专题02 二次函数（期中真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列函数中，是二次函数的有（     ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：　　　　　　　． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）抛物线的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）抛物线的对称轴是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）二次函数已知点都在函数的图象上，则（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）将抛物线．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，就得到抛物线（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（　　） A. y＝﹣（x+3）2+2 B. y＝﹣（x﹣3）2+2 C. y＝﹣（x+3）2﹣2 D. y＝﹣（x﹣3）2﹣2 11．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）把二次函数向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为　　　　　． 14．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）将抛物线向右平移1个单位长度后经过点，则的值为　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（       ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 2．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）若二次函数满足，，则图象的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）对于，下列说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而减小 D. 顶点坐标为 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则，，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D. 与的值有关 9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 最小值4 B. 最大值4 C. 最小值2 D. 最小值3 10．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图所示是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：①；②；③是关于的方程的一个根；④．其中正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是，．其中正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）    A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）已知二次函数（，，都是实数），满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，当时，，则的值为（       ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 2 15．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知二次函数的图象经过点和，则与的大小关系是　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知二次函数图象的顶点为，且经过点．求这个二次函数的解析式． 19．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当时，的取值范围是________． 20．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知点，，都是抛物线上的点，则将，，用“<”连接为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）根据函数图象完成以下问题 ①当时，的取值范围为______． ②当时，的取值范围为______； 22．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数）．其中结论正确的是：　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围是________； （3）若点在该函数图象上，且，则的取值范围为________． 24．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点、某数学兴趣小组围绕该定义进行了如下相关探究． 探究1： （1）请判断：二次函数______“不动点函数”（填写“是”或“不是”）． 探究2： （2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 25．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)2＋c＝3b－bx 的解是　　　　　　　　　　　　　　　　 26．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）抛物线与轴的另一个交点坐标：______； （2）不等式的解是______； （3）随的增大而减小的自变量的取值范围是______； （4）求出抛物线的解析式及顶点坐标． 27．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值和点Q的坐标 28．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，已知抛物线经过点．    （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，请根据图像直接写出的取值范围． 29．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为（），发现随着常数的不同取值，对应新抛物线的顶点纵坐标的取值范围是：，请求出常数的取值范围． 30．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）直线分别与轴，轴分别交于，，抛物线经过点． （1）求的值； （2）如图1，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标； （3）如图2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，的对称轴交直线于．设的顶点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数关系式； ②当时，直接写出的取值范围． 31．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则          ． 32．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，直线与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线：经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段上一动点，直线交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1做轴交x轴于点G且，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线于点M，N，设d，点P的横坐标为． ①求d关于m的函数关系式； ②求满足d为整数的点P的个数． 33．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）抛物线（，是常数，）经过点，下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③若，两点均在抛物线上，且，则；④若方程有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是　　　　　　　　，（填序号） 34．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C． （1）如图1，当时，直接写出点A、B、C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，，求P点的坐标； （3）如图2，当时，若H是抛物线上B、C之间的一点（不与B、C重合），直线，分别交y轴于M、N两点，在点H运动过程中，总有，求m的值． 35．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 36．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段长度的最大值； （3）连接，F是的中点，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 37．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧），该抛物线的对称轴是直线．    （1）若点在该抛物线上，求抛物线的解析式； （2）当，且时，求抛物线的最大值与最小值的差； （3）已知是直线上的动点，将点向下平移2个单位长度得到点．若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 38．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点，经过点B的直线交y轴于点C，交抛物线于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点E在第二象限抛物线上，连接交x轴于点F，，求直线的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接，若，求点P的坐标． 39．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）已知函数 的图像如图所示，若直线与该图像有公共点，则的取值范围是　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为　　　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出的值，即______，______； （2）如图1，直线是抛物线的对称轴，点为直线的右侧抛物线上的动点，连接，过点作，交直线于点．若，点的横坐标为，求的值； （3）如图2，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的函数图象记为． ①在平面直角坐标系中，求新函数图象对应的函数解析式； ②坐标平面内另有平行于轴的直线，其表达式为，其中为常数．请结合直线与新图象的不同位置关系，探究方程的根的个数． 42．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式 （2）如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． （3）如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 43．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）抛物线在直线下方的图像上恰好有四个横坐标为整数的点，则取值范围是　　　　　　． 44．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图1，二次函数．的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点G，与交于点H，点P为对称轴l上一动点，其纵坐标设为m． ①若动点P在线段上(点P不与点G，H重合)，轴与交于点D，轴与抛物线交于点E，轴与直线l交于点F．求四边形周长的最大值； ②若点A绕点P旋转后的对应点恰好在抛物线上，求m的值． 45．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．    （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 46．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）关于二次函数的四个结论： ①对任意实数m，取及，对应的函数值总相等； ②若，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则； ④若，是抛物线上两点，若，，则． 其中正确的结论有　　　　　　　　　　．（填序号） 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 2．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）二次函数(a，b，c是常数，)的图象经过点，与y轴正半轴相交，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是（） A.  B. 当时， C. 方程的两个根是 D. 当时， 3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）对于二次函数的图象，下列说法中不正确的是（       ） A. 顶点是 B. 开口向上 C. 与轴有两个交点 D. 对称轴是 5．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）抛物线与轴相交于点，．下列结论：①②；③点，在抛物线上，当时，则有；④若方程的一个根，则另一个根．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）若抛物线与轴无交点，则的取值范围是　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）二次函数的图象的一部分如图所示，图象与轴的一个交点为，根据图象解答下列问题：    （1）求的值； （2）直接写出该抛物线与轴的另一交点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 9．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，直线和抛物线交于点， （1）求直线和抛物线的解析式； （2）求不等式的解集是                               10．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知二次函数过点，，． （1）该函数的对称轴为             ，方程的解为                     （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为        ②当时，x的取值范围为         11．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于． （1）如图1，当时，直接写出点，，的坐标； （2）在（1）的条件下，若点在抛物线上，，求点的坐标； （3）如图2，当时，若是抛物线上，之间的一点（不与，重合），直线，分别交轴于，两点，在点运动过程中，总有，求的值． 12．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知二次函数，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点和两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么；⑤若，则关于x的方程的根有4个，其中正确的是　　　　　　　　　　．（只需填写序号） 13．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）如图（1），若点D是x轴下方抛物线上的点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，满足，求点D的横坐标； （3）如图（2），直线（m，n为常数，）交抛物线于M、N两点．已知点，交抛物线于点Q，交抛物线于点P，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（       ）秒才能停下来？ A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 2．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（             ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 5．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，按24元/千克销售，每天可售出32千克．经过市场调查发现：每千克涨1元，每天销售量就减少2千克．设售价为元/千克，每天销售量为千克，每天销售利润为元． （1）分别求出与，与的函数解析式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元， ①该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ ②该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 8．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　　　　　． 9．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件．设每件涨价元，每天获利为元． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由； （3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值． 10．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）某超市新购进一种商品，成本为元/件．试销一段时间后发现，若售价为元/件，每天可以售出件；售价每降低元，每天可以多售出件．设售价为元/件，日销售量为件，日销售利润为元． （1）若售价为元/件，则日销售量为          件，日销售利润为            元； （2）求与之间的函数解析式； （3）售价定为多少元/件时，日销售利润最大?最大利润是多少元? 11．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上．设的长为x，矩形的面积为S． （1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 12．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，求水流的落地点到喷水枪底部的距离． 13．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）在古城特产店购物的顾客，大部分人考虑到便捷性会选择线上下单．已知某店在线上销售的某款平遥牛肉的成本价为元/包，在销售过程中发现，平遥牛肉的月销售量(包)与销售单价(元)之间满足．若想要月销售利润最大，则销售单价x应为　　　　元． 14．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出y件． （1）请写出与之间的函数解析式； （2）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时w最大，最大值是多少？ （3）若市场规定该种玩具每件的利润不能超过60元，那么当为多少时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 15．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是元/盏，在“双十一”前天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了盏，第2天销售了盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式（，且为整数） （1）该台灯的日销售量..（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； （2）在这天中，第8天的日销售利润为______元； （3）在这天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 16．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； （3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 17．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动． （1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． （2）若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中，，若要使小球落入筐中（小球落在点或均视为入框），求的取值范围． 18．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润月销售量（售价进价）] 售价元/支） 30 32 月销售量（支） 200 180 月销售利润（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为________元，关于的函数关系式为________； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠元利润给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．A 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．【答案】(答案不唯一) 【分析】 由二次函数图象的性质可得：时图象开口向上． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴符合题意， 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数中二次项系数与开口的关系是解题的关键． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．A 11．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的图像与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的图像表达式为： ， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移．根据抛物线平移的规则“上加下减，左加右减”进行作答即可． 【详解】 解：∵将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 ∴， 整理得， 故答案为：． 13．【答案】y＝2（x﹣1）2+3 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，函数的表达式为：y＝2（x﹣1）2+3． 故答案为y＝2（x﹣1）2+3． 【点睛】本题考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 14．【答案】2 【分析】 根据“左加右减”的法则，求出抛物线的解析式，然后将点代入进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为， 将点代入得：， 故答案是：2． 【点睛】 本题考查的是二次函数图象平移的法则和根据二次函数关系式求参数，熟悉相关性质是解答此题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C 9．A 10．B 11．C 12．D 13．C 14．B 15．C 16．B 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，求得二次函数的对称轴以及二次函数的增减性是解题的关键． 通过求二次函数的对称轴，判断函数在对称轴左侧的单调性，结合点的横坐标大小关系比较函数值即可． 【详解】 解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下．对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵ ∴． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数的解析式，根据条件设出合适的解析式是解题的关键． 由顶点坐标，设出顶点式，再把点代入求解即可． 【详解】 解：顶点为， 设． 又图象过， ，解得． ，即． 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法直接求出值，即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中求得的抛物线的解析式为，求出点，再由待定系数法列方程组求出 ，即可得到直线的解析式； （3）由（1）知，，由二次函数图象与性质可得最大值；当时，取得的最小值，是在与时所得值中小的那个；从而得到的取值范围． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点， 将点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 抛物线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，即， 将、代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为； (3) 小问详解： 解：由（1）知，， ，对称轴为， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 而当时，取得的最小值，是在与时所得值中较小的那个， 当时，；当时，； ， 的最小值是， 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对应的函数值是解题的关键． 直接将点，，代入函数解析式，求出函数值比较即可． 【详解】 解：∵点，，都是抛物线上的点， ∴； ； ， ∴， 故答案为：． 21．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式变形、二次函数图象的性质（与轴的交点、开口方向、顶点坐标）．熟练掌握配方法转化二次函数形式、结合函数图象分析函数值的取值范围是解题的关键． （1）通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式； （2）① 根据函数图象，找出对应的取值范围；② 结合函数图象，确定时的最大值和最小值，从而得到取值范围． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：①∵二次函数的图象与轴交点为、，且抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围为． 故答案为：． ② ∵二次函数顶点为（开口向上，此处取最小值）， 当时，； 当时，， ∴在时，的最大值为，最小值为， ∴的取值范围为． 故答案为：． 22．【答案】② ④ ⑤ 【分析】 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ① 由图象可知： ∵对称轴为直线， ∴ ∴，故① 错误． ② ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴，故② 正确． ③ 当时，， 故③ 错误． ④ 当时，， 即，故④ 正确． ⑤ 当时，为最小值， 当时，， ∴ 整理得：， 故⑤ 正确． 综上，正确的有② ④ ⑤ ， 故答案为：② ④ ⑤ ． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，这是解题的关键所在． 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，平移变换的性质，二次函数最值和增减性应用等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把代入求出a得到抛物线的解析式为； （2）分别计算出和所对应的函数值，然后根据二次函数的性质得到y的取值范围； （3）根据二次函数的性质，通过分析两点到对称轴的距离来求解b的取值范围． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 而时，y有最小值， 所以当时，y的取值范围为． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵点，在该函数图象上，且， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又根据二次函数的性质，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∴， 即， ∴， ， 解得， 故答案为：． 24．【答案】（1）是；（2）；（3），该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等 【分析】 本题考查了二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，即可判断； （2）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （3）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】 解：（1）令，则，解得：或， ∴点和为该函数图象上的不动点， ∴二次函数是“不动点函数”． （2）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵拋物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ； （3）根据题意得，， ， 整理得， 解得， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等． 25．【答案】 【分析】先根据抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点建立方程组，用含有a的代数式来表示b和c，之后直接将代数式代入方程即可整理求解． 【详解】解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点， ∴ ， ①+②×2可得：6a+3c=0， ， ①-② 可得：， ， a(x－3)2＋c＝a(x－3)2－2a=3b－bx=3a－ax， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 26．【答案】（1）     （2）     （3）     （4），顶点坐标为      【分析】 题目主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）根据函数图象及对称轴即可求解； （2）结合函数图象及（1）中交点即可得出结果； （3）根据函数图象即可得出结果； （4）设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意得抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 抛物线与轴的两个交点坐标为， 不等式的解是； 故答案为：； (3) 小问详解： 抛物线的对称轴为， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； (4) 小问详解： 依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，， 设抛物线的解析式为， 把三个点的坐标代入其中得 ， 解之得 ， ， 顶点坐标为． 27．【答案】（1）     （2），，     （3）有最大值，此时点的坐标为      【分析】 （1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）设P点坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； （3）先求出直线的解析式为，再设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． (1) 小问详解： 解：把，代入， 得： ，解得： ， 故该抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 由（1）知，该抛物线的解析式为， 当时，即，解得：，，则， 设P点坐标为， ∵， ∴， 整理，得或， 解得或， 则符合条件的点P的坐标为：，，； (3) 小问详解： 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得： ， 即直线的解析式为． 设Q点坐标为，（），则D点坐标为， ， ∴当时，有最大值，此时点的坐标为． 【点睛】 考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 28．【答案】（1）的值为，此抛物线的顶点坐标为     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质等知识， （1）将点代入抛物线并求解，即可确定的值，进而可得该二次函数解析并将其转化为顶点式，即可确定此抛物线的顶点坐标； （2）首先确定该函数图像开口向下，结合顶点坐标可得当时，可有取最大值，最大值为4，然后分别计算和时的值，即可获得答案； （3）结合图像确定的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线， 可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 由（1）可知，该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∵， ∴该抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为； (3) 小问详解： 当时，结合图像可知，的取值范围为． 29．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点 （1）根据抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为，由得点A的坐标，代入所设函数解析式中，即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即此时最小为．由题意得点B、D的坐标，则可求得直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）由二次函数的解析式可求得顶点坐标为，即，利用二次函数的性质结合，求出函数的函数值分别为11与19时对应的自变量值，即可确定b的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点在处，， ∴设抛物线解析式为：， 又， ∴， ∴把点代入解析式中得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：． (2) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即此时最小为． ∵点到对称轴的距离是1，且点在抛物线上， ∴点． ∵点， ∴点． 设直线为：，则 ，解得： ， ∴直线解析式为：， 令，得, 即点为． (3) 小问详解： 解：∵抛物线可化为：， ∴顶点坐标为． ，且纵坐标， ∴当时，随的增大而增大． 又， ∴当时，，解得：（舍去），， 当时，，解得：（舍去），． ∴常数的取值范围是：． 30．【答案】（1）的值为1；     （2）；     （3）① ；② 当时，或或．      【分析】 （1）先求得，利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到，则点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （3）① 求得平移后的解析式为，得到，，推出，分三种情况讨论即可求解； ② 分两种情况讨论，画出图形分别求得当和时，的值，结合图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴，即的值为1； (2) 小问详解： 解：作轴于点， 由（1）得抛物线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标，，则， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，整理得， 解得， ∵在第一象限， ∴； (3) 小问详解： 解：①，平移后的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ； ② 当或时，， 画出草图如下， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，或； 当时，， ∴， 画出草图如下， 当时，，解得， ∴当时，； 综上，当时，或或． 【点睛】 此题考查了待定系数法求解析式，二次函数与几何的综合应用，解直角三角形．解题的关键是熟练掌握二次函数图像上点的坐标特点． 31．【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为     （2）     （3）m的值为3或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线BC解析式为． (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 32．【答案】（1）     （2）     （3）8      【分析】 （1）先确定A、B的坐标，然后再将A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组求解； （2）先确定点，如图1，过点D作轴，交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得点D的横坐标，即可解答； （3）① 根据点P的横坐标为m表示，的长，分两种情况根据即可解答； ② 分，两种情况，根据① 中的函数解析式统计满足d为整数的点P的个数即可． (1) 小问详解： 解：在中，当时，；当时，，解得：， ∴点，点， 把点，点代入， 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 由(1)得， 当时，， 解得：，， 点， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 即点D的横坐标为， 当时，， 点D的坐标为； (3) 小问详解： 设的解析式为：， 则 ， 解得： ， ∴直线的解析式为：； ∵抛物线上有一动点P， ∴设， ∵过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线于点M，N， ∴，， 分两种情况： 如图2，， ∵， ∴ ； 如图3，， ∵， ∴ ； 综上，d关于m的函数关系式为： ； ② 当时，如图2，， ∴当时，， 当时，， 当时，， 中的整数d有2，3，4，三个， 由对称性可知：时点P有一个，时点P有一个，时点P有两个， 则满足d为整数的点P的个数有4个； 当时，如图3，， ∵此时d随着m的增大而增大， ∴当时，；当时，， 中的整数有3，4，5，6，即满足d为整数的点P的个数有4个， 综上所述，满足d为整数的点P的个数为(个)． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，二次函数的最值等知识点，解题关键是利用点的坐标差表示线段的长． 33．【答案】① ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，① 根据函数图像经过点的意义，只要得到即可；② 由① 得，结合判断出的正负即可；③ 得出对称轴为直线，根据,，则，即可求解；④ 将两个根转化为交点的横坐标，即可求解． 【详解】 解： 抛物线经过点， ， ， ∴， 当时，， ， 该抛物线一定经过，故① 正确． ② 由① 得：， ， ， ， ， ．故② 正确． ③ 抛物线的对称轴为直线， ，， ， 解得：，故③ 错误． ④ 方程即， 设， ∵， ∴， ∵方程有四个根， ∴， 此时有两个根，一正一负； 有两个根，均满足； ∴当时，的根均为负，仅有一个正根，结论不成立，错误； 故答案为：① ② ． 34．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）当时，，即可求出； （2）可得，当点在直线下方抛物线上时，记为，可得，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点，则，求出，继而可求直线，则与抛物线解析式联立即可求解；当点在直线下方抛物线上时，记为，过点作轴的垂线交直线于，，则，则，同理可求直线，即可同上求解；        （3）本题可先设出点，其中，再分别求出直线，的解析式，进而得到M、N的纵坐标、，结合，最后根据列出等式求解m的值． (1) 小问详解： 解：当时，． 令，则； 令，则， 解得，或． ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点在直线下方抛物线上时，记为 ∵， ∴， 过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线，则 ， 解得 ， ∴直线， 则 则 ， 解得或（舍） ∴； 当点在直线下方抛物线上时，记为， 过点作轴的垂线交直线于 ∴ ∵，， ∴， ∴， 对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线， 则 ， 解得，（舍）， ∴，        综上：P点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：设，其中． 对， 令，则． ∴． ∴． 解得． 令，得． ∵A在B左侧， ∴，． 设直线的解析式为， 把，代入可得： ． ，得． 解得． 把代入① ，得． ∴． ∴直线的解析式为． 令，可得． 设直线的解析式为， 把，代入可得 ． ，得． 解得． 把代入③ ，得． ∴． ∴直线的解析式为． 令，可得． ∵， ∴设C的纵坐标为． ∵，， 且，H在B、C之间， ∴． 即． ∴． ∵， ∴． 约分，得． ∴． ∴． ∵方程对任意t（H运动过程中）恒成立， ∴含t的系数必须为 0． ∴． 解得：． 故m的值为． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图像和性质，二次函数、一次函数与坐标轴的交点，二次函数、一次函数与线段综合，正确构造“一线三等角”的基本图形解决问题是解题的关键． 35．【答案】（1）     （2）点的坐标为     （3）      【分析】 （1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： (3) 小问详解： 解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 36．【答案】（1）     （2）     （3）存在；或      【分析】 （1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可解得； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线解析式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解： 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 (3) 小问详解： 解：存在点D，使得中有一个角与相等． ∵点F是的中点，，，， ∴，，， ， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得 ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得 ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】 此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 37．【答案】（1）     （2）9     （3）或      【分析】 （1）把代入得，根据对称轴为直线得，联立求解即可； （2）把抛物线化为顶点式可知时，y有最小值1．利用二次函数的性质求出最大值，然后求差即可； （3）设点N在抛物线上，，根据求出m，再求出A、B点的横坐标，结合图形即可求出点M的横坐标m的取值范围． (1) 小问详解： ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴ 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，． ∵， ∴当时，y有最小值1． 当时，结合函数图象，当时，y有最大值10， ∴抛物线的最大值与最小值的差为； (3) 小问详解： 设点N在抛物线上，， 则，即， 解得． 当， 整理得， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A的横坐标为，点B的横坐标为2． 结合图象，当线段与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，以及二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 38．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，求得，将代入求得，再由待定系数法求解即可； （3）过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为，证明，则，，那么，同上可求直线表达式为：，与抛物线解析式联立得： 即可求解点坐标． (1) 小问详解： 解：由题意得，将代入得，， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式：； (2) 小问详解： 解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将代入， 得：， 解得：，（舍）， ∴， 设直线表达式为：， ∴ ， 解得： ， ∴直线表达式为：； (3) 小问详解： 解：过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可求直线表达式为：， 与抛物线解析式联立得： ， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数与角度的存在性问题，涉及待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点问题等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 39．【答案】 【分析】 此题考查分段函数的图像与性质，一次函数图像上点的坐标特征，结合图像求出的最大值和最小值是解题的关键．根据题意可知，当直线经过点时，直线与该图像有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，令的，进而可得出的最大值是15，最小值是2，即可得到答案． 【详解】 解：当直线经过点时， 可有，解得； 当直线与抛物线只有一个交点时，可得， 整理得， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴的最大值是15，最小值是2， ∴若直线与该图像有公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】 解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 41．【答案】（1）     （2）或     （3）①抛物线解析式为： ；②当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．      【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，利用二次函数确定方程根的情况，三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将 和代入解析式即可求解； （2）过P作轴，，可证，则，设 ，因为D 在上，即，求解即可； （3）① 当，，这一部分图象不变，解析式为；当或时，，翻折后函数值变为原来的相反数，即； ② 方程的根的个数即直线与图象 M 的交点个数，讨论k的取值结合图像解答． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点和， ， 解得 ，        故答案为：； (2) 小问详解： 解：抛物线为 ，对称轴为直线， 设，D在直线上， 过点P作轴于点F，过点D作于E， ∵， ∴， ， ，， ， ， 即， 或， 解， ， 解得：， ∵， ∴； 解， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故或； (3) 小问详解： 解：原抛物线， 当，， ∴这一部分图象不变，解析式为； 当或时，， ∴翻折后 函数值变为原来的相反数，即， 故新函数图象对应的函数解析式 ； ② 方程的根的个数即直线与图象 M 的交点个数， 如图：：无交点，0 个根； ：有两个交点，2 个根； ：有4个交点，共 4 个根； ：有3个交点，共 3 个根； ：有 2 个交点，共 2 个根； 综上所述：当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 42．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）将、代入抛物线解析式中，转化为关于待定系数的方程组求解即可； （2）先求得点的坐标，结合，求得，再说明，进而得出，从而可得，就可求得，设直线的解析式为∶，将其上的两点坐标代入求得直线的解析式．再联立 ，求得P点的坐标； （3）设直线的解析式为，将、，代入求得直线的解析式，再根据，得出(同底等高)，再，设()，可用t表示出点的坐标，从而可用t表示出，就可求得，再利用求得当时，，从而可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解∶∵抛物线过、， ∴ ， 解得：，， 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为． 联立 ， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． (3) 小问详解： 解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴ ， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即． 【点睛】 本题考查了的图象与性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 43．【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的性质与根的判别式，抛物线在直线下方的部分对应不等式，该二次函数开口向上，不等式成立的条件是其两个根之间的开区间内恰好有四个整数横坐标点，根据根与系数的关系，分类讨论和两种情况，分别确定整数点的范围，从而得到的取值范围． 【详解】 解：令，需满足， 判别式， 当 时，根为 和 ， 区间为， 整数点从 开始，需恰好四个点，即 ， 在区间内，且不在区间内，故需， 解得， 当时，根为和， 区间为 ， 需恰好四个整数点，即 ， 在区间内，且不在区间内， 故需且， 解得， 综上，的取值范围为或． 故答案为 或 ． 44．【答案】（1）     （2）①6，②，，2，3      【分析】 （1）将点代入即可求得解析式； （2）① 可得四边形为矩形，．求出解析式．由抛物线的对称轴l的解析式为，得，．得．由得．四边形的周长．得当时，四边形周长的最大值为6．② 过点作于点Q，证明，得，当点A绕点P顺时针旋转时，．得解得或，当点A绕点P逆时针旋转90°时，．得解得或，即得． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：① ∵轴，轴，轴，直线轴， ∴四边形为矩形， ∴． 对， 令，则， ∴． 设解析式为, 把代入，得， 解得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴l的解析式为， ∴， ∴． ∵点P在线段上(点P不与点G，H重合)， ∴． ∴． ∴四边形的周长． ∵，， ∴当时，周长有最大值6， 即四边形周长的最大值为6． ② 过点作于点Q， 则， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 当点A绕点P顺时针旋转时，， ∴ ∵轴， ∴． ∵点在抛物线上， ∴ ∴ 解得或 当点A绕点P逆时针旋转90°时，， ∴ ∴． ∴ ∴ 解得或 综上，，，2，3． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，矩形判定和性质，二次函数与线段周长综合，等腰直角三角形性质，旋转性质，分类讨论，是解题的关键． 45．【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2） 【分析】 （1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可； （2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况； （3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2， 抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6． （2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，    ∵是等腰直角三角形， ∴∠BOA =45°， 又∵∠BDO=∠BAO=90°， ∴点A、B、O、D四点共圆， ∴∠BDA=∠BOA=45°， ∴∠ADC=90°-∠BDA=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴DC=AC． ∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， ∴抛物线的对称轴为x=2， 设点A的坐标为（x，x2-4x-2）， ∴DC=x-2，AC= x2-4x-2， ∴x-2= x2-4x-2， 解得：x=5或x=0（舍去）， ∴点A的坐标为（5，3）； 同理，当点B、点A在x轴的下方时， x-2= -(x2-4x-2)， x=4或x=-1（舍去）， ∴点的坐标为（4，-2）， 综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）． （3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点， ∴ ， ∴x2-kx-6=0， 设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF， ∴xE+xF=k， ∴中点M的横坐标xM==， 中点M的纵坐标yM=kx=， ∴点M的坐标为（，）； 同理可得：点N的坐标为（，）， 设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0）， 将M（，）、N（，）代入得： ， 解得： ， ∴直线MN的解析式为y= ·x+2（）， 不论k取何值时（），当x=0时，y=2， ∴直线经过定点（0，2）． 【点睛】 本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键． 46．【答案】① ② ③ 【分析】 将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断① ；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断② ；设，，则，，，求得，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③ ，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解． 【详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，即与关于对称轴直线对称， ∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故① 正确； ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得：； 综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故② 正确； ∵抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，且， ∴设，，则，，， 解得：， 在中，令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则，故③ 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合得出； 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合得出，故④ 错误； 综上所述，正确的有① ② ③ ； 故答案为：① ② ③ 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数的解析式化为顶点式，采用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．【答案】， 【分析】 本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据图示，由交点横坐标即可求解． 【详解】 解：根据题意，关于的方程的解为， 故答案为： ． 7．【答案】 【分析】 本题考查由抛物线与轴交点情况与判别式的关系求参数，熟记抛物线与轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键． 抛物线与轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】 解：抛物线与轴无交点， 一元二次方程无实数根， 则 解不等式得， 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入已知点的坐标即可得到a的值； （2）根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点，即可得到抛物线与x轴的另一个交点； （3）利用图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集． 熟练掌握的图象和性质、图象法解不等式、抛物线与x轴的交点问题等知识，数形结合思想是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把代入得， ， 解得， (2) 小问详解： 由（1）可知，二次函数的解析式为， 由得到二次函数的对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点为， ∴该抛物线与轴的另一交点的坐标为； (3) 小问详解： 由二次函数的图象与轴的两个交点为、，开口向下， ∴当时，二次函数的图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 9．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）找到抛物线在直线上方时，自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：把，代入，得，解得； ∴； 把，代入，得： ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 由图象可知：不等式的解集是或． 10．【答案】（1）直线；，；     （2）①；②或      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）先根据待定系数法求出二次函数解析式，然后根据对称轴公式求出对称轴，令，即可求出方程的解； （2）① 先，，对应的函数值，然后函数图象即可得到结论； ② 先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． (1) 小问详解： 解：把，，代入， 得 ， 解得 ∴， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴方程的解为为，， 故答案为：直线；，； (2) 小问详解： 解：① 当时，；当时，， 当时， ∴由图象知：当时，y的取值范围为， 故答案为：； ② 当时，， 解得，， ∴由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 11．【答案】（1）     （2）点的坐标为或．     （3）      【分析】 （1）当时，，即可求出； （2）求出，过点B作交直线于点D，过点D作轴于点E，可得，由，得，，设的解析式为，分当在 上方，当在下方，求出的解析式与抛物线解析式联立，求出点的坐标或； （3）本题可先设出点，其中，再分别求出直线，的解析式，进而得到M、N的纵坐标、，结合，最后根据列出等式求解m的值 (1) 小问详解： 解：当时，， 令，则； 令，则， 解得，或， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ∴． ∴． 过点B作交直线于点D，过点D作轴于点E， 则． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，，，． ∴， ∵， ∴． 设的解析式为， 当在 上方时，， ∴． ∴． ∴． ∴． 联立 ， 得． 解得（舍去），或． ∴． ∴． 当在下方时，， ∴ ∴． ∴． ∴． 联立 ， 得． 解得（舍去），或． ∴． ∴． 综上，点的坐标为或． (3) 小问详解： 解：设，其中， 对， 令，则， ∴， ∴， 解得。 令，得， ∵A在B左侧， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得： ②-① ，得 把代入① ，得， ∴直线的解析式为 令，可得 设直线的解析式为， 把，代入可得： ④-③ ，得： 把代入③ ，得， 所以直线的解析式为 令，可得 ∵， ∴设C的纵坐标为 ∵， 且，H在B、C之间， ， 即， ， 因方程对任意t（H运动过程中）恒成立，故含t的系数必须为 0： ， 解得： m的值为． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形，分类讨论，掌握相关性质是解题的关键． 12．【答案】① ② ③ ④ ⑤ 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键：对于结论①，将点和代入函数解析式，验证是否成立；对于结论②，由于函数必过点，因此与x轴至少有一个交点；对于结论③，时函数开口向上，求对称轴并比较与的关系；对于结论④，利用根与系数的关系，结合整数条件分析；对于结论⑤，图象法进行判断即可． 【详解】 解：① 当时，； 当时，； ∴对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点和两点；故① 正确； ② 由① 可知，函数图象必经过点，故该函数图象与x轴一定有交点；故② 正确； ③ 当时，抛物线的开口向上， ∵， ∴对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；故③ 正确； ④ 由① 可知，该二次函数的图象与x轴的一个交点为， 当时，方程的一个根为，设另一个根为， 则：， ∴， ∵为整数，也为整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，；符合题意； 故；故④ 正确； ⑤ 当时，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 由① 知：抛物线过点， ∴抛物线上存在另一个点纵坐标为1，且抛物线上一定存在2个点，点的纵坐标为， ∴与直线和直线均有2个交点， 即：关于x的方程的根有4个；故⑤ 正确； 故答案为：① ② ③ ④ ⑤． 13．【答案】（1）、、     （2）或     （3）      【分析】 （1）分别取，，即可求得A、B、C三点的坐标； （2）先求出直线的解析式，再用表示出，得到关于的方程求解，根据点D是x轴下方抛物线上的点求解即可； （3）先联立 ，利用根与系数的关于得到，，再联立 ，利用根与系数的关于得到，从而可得，，进而得出，联立 ，从而可得，进而求得直线过定点． (1) 小问详解： 解：， 当时，， 当时，，解得，， ∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴、、． (2) 小问详解： 解：设D点坐标， 设直线的解析式为， ∵、， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴或， ，解得：，， ，解得：， 当时，； 当时，； 当时，， ∵点D是x轴下方抛物线上， ∴点D横坐标为或． (3) 小问详解： 解：联立 ， 则， ∵点M、N是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为，设直线的解析式为， 联立 ， 则， ∵M、Q是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 同理可得． ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 联立 ， 得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴直线过定点． 【点睛】 本题考查了求一次函数解析式，一次函数、二次函数图象综合判断，求抛物线与x轴的交点坐标，求抛物线与y轴的交点坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点06 实际问题与二次函数 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．【答案】12.5 【分析】 本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，掌握正方形的面积公式是解题的关键． 设一段铁丝的长度为，另一段为，由正方形的面积公式可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】 解：设一段铁丝的长度为，另一段为， 则边长分别为， 则， ∴当时，最小，为． 故答案为：12.5． 7．【答案】（1）（）；（）     （2）①销售价应定为每千克25元； ②销售价定为每千克28元时，每天利润最大，最大利润是192元．      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式，并结合二次函数的性质求解最值． （1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系得出与的函数式；再由“利润（售价成本）销售量”得出与的函数式； （2）①将代入利润函数解方程，结合售价限制确定销售价；②将利润函数化为顶点式，结合售价取值范围确定最大值及对应售价． (1) 小问详解： 解：由题意，（）； （）． (2) 小问详解： ①解：令，则， 整理得，因式分解得， 解得， 因，故 答：销售价应定为每千克25元． ②解：， 因，对称轴为，又， 故当时，． 答：销售价定为每千克28元时，每天利润最大，最大利润是192元． 8．【答案】4． 【分析】 根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间. 【详解】 解：依题意，令得： ∴ 得： 解得：（舍去）或 ∴即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为4． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单. 9．【答案】（1）     （2） 解：每天获利不可能达到元，理由： 由题意得：，即， 整理得：， △，故方程无解， 即每天获利不可能达到元；     （3） 元      【分析】 （1）根据每天所得的销售利润=每件的销售利润×每天可卖出的件数列出解析式； （2）由，再列方程利用判别式即可求解； （3）由(1)知，涨价x元卖出件，则26元卖出 件，进而求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意得：， 故当天获利的最大值为元． 【点睛】 本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．【答案】（1），     （2）     （3）售价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的实际应用及二次函数的最值问题，关键是找准变量之间的函数关系； （1）根据日销售量=降低的钱数，日销售利润=单件利润×日销售量，即可求得结果； （2）根据日销售量=降低的钱数即可列出解析式； （3）根据日销售利润=单件利润×日销售量列出解析式，并求出最值． 【详解】 （1）解：∵ ∴ 即：日销售量为件， 日销售利润为元； （2）解：由题意得：； （3）解：设日销售利润为元， ， ∵， ∴当时， 有最大值为． 即售价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元 11．【答案】（1）     （2）当点E为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是      【分析】 （1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含角直角三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到，继而解出，最后根据矩形的面积公式解答即可； （2）利用配方法得到，据此解答． (1) 小问详解： 解：∵，，点E与点A点B均不重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 则 ， ∴当时，矩形的面积最大， ∵ 即当点E为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，矩形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．【答案】落地点C距离B点米 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，确定坐标系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意找出顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出抛物线与横轴的交点坐标即可． 【详解】 解：以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意则抛物线的顶点坐标为， 设解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴， 当时，， 解得或（舍去） ∴落地点C距离B点米． 13．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，月销售利润为每包利润乘以销售量，根据给定条件建立二次函数，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：设月销售利润为 ，则 ． 展开得 ． 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处． 顶点横坐标 ． 故当销售单价为 250 元时，月销售利润最大． 故答案为：250． 14．【答案】（1）     （2）当时，w最大，最大值为2450元．     （3）当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元．      【分析】 本题主要考查了一次函数、二次函数的应用等知识点，弄清题目中包含的数量关系是解题的关键． （1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到，然后化成顶点式并根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得x的取值范围，然后利用（2）的相关结论以及函数的增减性即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意得，． (2) 小问详解： 解：根据题意得： ， ， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为2450元． 答：当x为30时，超市每天销售这种玩具可获利润2450元； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为元． 答：当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 15．【答案】（1）     （2）     （3）第天的日销售利润最大为元      【分析】 本题考查了一次函数，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为，把，代入求出即可； （2）当时，当日销量为盏，当日售价为元，根据日销售利润单利润日销量计算； （3）设日销售利润为元，根据销售利润售价成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； (1) 小问详解： 解：设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为， 把，代入得： ， 解得： ， ∴销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时， 当日销量为盏， 当日售价为元， ∵台灯的成本为元/盏， ∴第8天的日销售利润为元． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：设日销售利润为元，依题意得： ； ，，且为整数， 当时，取得最大值，最大值是； 在这天中，第天销售利润最大，最大日销售利润是元． 16．【答案】（1）     （2） 不能到达，理由如下： 将抛物线向左平移2米，得到的抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 且， 此时的水流不能到达点A正上方4米处的B着火点；     （3）      【分析】 （1）令抛物线的顶点式为：，将点代入求解即可； （2）先求出平移后的抛物线方程，再比较点的纵坐标与点纵坐标即可求解； （3）根据题意当时，，通过解不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得点,抛物线对称轴：， 令抛物线的顶点式为：， 将点代入，得 ， 解得， ， 求原水流所在抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 抛物线向左平移m个单位后，解析式为：， 水流在墙面( )上到达点高度不低于，即当时，， ， 解得， m的取值范围． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质及应用，二次函数的顶点式，待定系数法求函数的解析式，抛物线与坐标轴交点，图象的平移，理解函数图象的平移规律是解题的关键． 17．【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）①根据当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b，然后把代入解析式可求C，最后把解析式化为顶点式即可求解； ②令，得出，然后解方程即可求解； （2）先根据求出c，然后求出E、F的坐标，再分别E、F的坐标代入函数解析式求出b的值，最后数形结合观察图形即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① ∵当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 由题意知抛物线经过， ∴， ∴ ∴， ∴当时，y有最大值， ∴小球达到的最大高度为； ②令，则， 解得，， ∴球落地时的水平距离为； (2) 小问详解： 解：由题意知抛物线经过， ∴， ∴， 根据题意知，， 当抛物线经过时， 则， 解得， 当抛物线经过时， 则， 解得， ∴要使小球落入筐中，则． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，其中涉及到二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． 18．【答案】（1）     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）设进价为元/支，由销售表列方程求解即可得到答案；设关于的函数关系式为，将代入关系式列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）由题意，得到，根据二次函数图象与性质求最值即可得到答案； （3）由题意，得到新的销售利润，由二次函数图象与性质得到当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，列不等式求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设进价为元/支， 则由销售表可得， 解得； 设关于的函数关系式为， 将代入关系式可得 ， 解得 ， 则关于的函数关系式为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：存在， 由题意可得 ， ， 二次函数图象开口向下，当时，函数值有最大值； (3) 小问详解： 解：要求在售价不超过37元， ， 新的销售利润 ， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大， ， 解得， 的取值范围． 【点睛】 本题考查综合应用题，涉及一元一次方程解应用题、一次函数解应用题、二次函数解应用题、由二次函数图象与性质求最值、由二次函数图象与性质解不等式等知识，综合性强，难度较大，理解题意，根据要求准确列出得出方程、函数及不等式分析是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列函数中，是二次函数的有（     ） ①；②；③；④．⑤ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的定义，一般式为，根据给定的函数依次分析． 【详解】 ①，符合二次函数的一般式，是二次函数； ②，由于不是整式，不是二次函数； ③，是一次函数，不是二次函数； ④，函数中的最高次数是，不满足二次函数最高次数是的条件，不是二次函数； ⑤，当时，不是二次函数； 故选：A． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：　　　　　　　． 【答案】(答案不唯一) 【分析】 由二次函数图象的性质可得：时图象开口向上． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴符合题意， 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数中二次项系数与开口的关系是解题的关键． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）抛物线的顶点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式 ，顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为； 故选C． 2．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的顶点式性质，顶点坐标为．根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标． 【详解】 ∵抛物线解析式为，符合顶点式的形式， ∴其中，， ∴顶点坐标为． 故选：A． 3．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）抛物线的对称轴是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质．该抛物线为顶点式，其对称轴为直线，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，抛物线的对称轴是， 故选：B． 4．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）二次函数已知点都在函数的图象上，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小，且关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 5．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）将抛物线．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】 解：由平移规律可得：将二次函数向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为：． 故选D． 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故选：B． 7．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 8．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，就得到抛物线（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度为． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 9．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】 解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是． 故选：B． 10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线解析式为（　　） A. y＝﹣（x+3）2+2 B. y＝﹣（x﹣3）2+2 C. y＝﹣（x+3）2﹣2 D. y＝﹣（x﹣3）2﹣2 【答案】A 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：抛物线y＝﹣x2先向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2， 再向左平移3个单位得到解析式：y＝﹣（x+3）2+2； 故选A． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 11．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）把二次函数向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的图像与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的图像表达式为： ， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后抛物线解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移．根据抛物线平移的规则“上加下减，左加右减”进行作答即可． 【详解】 解：∵将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 ∴， 整理得， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为　　　　　． 【答案】y＝2（x﹣1）2+3 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，函数的表达式为：y＝2（x﹣1）2+3． 故答案为y＝2（x﹣1）2+3． 【点睛】本题考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 14．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）将抛物线向右平移1个单位长度后经过点，则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据“左加右减”的法则，求出抛物线的解析式，然后将点代入进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为， 将点代入得：， 故答案是：2． 【点睛】 本题考查的是二次函数图象平移的法则和根据二次函数关系式求参数，熟悉相关性质是解答此题的关键． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（       ） A. 0，4 B. 0，3 C. 3，4 D. 0，0 【答案】A 【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是， 则当时，，是最小值； 当时，是最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键． 2．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，先根据解析式得到开口方向和对称轴，进而得到离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点均在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：D． 3．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质．由于得二次函数开口向下，对称轴为，点B在对称轴上，函数值最大；点A和点C到对称轴的距离分别为3和2，距离越远函数值越小，因此，即可作答． 【详解】 解：∵ ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向下，在对称轴处取得最大值． ∵点在对称轴上， ∴最大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴开口向下，距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）若二次函数满足，，则图象的对称轴是直线（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了利用抛物线的对称性求解，根据题意可知点和点关于对称轴对称，进而可求出对称轴． 【详解】 解：∵二次函数满足，， 即当时，满足， 当时，满足， ∴点和点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选A． 5．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）对于，下列说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 当时，随增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 先将原函数化为顶点式，再由函数的图象与性质判断即可． 【详解】 解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确，符合题意；D不正确，不符合题意； ∵， ∴开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，故C不正确，不符合题意， 故选：B． 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）若二次函数的与的部分对应值如下表： 0 1 2 3 3 0 0 3 则抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，根据对称性可求出对称轴为直线，再结合表格中的数据可得答案． 【详解】 解：∵当时和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵当时的函数值为， ∴顶点坐标为， 故选：C． 7．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据抛物线的对称轴为轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时，随的增大而减小，即可判断，，的大小关系． 【详解】 解：由二次函数可得，对称轴为轴， 时的函数值与时的函数值相等，等于， 时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知二次函数（为常数）的图象经过点，，则，，的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D. 与的值有关 【答案】C 【分析】 本题主要考查了比较二次函数的函数值的大小，根据解析式可求出对称轴和开口方向，进而得到离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数（为常数）的图象经过点，，且， ∴， 故选：C． 9．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 最小值4 B. 最大值4 C. 最小值2 D. 最小值3 【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数开口向上，有最小值，最小值在顶点处取得． 【详解】 解：∵在中，， ∴函数图像开口向上， ∴二次函数有最小值，最小值为顶点纵坐标4． 故选A． 10．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图所示是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点，下列说法：①；②；③是关于的方程的一个根；④．其中正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 ① 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；② 根据抛物线与x轴的交点即可判断；③ 根据二次函数的对称性即可判断；④ 由对称轴求出b=-a即可判断． 【详解】 解：① ∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x=， ∴， ∴b=-a＞0， ∴abc＜0． 故① 错误； ② ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0， 故② 正确； ③ ∵对称轴为直线x=，且经过点（2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0）， ∴x=-1是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根， 故③ 正确； ④ ∵由① 中知b=-a， ∴a+b=0， 故④ 正确； 综上所述，正确的结论是② ③ ④ 共3个． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下． 12．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是，．其中正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，特殊点判断① ，对称轴判断② ，图象法判断③ 和④ 即可． 【详解】 解：由图象可知：，对称轴为直线，顶点坐标为，图象过点， ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴，故① 正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故② 正确； 由图象可知：二次函数的图象和直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根；故③ 正确； ∵图象与轴的两个交点坐标为：，， ∴的两个解为：， ∴方程的两根是或，即：，；故④ 正确； 故选D． 13．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）    A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 ① 根据抛物线的开口方向向下即可判定；② 先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【详解】 解：① 由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确； ②∵抛物线的顶点为P（1，m） ∴，b=-2a ∵a＜0 ∴b＞0 ∵抛物线与y轴的交点在正半轴 ∴c＞0 ∴abc＜0，故②错误； ③∵抛物线经过点A（2，1） ∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确； ④ ∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下 ∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤ ∵a＜0 ∴at2+bt-（a+b） = at2-2at-a+2a = at2-2at+a =a（t2-2t+1） = a（t-1）2≤0 ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 综上，正确的共有4个． 故答案为C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 14．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）已知二次函数（，，都是实数），满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，当时，，则的值为（       ） A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数中求参数，由题中关系列式求解即可得到答案． 由对任意实数，都有，且当时，有成立，取时，两个不等式同时取等号，得到抛物线过点；再结合当时，，代入二次函数解析式，通过解方程组求解即可得到答案． 【详解】 解：∵对任意实数，都有， ∴ 当时，； ∵当时，有成立， ∴当时，； 综上所述，二次函数图象过点， ① ； 当时，， ② ； 由①②得：， 化简得：， 解得， 故选：B． 15．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 16．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质，结合二次函数图像确定的取值范围，然后结合一次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】 解：对于二次函数，由题意可知， 其图像开口向下，则， ∴， 该二次函数图像的对称轴在轴左侧， 则， 结合可得， ∴， ∴对于一次函数，可知随的增大而减小， 当时，则，即该一次函数的图像与轴交于正半轴， ∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 17．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知二次函数的图象经过点和，则与的大小关系是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，求得二次函数的对称轴以及二次函数的增减性是解题的关键． 通过求二次函数的对称轴，判断函数在对称轴左侧的单调性，结合点的横坐标大小关系比较函数值即可． 【详解】 解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下．对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵ ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知二次函数图象的顶点为，且经过点．求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数的解析式，根据条件设出合适的解析式是解题的关键． 由顶点坐标，设出顶点式，再把点代入求解即可． 【详解】 解：顶点为， 设． 又图象过， ，解得． ，即． 19．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线的解析式； （3）当时，的取值范围是________． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法直接求出值，即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中求得的抛物线的解析式为，求出点，再由待定系数法列方程组求出 ，即可得到直线的解析式； （3）由（1）知，，由二次函数图象与性质可得最大值；当时，取得的最小值，是在与时所得值中小的那个；从而得到的取值范围． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点， 将点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， 抛物线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，即， 将、代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为； (3) 小问详解： 解：由（1）知，， ，对称轴为， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 而当时，取得的最小值，是在与时所得值中较小的那个， 当时，；当时，； ， 的最小值是， 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知点，，都是抛物线上的点，则将，，用“<”连接为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对应的函数值是解题的关键． 直接将点，，代入函数解析式，求出函数值比较即可． 【详解】 解：∵点，，都是抛物线上的点， ∴； ； ， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）根据函数图象完成以下问题 ①当时，的取值范围为______． ②当时，的取值范围为______； 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查了二次函数的顶点式变形、二次函数图象的性质（与轴的交点、开口方向、顶点坐标）．熟练掌握配方法转化二次函数形式、结合函数图象分析函数值的取值范围是解题的关键． （1）通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式； （2）① 根据函数图象，找出对应的取值范围；② 结合函数图象，确定时的最大值和最小值，从而得到取值范围． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：①∵二次函数的图象与轴交点为、，且抛物线开口向上， ∴当时，的取值范围为． 故答案为：． ② ∵二次函数顶点为（开口向上，此处取最小值）， 当时，； 当时，， ∴在时，的最大值为，最小值为， ∴的取值范围为． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数）．其中结论正确的是：　　　　　　　　　　　　． 【答案】② ④ ⑤ 【分析】 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ① 由图象可知： ∵对称轴为直线， ∴ ∴，故① 错误． ② ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴，故② 正确． ③ 当时，， 故③ 错误． ④ 当时，， 即，故④ 正确． ⑤ 当时，为最小值， 当时，， ∴ 整理得：， 故⑤ 正确． 综上，正确的有② ④ ⑤ ， 故答案为：② ④ ⑤ ． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定，这是解题的关键所在． 23．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，的取值范围是________； （3）若点在该函数图象上，且，则的取值范围为________． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，平移变换的性质，二次函数最值和增减性应用等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把代入求出a得到抛物线的解析式为； （2）分别计算出和所对应的函数值，然后根据二次函数的性质得到y的取值范围； （3）根据二次函数的性质，通过分析两点到对称轴的距离来求解b的取值范围． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 而时，y有最小值， 所以当时，y的取值范围为． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵点，在该函数图象上，且， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又根据二次函数的性质，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∴， 即， ∴， ， 解得， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点、某数学兴趣小组围绕该定义进行了如下相关探究． 探究1： （1）请判断：二次函数______“不动点函数”（填写“是”或“不是”）． 探究2： （2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）是；（2）；（3），该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等 【分析】 本题考查了二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，即可判断； （2）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （3）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】 解：（1）令，则，解得：或， ∴点和为该函数图象上的不动点， ∴二次函数是“不动点函数”． （2）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵拋物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ； （3）根据题意得，， ， 整理得， 解得， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等． 25．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点，则关于 x 的一元二次方程a(x－3)2＋c＝3b－bx 的解是　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】先根据抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点建立方程组，用含有a的代数式来表示b和c，之后直接将代数式代入方程即可整理求解． 【详解】解：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－2，0)、B(1，0)两点， ∴ ， ①+②×2可得：6a+3c=0， ， ①-② 可得：， ， a(x－3)2＋c＝a(x－3)2－2a=3b－bx=3a－ax， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数且）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 26．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）抛物线与轴的另一个交点坐标：______； （2）不等式的解是______； （3）随的增大而减小的自变量的取值范围是______； （4）求出抛物线的解析式及顶点坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4），顶点坐标为      【分析】 题目主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）根据函数图象及对称轴即可求解； （2）结合函数图象及（1）中交点即可得出结果； （3）根据函数图象即可得出结果； （4）设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意得抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 抛物线与轴的两个交点坐标为， 不等式的解是； 故答案为：； (3) 小问详解： 抛物线的对称轴为， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； (4) 小问详解： 依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，， 设抛物线的解析式为， 把三个点的坐标代入其中得 ， 解之得 ， ， 顶点坐标为． 27．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值和点Q的坐标 【答案】（1）     （2），，     （3）有最大值，此时点的坐标为      【分析】 （1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）设P点坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； （3）先求出直线的解析式为，再设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． (1) 小问详解： 解：把，代入， 得： ，解得： ， 故该抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 由（1）知，该抛物线的解析式为， 当时，即，解得：，，则， 设P点坐标为， ∵， ∴， 整理，得或， 解得或， 则符合条件的点P的坐标为：，，； (3) 小问详解： 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得： ， 即直线的解析式为． 设Q点坐标为，（），则D点坐标为， ， ∴当时，有最大值，此时点的坐标为． 【点睛】 考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 28．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，已知抛物线经过点．    （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）当时，请根据图像直接写出的取值范围． 【答案】（1）的值为，此抛物线的顶点坐标为     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质等知识， （1）将点代入抛物线并求解，即可确定的值，进而可得该二次函数解析并将其转化为顶点式，即可确定此抛物线的顶点坐标； （2）首先确定该函数图像开口向下，结合顶点坐标可得当时，可有取最大值，最大值为4，然后分别计算和时的值，即可获得答案； （3）结合图像确定的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：将点代入抛物线， 可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的顶点坐标为； (2) 小问详解： 由（1）可知，该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∵， ∴该抛物线开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为； (3) 小问详解： 当时，结合图像可知，的取值范围为． 29．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为（），发现随着常数的不同取值，对应新抛物线的顶点纵坐标的取值范围是：，请求出常数的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点 （1）根据抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为，由得点A的坐标，代入所设函数解析式中，即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即此时最小为．由题意得点B、D的坐标，则可求得直线的解析式，即可求得点P的坐标； （3）由二次函数的解析式可求得顶点坐标为，即，利用二次函数的性质结合，求出函数的函数值分别为11与19时对应的自变量值，即可确定b的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点在处，， ∴设抛物线解析式为：， 又， ∴， ∴把点代入解析式中得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：． (2) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即此时最小为． ∵点到对称轴的距离是1，且点在抛物线上， ∴点． ∵点， ∴点． 设直线为：，则 ，解得： ， ∴直线解析式为：， 令，得, 即点为． (3) 小问详解： 解：∵抛物线可化为：， ∴顶点坐标为． ，且纵坐标， ∴当时，随的增大而增大． 又， ∴当时，，解得：（舍去），， 当时，，解得：（舍去），． ∴常数的取值范围是：． 30．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）直线分别与轴，轴分别交于，，抛物线经过点． （1）求的值； （2）如图1，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标； （3）如图2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，的对称轴交直线于．设的顶点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数关系式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）的值为1；     （2）；     （3）① ；② 当时，或或．      【分析】 （1）先求得，利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到，则点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （3）① 求得平移后的解析式为，得到，，推出，分三种情况讨论即可求解； ② 分两种情况讨论，画出图形分别求得当和时，的值，结合图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∵抛物线经过点， ∴，即的值为1； (2) 小问详解： 解：作轴于点， 由（1）得抛物线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点的横坐标，，则， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，整理得， 解得， ∵在第一象限， ∴； (3) 小问详解： 解：①，平移后的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ； ② 当或时，， 画出草图如下， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，或； 当时，， ∴， 画出草图如下， 当时，，解得， ∴当时，； 综上，当时，或或． 【点睛】 此题考查了待定系数法求解析式，二次函数与几何的综合应用，解直角三角形．解题的关键是熟练掌握二次函数图像上点的坐标特点． 31．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则          ． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为     （2）     （3）m的值为3或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线BC解析式为． (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 32．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，直线与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线：经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段上一动点，直线交抛物线于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1做轴交x轴于点G且，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线于点M，N，设d，点P的横坐标为． ①求d关于m的函数关系式； ②求满足d为整数的点P的个数． 【答案】（1）     （2）     （3）8      【分析】 （1）先确定A、B的坐标，然后再将A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组求解； （2）先确定点，如图1，过点D作轴，交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得点D的横坐标，即可解答； （3）① 根据点P的横坐标为m表示，的长，分两种情况根据即可解答； ② 分，两种情况，根据① 中的函数解析式统计满足d为整数的点P的个数即可． (1) 小问详解： 解：在中，当时，；当时，，解得：， ∴点，点， 把点，点代入， 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 由(1)得， 当时，， 解得：，， 点， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 即点D的横坐标为， 当时，， 点D的坐标为； (3) 小问详解： 设的解析式为：， 则 ， 解得： ， ∴直线的解析式为：； ∵抛物线上有一动点P， ∴设， ∵过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线于点M，N， ∴，， 分两种情况： 如图2，， ∵， ∴ ； 如图3，， ∵， ∴ ； 综上，d关于m的函数关系式为： ； ② 当时，如图2，， ∴当时，， 当时，， 当时，， 中的整数d有2，3，4，三个， 由对称性可知：时点P有一个，时点P有一个，时点P有两个， 则满足d为整数的点P的个数有4个； 当时，如图3，， ∵此时d随着m的增大而增大， ∴当时，；当时，， 中的整数有3，4，5，6，即满足d为整数的点P的个数有4个， 综上所述，满足d为整数的点P的个数为(个)． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，二次函数的最值等知识点，解题关键是利用点的坐标差表示线段的长． 33．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）抛物线（，是常数，）经过点，下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③若，两点均在抛物线上，且，则；④若方程有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是　　　　　　　　，（填序号） 【答案】① ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，① 根据函数图像经过点的意义，只要得到即可；② 由① 得，结合判断出的正负即可；③ 得出对称轴为直线，根据,，则，即可求解；④ 将两个根转化为交点的横坐标，即可求解． 【详解】 解： 抛物线经过点， ， ， ∴， 当时，， ， 该抛物线一定经过，故① 正确． ② 由① 得：， ， ， ， ， ．故② 正确． ③ 抛物线的对称轴为直线， ，， ， 解得：，故③ 错误． ④ 方程即， 设， ∵， ∴， ∵方程有四个根， ∴， 此时有两个根，一正一负； 有两个根，均满足； ∴当时，的根均为负，仅有一个正根，结论不成立，错误； 故答案为：① ② ． 34．（25-26学年九上·湖北武汉水果湖第二中学·期中）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C． （1）如图1，当时，直接写出点A、B、C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，，求P点的坐标； （3）如图2，当时，若H是抛物线上B、C之间的一点（不与B、C重合），直线，分别交y轴于M、N两点，在点H运动过程中，总有，求m的值． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）当时，，即可求出； （2）可得，当点在直线下方抛物线上时，记为，可得，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点，则，求出，继而可求直线，则与抛物线解析式联立即可求解；当点在直线下方抛物线上时，记为，过点作轴的垂线交直线于，，则，则，同理可求直线，即可同上求解；        （3）本题可先设出点，其中，再分别求出直线，的解析式，进而得到M、N的纵坐标、，结合，最后根据列出等式求解m的值． (1) 小问详解： 解：当时，． 令，则； 令，则， 解得，或． ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点在直线下方抛物线上时，记为 ∵， ∴， 过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线，则 ， 解得 ， ∴直线， 则 则 ， 解得或（舍） ∴； 当点在直线下方抛物线上时，记为， 过点作轴的垂线交直线于 ∴ ∵，， ∴， ∴， 对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线， 则 ， 解得，（舍）， ∴，        综上：P点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：设，其中． 对， 令，则． ∴． ∴． 解得． 令，得． ∵A在B左侧， ∴，． 设直线的解析式为， 把，代入可得： ． ，得． 解得． 把代入① ，得． ∴． ∴直线的解析式为． 令，可得． 设直线的解析式为， 把，代入可得 ． ，得． 解得． 把代入③ ，得． ∴． ∴直线的解析式为． 令，可得． ∵， ∴设C的纵坐标为． ∵，， 且，H在B、C之间， ∴． 即． ∴． ∵， ∴． 约分，得． ∴． ∴． ∵方程对任意t（H运动过程中）恒成立， ∴含t的系数必须为 0． ∴． 解得：． 故m的值为． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图像和性质，二次函数、一次函数与坐标轴的交点，二次函数、一次函数与线段综合，正确构造“一线三等角”的基本图形解决问题是解题的关键． 35．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1）     （2）点的坐标为     （3）      【分析】 （1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： (3) 小问详解： 解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 36．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段长度的最大值； （3）连接，F是的中点，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在；或      【分析】 （1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可解得； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线解析式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解： 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 (3) 小问详解： 解：存在点D，使得中有一个角与相等． ∵点F是的中点，，，， ∴，，， ， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得 ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 联立得 ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】 此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 37．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）如图，抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧），该抛物线的对称轴是直线．    （1）若点在该抛物线上，求抛物线的解析式； （2）当，且时，求抛物线的最大值与最小值的差； （3）已知是直线上的动点，将点向下平移2个单位长度得到点．若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）     （2）9     （3）或      【分析】 （1）把代入得，根据对称轴为直线得，联立求解即可； （2）把抛物线化为顶点式可知时，y有最小值1．利用二次函数的性质求出最大值，然后求差即可； （3）设点N在抛物线上，，根据求出m，再求出A、B点的横坐标，结合图形即可求出点M的横坐标m的取值范围． (1) 小问详解： ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴ 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 当时，． ∵， ∴当时，y有最小值1． 当时，结合函数图象，当时，y有最大值10， ∴抛物线的最大值与最小值的差为； (3) 小问详解： 设点N在抛物线上，， 则，即， 解得． 当， 整理得， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A的横坐标为，点B的横坐标为2． 结合图象，当线段与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，以及二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 38．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点，经过点B的直线交y轴于点C，交抛物线于点． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点E在第二象限抛物线上，连接交x轴于点F，，求直线的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，求得，将代入求得，再由待定系数法求解即可； （3）过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为，证明，则，，那么，同上可求直线表达式为：，与抛物线解析式联立得： 即可求解点坐标． (1) 小问详解： 解：由题意得，将代入得，， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式：； (2) 小问详解： 解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将代入， 得：， 解得：，（舍）， ∴， 设直线表达式为：， ∴ ， 解得： ， ∴直线表达式为：； (3) 小问详解： 解：过点作交延长线于点，过点作轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同上可求直线表达式为：， 与抛物线解析式联立得： ， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数与角度的存在性问题，涉及待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点问题等知识点，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 39．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）已知函数 的图像如图所示，若直线与该图像有公共点，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查分段函数的图像与性质，一次函数图像上点的坐标特征，结合图像求出的最大值和最小值是解题的关键．根据题意可知，当直线经过点时，直线与该图像有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，令的，进而可得出的最大值是15，最小值是2，即可得到答案． 【详解】 解：当直线经过点时， 可有，解得； 当直线与抛物线只有一个交点时，可得， 整理得， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴的最大值是15，最小值是2， ∴若直线与该图像有公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 40．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】 解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 41．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出的值，即______，______； （2）如图1，直线是抛物线的对称轴，点为直线的右侧抛物线上的动点，连接，过点作，交直线于点．若，点的横坐标为，求的值； （3）如图2，将抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新的函数图象记为． ①在平面直角坐标系中，求新函数图象对应的函数解析式； ②坐标平面内另有平行于轴的直线，其表达式为，其中为常数．请结合直线与新图象的不同位置关系，探究方程的根的个数． 【答案】（1）     （2）或     （3）①抛物线解析式为： ；②当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．      【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，利用二次函数确定方程根的情况，三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将 和代入解析式即可求解； （2）过P作轴，，可证，则，设 ，因为D 在上，即，求解即可； （3）① 当，，这一部分图象不变，解析式为；当或时，，翻折后函数值变为原来的相反数，即； ② 方程的根的个数即直线与图象 M 的交点个数，讨论k的取值结合图像解答． (1) 小问详解： 解：抛物线经过点和， ， 解得 ，        故答案为：； (2) 小问详解： 解：抛物线为 ，对称轴为直线， 设，D在直线上， 过点P作轴于点F，过点D作于E， ∵， ∴， ， ，， ， ， 即， 或， 解， ， 解得：， ∵， ∴； 解， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故或； (3) 小问详解： 解：原抛物线， 当，， ∴这一部分图象不变，解析式为； 当或时，， ∴翻折后 函数值变为原来的相反数，即， 故新函数图象对应的函数解析式 ； ② 方程的根的个数即直线与图象 M 的交点个数， 如图：：无交点，0 个根； ：有两个交点，2 个根； ：有4个交点，共 4 个根； ：有3个交点，共 3 个根； ：有 2 个交点，共 2 个根； 综上所述：当或时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有三个不相等的实数根；当时，方程有四个不相等的实数根；当时，方程没有实数根． 42．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式 （2）如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． （3）如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）将、代入抛物线解析式中，转化为关于待定系数的方程组求解即可； （2）先求得点的坐标，结合，求得，再说明，进而得出，从而可得，就可求得，设直线的解析式为∶，将其上的两点坐标代入求得直线的解析式．再联立 ，求得P点的坐标； （3）设直线的解析式为，将、，代入求得直线的解析式，再根据，得出(同底等高)，再，设()，可用t表示出点的坐标，从而可用t表示出，就可求得，再利用求得当时，，从而可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解∶∵抛物线过、， ∴ ， 解得：，， 抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为． 联立 ， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． (3) 小问详解： 解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴ ， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即． 【点睛】 本题考查了的图象与性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 43．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）抛物线在直线下方的图像上恰好有四个横坐标为整数的点，则取值范围是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的性质与根的判别式，抛物线在直线下方的部分对应不等式，该二次函数开口向上，不等式成立的条件是其两个根之间的开区间内恰好有四个整数横坐标点，根据根与系数的关系，分类讨论和两种情况，分别确定整数点的范围，从而得到的取值范围． 【详解】 解：令，需满足， 判别式， 当 时，根为 和 ， 区间为， 整数点从 开始，需恰好四个点，即 ， 在区间内，且不在区间内，故需， 解得， 当时，根为和， 区间为 ， 需恰好四个整数点，即 ， 在区间内，且不在区间内， 故需且， 解得， 综上，的取值范围为或． 故答案为 或 ． 44．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图1，二次函数．的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点G，与交于点H，点P为对称轴l上一动点，其纵坐标设为m． ①若动点P在线段上(点P不与点G，H重合)，轴与交于点D，轴与抛物线交于点E，轴与直线l交于点F．求四边形周长的最大值； ②若点A绕点P旋转后的对应点恰好在抛物线上，求m的值． 【答案】（1）     （2）①6，②，，2，3      【分析】 （1）将点代入即可求得解析式； （2）① 可得四边形为矩形，．求出解析式．由抛物线的对称轴l的解析式为，得，．得．由得．四边形的周长．得当时，四边形周长的最大值为6．② 过点作于点Q，证明，得，当点A绕点P顺时针旋转时，．得解得或，当点A绕点P逆时针旋转90°时，．得解得或，即得． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：① ∵轴，轴，轴，直线轴， ∴四边形为矩形， ∴． 对， 令，则， ∴． 设解析式为, 把代入，得， 解得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴l的解析式为， ∴， ∴． ∵点P在线段上(点P不与点G，H重合)， ∴． ∴． ∴四边形的周长． ∵，， ∴当时，周长有最大值6， 即四边形周长的最大值为6． ② 过点作于点Q， 则， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 当点A绕点P顺时针旋转时，， ∴ ∵轴， ∴． ∵点在抛物线上， ∴ ∴ 解得或 当点A绕点P逆时针旋转90°时，， ∴ ∴． ∴ ∴ 解得或 综上，，，2，3． 【点睛】 本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，矩形判定和性质，二次函数与线段周长综合，等腰直角三角形性质，旋转性质，分类讨论，是解题的关键． 45．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．    （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2） 【分析】 （1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可； （2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况； （3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2， 抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6． （2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，    ∵是等腰直角三角形， ∴∠BOA =45°， 又∵∠BDO=∠BAO=90°， ∴点A、B、O、D四点共圆， ∴∠BDA=∠BOA=45°， ∴∠ADC=90°-∠BDA=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴DC=AC． ∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， ∴抛物线的对称轴为x=2， 设点A的坐标为（x，x2-4x-2）， ∴DC=x-2，AC= x2-4x-2， ∴x-2= x2-4x-2， 解得：x=5或x=0（舍去）， ∴点A的坐标为（5，3）； 同理，当点B、点A在x轴的下方时， x-2= -(x2-4x-2)， x=4或x=-1（舍去）， ∴点的坐标为（4，-2）， 综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）． （3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点， ∴ ， ∴x2-kx-6=0， 设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF， ∴xE+xF=k， ∴中点M的横坐标xM==， 中点M的纵坐标yM=kx=， ∴点M的坐标为（，）； 同理可得：点N的坐标为（，）， 设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0）， 将M（，）、N（，）代入得： ， 解得： ， ∴直线MN的解析式为y= ·x+2（）， 不论k取何值时（），当x=0时，y=2， ∴直线经过定点（0，2）． 【点睛】 本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键． 46．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）关于二次函数的四个结论： ①对任意实数m，取及，对应的函数值总相等； ②若，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则； ④若，是抛物线上两点，若，，则． 其中正确的结论有　　　　　　　　　　．（填序号） 【答案】① ② ③ 【分析】 将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断① ；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断② ；设，，则，，，求得，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③ ，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解． 【详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，即与关于对称轴直线对称， ∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故① 正确； ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得：； 综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故② 正确； ∵抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，且， ∴设，，则，，， 解得：， 在中，令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则，故③ 正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合得出； 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合得出，故④ 错误； 综上所述，正确的有① ② ③ ； 故答案为：① ② ③ 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数的解析式化为顶点式，采用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）二次函数的图像如图所示，那么关于的方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】A 【分析】 本题考查由函数图像解决方程根的情况，数形结合求解是解决问题的关键． 关于的方程的根的情况，可以看作是二次函数的图像与直线交点情况，作出图像，数形结合，观察图像交点情况即可得到答案． 【详解】 解：关于的方程的根的情况，可以看作是二次函数的图像与直线交点情况，如图所示：    即二次函数的图像与直线有两个交点， 关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）二次函数(a，b，c是常数，)的图象经过点，与y轴正半轴相交，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是（） A.  B. 当时， C. 方程的两个根是 D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据对称轴可得，代入点得，由与轴正半轴相交知，故．然后逐项分析判断即可解答． 【详解】 解：∵对称轴， ∴，即． ∵图象过点， ∴，代入得，即． ∵与轴正半轴相交， ∴当时，，故． A．，故A选项错误，不符合题意； B．由且根为和（对称轴，一根为，另一根为），时或，故B选项错误，不符合题意； C．方程根为和，非，故C选项错误，不符合题意； D．代入得，即． ∵， ∴，即，当时成立，正确，符合题意． 故选D． 3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键． 画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围． 【详解】 解：抛物线化为顶点式为， ∴函数的对称轴：， ∴M和N两点关于对称， 根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是，，，，， 如图所示： ∵当时，， ∴ 当时，， 即： ， 解得，， 故选：B． 4．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）对于二次函数的图象，下列说法中不正确的是（       ） A. 顶点是 B. 开口向上 C. 与轴有两个交点 D. 对称轴是 【答案】C 【分析】 根据函数图象和性质逐个求解即可． 【详解】 解：对于y＝5（x﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2）， A．二次函数y＝5（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标为（3，2），故本选项不符合题意； B．由于a＝5＞0，所以抛物线开口向上，故本选项不符合题意； C．由于y＝5（x﹣3）2+2＝5x2﹣30x+47，则△＝b2﹣4ac＝900﹣4×5×47＝﹣40＜0，所以该抛物线与x轴没有交点，故本选项符合题意； D．对于y＝5（x﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x＝3，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 5．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）抛物线与轴相交于点，．下列结论：①②；③点，在抛物线上，当时，则有；④若方程的一个根，则另一个根．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，把，代入抛物线解析式可得 ，据此可判断①；根据抛物线与x轴有两个不相同的交点可判断②；求出对称轴，根据得到离对称轴越远函数值越大，据此可判断③；根据根与系数的关系可判断④． 【详解】 解：把，代入中得 ， 解得 ， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个不相同的交点， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③正确； ∵方程的一个根， ∴另一个根，故④正确； 故选：D． 6．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据图示，由交点横坐标即可求解． 【详解】 解：根据题意，关于的方程的解为， 故答案为： ． 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）若抛物线与轴无交点，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查由抛物线与轴交点情况与判别式的关系求参数，熟记抛物线与轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键． 抛物线与轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】 解：抛物线与轴无交点， 一元二次方程无实数根， 则 解不等式得， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）二次函数的图象的一部分如图所示，图象与轴的一个交点为，根据图象解答下列问题：    （1）求的值； （2）直接写出该抛物线与轴的另一交点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入已知点的坐标即可得到a的值； （2）根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点，即可得到抛物线与x轴的另一个交点； （3）利用图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集． 熟练掌握的图象和性质、图象法解不等式、抛物线与x轴的交点问题等知识，数形结合思想是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把代入得， ， 解得， (2) 小问详解： 由（1）可知，二次函数的解析式为， 由得到二次函数的对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点为， ∴该抛物线与轴的另一交点的坐标为； (3) 小问详解： 由二次函数的图象与轴的两个交点为、，开口向下， ∴当时，二次函数的图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 9．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，直线和抛物线交于点， （1）求直线和抛物线的解析式； （2）求不等式的解集是                               【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）找到抛物线在直线上方时，自变量的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：把，代入，得，解得； ∴； 把，代入，得： ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 由图象可知：不等式的解集是或． 10．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知二次函数过点，，． （1）该函数的对称轴为             ，方程的解为                     （2）根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为        ②当时，x的取值范围为         【答案】（1）直线；，；     （2）①；②或      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）先根据待定系数法求出二次函数解析式，然后根据对称轴公式求出对称轴，令，即可求出方程的解； （2）① 先，，对应的函数值，然后函数图象即可得到结论； ② 先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． (1) 小问详解： 解：把，，代入， 得 ， 解得 ∴， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴方程的解为为，， 故答案为：直线；，； (2) 小问详解： 解：① 当时，；当时，， 当时， ∴由图象知：当时，y的取值范围为， 故答案为：； ② 当时，， 解得，， ∴由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 11．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于． （1）如图1，当时，直接写出点，，的坐标； （2）在（1）的条件下，若点在抛物线上，，求点的坐标； （3）如图2，当时，若是抛物线上，之间的一点（不与，重合），直线，分别交轴于，两点，在点运动过程中，总有，求的值． 【答案】（1）     （2）点的坐标为或．     （3）      【分析】 （1）当时，，即可求出； （2）求出，过点B作交直线于点D，过点D作轴于点E，可得，由，得，，设的解析式为，分当在 上方，当在下方，求出的解析式与抛物线解析式联立，求出点的坐标或； （3）本题可先设出点，其中，再分别求出直线，的解析式，进而得到M、N的纵坐标、，结合，最后根据列出等式求解m的值 (1) 小问详解： 解：当时，， 令，则； 令，则， 解得，或， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ∴． ∴． 过点B作交直线于点D，过点D作轴于点E， 则． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，，，． ∴， ∵， ∴． 设的解析式为， 当在 上方时，， ∴． ∴． ∴． ∴． 联立 ， 得． 解得（舍去），或． ∴． ∴． 当在下方时，， ∴ ∴． ∴． ∴． 联立 ， 得． 解得（舍去），或． ∴． ∴． 综上，点的坐标为或． (3) 小问详解： 解：设，其中， 对， 令，则， ∴， ∴， 解得。 令，得， ∵A在B左侧， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得： ②-① ，得 把代入① ，得， ∴直线的解析式为 令，可得 设直线的解析式为， 把，代入可得： ④-③ ，得： 把代入③ ，得， 所以直线的解析式为 令，可得 ∵， ∴设C的纵坐标为 ∵， 且，H在B、C之间， ， 即， ， 因方程对任意t（H运动过程中）恒成立，故含t的系数必须为 0： ， 解得： m的值为． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形，分类讨论，掌握相关性质是解题的关键． 12．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知二次函数，下列五个结论：①对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点和两点；②该函数图象与x轴一定有交点；③若，当时，y随x的增大而减小；④若a为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标都为整数，那么；⑤若，则关于x的方程的根有4个，其中正确的是　　　　　　　　　　．（只需填写序号） 【答案】① ② ③ ④ ⑤ 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键：对于结论①，将点和代入函数解析式，验证是否成立；对于结论②，由于函数必过点，因此与x轴至少有一个交点；对于结论③，时函数开口向上，求对称轴并比较与的关系；对于结论④，利用根与系数的关系，结合整数条件分析；对于结论⑤，图象法进行判断即可． 【详解】 解：① 当时，； 当时，； ∴对于任何满足条件的a，该二次函数的图象都经过点和两点；故① 正确； ② 由① 可知，函数图象必经过点，故该函数图象与x轴一定有交点；故② 正确； ③ 当时，抛物线的开口向上， ∵， ∴对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小；故③ 正确； ④ 由① 可知，该二次函数的图象与x轴的一个交点为， 当时，方程的一个根为，设另一个根为， 则：， ∴， ∵为整数，也为整数， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，；符合题意； 故；故④ 正确； ⑤ 当时，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 由① 知：抛物线过点， ∴抛物线上存在另一个点纵坐标为1，且抛物线上一定存在2个点，点的纵坐标为， ∴与直线和直线均有2个交点， 即：关于x的方程的根有4个；故⑤ 正确； 故答案为：① ② ③ ④ ⑤． 13．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）如图（1），若点D是x轴下方抛物线上的点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，满足，求点D的横坐标； （3）如图（2），直线（m，n为常数，）交抛物线于M、N两点．已知点，交抛物线于点Q，交抛物线于点P，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】（1）、、     （2）或     （3）      【分析】 （1）分别取，，即可求得A、B、C三点的坐标； （2）先求出直线的解析式，再用表示出，得到关于的方程求解，根据点D是x轴下方抛物线上的点求解即可； （3）先联立 ，利用根与系数的关于得到，，再联立 ，利用根与系数的关于得到，从而可得，，进而得出，联立 ，从而可得，进而求得直线过定点． (1) 小问详解： 解：， 当时，， 当时，，解得，， ∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴、、． (2) 小问详解： 解：设D点坐标， 设直线的解析式为， ∵、， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∴或， ，解得：，， ，解得：， 当时，； 当时，； 当时，， ∵点D是x轴下方抛物线上， ∴点D横坐标为或． (3) 小问详解： 解：联立 ， 则， ∵点M、N是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为，设直线的解析式为， 联立 ， 则， ∵M、Q是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 同理可得． ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 联立 ， 得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴直线过定点． 【点睛】 本题考查了求一次函数解析式，一次函数、二次函数图象综合判断，求抛物线与x轴的交点坐标，求抛物线与y轴的交点坐标等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（       ）秒才能停下来？ A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解． 【详解】 解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 2．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用， 根据矩形周长公式求出长与宽的和，再通过面积公式结合二次函数性质得出面积的最大值，从而判断各选项是否可行． 【详解】 解：由题意可得：另一边长为：，设矩形的面积为，则， 这是一个二次函数，开口向下， ， 故当为10cm时，矩形面积最大，最大面积为：． 因此，矩形面积满足， 选项中只有，故可行． 故选：C． 3．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（             ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】 解：根据题意B的横坐标为10， 将代入得：， ， 即水面与桥拱顶的高度等于， 故选：B． 【点睛】 此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键． 4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（　　） A. 1 m B. 2 m C. 3 m D. 6 m 【答案】B 【详解】 解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点， 则O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5， ∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米， 把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2， 解得：x=±3， 2×3﹣4=2， 所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米， 故选B． 5．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先理解题意，得，，再观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长，且的长是一次函数，则当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即，再结合勾股定理算出，所以，根据等面积法，求出，运用勾股定理，在中，，即，即可作答． 【详解】 解：由图（2）得当时，则，当时，则， ∵点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y， ∴，， 观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长， ∵都是常量， ∴的长是一次函数 观察函数图象，当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即， ∵四边形是矩形 ∴， 则， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 则， ∵点P是函数图象的最低点， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 当时，在中，， 即， ∴， 故选：D 【点睛】 本题考查了二次函数的图象性质，勾股定理，矩形的性质，一次函数的几何应用，垂线段最短．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】12.5 【分析】 本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，掌握正方形的面积公式是解题的关键． 设一段铁丝的长度为，另一段为，由正方形的面积公式可得，由二次函数的性质可求解． 【详解】 解：设一段铁丝的长度为，另一段为， 则边长分别为， 则， ∴当时，最小，为． 故答案为：12.5． 7．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）为了落实国务院的指示精神，政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，按24元/千克销售，每天可售出32千克．经过市场调查发现：每千克涨1元，每天销售量就减少2千克．设售价为元/千克，每天销售量为千克，每天销售利润为元． （1）分别求出与，与的函数解析式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元， ①该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ ②该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）（）；（）     （2）①销售价应定为每千克25元； ②销售价定为每千克28元时，每天利润最大，最大利润是192元．      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式，并结合二次函数的性质求解最值． （1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系得出与的函数式；再由“利润（售价成本）销售量”得出与的函数式； （2）①将代入利润函数解方程，结合售价限制确定销售价；②将利润函数化为顶点式，结合售价取值范围确定最大值及对应售价． (1) 小问详解： 解：由题意，（）； （）． (2) 小问详解： ①解：令，则， 整理得，因式分解得， 解得， 因，故 答：销售价应定为每千克25元． ②解：， 因，对称轴为，又， 故当时，． 答：销售价定为每千克28元时，每天利润最大，最大利润是192元． 8．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　　　　　． 【答案】4． 【分析】 根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间. 【详解】 解：依题意，令得： ∴ 得： 解得：（舍去）或 ∴即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为4． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单. 9．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件．设每件涨价元，每天获利为元． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由； （3）某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值． 【答案】（1）     （2） 解：每天获利不可能达到元，理由： 由题意得：，即， 整理得：， △，故方程无解， 即每天获利不可能达到元；     （3） 元      【分析】 （1）根据每天所得的销售利润=每件的销售利润×每天可卖出的件数列出解析式； （2）由，再列方程利用判别式即可求解； （3）由(1)知，涨价x元卖出件，则26元卖出 件，进而求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意得：， 故当天获利的最大值为元． 【点睛】 本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）某超市新购进一种商品，成本为元/件．试销一段时间后发现，若售价为元/件，每天可以售出件；售价每降低元，每天可以多售出件．设售价为元/件，日销售量为件，日销售利润为元． （1）若售价为元/件，则日销售量为          件，日销售利润为            元； （2）求与之间的函数解析式； （3）售价定为多少元/件时，日销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1），     （2）     （3）售价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元      【分析】 本题考查了一次函数和二次函数的实际应用及二次函数的最值问题，关键是找准变量之间的函数关系； （1）根据日销售量=降低的钱数，日销售利润=单件利润×日销售量，即可求得结果； （2）根据日销售量=降低的钱数即可列出解析式； （3）根据日销售利润=单件利润×日销售量列出解析式，并求出最值． 【详解】 （1）解：∵ ∴ 即：日销售量为件， 日销售利润为元； （2）解：由题意得：； （3）解：设日销售利润为元， ， ∵， ∴当时， 有最大值为． 即售价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元 11．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上．设的长为x，矩形的面积为S． （1）写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）当的长为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）     （2）当点E为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是      【分析】 （1）先确定，再由矩形的性质得到，根据含角直角三角形的性质解得，，接着由勾股定理得到，继而解出，最后根据矩形的面积公式解答即可； （2）利用配方法得到，据此解答． (1) 小问详解： 解：∵，，点E与点A点B均不重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 则 ， ∴当时，矩形的面积最大， ∵ 即当点E为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是． 【点睛】 本题考查二次函数的应用，矩形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，求水流的落地点到喷水枪底部的距离． 【答案】落地点C距离B点米 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，确定坐标系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意找出顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出抛物线与横轴的交点坐标即可． 【详解】 解：以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意则抛物线的顶点坐标为， 设解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴， 当时，， 解得或（舍去） ∴落地点C距离B点米． 13．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）在古城特产店购物的顾客，大部分人考虑到便捷性会选择线上下单．已知某店在线上销售的某款平遥牛肉的成本价为元/包，在销售过程中发现，平遥牛肉的月销售量(包)与销售单价(元)之间满足．若想要月销售利润最大，则销售单价x应为　　　　元． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，月销售利润为每包利润乘以销售量，根据给定条件建立二次函数，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：设月销售利润为 ，则 ． 展开得 ． 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处． 顶点横坐标 ． 故当销售单价为 250 元时，月销售利润最大． 故答案为：250． 14．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出y件． （1）请写出与之间的函数解析式； （2）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时w最大，最大值是多少？ （3）若市场规定该种玩具每件的利润不能超过60元，那么当为多少时每天销售这种玩具可获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当时，w最大，最大值为2450元．     （3）当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元．      【分析】 本题主要考查了一次函数、二次函数的应用等知识点，弄清题目中包含的数量关系是解题的关键． （1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可； （2）根据题意得到，然后化成顶点式并根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得x的取值范围，然后利用（2）的相关结论以及函数的增减性即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意得，． (2) 小问详解： 解：根据题意得： ， ， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为2450元． 答：当x为30时，超市每天销售这种玩具可获利润2450元； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为元． 答：当为20时，每天销售这种玩具可获利最大，最大利润是2400元． 15．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是元/盏，在“双十一”前天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了盏，第2天销售了盏．护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式（，且为整数） （1）该台灯的日销售量..（盏）与时间（天）之间的函数关系式为：______； （2）在这天中，第8天的日销售利润为______元； （3）在这天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1）     （2）     （3）第天的日销售利润最大为元      【分析】 本题考查了一次函数，二次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为，把，代入求出即可； （2）当时，当日销量为盏，当日售价为元，根据日销售利润单利润日销量计算； （3）设日销售利润为元，根据销售利润售价成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； (1) 小问详解： 解：设日销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为， 把，代入得： ， 解得： ， ∴销售量（盏与时间（天之间的函数关系式为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：当时， 当日销量为盏， 当日售价为元， ∵台灯的成本为元/盏， ∴第8天的日销售利润为元． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：设日销售利润为元，依题意得： ； ，，且为整数， 当时，取得最大值，最大值是； 在这天中，第天销售利润最大，最大日销售利润是元． 16．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； （3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 【答案】（1）     （2） 不能到达，理由如下： 将抛物线向左平移2米，得到的抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 且， 此时的水流不能到达点A正上方4米处的B着火点；     （3）      【分析】 （1）令抛物线的顶点式为：，将点代入求解即可； （2）先求出平移后的抛物线方程，再比较点的纵坐标与点纵坐标即可求解； （3）根据题意当时，，通过解不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得点,抛物线对称轴：， 令抛物线的顶点式为：， 将点代入，得 ， 解得， ， 求原水流所在抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 抛物线向左平移m个单位后，解析式为：， 水流在墙面( )上到达点高度不低于，即当时，， ， 解得， m的取值范围． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质及应用，二次函数的顶点式，待定系数法求函数的解析式，抛物线与坐标轴交点，图象的平移，理解函数图象的平移规律是解题的关键． 17．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动． （1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． （2）若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中，，若要使小球落入筐中（小球落在点或均视为入框），求的取值范围． 【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）①根据当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b，然后把代入解析式可求C，最后把解析式化为顶点式即可求解； ②令，得出，然后解方程即可求解； （2）先根据求出c，然后求出E、F的坐标，再分别E、F的坐标代入函数解析式求出b的值，最后数形结合观察图形即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① ∵当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 由题意知抛物线经过， ∴， ∴ ∴， ∴当时，y有最大值， ∴小球达到的最大高度为； ②令，则， 解得，， ∴球落地时的水平距离为； (2) 小问详解： 解：由题意知抛物线经过， ∴， ∴， 根据题意知，， 当抛物线经过时， 则， 解得， 当抛物线经过时， 则， 解得， ∴要使小球落入筐中，则． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，其中涉及到二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． 18．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润月销售量（售价进价）] 售价元/支） 30 32 月销售量（支） 200 180 月销售利润（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为________元，关于的函数关系式为________； （2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价的值，若不存在，请说明理由； （3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠元利润给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）设进价为元/支，由销售表列方程求解即可得到答案；设关于的函数关系式为，将代入关系式列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）由题意，得到，根据二次函数图象与性质求最值即可得到答案； （3）由题意，得到新的销售利润，由二次函数图象与性质得到当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，列不等式求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设进价为元/支， 则由销售表可得， 解得； 设关于的函数关系式为， 将代入关系式可得 ， 解得 ， 则关于的函数关系式为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：存在， 由题意可得 ， ， 二次函数图象开口向下，当时，函数值有最大值； (3) 小问详解： 解：要求在售价不超过37元， ， 新的销售利润 ， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大， ， 解得， 的取值范围． 【点睛】 本题考查综合应用题，涉及一元一次方程解应用题、一次函数解应用题、二次函数解应用题、由二次函数图象与性质求最值、由二次函数图象与性质解不等式等知识，综合性强，难度较大，理解题意，根据要求准确列出得出方程、函数及不等式分析是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $