2.2.2直线的两点式方程 同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.2　直线的两点式方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【答案】边所在直线方程为，边所在直线方程为， 边所在直线方程为，边所在直线方程为 【分析】根据截距式、两点式求得四边形四条边所在的直线方程． 【详解】如图，由截距式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即， 由两点式，得边所在直线方程为，即， 边所在直线方程为，即． 【例2】已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）截距相等时，要考虑到截距为和不为两种情况分类讨论； （2）设直线方程为点斜式，表示直角三角形的面积，通过基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）当截距为时，设直线方程为， 因为直线过点，则， 解得， 所以直线方程为； 当截距相等且不为时，设直线方程为， 因为直线过点，则代入直线方程得，， 则直线方程为. 所以直线方程为或. （2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且， 设直线方程为， 令，；令， 则， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为，此时的直线方程为. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 2．如图，直线l的截距式方程是，则( ) A．      B．      C．      D． 【答案】D 【详解】根据直线的截距式以及图象可知：a>0,b<0 故选：D 3．过点和点的直线在上的截距为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出直线AB的方程，解出直线在上的截距 【详解】过点和点的直线方程为即， 故直线在上的截距为1， 故选：A 4．直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分过直线原点和不过原点的两类情况作讨论即可求解. 【详解】若直线过坐标原点,则,此时横纵截距都等于0,满足题意; 若直线不过坐标原点,设直线的方程为, 因为直线过点,所以,解得, 所以直线方程为,此时, 故选:D. 5．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 6．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的重心坐标，由得出为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案． 【详解】因为的顶点分别为，，， 所以的重心为， 因为，， 所以， 所以， 所以的外心为的中点， 因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上， 所以的欧拉线为直线， 所以的欧拉线方程为，即， 故选：C． 二、多选题 7．已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 【答案】BC 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. 8．已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 9．的三个顶点是，下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程： B．边上的高所在的直线的方程： C．过点，且平行于边的直线的方程： D．过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 【答案】ABC 【分析】A选项，由的坐标求出中点，求出，利用点斜式得到中线为AD的直线的方程；B选项，求出直线的斜率，利用两线垂直，得到上的高所在直线的斜率；C选项，由点斜式可得过点且平行于边的直线的方程；D选项若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为截距式，代入点的坐标得到无解，直线不存在；若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点的坐标得该直线方程. 【详解】因为，所以中点，边上的中线为AD，所在的直线的方程：，A正确； 由可得直线的斜率为1，所以边上的高所在直线的斜率为-1，方程为：，B正确； 由点斜式可得，过点，且平行于边的直线的方程：，C正确； 若直线在轴､轴上的截距相等不为0，设直线方程为：， 代入点，得a无解，直线不存在； 若直线在轴､轴上的截距相等为0，设直线方程为：，代入点，得该直线方程为：，D错误. 故选：ABC． 三、填空题 10．已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【详解】令代入直线方程，可得 ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 11．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 12．一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 四、解答题 13．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用（元）与行李质量（千克）的关系用直线的方程表示． （1）求直线的方程； （2）问旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 【答案】（1）；（2）30千克． 【分析】（1）根据图象过特殊点用两点式方程求得直线方程； （2），解得就得到答案. 【详解】（1）由题图知点，， 代入直线方程的两点式， 可求得直线的方程是. （2）依题意，令，解得，即旅客最多可免费携带30千克的行李． 【点睛】本题考查根据图象过点用两点式求直线方程. 14．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2　直线的两点式方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】四边形的顶点，，，，求这个四边形四条边所在的直线方程． 【例2】已知定点. (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 2．如图，直线l的截距式方程是，则( ) A．      B．      C．      D． 3．过点和点的直线在上的截距为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．直线过点，且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（    ）． A． B． C．或 D．或 5．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 6．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 8．已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 9．的三个顶点是，下列说法正确的是（    ） A．边上的中线所在的直线的方程： B．边上的高所在的直线的方程： C．过点，且平行于边的直线的方程： D．过点，且在轴､轴上的截距相等的直线的方程： 三、填空题 10．已知直线，则其在轴上的截距为________. 11．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 12．一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 四、解答题 13．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用（元）与行李质量（千克）的关系用直线的方程表示． （1）求直线的方程； （2）问旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 14．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $