 不等式的性质 不等式的性质的解题技巧 （1）作差（或作商）比较法 比较两个式子大小，优先算：A-B>0则A>B； 若都是正数，也可比较A/B>1则A>B。 （2）用性质时要盯住“方向”和“正负” 同向可加：a>b， c>d，则a+c>b+d。 正数同向可乘：a>b>0，c>d>0则ac>bd。 注意： 两边乘或除以负数要变号；不能随便把两个同向不等式相减或相除。 （3）遇到含参数、选择题，先移项、通分、因式分解；判断不清时可取特殊值排除错误选项。 1．（2024·福建·合格考）（多选）如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】举反例可排除AB，根据二次函数的性质可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于D，，由基本不等式“”，得,D正确. 2．（24-25·云南·合格考）已知，，都是实数.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于AB，，，A正确，B错误； 对于CD，当时，，都无意义，CD错误. 故选：A 3．（2024·云南·学业水平考试）已知a、b、c都是实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 【详解】因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确； 对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误； 对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：A. 题型02 解不等式 解不等式的解题技巧 （1）一元二次不等式中，最好让二次项系数为正；如果为负，两边变号时，不等号方向也要反过来。 （2）分式不等式中不能直接乘分母，因为分母正负不确定。先移项、通分，整理成一个大分式大于零或小于零。分母为零的点一定不能取；分子为零的点看原题有没有等号。 （3）绝对值不等式中：形如绝对值小于一个正数，可以转化成夹在中间的范围。 形如绝对值大于一个正数，可以转化成两边分开的范围。 1．（2026·广东·春季高考）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用因式分解解一元二次不等式. 【详解】∵，∴， ∴ 即不等式的解集为． 故答案为：. 2．（2025·江苏·合格考）若，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，，都有，结合可求得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，，都有，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 3．（2024·江苏·合格考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由分式不等式小于0得出分子、分母异号，进而把分式不等式转化为整式不等式，解不等式求解集． 【详解】，分式的分子、分母异号，即，解得， 不等式的解集为，故C正确． 故选：C． 4．绝对值不等式的解集为________.. 【答案】 【分析】两边平方转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，整理得，解得或， 所以的解集为. 故答案为： 题型03 基本不等式 基本不等式的解题技巧 （1）先看“一正” 基本不等式通常要求两个量都是正数，做题先检查条件，不是正数时，先变形或说明范围。 （2）再凑“二定” 和一定，积最大；积一定，和最小。常见方法是拆项、配系数、加一项减一项，把式子凑成能直接用基本不等式的形式。 （3）最后验“三相等” 用完基本不等式，一定要看等号能不能取到。等号取不到，就不能直接说那个最值成立。 1．（25-26·云南·合格考）若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】由基本不等式求得最小值. 【详解】∵，∴， ∴，当且仅当，即时，取等号， 故答案为：. 2．（24-25·云南·合格考）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 3．（2026·广东·春季高考）已知，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求最值即可. 【详解】因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立. 故选：C. 4．（2024·江苏·合格考）若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 【答案】D 【分析】设矩形的长为，宽为，根据面积得，结合基本不等式求得周长的最小值． 【详解】设矩形的长为，宽为，周长为，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：D. 巩固过关 1．已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 【答案】B 【详解】取 ，，，，则 ，故A错误； ，，两边同除以 得 ，故B正确； 取 ，，，，则 ，故C错误； 由知，，所以， 在不等式的两边同时乘以得， 然后在不等式的两边同时乘以得，故D错误． 2．（2026·广东·合格考模拟）不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式可化为，则解集为， 故选：A. 3．（24-25·云南·合格考）若，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】首先利用平方差公式分解因式，再根据一元二次不等式与方程的关系，即可求解. 【详解】，方程的两根分别是和2， 所以不等式的取值范围是. 故答案为： 4．（2025·江苏·合格考）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求出函数的最小值. 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 5．（2024·云南·学业水平考试）若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ， 当 ，即 时取等号，最小值为 ． 能力提升 1．若实数满足，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质，分别求出和的取值范围，再通过同向不等式的可加性计算的取值范围. 【详解】已知实数满足，， 对不等式，可得； 对不等式，可得； 将上述两个不等式相加，得，即，故的取值范围为. 2．（2024·福建·合格考）设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据二次不等式解法解出，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断． 【详解】或， 则，， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 3．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】原不等式等价于，即， 解得，即不等式的解集为. 4．已知，则取得最小值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故取得最小值时，． 5．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由“1”的代换，转化为基本不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号，结合可得此时. 所以的最小值为. 6．（多选）下列命题中，正确的是（   ） A．的最小值是4 B．如果，那么 C．如果，那么 D．的最小值是2 【答案】BC 【分析】选项A需满足；选项B由可得，；选项C由可得，利用不等式性质即可；选项D运用基本不等式求最值时取不到等号. 【详解】选项A中，若，则无最小值，所以错误； 选项B中，如果， 则，，所以，所以正确； 选项C中，若， 则，则，所以正确； 选项D中，令，则， 当且仅当即时取到最小值，该方程无实数解，所以D错误. 7．不等式 的解集为_______． 【答案】 【详解】原不等式可化为 ，即 ， 也即，解得， 故不等式 的解集为. 8．解下列不等式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）不等式化简得：，所以该不等式的解集为： （2）不等式化简得：，或，所以该不等式的解集为： （3）将不等式转化为，所以该不等式的解集为： 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与基本不等式 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 2 题型01 不等式的性质 2 题型02 解不等式 2 题型03 基本不等式 3 03 分层训练・达标过关 4 巩固过关 4 能力提升 4 1、 解答不等式的基本思路是： （1）等价变形化简：依据不等式性质，移项、通分、因式分解，把不等式整理成标准形式；注意乘除负数、分母含未知数时不能直接乘除，要移项通分。 （2）找零点定分界：求出对应方程的根（零点），把实数轴划分成若干区间。。 （3） 判断区间符号：结合函数图像或代入测试点，判断每个区间内式子正负，写出解集； 最后检验端点能否取等号。 2、 解答基本不等式的基本思路是： （1）定结构：识别式子能否写成正数相加、乘积为定值，或是正数相乘、和为定值；必须先确认各项>0，不满足要换元、变号处理。 （2）凑定值：对代数式配凑（拆项、添项、系数调整），凑出“和定积最大，积定和最小”的形式；凑完检查等号成立条件。 （3）验等号：求出等号成立时变量取值，若取值在题目定义域内，最值有效；取不到等号，则改用函数单调性求解。 口诀：一正、二定、三相等 题型01 不等式的性质 不等式的性质的解题技巧 （1）作差（或作商）比较法 比较两个式子大小，优先算：A-B>0则A>B； 若都是正数，也可比较A/B>1则A>B。 （2）用性质时要盯住“方向”和“正负” 同向可加：a>b， c>d，则a+c>b+d。 正数同向可乘：a>b>0，c>d>0则ac>bd。 注意： 两边乘或除以负数要变号；不能随便把两个同向不等式相减或相除。 （3）遇到含参数、选择题，先移项、通分、因式分解；判断不清时可取特殊值排除错误选项。 1．（2024·福建·合格考）（多选）如果，那么下面不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25·云南·合格考）已知，，都是实数.若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·学业水平考试）已知a、b、c都是实数，若，则（   ） A． B． C． D． 题型02 解不等式 解不等式的解题技巧 （1）一元二次不等式中，最好让二次项系数为正；如果为负，两边变号时，不等号方向也要反过来。 （2）分式不等式中不能直接乘分母，因为分母正负不确定。先移项、通分，整理成一个大分式大于零或小于零。分母为零的点一定不能取；分子为零的点看原题有没有等号。 （3）绝对值不等式中：形如绝对值小于一个正数，可以转化成夹在中间的范围。 形如绝对值大于一个正数，可以转化成两边分开的范围。 1．（2026·广东·春季高考）不等式的解集为______． 2．（2025·江苏·合格考）若，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏·合格考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 4．绝对值不等式的解集为________. 题型03 基本不等式 基本不等式的解题技巧 （1）先看“一正” 基本不等式通常要求两个量都是正数，做题先检查条件，不是正数时，先变形或说明范围。 （2）再凑“二定” 和一定，积最大；积一定，和最小。常见方法是拆项、配系数、加一项减一项，把式子凑成能直接用基本不等式的形式。 （3）最后验“三相等” 用完基本不等式，一定要看等号能不能取到。等号取不到，就不能直接说那个最值成立。 1．（25-26·云南·合格考）若，则的最小值为_____. 2．（24-25·云南·合格考）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 3．（2026·广东·春季高考）已知，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024·江苏·合格考）若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 巩固过关 1．已知、、、，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 2．（2026·广东·合格考模拟）不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 3．（24-25·云南·合格考）若，则的取值范围为______. 4．（2025·江苏·合格考）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·学业水平考试）若，则的最小值为__________． 6．已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 能力提升 1．若实数满足，，则的取值范围是______． 2．（2024·福建·合格考）设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D． 4．已知，则取得最小值时，（     ） A． B． C． D． 5．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 6．（多选）下列命题中，正确的是（   ） A．的最小值是4 B．如果，那么 C．如果，那么 D．的最小值是2 7．不等式 的解集为_______． 8．解下列不等式． (1)； (2)； (3)． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $