知识板块三 旋转中的最值与路径同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以旋转为核心，通过“转化线段-几何性质-函数建模-轨迹分析”四阶方法体系，系统突破最值与路径问题，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |旋转中的最值(一)两点之间线段最短|4题|旋转构造全等转化线段，结合费马点、将军饮马模型|以旋转性质为基础，通过全等转化将折线和转化为直线段，应用两点之间线段最短原理| |旋转中的最值(二)垂线段最短|4题|旋转定线法、解析几何定位动点轨迹|结合等腰三角形、矩形性质，通过旋转确定动点运动定线，利用垂线段最短求最值| |旋转中的最值(三)函数建模|3题|设变量构建二次函数模型求最值|从几何关系抽象出数量关系，通过函数思想解决动态几何中的最值问题，发展模型意识| |旋转中的最值(四)运动路径|4题|轨迹法分析动点运动轨迹，计算路径长与扫过面积|基于旋转不变性确定动点轨迹类型（直线/圆弧），结合几何性质计算路径参数|

知识板块三 旋转中的最值与路径 拆分突破17 旋转中的最值(一)两点之间线段最短 必刷考点一 三边关系 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点E,F 分别在边AB,AC上,且AE=AF,点 D在边BC 上,BD=8,CD=5,则DE+DF 的最小值为 . 必刷考点二 “费马点” 2.如图,P 是正方形ABCD 内部一点,且 PA+PB+PC 的最小值为 则正方形 ABCD的边长为 . 必刷考点三 斜边中线 3.(2026江汉)如图,在等边△ABC中,D,E分别是AC,AB 上的点,且CD=2AE,连接BD,DE,则 的最小值为 . 必刷考点四 “将军饮马” 4.(2025武汉市硚口区期末)如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D为BC 边(端点除外)上的动点,将 DA 绕点 D 逆时针旋转90°得到 DE,连接AE,CE,则△ACE 周长的最小值是 . 拆分突破18 旋转中的最值(二)垂线段最短 必刷考点一 斜大于直 Ⅰ.(2026武汉外校质检改编)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D 是边 AC 上一动点,将BD绕点 B 顺时针旋转60°得到 BE,连接DE,CE.若 ，则CE 的最小值是 . 必刷考点二 定角定线 2.(2026武汉市经开区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D 是边BC 上一点,以AD 为斜边作等腰直角△ADE,连接CE.若AB=8,则CE 的最小值为 . 3.(2026江岸区期末)如图,在矩形ABCD 中,AB=2BC,P 为边CD 上的一个动点,AP 绕点A顺时针旋转 60°得到 AP',连接 PP',BP',当线段 BP'最小时,则∠PP'B 的度数为 必刷考点三 解析定线 4.如图,点B(0,6),A 为x 轴上一动点,将线段 AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段 AC,连接OC,则OC 的最小值为 . 拆分突破19 旋转中的最值(三)函数建模 必刷考点一 求面积 1.(2026武钢实验质检)如图,E 是正方形ABCD 的边AB 上的一个动点,AB=6,连接CE,将线段 CE 绕点E 逆时针旋转90°得到 EF,连接FD,ED,则△EFD 面积的最小值为 . 必刷考点二 求长度 2.(2026光谷未来质检改编)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点 P 在△ABC 的外部,且∠APC=60°,连接BP.若AP+PC=5,则 BP 的最小值为 . 必刷考点三 求线段和 3.如图,在△ACD中,∠ADC=90°,AD+CD=m(m>0),将线段AC 绕点C顺时针旋转90°得到线段 BC，连接BD，当线段 BD 的最小值是 时，m的值是 . 拆分突破20 旋转中的最值(四)运动路径 必刷考点一 求路径长 1、(原创题)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,P 是AB 边上一点,将CP 绕点 P 逆时针旋转90°得到 PD,连接CD.当点 P 从点 A 运动到点 B 时,点 D 的运动路径长为 . 2.(原创题)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=30°,AB=1,点 D 在边 BC 上,将AD绕点A 逆时针旋转60°得到AE，连接DE.当点 D 从点 B 运动到点C 时，点 E 运动的路径长是 3.如图,在△ACD中,∠ADC=90°,∠ACD=30°,AD= ,F是边AC 上一动点，以DF 为边作△DEF,使∠DEF=90°,∠EDF=60°.当点 F 从点A 运动到点C 时,点 E 的运动路径长是 必刷考点二 求扫过的面积 4.如图,D 是等边△ABC 边 BC 上一点,连接AD,在 AD 的右侧作△ADE,使∠ADE=60°,∠AED=90°,连接CE.若 AB =1,当点 D 从点 B 运动到点C 时,则 CE 扫过的面积为 知识板块三 旋转中的 最值与路径 拆分突破17 旋转中的最 值(一)两点之间线段最短 1.7 解:连接AD,将AD绕点A 逆时针旋转120°得到 AG,连接DG,GF,过点 A 作AH⊥BC 于点 H.由旋转得∠DAG=∠BAC=120°,AD=AG, ∴∠EAD=∠FAG, ∵AE=AF, ∴△EAD≌△FAG, ∴DE=GF, ∴DE+DF=GF+DF≥DG, ∴DE+DF 的最小值为DG. ∵AH⊥BC,AB=AC,BD=8,CD=5, 同理可求 ∴DE+DF 的最小值为7. 2.2 解:将△ABP 绕点 B 逆时针旋转60°得到△EBQ,过点 E 作EH⊥BC,交 CB 的延长线于点 H,连接QP. 由旋转得 EB=AB,PB=QB,PA=QE,∠QBP=∠EBA=60°, ∴△QPB 是等边三角形, ∴PQ=PB. ∵PA+PB+PC 的最小值为 ∴QE+PQ+PC 的最小值为 ∴点E,Q,P,C在同一直线上, 设正方形的边长为2x, ∴EB=AB=2x, ∵∠EBA=60°,∠CBA=90°, ∴∠EBH=30°,∴EH=x,BH= x、 在 Rt△EHC中, (舍去), ∴正方形ABCD 的边长为2. 解:将△BCD 绕点 B 逆时针旋转60°得到△FBA,连接FE,取BF 的中点O,连接OE,OD,DF. 由旋转得△BDF 为等边三角形，△BCD≌△BAF, ∴AF=CD=2AE,∠FAE=∠C=60°, ∴可证∠FEA=90°. 设BD=1,则BF=1, 最小即DE 最小. ∵DE≥OD-OE, ∴当点 E 在线段OD 上时,DE 最小. ∵O为BF 的中点, ∴DE 的最小值为 的最小值为 - 解：连接BE，延长A B到点H,使 HB=AB,连接 HE,HC,作MD⊥BC交BA 的延长线于点 M. 由旋转得 AD=DE,∠ADE=90°, ∵MD⊥BC,∠ABC=45°, ∴MD=BD,∠MDA=∠BDE, ∴△BDE≌△MDA, ∴∠DBE=∠DMA=45°, ∴BE⊥AB. ∵AB=BH, ∴AE=HE, ∴△ACE 周长=AC+AE+EC=4+HE+EC, ∴当 H,E,C 三点共线时,△ACE周长有最小值. ∵∠BAC=90°, 80, ∴△ACE 周长的最小值为 拆分突破18旋转中的最 值(二)垂线段最短 解:将 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BF,连接CF,DF,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G,交 AC于点 H. 由旋转得△BDE,△BCF 为等边三角形， ∴△BCE≌△BFD, ∴CE=FD, ∴CE 最小时,FD 最小, ∴当FD⊥AC 时,FD 取最小值. ∵FG⊥BC, ∵AB=BC,∠ABC=90°, ∴∠CHG =∠ACB =∠FHD =45°, ∴CE 的最小值为、 - 2.2 解:过点 A 作AM⊥BC 于点M,过点E 分别作EF⊥AM 于点F,EG⊥BC 于点G,连接ME, ∴四边形 EFMG 为矩形, ∴∠FEG=∠AED=90°, ∴∠AEF=∠DEG. ∵AE=DE, ∴△AEF≌△DEG, ∴EF=EG=MG, ∴四边形 EFMG 为正方形, ∴∠CME=45°, ∴点 E 在定直线ME 上运动， ∴当 CE⊥ME 时,CE 最小. ∵AB=8, CE 最小值为2 3.75° 解:将 AD 绕点 A 顺时针旋转60°得到 AE,连接 P'E,设 P'E 交AB 于点G, ∴AD=AE,∠DAE=60°. 由旋转得∠PAP'=∠DAE=60°,AP=AP', ∴∠DAP=∠EAP', ∴△DAP≌△EAP', ∴∠D=∠E=90°, ∴点 P'在直线EP'上运动, ∴当 BP'⊥EP'时,BP'有最小值, ∴∠BP'G=90°. 