专题02 几何图形中的旋转综合问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

专题02 几何图形中的旋转综合问题 常考题型·精准突破 题型1 线段绕某点旋转综合问题（重） 题型2 特殊三角形绕点旋转综合问题（高频） 题型3 矩形绕点旋转综合问题（难） 题型4 菱形绕点旋转综合问题（难） 题型5 正方形绕点旋转综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1线段绕某点旋转综合问题 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求证：． 【答案】(1)是等边三角形．理由见解析 (2) 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形； （2）证明，得到，，得，求出，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ， ， 即． 根据旋转的性质可得， 是等边三角形． （2）证明：由（1）可知和都是等边三角形， ，，． 在和中， ， ，， ． 又， ， ． 在中，， ， ． 2．（24-25九年级下·北京东城·开学考试）如图1，等腰直角三角形中，，D为边上一点，满足，连接，以点A为中心，将射线顺时针旋转90°，与过点B的垂线交于点E．    (1)依题意补全图1； (2)求证：； (3)若点B关于直线的对称点为F，连接． ① 则直线与直线所成夹角为________°，并证明． ② 若成立，直接写出的度数为_________°． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①45；②30 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，推得，根据旋转的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （3）①过点B作关于直线的对称点为F，连接,连接并延长与的延长线交于点，根据线段的垂直平分线的性质可得，令，等量代换可得，根据等边对等角的性质可得，即可求得； ②连接，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，由（1），可得，推得，根据线段的垂直平分线的性质可得，推得，设，推得，，且，即可求得，即可得到． 【详解】（1）根据题意补全图形，如图：    （2）∵是等腰直角三角形 ∴，， 即 ∵射线绕点A顺时针旋转90°得到 ∴ 即 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ （3）①过点B作关于直线的对称点为F，连接,连接并延长与的延长线交于点，如图：    ∵点B关于直线的对称点为F ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即直线与直线所成夹角为 ②连接，如图：    ∵是等腰直角三角形 ∴ 即 由（1）可得 ∴ ∴ 又∵点B关于直线的对称点为F ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∴ ∴ 故 解得 ∴ 3．（25-26九年级下·山东济宁·开学考试）在中，，，将线段绕点C旋转得到线段，连接、． (1)如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为 ； (2)将线段绕点C顺时针旋转， ①如图2，求的度数； ②如图3，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①；②．证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再由等腰直角三角形的性质得解； （2）①由旋转易得：，，则，根据，即可得解； ②过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质得垂直平分，由①知，，可得，根据得，，可得，证明，根据线段的和差即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，将线段绕点C旋转， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （2）①由旋转易得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②． 证明：如图所示，过点C作，交的延长线于点G， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ◆题型2 特殊三角形绕点旋转综合问题 4．（25-26八年级上·上海静安·期中）已知： 中，，，将绕点B按顺时针方向旋转．    (1)当转到边上点位置时，转到，（如图1所示）直线和相交于点，试判断线段和线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)仍然成立，理由见详解 【分析】（1）易证和都是等边三角形，从而可以求出，，进而可以证到； （2）过点作，交的延长线于点，由“”可证，可得； 【详解】（1）．理由如下：如图1， ， ，， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2）仍然成立：， 如图2：过点作，交的延长线于点，则，，    由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； 5．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）的度数不变，；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）以为边在的外部作等边三角形，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，过E作交的延长线于F，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：的度数不变， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边在的外部作等边三角形， ∴，， 由（2）知，， ∴， 过E作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 矩形绕点旋转综合问题 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）将矩形绕点顺时针旋转度（），得到矩形． (1)如图1，当点在上时，与交于点，求证： ①； ②、、在同一条直线上； (2)当时，求的大小． 【答案】(1)证明：①∵， ∴， ∵四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ②如图，连接． ∵四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴、、在同一条直线上． (2)或 【分析】（1）①欲证明，只要证明即可； ②连接，证明四边形是平行四边形，可得结论； （2）当时，点在的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据，即可得到旋转角的度数． 【详解】（1）略 （2）解：当时，点在的垂直平分线上， 分两种情况讨论， ①如图，当点在右侧时，取的中点，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴旋转角； ②如图，当点在左侧时，取的中点，连接交于点， 同理可得：是等边三角形， ∴， ∴旋转角． 综上所述，或． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使得点落在上，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，如果，求的长． (3)如图3，连接交于点，取的中点，连接，探究和的数量关系，说明理由； 【答案】(1)证明：∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴，， ∴，， ∴，即． (2) (3)解：，理由如下， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）可知，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【分析】（1）根据矩形及旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出结论； （2）过点作于，根据角的和差关系，结合（1）中结论得出，进而证明，得出，利用勾股定理求出，利用证明，得出，，利用勾股定理求出，即可得出答案； （3）根据矩形的性质得出，根据点是的中点，结合（2）中结论得出是的中位线，根据中位线的性质即可得出． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴ （3）解：略 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．如图1，矩形和矩形重合，，．矩形保持不动，将矩形绕点E逆时针方向旋转． (1)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形的顶点旋转至边上，求的长度； (2)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形，发现：当点落在的延长线上时，点、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由； (3)【深度探究】在（2）的条件下，如图4，连接交于点M，延长交的延长线于点N，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)正确，理由如下： 连接，， ∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴，， ， ． ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ，，在同一条直线上； (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）连接，，证明四边形是平行四边形，得到，然后结合即可求解； （3）连接，求出，，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形重合， ，， ， ； （2）略 （3）解：连接， 由（2）得四边形是平行四边形， ，． ， ． ，， ， ． 设， 在同一条直线上， ， 在中，利用勾股定理得，， ∴， 解得， ． ◆题型4 菱形绕点旋转综合问题 10．（2026·河南·中考真题）在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． (1)【观察猜想】 当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． (2)【探究证明】 当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】 当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)两个结论仍然成立．证明如下： 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， ，则， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，则， ， ，， ， ， ． (3)或． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，由旋转的性质，三角形内角和定理得到，是等腰直角三角形，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （2）根据菱形的性质，旋转的性质得到，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （3）结合（1），（2）的解析分类讨论：当点H在左边时，过点作延长线于点，由面积公式得到，根据解直角三角形的计算得到，由平角的定义即可求解；当点H在右边时，同理得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至，旋转角， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由上述证明得到，，， ∴，， 第一种情况，当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况，当点H在右边时，如图所示，过点作延长线于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·江苏泰州·三模）综合与实践： 已知菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点按顺时针方向在平面内旋转至菱形． (1)若旋转后与垂直如图1，则旋转角为______； (2)将旋转至与重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形在旋转过程中如图3，连接，，，为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)330 (2) (3)或或或 【分析】（1）先根据菱形性质及已知角度，确定相关角的度数并设交点，再由旋转后垂直关系，利用四边形内角和求出，从而得； （2）先作辅助线，依据菱形性质求相关线段长与三角形面积，再利用旋转性质推出角度与边长关系，算出另一三角形面积，进而得重叠部分面积； （3）根据题图分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， 设交点与交点为， ∵旋转后与垂直， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图： 连接、交于点，延长至点，连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，四边形由四边形旋转得到， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ． （3）解：本题分多种情况讨论： ①当，如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当，如图，延长至点， 当在左侧；连接、，设与交于， 在中， ∵ 四边形是菱形， ∴为、中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 当在右侧，连接、，设与交于， 根据上一情况可得：，，， ∴， ∴； ③当时，如图， 由①可知是等边三角形， ∵ 四边形由四边形旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， ∴，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上，或或或． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位：），旋转后的菱形为，在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决． 观察证明： (1)如图1，若旋转角，与相交于点M，与相交于点N，请写出与的数量关系，并说明理由； 操作计算： (2)如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为 ； (3)如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3)2 【分析】（1）由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，，，证明，即可得到； （2）连接交于点O，证明是等边三角形，，可求出，得到；证明，得到三点共线，则可得到； （3）连接，证明是等边三角形，得到；可证明，，由三线合一定理得到，则为的中位线，据此可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图2所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； （3）解：如图3所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． ◆题型5 正方形绕点旋转综合问题 13．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，有两个边长均为a的正方形与正方形，且正方形的顶点E为正方形两条对角线的交点． (1)试判断与的大小关系．当正方形绕点E旋转变化时，这种关系是否保持不变？ (2)如果正方形的边长为，（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断并给出证明． 【答案】(1)，保持不变 (2)解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 四边形与四边形都是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵当正方形绕点E旋转变化时， ∴虽然的大小发生了变化，但始终， 各正方形的边长，对角线始终没有变， ∴仍然成立， ∴保持不变． 【分析】（1）根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等即可得证，利用旋转的性质即可得出它们保持不变； （2）根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等即可得证，利用旋转的性质即可得出它们保持不变． 【详解】（1）解：，保持不变． 四边形与四边形都是正方形， ， ， ， 在和中， ， ； ∵当正方形绕点E旋转变化时， ∴虽然的大小发生了变化，但始终， 各正方形的边长，对角线始终没有变， ∴仍然成立， ∴保持不变． （2）略． 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 15．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末）【课本再现】 (1)如图1，正方形的对角线交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积总有一个稳定不变的数量关系，即 ． 【深入探究】 在对（1）的实验与探究中，小新学习小组发现，正方形绕点转动的过程中，不仅两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积有一个稳定不变的数量关系，而且线段，，之间也一直存在某种数量关系．于是，小新学习小组对图1进一步探究． 小新说，我通过，将转化成，通过，将转化为，由正方形的性质得，根据勾股定理可推导出，，之间的数量关系是． 小红说，我有更简便的方法，我延长与交于点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系是． …… (2)【类比迁移】如图2，矩形对角线的交点是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)结论：， 证明：如图，延长交于，连接， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； (3)的长度为或 【分析】（1）先证明，可得，推出即可； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积 ， ∴； （2）略 （3）解：设， 当点在线段上时，连接， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转至，旋转角为，连接，，的角平分线交于点，连接． (1)当时，求旋转角的度数； (2)求证：为等腰直角三角形； (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明：在和中，， ， ，， 由（1）证得：， ， 且， ， 为等腰直角三角形． (3) 【分析】（1）由角平分线定义及等边对等角、正方形的性质求得，在中，根据，列得，即可求出； （2）先证明，推出，，进而得到，利用八字形求出，即可得到为等腰直角三角形． （3）过点作，根据等腰三角形的性质得到，由三角形内角和求出，由（2）可知，，证得为等腰直角三角形，得到，，即可得到答案． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 由旋转可得，且四边形为正方形， ，， ， ， 在中，，即， ． （2）略 （3）解：过点作， ， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 2．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点落在的延长线上，且，，，求的长； (2)如图2，绕点顺时针旋得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，且，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1) (2)线段，，之间存在的数量关系：； 证明： 由旋转可知，，旋转角， 如图，将绕点顺时针旋转，可使与重合，得到． ，即， 三点共线， 由旋转可知：，旋转角， 是等边三角形， ． 由旋转可知，旋转角，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， ， ． 【分析】（1）利用勾股定理分别在和中求出和的长，最后根据线段的和差关系求出的长． （2）将绕点顺时针旋转，得到，利用旋转得出是等边三角形，进而证明且；最后通过证明，将转化为，再结合得出最终结论． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ， ∵，点落在的延长线上， ， ∵， ，， ； 即的长为； （2）略 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)【特例感知】在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当，时，求长． (2)【猜想论证】在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①2；②10； (2)猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】（1）解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”，， ∴； （2）略． 4．（25-26八年级下·河北承德·期末）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形的外部时，连接，．求证：； (2)如图2，将（1）中正方形绕点旋转，使点落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，连接，若是的中点，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵正方形和正方形， ∴，，， ，即， ． (2)① ②．理由如下： 如图，连接， ∵正方形和正方形， ∴，， ， 是的中点， 是的中点， 由①可知， ， ， ， ， ∵． ． 【分析】（1）利用正方形的性质以及即可证明结论； （2）①如图，作于点，利用正方形的性质以及勾股定理可得、、，即；最后结合以及全等三角形的性质即可解答； ②如图，连接，利用正方形的性质以及勾股定理可得，由①可知以及直角三角形的性质可得，利用正方形的性质、勾股定理可得，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，作于点， ∵正方形和正方形， ∴，， ， ，， ，， ， ， 由（1）可知， ； ②，理由略． 5．（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 【答案】(1)150 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转至处，连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，证明四点共线，得，由勾股定理得，故可得结论； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，，即可得到，从而得到为等边三角形，，，根据两点之间线段最短得到，即可得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：把绕顶点旋转到处，连接，此时， ∴，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，； 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴四点共线， ∴， 在中，， ∴； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 6．（25-26七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的问题． 新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针做“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数______（用含有的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，如果，①______；②若再把长方形绕点顺时针做“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_______． (3)在长方形中，若，在第（1）（2）的条件下，经两次“对角旋转”后，点C的对应点分别为点和点，连接，且，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出，结合，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∴① 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴②， （3）解：如图 ， ， 由旋转可得：， ， ， ∴， ， . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02几何图形中的旋转综合问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1线段绕某点旋转综合问题（重） 题型2特殊三角形绕点旋转综合问题（高频） 题型3矩形绕点旋转综合问题（难） 题型4菱形绕点旋转综合问题（难） 题型5正方形绕点旋转综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1线段绕某点旋转综合问题 1. 【答案】(I)△BEC是等边三角形.理由见解析 (CE=3AE 【详解】(1)解：△BEC是等边三角形.理由如下： ,△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=60° ∠CBD=∠ABE, .∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE, 即∠CBE=∠ABD=60° 根据旋转的性质可得BE=BC, ∴△BEC是等边三角形. (2)证明：由(1)可知△ABD和△BEC都是等边三角形， AB=DB,∠BCE=∠BEC=60°，BE=BC AB=DB. 在 和 中， ∠ABE=∠DBC △ABE△DBC BE=BC, 1/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABE=△DBC(SAS)」 ∴AE=CD,∠DCB=∠AEB=150° ∴.∠DCE=∠DCB-∠BCE=90° 又：BE⊥DE, .∠BED=90° ∴.∠CED=∠BED-∠BEC=30° 在Rt△CDE中，DE=2CD」 :.CE=DE2-CD =(2CD)-CD =3CD, .CE =3AE. 2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①45：②30 【详解】(1)根据题意补全图形，如图： M B D (2):△ABC是等腰直角三角形 ∴.AB=AC,∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45° 即∠BAD+∠DAC=90° 射线AD绕点A顺时针旋转90°得到AE ∴.∠EAD=90° 即∠BAD+∠BAE=90° ∴.∠DAC=∠BAE 又.BM⊥BC,∠ABC=45° .∠ABE=45° ∴.△ADC≌△AEB ∴AD=AE (3)①过点B作关于直线AD的对称点为F,连接AF,连接CF并延长与AE的延长线交于点G,如图： 2139 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E B ·点B关于直线AD的对称点为F ∴.AF=AB=AC 设∠BAD=a,则∠FAD=a '∠EAD=90° ∴.∠GAC=∠FAD=C ∴.∠FAC=90°-2a 又，AF=AC ∠Ac=∠A0F=180-(90-2a-45+a 2 ∴.∠G=∠ACF-∠GAC=45°+a-a=45° 即直线AE与直线CF所成夹角为45 ②连接DF,如图： M E ,△ABC是等腰直角三角形 ∴.BC=√AB2+AC2=VAB2+AB2=V2AB 即BE+CF=V2AB=BC 由(1)可得△ADC≌△AEB ∴.BE=CD ..CF=BD 又，点B关于直线AD的对称点为F ∴.BD=DF .DF=CF 3/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设∠DBG=a,则∠DFG=a .∠CDF=∠DCF=2a .·∠FCA=∠CFA=∠DCF+45°=2a+45° .∠FAC=180°-2∠AFC-180°-2×(2a+45)=90°-4a ,∠DBG=a,则∠ABG=a+45° ∴.∠GAB=90°-(a+45）=45°-a ∴.∠BAF=2∠BAG=90°-2a ∴.∠FAC=90°-∠BAF=90°-(90°-2a)=2a 故∠FAC=90°-4a=2a 解得a=15° ∴.∠BAD=45°-a=30° 3. 【答案】(1)135 (2)①45°：②V2CE=2BE-AD.证明见解析 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段CA绕点C旋转(0°<a<90), .CD=CA=CB,∠ACD=a, .∠BCD=90°-&， ..CD=CA,CD=CB. :∠ADC=1809-a-90-g 2 2 ∠BDC-180°-(90°-a）-45+ 2 2, :∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°-g+45+g=135°： 2 2 故答案为：135°： (2)①由旋转易得：CD=CA=CB,∠ACD=&, ∠BCD=90°+a, .CD=CA,CD=CB, 1、.180°-000°_.∠BDC=22=45o- 2 2 2, ∠4D8=∠MDC-∠BDC=90-号45+号-45： 2 4/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②V2CE-2BE-AD」 证明：如图所示，过点C作CG∥BD,交EB的延长线于点G, E D B :BC=CD,CE平分∠BCD, .CE垂直平分BD, ∴.BE=DE,∠EFB=90°， 由①知，∠ADB=45°， .∠EBD=∠EDB=45°， .∠FEB=45° .BD∥CG, ∴.∠ECG=∠EFB=90°，∠G=∠EBD=45°， ∴.EC=CG,EG=√2EC, :∠ACE=90°-∠ECB,∠BCG=90°-∠ECB, ∴.∠ACE=∠BCG, 在△ACE和△BCG中， EC=CG ∠ACE=∠BCG AC=BC .△ACE≌aBCG(SAS), .AE=BG EG=EB+BG=EB+AE EB+ED-AD=2EB-AD, .V2CE=2BE-AD」 ◆题型2特殊三角形绕点旋转综合问题 4. 【答案】(I)AD=A'D,理由见详解 5/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)仍然成立，理由见详解 【详解】(1)AD=AD,理由如下：如图1， Rt△A'BC'≌Rt△ABC, .BC=BC',BA=BA', ∠ABC=∠ABC=60°， ∴△BCC'和△BAA都是等边三角形， ∠BAA'=∠BCC=60°， ∠A'CB=90°， .∠DCA=30°， ∠ACD=∠BC'C=60°， ∠ADC'=60°， .∠DA'C=30°， .∠DAC'=∠DC'A,∠DC'A=∠DAC', AD DC',DC'=DA', .AD=A'D: (2)仍然成立：AD=AD, 如图2：过点A作AE∥AC',交CD的延长线于点E,则∠1=∠2，∠E=∠3， E D. 人3 5 图2 由旋转可得，AC=A'C,BC=BC', .∠4=∠5 :∠ACB=∠A'CB=90°， ∠5+∠6=∠3+∠4=90°， .∠3=∠6， ∠E=∠6， :.AE=AC=A'C', 在△ADE与△A'DC'中， 6139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1=∠2 AE=A'C' ∠E=∠3 AADE≌△A'DC'(ASA), :AD=A'D; 5. 【答案】(I)BE=AD,BE⊥AD (2)(1)中的结论成立，理由见解析 (3)4V2-2或4V2+2 【详解】(1)解：，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， :.BC=AC,EC=DC,∠ACB=90°， .BC-EC=AC-DC, ..BE AD, .∠ACB=90°， .BE⊥AD, 故答案为：BE=AD,BE⊥AD: (2)解：(1)中结论仍然成立， 理由： 图2 由旋转知，∠BCE=∠ACD BC=AC,EC=DC, ∴.△BCE≌AACD .BE=AD,∠CBE=∠CAD. ∠ACB=90°， ∴∠CBE+∠BHC=90°， .∠CAD+∠BHC=90° 7/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'∠BHC=∠AHG .∠CAD+∠AHG=90°， .∠AGH=90°， BE⊥AD; (3)解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M, 图3 :△DCE是等腰直角三角形，且CE=2W2, .DE =CE2+CD2=4, CM⊥AD, .CM-EM-DE-2, 在Rt△ACM中，AC=6, ∴.AM=VAC2-CM2=42, .AE=AM-EM=42-2, 在Rt△ACB中，AC=6, AB=AC2+AB2=62, 在Rt△ABE中， BE=AB2-AE2=42+2: ②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N, 图4 :△DCE是等腰直角三角形，且CE=2V2, 8139 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=CE2+CD2=4, CN⊥AD, CN-EN-DE=2 在Rt△ACN中，AC=6, .AN=VAC2-CN2=4√2， ..AE=AN+NE=42+2, 在Rt△ACB中，AC=6, AB=AC2+AB2 =6V2, 在Rt△ABE中， BE=√AB2-AE2=4√2-2： 综上，BE的长为4W2-2或4V2+2. 6. 【答案】(1)见解析；(2)∠BOC的度数不变，∠B0C=60°；(3)V93 【详解】(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形， .AC=AB,AE=AD,∠CAB=∠DAE=60°， ∴.∠BAE=∠CAD 在△BAE与△CAD中， (AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD .△BAE≌aCAD(SAS): (2)解：∠BOC的度数不变， ,△ABC和△ADE都是等边三角形， .AC=AB,AE=AD,∠CAB=∠DAE=60°， ∴.∠BAE=∠CAD 在△BAE与△CAD中， (AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD 9139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BAE≌aCAD(SAS), ∴.∠ABE=∠ACD .∠AFB=∠OFC, .∠BOC=∠BAC=60°： (3)解：以AB为边在△ABC的外部作等边三角形ABE, D E------A B C 图3 ∴.BE=AB=4, ∠ABE=60° 由(2)知，△AEC≌△ABD, .CE=BD 过E作EF L BC交CB的延长线于F, ∠ABC=60°」 ∴.∠EBF=60°， .∠BEF=30° .BF-TBE-2,EF- 21 BE=25. BC=7, CF=9, ∴.CE=VEF2+CF2=√93， ∴.BD=CE=V3 ◆题型3矩形绕点旋转综合问题 7. 【答案】(I)证明：①，AB=AE, .∠ABE=∠AEB, ,四边形AEFG,四边形ABCD都是矩形， ∴.∠BAD=∠EAG=90°， 10/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MDE+∠ABE=90°，∠AEB+∠MED=90°， ,'∠ABE=∠AEB, ∴.∠MDE=∠MED, ∴.EM=DM. ②如图，连接AF. D M G E B 图1 ,四边形AEFG,四边形ABCD都是矩形， .BC=AD,EF=AG,CD/IAB 由旋转的性质得：AD=AG,BD=AF, .'AD=EF, EM=DM, .∴.MA=MF, ∴.∠MAF=∠MFA, .'∠MED=∠MDE,∠DME=∠AMF, .∠ADB=∠MAF, .BDI AF .BD=AF, ∴.四边形DBAF是平行四边形， ..DFIlAB ·CDIIAB, ∴.C、D、F在同一条直线上. (2)解：当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论， ①如图，当点G在AD右侧时，取BC的中点H,连接GH交AD于点M, 11/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G E M 图2 .GC=GB, .GH⊥BC, .∠HBA=∠BAM=90°， ∴.四边形ABHM是矩形， :AM -BH-TAD-14G, 2 :.GM垂直平分AD, .GD=GA=DA, .△ADG是等边三角形， .∠DAG=60°. ∴.旋转角α=60°； ②如图，当点G在AD左侧时，取BC的中点H,连接GH交AD于点M, 】 G-- H M 图3 同理可得：△ADG是等边三角形， .∠DAG=60°， ∴.旋转角a=360°-60°=300° 综上所述，a=60°或300°」 8 【答案】(I)证明：，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG, .AE=AB,∠ABC=90°， 12/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 L∠AEB=LABE=080°-ZBAB=90-2∠BME,∠ABE=90°-ZCBE ∠BAE=∠CBE,即∠BAE=2∠CBE: . (2)解：如图，过点B作BM⊥AE于M, ,将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG, .EF=AG=BC=3,∠GAE=∠DAB=∠C=90° .∠BAE+∠ABM=90°，∠CBM+∠ABM=90°， ∴.∠BAM=∠CBM, 由(1)可知，∠BAE=2∠CBE, .∠CBM=2LCBE, .∠CBE=∠MBE. ∠BME=∠C=90° 在 和 中， ∠MBE=∠CBE △BME△BCE BE=BE ∴.△BME≌aBCE(AAS), .BM=BC=AG=3, .AM=√AB2-BM2=V5-32=4, ∠GHA=∠BHM 在 和 中， ∠GAH=∠BMH=90°， △GAH△BMH AG=BM .△GAH≌△BMH(AAS) ÷GH=BH,M=AH-)AM=2, 2 .BH=VMH+BM2=V32+22=V13, ∴.BG=2BH=2W13 )解：Ⅲ=)F,理由如下， 2 13/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接GE, :四边形AEFG是矩形， AF=GE」 由(2)可知，BH=GH, 点I是BE的中点， .HⅢ是△BGE的中位线， 1 1 .HⅢ=5GE=AF 2 2 9. 【答案】【详解】(I)解：，矩形EFGH和矩形EFGH'重合， .EF=EF'=GH=10,∠H=90°， .F'H=√F'E2-EH2=8, GF'=HG-HF'=10-8=2: (2)正确，理由如下： 连接EG,HG, ,矩形EFGH和矩形EFGH'全等， .△F'EG'≌aEFH,EG'=FH,HG∥EF, .∠F'EG=∠EFH,EF=EF', ∴.∠F'EG'=∠EFF'=∠EF'F, .EG'∥FH EG'=FH, ∴四边形EFHG是平行四边形， .GH∥EF. 14/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :HG∥EF, ∴G,H,G在同一条直线上： (3)解：连接EG、HG, 由(2)得四边形EFHG是平行四边形， :.HM-EM-EH-3.GH-EF-10 2 EF=EF", .∠EFH=∠EF'H, :∠NHF'=∠FHE=90°-∠EFH,∠NF'H=∠NF'E-∠EF'H=90°-∠EF'H, .∠NF'H=∠NHF', ∴.HN=NF' 设HN=NF'=x, ∴G、H、G在同一条直线上， .∠GHN=90°， 在RtaG'HN中，利用勾股定理得，G'N2=G'H+HN2, .(6+x}=102+x2. 16 解得r= 3, :MN=HN+HM=16+3=25 3 3 ◆题型4菱形绕点旋转综合问题 10. 【答案】(1)60°：4 (2)两个结论仍然成立，证明如下： 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, ∴AB=AD=BC=4,AD∥BC, 15/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC=180°-∠BAD=60°， AB=AE, .AD=AE=AB, ∠BAE=a,则∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-&， ∴∠4EB=080P-∠B4E)=90-g,ABD=080-∠E4D)=080-(20-a]=30P+2, I-1o-∠AB-4m-1swr-(w-}(w+9}-6w, BE BH, .△BEH为等边三角形， .∠EBH=60°、 ∴.∠ABC=∠EBH,则∠ABC-∠CBE=∠EBH-∠CBE, .∠ABE=∠CBH、 BE=BH,AB=CB, .△ABE≌aCBH(SAS), ∴.AE=CH, ∴.CH=4 (3)15°或105°. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, .AB=BC=CD=AD=4,ADIl BC, .∠ABC=180°-∠BAD=60° ,将边AB绕点A逆时针旋转至AE,旋转角a=30°， .AB=AE=AD,∠BAE=30° ∠A8E=ABB=580°-∠B16)-=X180P-30r）=75, .∠CBE=∠ABE-∠ABC=75°-60°=15°， :.∠CBE+∠AEB=15°+75°=90°，即AE⊥BC, 设AE,BC交于点M, 16/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M H ADI/BC. .∠DAE=∠CME=90° ∴.△ADE是等腰直角三角形， .∠ADE=∠AED=45° .∠BEH=180°-∠AEB-∠AED=180°-75°-45°=60°， .BE BH, :.∠BEH=∠BHE=6O°，则△BEH是等边三角形 :∠ABE=75°，∠CBH=∠CBE+∠EBH=15°+60°=75° .∠ABE=∠CBH AB=CB,∠ABE=∠CBH,BE=BH, .△ABE≌aCBH(SAS). .CH=AE=4: (2)略 (3)解：由上述证明得到∠BCD=∠BAD=120°，AB=BC=CD=AD=AE=CH=4,△ABE≌ACBH, ∴.∠BAE=LBCH=a,∠DCH=∠BCD+∠BCH=l20°+a, 第一种情况，当点H在CD左边时，如图所示，过点H作HG⊥CD延长线于点G, D G S.DCH -CD-HG-42 17/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HG=2S,ncn_8 =22, CD 4 在RIACHG中，sin∠HCG=HC.22-2 CH42 .∠HCG=45°， .∠DCH+∠HCG=180°. .120°+a+45°=180°， 解得：α=15°： 第二种情况，当点H在CD右边时，如图所示，过点H作HG⊥CD延长线于点G, A G H 同理可得，HG=2√2， :sin∠HcG=HG_22-V2 CH42, .∠HCG=45° .∠BCG=180°-∠BCD=180°-120°=60°， :.∠BAE=a=∠BCH=∠BCG+∠HCG=60°+45°=105° 11. 【答案】(1)330 (2)3-5 (3)2或V6+V2或6-√2或25 【详解】(1)解：四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， .∠D=120°，∠B=∠B=120°， 设交点B'C'与CD交点为O, 18/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ,旋转后B'C与CD垂直， .∠DOB'=90° .∠DAB=360°-∠B'-∠D-∠D0B=30°， .∠BAB=∠DAB-∠DAB=30°， ∴.a=360°-∠BAB=330° (2)解：如图：连接AC、BD交于点O,延长AB至点C',连接D'B,BC与DC交于点E, D ,四边形ABCD是菱形， AC平分∠DAB,AC⊥BD, 、∠CMB=∠DAB=30. AB=2, .OB=1, AD'=2, 8mx2x1=1, :四边形ABCD是菱形，四边形AB'C"D'由四边形ABCD旋转得到， .AB=AD'=2,∠AD'C=∠ABC=120, ∴.∠ABD'=∠AD'B=75°，∠DBE=∠ED'B=45°， .∠D'EB=90° .BC⊥D'C', ,∠CAB=30°，∠ABC=120°， .∠ACB=30°， 19/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=2,OB=1,AC⊥BD. :A0=)4C=5 2 .CD'=AC-AD'=2V3-2, .ED'=V3-1, m5-小5-=2-5， S四边形AED=S.AD+S,B=3-V5 (3)解：本题分多种情况讨论： ①当BB=DB',如图，连接BD, D(B') D B A :四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,△ABD是等腰三角形， ∠DAB=60°， ∴.△ABD是等边三角形， ∴，BD=AD=AB=2, ∴.BB'=B'D'=BD=2: ②当BB=BD',如图，延长BA至点C', D D B 当B'D'在AD左侧：连接AC、D'B',设AC与D'B交于M, 在△BB'D'中， :四边形AB'CD是菱形， M为AC、D'B中点， 20/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MF--D8-1. .AB'=AB=2, ∴.AM=√AB2-MB2=√5， :.MB=MA+AB=2+3, BB'=VMB2+MB2=2√2+V5=V6+√2； 当B'D在AD右侧，连接AC、D'B',设AC'与DB交于N, 根据上一情况可得：B'N=B'M=1,AW=AM=V3,AB=2, .'NB=AB-AN=2-3 .BB'=√WB2+B'W2=2N2-V3=V6-√2： ③当BD'=BD'时，如图， D C 一1B B 由①可知△ABD是等边三角形， ,四边形AB'CD'由四边形ABCD旋转得到， ∴，△ABB是等边三角形， .AB'=BB', AB=AB',B'D'=BD, ∴.四边形AB'D'B是菱形， .AD'⊥BB,交于点O', :BO=)BB,A0=)4D=1, 21 2 .AB'=AB=2, .B'O=5, .BB=2B'O=2V3, 综上，BB=2或V6+V2或V6-2或23. 21/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12. 【答案】(I)解：DM=B'N,理由如下： D B 图1 :四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD」 .∠ADB=∠ABD, 由旋转的性质可得：AB'=AB,∠ABD=∠AB'D',∠BAD=∠B'AD', ∴.AD=AB',∠ADM=∠AB'N, 又，∠BAD-∠BAD'=∠B'AD'-∠BAD', ∴.∠DAM=∠B'AN, .△DAM≌aB'AN(ASA), .DM=B'N: (2)4V3-4 3)2 【详解】(1)略 (2)解：如图2所示，连接BD交AC于点O, D O D 图2 ,四边形ABCD是菱形， :.08-BD.4C-204ACLBD.4B=AD 2 .∠BAD=60°」 .△ABD是等边三角形，∠DAC=∠BAC=30°， 22/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD=AB=4,∠ADB=60°， .0B=2, .0A=VAB2-0B2=2N5, ..AC=43; 由旋转的性质可得∠AD'B'=∠ADB=60°，AD'=AD=AB=4, .B'D'⊥AB .∠BAD'=30°=∠BAC .AD、C三点共线， CD'=AC-AD=43-4. (3)解：如图3所示，连接BD, 图3 :四边形ABCD是菱形， .'AB=AD, :∠BAD=60°， .△ABD是等边三角形， ∴.BD=AB=4； 由旋转的性质可得AD'=AD, .AD'=AB .AE⊥DD',AF⊥BD', DE-D,Dr-号D, .EF为△BDD'的中位线， EF=BD=2 ◆题型5正方形绕点旋转综合问题 13. 23/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(I)AF=BH,保持不变 (2)解：(1)中的结论仍然成立，证明如下： :四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形， .EF=EH,EA=EB,∠FEH=∠AEB=90°， ∴.∠FEA+∠AEH=∠AEH+∠HEB, .∴∠FEA=∠HIEB, 在△FEA和△HEB中， EF EH ∠FEA=∠HEB EA=EB .aFEA≌aHEB(SAS), .AF BH. ,当正方形EFGH绕点E旋转变化时， ∴虽然∠FEA、∠HEB的大小发生了变化，但始终∠FEA=∠HEB, 各正方形的边长，对角线始终没有变， :.△FEA≌aHEB(SAS)仍然成立， ∴，AF=BH保持不变。 【详解】(I)解：AF=BH,保持不变， :四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形， .EF=EH,EA=EB,∠FEH=∠AEB=90° ∴.∠FEA+∠AEH=∠AEH+∠HEB, ∴.∠FEA=∠HEB, 在△FEA和△HEB中， 「EF=EH, ∠FEA=∠HEB, EA=EB, :.AFEA≌AHEB(SAS), .AF=BH; ,当正方形EFGH绕点E旋转变化时， ∴.虽然∠FEA、∠HEB的大小发生了变化，但始终∠FEA=∠HEB, 各正方形的边长，对角线始终没有变， 24139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·△FEA径aHEB(SAS)仍然成立， ∴.AF=BH保持不变， (2)略. 14. 【答案】(I)AP=CM,AP⊥CM (2)解：AP=CM,AP⊥CM,理由如下： ,四边形ABCD和四边形BMNP都是正方形， .AB=CB,BP=BM,∠ABC=∠PBM=90°， ∴.∠ABC+∠PBC=∠PBM+∠PBC,即∠ABP=∠CBM, 在△ABP和△CBM中， AB=CB ∠ABP=∠CBM BP=BM .△ABP≌aCBM(SAS), .AP=CM,∠BAP=∠BCM. 如图，设AP和BC交于点E, 由对顶角相等得：∠CEQ=∠AEB :.180°-∠CEQ-∠BCM=180°-∠AEB-∠BAP,即∠AgC=∠ABC=90°， .AP⊥CM (3)V7+1 【详解】(I)解：：四边形ABCD和四边形BMNP都是正方形， .AB=CB,BP=BM,∠ABC=∠PBM=90°， 在△ABP和△CBM中， AB=CB ∠ABP=∠CBM=90° BP=BM 25139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABP≌aCBM(SAS). .AP=CM,∠BAP=∠BCM, 如图，延长AP,交CM于点O, B 由对顶角相等得：∠OPC=∠APB. ∴.180°-LOPC-∠BCM=180°-∠APB-∠BAP,即∠COP=LABP=90°， .AP⊥CM ,AP和CM的数量关系为AP=CM,位置关系为AP⊥CM. (2)解：略。 (3)解：如图，连接BN,PM,交于点F, D ,四边形ABCD和四边形BMNP都是正方形，AB=2W2,BM=√2， CB=AB=22,MN=BM=2,BF=M-BN,BN⊥PM:∠BN=90·PMB=45: :BN=BM2+MN2 =2, ∴.BF=MF=1, .∠CMB=45° .∠CMB=∠PMB=45°， ∴如图，点P在CM上，此时点Q与点P重合， .BN⊥CM, ∴在Rt△BCF中，CF=VBC2-BF2=√7， .CM=CF+MF=7+1. 同理可得：AP=CM, :.AP=V7+1. 26/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15. 【答案】0 (2)结论：AE2+CF2=EF2, 证明：如图，延长EO交CD于G,连接FG, D G B C1 ,O是矩形ABCD的中心， 点O是AC的中点， .A0=C0 四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°，ABIICD ∴.∠BAO=∠DCO,∠AEO=∠CGO, :.△AEO≌aCGO(AAS) ..AE=CG,OE=OG. ,四边形ABCO是矩形， .∠40C=90°，即0F⊥EG,, ∴OF垂直平分EG, ..EF=FG, 在RtAFCG中，CG+CF2=GF2, AE2+CF2=EF2: 53 79 (3)cF的长度为8cm或24 m 【详解】(1)解：如图： C 27139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD和四边形ABCO均为正方形， ∴OA=OB,AB=BC,∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠AOC=90° .∠AOB-∠BOE=∠AOC-∠BOE,即∠AOE=∠BOF, .△AOE≌△BOF(ASA). S.40E=S.BOF :两个正方形重叠部分的面积S=SAOE+S△Or=SAO+S△MOE 1 1 =S△AOB= S,1 …S24 (2)略 (3)解：设CF=cm, 当点E在线段AC上时，连接EF, .AE =4cm,AC=5cm,BC=12cm, .'.CE=lcm, 在Rt△FCE中，∠C=90°， .'.CE2+CF2=EF2, 12+x2=EF2. 由(2)可得AE2+BF2=EF2, .42+BF2=EF2, .BF=(12-x)cm .42+12-x}2=12+x2, 53 解得：x= 8 53 ·此时线段CF的长度为gcm, 当点E在CA延长线上时，作BG⊥BC,交ED的延长线于G,连接EF、GF, 28/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B G 同理可得：EF2=AE2+BF2, EF2=42+(12-x2, 在Rt△FCE中，EF2=x2+(5+4), .42+(12-x}=x2+(5+4)}, 79 解得：x= 24’ 79 ∴此时线段CF的长度为24 m, 53 79 综上所述，线段cF的长度为8cm或24cm. 综合攻坚·知能拔這 1. 【答案】(1)45° DC=DE (2)证明：在 和 中， ∠CDF=∠EDF」 △DFC△DFE DF=DF :aDFC≌aDFE(SAS), FC=FE,∠DCF=∠DEF, 由(1)证得：∠DAE=∠DEA, ∴.∠DAE=∠DCF」 且∠DMA=∠CMF, 29139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠MFC=∠ADC=90°， ∴△CEF为等腰直角三角形. 0 (3)√2 【详解】(I)解：DF平分∠CDE, ∠mE=D-号 2 :DF=EF, ·∠FED=∠FDE=C 2 由旋转可得DE=DC,且四边形ABCD为正方形， CD=AD.∠ADC=90°. :AD=DE, ·∠DAE=∠DEF=C 2 aa 在AADE中，∠DAE+∠ADE+∠DEA=180°，即2+2 +90°+a=180° a=45° (2)略 (3)解：过点D作DH⊥AE, D E B C .DA=DE .AE=2HE, .DC=DE, :∠DEC=180°-a=90_ 2, 30139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)可知∠FBC=450, =5cE. 2 ·∠FED=45°- 2 .∠DFH=∠FDE+∠FED=45°， ∴△DHF为等腰直角三角形， .HF-DF 2 HE=BF+H那=2(CE+DP). 2 ..AE=2HE=(CE+DF), AE 2(CE+DF)-2. DF+CE CE+DF 2. 【答案】(1)16 (2)线段HN,MH,CD之间存在的数量关系：HN=MH+CD: 证明： 由△ABC旋转可知，AM=AC,∠AMN=∠ACB=∠ACD=90°，旋转角∠CAM=60°， 如图，将△ACD绕点A顺时针旋转60°，可使AC与AM重合，得到△AME. :∠AME=∠ACD=90°，即∠AMN+∠AME=180°， .N,M,E三点共线， F :E B 由△ABC旋转可知：AB=AN,旋转角∠BAN=60°， .△ABN是等边三角形， ∴.∠ANB=60° 由△ACD旋转可知，旋转角∠DAE=60°，AD=AE,ME=CD, 31/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ANB=∠DAE, .FN II AE, .∠FNH=∠AEH, FN=AD,AD=AE, .FN=AE. 在△FNH和△AEH中， [∠FHN=∠AHE ∠FNH=∠AEH, FN=AE :.△FNIH≌△AEH(AAS). .HN=EH,即HN=MH+ME, .ME=CD ∴.HN=MH+CD. 【详解】(I)解：，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM, .AB=AN=10, :∠ACB=90°，点N落在BC的延长线上， .∠ACN=90°， .AC=6. :BC=√AB2-AC2=V102-6=8,CN=VAW2-AC=V102-6=8, .BN=BC+CN=16: 即BN的长为16： (2)略 3. 【答案】(1)①2：②10： ②想40=C, 证明：如图，延长AD至点E使得AD=DE,连接B'E,C"E, 32/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B C 图1 :AD是△AB'C的中线， .'B'D=C'D .DE=AD, .四边形ABEC是平行四边形， .B'Ell AC" 、.B'E=AC'=AC,∠B'AC'+∠EBA=180 .a+B=180 .∠BAC'+∠BAC=180°， .∠EB'A=∠BAC, 在△EBA和△CAB中， (B'A=AB ,∠EBA=∠BAC, B'E=AC .△EB'A≌aCAB(SAS). .'AE=BC, 4D=方4=ac 【详解】(1)解：(1)①：△ABC是等边三角形， AB=AC=BC,∠BAC=60° ,△AB'C是△ABC的“旋补三角形”， .∠B'AB+∠C'AC=180° .∠BAC'=360°-180°-60°=120，AB=AB,AC=AC, .AB'=AC, .∠AB'D=30°， :AD为边BC上的中线， 33/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD⊥B'C, ∴.2AD=AB, ∴BC=AB=AB=2AD: ②：△AB'C是△ABC的“旋补三角形”， .∠B'AB+∠CAC=180°，AB=AB,AC=AC, .∠BAC+∠BAC=180° ,∠BAC=90°， .∠BAC'=∠BAC=90°. 在△AB'C'和△ABC中， (AB'=AB .∠BAC'=∠BAC AC=AC .△AB'C'≌aABC(SAS). .'B'C'=BC. :∠BAC'=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，AD=5, .BC=B'C=2AD=10: (2)略 【答案】(I)证明：正方形ABCD和正方形CEFG, ∠BCD=∠ECG=90°，BC=DC,CG=CE, ∴.∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG,即LBCG=∠DCE, .aBCG≌aDCE(SAS)」 (2)① BG=4②OG=,AB.理由如下 2 如图，连接BD, ,正方形ABCD和正方形CEFG, 34139 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CGE=∠CEG=∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD, BD=√AB+AD2=V2AB, :O是AC的中点， .O是BD的中点， 由①可知△BCG≌△DCE, ∴.∠CGB=∠CEG=45°， ∴.∠BGE=∠CGB+∠CGE=90°. ∴.∠BGD=180°-∠BGE=90°， :.0G=IBD 2 BD=BC2+DC2=BC2+BC2 =2BC=2AB. 0G=2 【详解】(1)略 (2)解：①如图，作CP⊥DE于点P, B :正方形ABCD和正方形CEFG, ..CD=AB=10,CE=CG=EF=2, .EG=CE2+CG2=2CE=2, CP⊥DE,CE=CG=V2」 .PC-PE-PG-EG=1ZCPD-9 PD=CD-PC-(o)-P=3, ∴.DE=PD+PE=4, 由(1)可知△BCG≌△DCE」 ..BG=DE=4. 35/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②0G- ② 2 AB,理由略。 5. 【答案】(1)150 (2)V7 ()va+c2 【详解】(I)解：把△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连接PP',此时△ACP'≌aABP, .AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠PAP'=60°，∠APB=∠AP'C, AP=AP,∠PAP'=60°， “△APP是等边三角形， .PP=3,∠APP=60°： 在△PPC中，Pp+PC=32+42=25,PC2=52=25, .PP2+P'C2=PC2, ∴aPP'C是直角三角形，∠PPC=90°， .∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+90°=150°， .∠APB=150°： (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°， .AB=2AC=2. .BC=AB2-AC2=3. 如图，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'OB处，连接OO', 141 ○ ∴.BO=BO,BA=BA=2,OA=OA,∠OBO=∠ABA=60°， .∠CBA'=∠ABC+∠ABA'=30°+60°=90° .B0=BO',∠OBO=60° .△OBO是等边三角形， .OB=O0',.∠B00'=∠B00=60°， 36/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=∠BOC=∠AOC=120° ∴.∠COB+∠BOO'=∠BOA+∠BO'0=120°+60°=180°， .C,O,O,A四点共线， ..0A+0B+OC=4'O'+00'+OC=CA' 在R△CBM中，CA=VBC+BMP=5+2-万， ..0A+OB+OC=7: (3)解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△'BP,连接PP,A'C, B ∠ABA'=∠PBP=6O°，AB=AB=C,BP=BP,AP'=AP, ∴.△BPP为等边三角形，∠ABC=∠A'BA+∠ABC=90°， ..BP=PP', ∴.PA+PB+PC=A'P'+PP+CP≥AC, ∴当且仅当A,P,P,C四点共线时，PA+PB+PC的值最小为A'C的长， .∠A'BC=90°， ∴.AC=VAB2+BC2=V匠+c, ∴.PA+PB+PC的最小值为Va+c2」 6. 【答案】(1)90°-u (2)①25°：②50°； 3)60 【详解】(1)解：由题意可知：“对角旋转角”为∠BAC,∠BAC+∠CAD=90°， ∴.∠BAC=90°-a, .对角旋转角为：90°-4， (2)解：如图， 37139 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B B(B C2 图2 ∠CAD=40°， 由旋转可知，∠DAC=∠D,AC. .∠DAC+∠CAD+∠DAC=90° :.∠DAC+∠DAC=90°-40°=50° .2∠DAC=50° ∴.①∠DAC=25° 由旋转可知，∠DAC=LD,AC2, .∠D2AC+∠DAC=50° .∠C2AD=∠C,AD2+∠CAD .②∠C2AD=50°. (3)解：如图 D D B(B B 0 C S.4CC =2.4S.ACG 24CBG=24×34C-DG, 由旋转可得：BC=BC,D2C2=AB」 38/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BC=2.4AB, .BC-AB=7, 2.4AB-AB=7, .AB=5,BC=12. ·S长方形AD=AB×BC=60 39139函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02几何图形中的旋转综合问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1线段绕某点旋转综合问题（重） 题型2特殊三角形绕点旋转综合问题（高频） 题型3矩形绕点旋转综合问题（难） 题型4菱形绕点旋转综合问题（难） 题型5正方形绕点旋转综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1线段绕某点旋转综合问题 1.(2026八年级下·全国专题练习)如图，在等边△ABD中，E为△ABD内一点，连接AE,BE,DE, 将线段BE绕点B顺时针旋转至线段BC的位置，连接CE,CD,已知∠CBD=∠ABE. C (1)判断△BEC的形状，并说明理由； (2)若BE⊥DE,∠AEB=150°，求证：CE=V3AE 2.(24-25九年级下·北京东城开学考试)如图1，等腰直角三角形ABC中，AB=AC,D为BC边上一点， 满足BD<CD,连接AD,以点A为中心，将射线AD顺时针旋转9O°，与过点B的垂线BM交于点E. 1/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M B D B D 图1 备用图 (1)依题意补全图1： (2)求证：AD=AE: (3)若点B关于直线AD的对称点为F,连接CF」 ①则直线AE与直线CF所成夹角为 °，并证明。 ②若BE+CF=√2AB成立，直接写出∠BAD的度数为 0 3.(25-26九年级下山东济宁·开学考试)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,将线段CA绕点C旋 转a(0°<a<90°)得到线段CD,连接AD、BD. E D C B B 图1 图2 图3 (I)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转Q,则∠ADB的度数为-； (2)将线段CA绕点C顺时针旋转， ①如图2，求∠ADB的度数： ②如图3，若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接BE,用等式表示线段AD、 CE、BE之间的数量关系，并证明， ◆题型2特殊三角形绕点旋转综合问题 4.(25-26八年级上·上海静安期中)已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，将△ABC绕点B 按顺时针方向旋转。 B 图1 图2 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)当C转到AB边上点C'位置时，A转到A',(如图1所示)直线CC'和AA相交于点D,试判断线段AD 和线段AD之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由. 5.(25-26九年级上湖北黄冈期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90° 图1 图2 图3 (I)【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是 一，位置关系是 (2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD,BE,(1)中的结论还成立吗？说明理由： 3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=6,CE=2V2,当A,E,D三点在同一直线 上时，直接写出BE的长 6.(25-26八年级上浙江杭州期中)(1)如图1，己知点B、A、D在同一条直线上，△ABC和△ADE都 是等边三角形，连结BE、CD交于点O,且分别交AC、AE于点F、G.求证：△BAE△CAD: (2)若将图1中的△EAD绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，△ABC和△ADE都 是等边三角形，∠BOC的度数变化吗？若不变，请求出∠BOC的度数：若变化，请说明理由： (3)如图3，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4,BC=7,以AC为边向外作等边△ACD,直接写出BD 的长 A 图1 图2 图3 ◆题型3矩形绕点旋转综合问题 7.(25-26九年级上浙江杭州·阶段检测)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转C度(0<α<360)，得到矩 3111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形AEFG. D M G F A A 图1 备用图 (I)如图1，当点E在BD上时，EF与AD交于点M,求证： ①EM=DM; ②C、D、F在同一条直线上： (2)当CG=BG时，求a的大小. 8.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图1，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG,使 得点E落在CD上，连接BE 图1 图2 图3 (I)求证：∠BAE=2∠CBE. (②)如图2，连接BG交AE于点H,如果AB=5,BC=3,求BG的长. (3)如图3，连接BG交AE于点H,取BE的中点I,连接HⅢ，AF,探究Ⅲ和AF的数量关系，说明理由； 9.(26-27九年级上全国·单元复习)数学综合实践课上，王老师和同学们一起以“矩形的旋转”为主题 开展探究活动.如图1，矩形EFGH和矩形EFGH'重合，EH=6,GH=I10.矩形EFGH保持不动，将 矩形EFGH'绕点E逆时针方向旋转， F(F)E F/H GG)HOY 图1 图2 图3 图4 (I)【问题初探】如图2，创新小组同学将矩形EFGH'的顶点F'旋转至边GH上，求GF的长度； 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)【问题再探】如图3，创新小组同学继续旋转矩形EFGH',发现：当点F落在FH的延长线上时，点 G'、H、G在同一条直线上，你认为创新小组同学的发现正确吗？请说明理由： (3)【深度探究】在(2)的条件下，如图4，连接FG交EH于点M,延长GF交EH的延长线于点N,请 直接写出MN的长 ◆题型4菱形绕点旋转综合问题 10.(2026河南中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE, 记旋转角为C.作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH, B 图1 图2 (1)【观察猜想】 当a=30°时，如图1，∠BEH的度数为. CH的长为 (2)【探究证明】 当0°<α<120°时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立， 请说明理由. (3)【拓展延伸】 当0°<a<120°时，若aDCH的面积为4V2,请直接写出此时旋转角a的度数. 11.(2026江苏泰州三模)综合与实践： 已知菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点A按顺时针方向在平面内旋转a°(0°≤a<360)至 菱形AB'C'D D D D D B 图1 图2 图3 备用图 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若旋转后B'C与CD垂直如图1，则旋转角Q为. (2)将AD旋转至与AC重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形ABCD在旋转过程中如图3，连接BB,B'D',BD',△BB'D'为等腰三角形时，请直接写出BB的 长 12.(25-26八年级下·山东济南期末)综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形 ABCD中，BD为对角线，∠BAD=60°，AB=4,将菱形ABCD绕顶点A顺时针旋转，旋转角为a(单位： ·),旋转后的菱形为AB'C"D',在旋转探究活动中提出下列向题，请你帮他们解决. D D D B 图1 图2 图3 观察证明： (I)如图1，若旋转角a<60°，AD'与BD相交于点M,AB与B'D'相交于点N,请写出DM与B'N的数量关 系，并说明理由； 操作计算： (2)如图2，连接CD',菱形ABCD旋转的过程中，当B'D'与AB互相垂直时，CD'的长为_： (3)如图3，若旋转角a<60°，分别连接DD',BD',过点A分别作AE⊥DD',AF⊥BD',连接EF,菱 形ABCD旋转的过程中，发现在△AEF中存在长度不变的线段EF,请求出EF长度】 ◆题型5正方形绕点旋转综合问题 13.(26-27八年级下·全国课后作业)如图，有两个边长均为a的正方形ABCD与正方形EFGH,且正方 形EFGH的顶点E为正方形ABCD两条对角线的交点， D E B (I)试判断AF与BH的大小关系.当正方形EFGH绕点E旋转变化时，这种关系是否保持不变？ 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如果正方形EFGH的边长为b(b>),(1)中的结论是否仍然成立？请作出判断并给出证明。 14.(25-26八年级下·江苏苏州期末)综合探究 图1 图2 备用图 (I)如图1，已知正方形ABCD和正方形BMNP中，点A,B,M在同一直线上，连接AP,CM,则AP 和CM的数量关系为. 一，位置关系为 (2)如图2，将图1中的正方形BMNP绕点B按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为α(0°<α<90)，AP和 CM交于点Q.试判断AP和CM的数量和位置关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若AB=2N2,BM=V2,∠CMB=45°，则AP长为 15.(25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期末)【课本再现】 C 图1 图2 图3 ()如图1，正方形ABCD的对角线交于点O,点O又是正方形ABCO的一个顶点，而且这两个正方形的 边长相等，无论正方形AB,CO绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积S与正方形ABCD的面积S, 总有一个稳定不变的数量关系，即S,-· 【深入探究】 在对(1)的实验与探究中，小新学习小组发现，正方形绕点转动的过程中，不仅两个正方形重叠部分的 面积与正方形的面积有一个稳定不变的数量关系，而且线段AE,CF,EF之间也一直存在某种数量关系， 于是，小新学习小组对图1进一步探究. 小新说，我通过△AOE≌aBOF,将AE转化成BF,通过aCOF≌aBOE,将CF转化为BE,由正方形的性 质得∠ABC=90°，根据勾股定理可推导出AE,CF,EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2. 小红说，我有更简便的方法，我延长EO与DC交于点G,通过证明△AOE≌aCOG也可推导出AE,CF, EF之间的数量关系是AE2+CF2=EF2 7111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)【类比迁移】如图2，矩形ABCD对角线的交点O是矩形ABCO的一个顶点，AO与边AB相交于点E, CO与边CB相交于点F,连接EF,矩形AB,CO可绕着点O旋转，判断AE,CF，EF之间的数量关系 并进行证明： (3)【拓展应用】如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm,点D是边AB的中点， ∠EDF=9O°，它的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F,∠EDF可绕着点D旋转，当 AE=4cm时，请直接写出线段CF的长度. 综合攻坚·知能拔高 1,(25-26八年级下·湖北宜昌·期末)如图，将正方形ABCD的边DC绕点D逆时针旋转至DE,旋转角为 a(O°<a<90),连接CE,AE,∠CDE的角平分线交AE于点F,连接CF. D (I)当DF=EF时，求旋转角的度数； (2)求证：△CEF为等腰直角三角形； AE (3)求DF+CE的值. 2.(26-27九年级上·福建莆田阶段检测)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM,点B,C的对应 点分别为N,M, F B B A 图1 图2 8111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，当点N落在BC的延长线上，且∠ACB=90°，AB=10,AC=6,求BN的长： (2)如图2，△ABC绕点A顺时针旋60°得到△ANM,延长BC交AW于点D,连接BN并延长BN至点F, 使得FN=AD,连接DF,连接AF交MN于点H,且∠ACB=9O°，猜想线段HN,MH,CD之间存在 的数量关系，并证明你的猜想： 3.(25-26八年级下·安徽合肥·期末)我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转 a(0°<a<180)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转B得到AC',连接B'C.当a+B=180°时，我们称 △AB'C是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做 “旋补中心”. D D B B B B 图1 图2 图3 ()【特例感知】在图2，图3中，△AB'C是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”. ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为BC=_AD; ②如图3，当∠BAC=90°，AD=5时，求BC长 (2)【猜想论证】在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明. 4.(25-26八年级下·河北承德期末)已知正方形ABCD和正方形CEFG. 图1 图2 图3 (I)如图1，当正方形CEFG在正方形ABCD的外部时，连接BG,DE.求证：△BCG≌△DCE; (2)如图2，将(1)中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上. ①若AB=0,EF=V2,求线段BG的长： ②如图3，连接AC,若O是AC的中点，连接OG.判断线段OG与AB的数量关系并说明理由. 5.(26-27九年级上陕西宝鸡开学考试)按要求完成以下问题 9111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 ()【初步感知】如图1，等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5， 求∠APB的度数.为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP处，连接PP,此时 △ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求出 ∠APB= (②)【尝试运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=L,∠ABC=30°，O为Rt△ABC内一点，连 接A0,B0,C0,且∠AOC=∠B0C=∠AOB=120°，求OA+OB+OC的值. (③)【拓展延伸】如图3，在△ABC中，BC=a,AB=C,∠ABC=30°，P是△ABC内一点，求 PA+PB+PC的最小值. 6.(25-26七年级下山西临汾·期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的问题。 新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这 个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB<AD,AC是对角线. D 图1 图2 备用图 (1I)如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针做“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点B的对应点 为点B,点C的对应点为点G,点D的对应点为点D,连接AC,如果∠CAD度数为a,则“对角旋转 角”的度数=（用含有“的代数式表示)· (2在(1)的条件下，如果∠CAD=40°，①∠DAC=:( ②若再把长方形ABCD绕点A顺时针做 “对角旋转”，使边AD落在对角线AC上，点B的对应点为点B,点C的对应点为点C,点D的对应点 为点D,连接AC2,则∠C2AD= (3)在长方形ABCD中，若BC-AB=7,在第(1)(2)的条件下，经两次“对角旋转”后，点C的对应 10/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点分别为点C和点C,连接CC,且SA4CG=2.4S△4CG,请求出此时长方形ABCD的面积. 11/11