设EG=x,GP'=y, ∴AB=2x+2y=2EP'. ∵AB=2AD=2AE, ∴AE=EP', ∴△EAP'是等腰直角三角形， ∴∠PP'E=15°, ∴∠PP'B=75°. 4.3 解:过点 C作CD⊥x轴于点 D..由旋转得AB=AC,∠BAC=90°, ∴△AOB≌△CDA, ∴CD=OA,AD=OB=6. 设点A 的坐标为(t,0),则C(t+6,t),设x=t+6,则t=x-6, ∴点C在直线y=x-6上运动. 过点O作直线y=x-6的垂线，垂足为 M,则OC 的最小值为OM 的长. 设直线y=x-6与y轴交于点N， 即OC 的最小值为3 拆分突破19 旋转中的最 值(三)函数建模 解:过点 F 作FH⊥BA,交 BA延长线于点H， ∴∠H=90°. 在正方形 ABCD 中,∠B=∠DAB=90°,AB=AD=BC=6. 由旋转得CE=EF, ∠CEF=∠ABC=90°, ∴∠BEC=∠HFE, ∴△CBE≌△EHF, ∴BE=HF,BC=EH=AB=6, ∴AH=BE. 设BE=HF=a, ∴AH=a,AE=6-a, ∴△EFD 面积的最小值≥ 解：将PA 绕点A 顺时针旋转120°得到 AD,连接BD,PD. 由 旋转得 PA = AD,∠PAD =∠BAC=120°, ∴∠PAC=∠BAD, ∠APD=∠ADP=30°. ∵AB=AC, ∴△BAD≌△CAP, ∴BD = PC,∠BDA =∠CPA =60°, ∴∠PDB=90°, ∵AP+PC=5, 设AP=x,则PC=5-x, ∴当 时，PB 取得最小值，其最小值为 解：将C D绕 点C逆时针旋转90°得到 CE,连接AE,过点 E 作EF⊥AD 于点F, ∴CD=CE, ∴∠EFD=∠FDC=∠DCE=90°. ∴四边形CDFE 是正方形， ∴CD=DF=EF=CE. ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠ACE=∠BCD. ∴△ACE≌△BCD, ∴BD=AE,即 BD 的最小值就是AE 的最小值. 设CD=DF=EF=CE=x, ∵AD+CD=m, ∴AF=AD+CD-CD-DF=m-2x, 在 Rt△AEF 中, ∵5>0, ∴当 时，AE² 有最小值，且 最小值为- m²,则 拆分突破20 旋转中的最 值(四)运动路径 1.6 解:连接 BD,过点 P 作 PE⊥AB,交 BC 的延长线于点 E. ∵AC=BC,∠ACB=90°, ∴∠ABC=∠BAC=45°, ∵PE⊥AB, ∴∠E=∠ABC=45°, ∴PE=PB,由旋转得 PC=PD,∠CPD=90°, ∴∠CPE=∠BPD, ∴△CPE≌△BPD, ∴BD=CE,∠PBD=∠E=45°, ∴点 D 在过点B 且垂直于 BC 的直线上运动，其运动路径长为 AB, ∴运动路径长为2AC=6. 2.2 解:取BC 的中点O,连接AO. ∵∠BAC=90°,OB=OC, ∴OA=OB, ∵∠ACB=30°, ∴∠ABC=60°, ∴△OAB 为等边三角形, ∴OA=AB, ∠OAB=60°. 由旋转得AD=AE, ∠DAE=∠OAB=60°, ∴∠BAD=∠EAO, ∴△EAO≌△DAB, ∴∠AOE=∠ABD=60°,OE=BD, ∴点 E 在 AC 的垂直平分线上运动. ∵点 D 运动的路径长为BC=2, ∴点 E 的运动路径长为2. 3. 解:延长DE 到点M,使EM=DE,连接 FM,取 AB 的中点G,连接 DG,取 DG 的中点N,连接 EN. 可证△ADG 与△DFM 为等边三角形， ∴△ADF≌△GDM, ∴∠DGM=∠A=60°,AF=GM, ∴点M 的运动路径长为 ∵EN 是△DGM的中位线, ∴点 E 的运动路径长为 解:延长 DE 至点 F,使 EF=DE,连接 AF,CF,取 CD 的中点N,BC 的中点 M,连接 EN,AM,ME. ∵AE⊥DE, ∴AD=AF, ∠DAF=∠BAC=60°, ∴∠BAD=∠CAF, ∵AB=AC, ∴△ABD≌△ACF, ∴∠ACF=∠ABC=60°. ∴∠BCF=120°, ∵DN=CN,DE=EF, ∴∠DNE=120°, EN= CF= BD, ∴∠EMN=∠NEM=30°, ∴点 E 在过点M 且垂直于AC 的直线上运动(起点为点 M)， ∴点 E 的运动路径长为 ∴CE 扫过的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $