专题01 一元二次方程（期中真题汇编，湖北专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）下列是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，理解定义：“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为（）的整式方程是一元二次方程．”是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A. 是一元一次方程，故不符合题意； B. 是分式方程，故不符合题意； C. 含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D. 是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（       ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，直接根据一元二次方程的一般式，找出一次项系数及常数项，即可作答． 【详解】 解：∵一元二次方程，且二次项系数为1， ∴一次项系数为，常数项为， 故选：B 3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）下列方程中是关于的一元二次方程的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：A、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（　　） A. 1 B.  C. 3 D.  【答案】D 【分析】 方程整理后为一般形式，找出二次项系数与常数项即可． 【详解】 解：方程整理得：，其中二次项系数为1，常数项为． 故选：D． 【点睛】 本题考查一元二次方程的定义，将一元二次方程化为一般式，再进行判断是解题的关键． 5．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列属于一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）进行判断． 【详解】 解：A、当时，方程的未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、式子不是方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（       ） A.  ， B.  ， C. ，1 D. ，1 【答案】B 【分析】 先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数和常数项即可． 【详解】 将一元二次方程 ，化成一般式得： ， 一次项系数和常数项分别为： 故选：B 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式．掌握一元二次方程的一般形式是 ，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题关键． 7．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，﹣6 D. 5，2，﹣6 【答案】C 【分析】 方程整理为一般形式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可求解． 【详解】 解：方程整理得：2x2+5x﹣6＝0， 则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6， 故选C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的定义，化为一般形式是前提． 8．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）关于x的方程是一元二次方程，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a-1≠0，由此求得a的取值范围． 【详解】 依题意得：a-1≠0， 解得a≠1． 故选：C． 【点睛】 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 9．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个解为2，则m的值为（       ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的一个解为2，将x＝2代入即可求出m的值． 【详解】 解：∵一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个解为2， ∴将x＝2代入得4－6＋m＝0， 解得m＝2． 故选：C 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是正确理解一元二次方程解的意义． 10．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：． 11．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）当m　　　　　　　　时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的定义可得：且，由此解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：是一元二次方程， ， ， 故答案为： 12．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知方程有一根为m，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键． 利用方程根的定义，将m代入方程得到关系式，再代入所求表达式计算． 【详解】 m是方程的根， ， 即， ． 故答案为． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）一元二次方程配方后可化为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）用配方法解方程．时，原方程应变形为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法，准确的计算是解决本题的关键． 通过配方法，将方程转化为完全平方形式即可求解． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：C． 3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题重点考查配方法解一元二次方程，配方法就是通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．此题中，将常数项移到右边，并同时加上一次项系数一半的平方，即，即得到，最后配成完全平方形式即完成求解． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了解一元二次方程．直接开平方法适用于形如 (其中 为常数)的方程，可直接取平方根求解．选项A符合此形式，其他选项需先配方或因式分解，不能直接使用开平方法． 【详解】 解：∵直接开平方法要求方程为 的形式，选项A：，符合条件，可直接开平方求解； 选项B：，需配方，且判别式为负，无法直接开平方； 选项C：，需因式分解，非直接开平方形式； 选项D：，需配方成 后才能开平方，非直接可用． ∴ 只有选项A可用直接开平方法求解． 故选：A． 5．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）用配方法解方程时，方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】 解：， 移项得， 配方得，即； 故选：A． 6．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）把方程化为的形式，则的值是（       ） A. 10 B. 4 C. 14 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法的应用，通过配方法将二次方程化为完全平方形式，确定m和n的值，然后求出的值，即可作答． 【详解】 解：∵， 配方得， 即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴， ∴， 故答案为： 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数（x，-2x）放入其中，得到-1，则x=　　　　　　　 ． 【答案】-2 【分析】 根据新定义得到x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可． 【详解】 解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1， 整理得x2+4x+4=0， （x+2）2=0， 所以x1=x2=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】 本题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解题的关键． 8．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）方程左侧为完全平方式，可利用因式分解法求解． （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 解得． (2) 小问详解： 解： ， 解得，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况． 先分别写出各项系数，，，再求出，根据其符号判断根的情况． 【详解】 解：， ，，， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（          ） A. a2且a≠0 B. a2 C. a2且a≠1 D. a2 【答案】C 【分析】 一元二次方程有实数根，满足条件为a1≠0且≥0，仔细求解即可． 【详解】 因为一元二次方程有实数根， 所以a1≠0且≥0， 解得a2且a≠1， 故选C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程实数根的情况和判别式，熟练掌握方程的根与判别式的关系是解题的关键． 3．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）方程 x2﹣2x+1＝0的根的情况是（            ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】先计算出△的值，然后根据△的意义进行判断方程根的情况． 【详解】∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 4．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过判别式判断根的情况． 对于一元二次方程，根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算各选项的即可判断． 【详解】 解：A、，，因为，所以方程无实数根； B、，因为，所以方程无实数根； C、，因为，所以方程有两个不相等的实数根； D、，因为，所以方程有两个相等的实数根． 故选：C． 5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）方程的根的情况是（       ） A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解决问题的关键． 通过计算判别式的值来判断方程的根的情况即可． 【详解】 解：∵方程， ∴，，， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 7．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了根的判别式，通过计算每个一元二次方程的判别式，判断根的情况．当时，方程有两个不相等实数根． 【详解】 解：对于A：，∵，∴，∴无实数根，故此选项不符合题意； 对于B：，∵，∴，∴有两个不相等实数根，故此选项符合题意； 对于C：，∵，∴，∴无实数根，故此选项不符合题意； 对于D：，∵，∴，∴有两个相等实数根，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则 m 的取值是 　　　　　　　　　 ． 【答案】且 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式．由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可． 【详解】 关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 9．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】 （1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】 本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 11．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）一元二次方程 的根为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的概念，掌握因式分解法解方程是解题的关键．将方程化为标准形式后因式分解，即可求得根． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即根为 ，， 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）一元二次方程的根为（     ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，通过因式分解求解即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】 解： 或 ∴，， 故选：． 3．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】 ， ， 则或， 解得，． 4．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】 解：， ， ∴． 5．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法． （1）直接利用开平方的方法解方程即可． （2）利用因式分解的方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴或， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （3）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 所以，； (4) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， 所以，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法和配方法． 8．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根．     （2），另一根为      【分析】 （1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 9．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】 ， ， 或， 解得：，． 10．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）解方程 （1） （2）（配方法） 【答案】（1） ,      （2） ,       【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 则，即， ， ，． 11．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， ， 即， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 12．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法解该一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 13．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）用适当的方法解方程． （1） （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先移项，根据配方法求解即可； （2）对等式左边因式分解，再求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， ，． (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知和是方程的两个解，则的值为（          ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】 解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、整体代入法求代数式的值，因为是方程根，可得，代入代数式可得：原式，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】 解：是方程的根， ， 即 ， ， ， ， 是关于的方程的两个根， ，， 原式 ， 故选：B． 3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根与系数的关系解答即可． 【详解】 解：∵a，b是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 4．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）关于的方程 的一个根为，则另一个根为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和，结合已知根，即可求出另一个根． 【详解】 解：方程 中，，， 两根之和为 ， 一个根为 ， 另一个根为 ． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟记是解题关键； 直接利用求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程的两根分别为， 则， 故答案为：2． 6．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 7．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据一元二次方程有有两个不相等的实数根，列出关于的不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数关系，得出，，代入，得到关于的方程求解． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： ∵关于的一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 由（1）得：， 故． 8．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据判别式的意义可得△=，解不等式即可求出实数k的取值范围； （2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可． 【详解】 解：（1）由题意得：△≥0 ∴ ∴                  （2）由题意得：        由得： ∴ ∴或 ∵      ∴ 点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式，当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根.也考查了根与系数的关系. 9．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵的两个实数根为， ∴，， ∴， ∴      【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有根时，以及根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有实数根，可知，即可求得k的取值范围； （2）根据根与系数的关系，可以得则可获证． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程，即， ， ， ，即， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）或      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式求解即可； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将其代入可以求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于的一元二次方程，即， ，， ， ， 解得或． 11．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排6场比赛．问：共有多少个队伍参加比赛？设共有个队参赛，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】 解：设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为： ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）某种商品原价是300元，经两次降价后的价格是180元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（     ） A. 3 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，理解题意、找准等量关系是解题的关键． 根据题意直接列出方程即可． 【详解】 解：由题意可得：． 故选D． 3．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、找到等量关系是解题的关键． 设剪去的小正方形边长是，则长方形纸盒的底面长为，宽为，根据纸盒的底面(图中阴影部分)面积是列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：设剪去的小正方形边长是，则长方形纸盒的底面长为，宽为， 依题意，得：． 故选A． 4．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，再由第三个季度生产零件共196万个列出方程即可． 【详解】 解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为， 由题意得，， 故选：C． 5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价售价为，则第二次售价为，由题意得： ． 故选：A． 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是正确列出方程并求解． 设平均每月增长的百分率为，根据从10月到12月共两个月增长，列出方程求解． 【详解】 解：设平均每月增长的百分率为， ， ， 则， 解得或（舍去）， 因此，平均每月增长的百分率是， 故选：B． 7．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（       ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【分析】 每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航线，每两个飞机场之间只开通一条航线，等量关系为： 飞机场数 （飞机场数-1）=21，把相关数值代入求解即可． 【详解】 解：设这个航空公司共有飞机场 个， 解得 （不合题意，舍去） 所以，这个航空公司共有飞机场7个． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，得出飞机航线与飞机场数的等量关系，并能够正确计算是解题的关键． 8．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）某县开展关于精准扶贫的决策部署后，贫困户2023年人均纯收入为3800元，经过帮扶到2025年预计人均纯收入为5000元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查平均增长率的应用，从2023年到2025年是两年时间，平均增长率为x，则2024年人均纯收入为元，2025年人均纯收入为，结合题意，即可获得答案． 【详解】 解：∵ 从2023年到2025年经历了两年增长，且平均增长率为x， 则2024年人均纯收入为元，2025年人均纯收入为元， 根据题意，可得． 故选：D． 9．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（       ） A. 596 B. 428 C. 512 D. 604 【答案】C 【分析】 设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有64人患了感冒，列出方程并求解，然后求出三轮之后患感冒的人数即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 由题意得：， 解得，， ∵， ∴，不合题意，舍去， ∴， 则第三轮的感冒人数为：人． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． 10．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）一辆新车购买价为万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．若第三年年末这辆车折旧后价格为万元，则第二、三年的年折旧率为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的意义；设第二、三年的年折旧率为，根据第三年年末的价值列出方程并求解即可． 【详解】 解：∵新车购买价万元，第一年折旧， ∴第一年后价值为万元， 设第二、三年的年折旧率为，则第二年后价值为，第三年后价值为 ． 根据题意，， ∴或（舍去） 故选：B． 11．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）华夏好风光，世界遗产游．某景区年接待游客万人，之后每年持续加大旅游开发，提高服务质量，接待游客逐年增加，年接待游客万人．求该景区从年到年接待游客的年平均增长率． 【答案】平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设这两年游客人数的年平均增长率为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：该景区从年到年接待游客的年平均增长率为． 12．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．那么四周装裱上的边衬的宽度为多少？ 【答案】四周装裱上的边衬的宽度为． 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，先设四周装裱上的边衬的宽度，再根据长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬，装裱后整幅画的面积为，进行列出方程，再解得（舍去），即可作答． 【详解】 解：设四周装裱上的边衬的宽度， ∵该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬，装裱后整幅画的面积为 ∴， ∴， 则 整理得， 解得（舍去）， ∴四周装裱上的边衬的宽度为． 13．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，一面墙长18m，借助这面墙用长32m的篱笆围成面积为的矩形花园（墙的长度大于花园的长）．求矩形的宽的长． 【答案】10米 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找出等量关系列出方程并求解． 设矩形的宽为米，那么长为米，根据矩形面积公式列出方程，求解后结合墙的长度进行取舍． 【详解】 解：设矩形的宽的长为米，则长的长为米． 由题意可得方程： 解得， 当时，米，因为墙长18米，，不符合题意，舍去， 当时，米，，符合题意， 所以矩形的宽的长为10米． 14．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度? 【答案】竖彩条的宽度为1cm，横彩条的宽度为2cm． 【分析】 可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，可列方程求解，同时要考虑x的取值范围． 【详解】 解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则有： ， 解得：，, 且， 整理得：x2﹣20x+19＝0， 解得：x1＝1，x2＝19（不合题意，舍去）， ∴． 答：竖彩条的宽度为1cm，横彩条的宽度为2cm． 【点睛】 此题考查的是一元二次方程的应用：面积类问题及不等式组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 15．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 【答案】6 【分析】 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）学校的劳动实践基地是一块长30米、宽17米的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到448平方米．若设小道的宽为x米，则根据题意，x满足的方程是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】 解：由题意，可列方程为； 故答案为： 17．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　　　　　个人． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后共有个人患新冠肺炎，第二轮传染后共有个人患新冠肺炎，根据两轮传染后共有人患新冠肺炎，列方程求解即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意可得：， 两边直接开平方得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 平均一个人传染了个人． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．若要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 【答案】鸡场的长是米，宽为米． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．设鸡场的宽为x米，根据题意列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设鸡场的宽为x米，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴鸡场的长15米，宽10米． 19．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）     （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 20．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）【综合与实践】为了更好推广宜昌特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：宜昌特色美食销售方案制定问题 宜昌美食历史悠久，尤其是“炸广椒炒肥肠”和“红油包子”，前者酸辣脆爽、妥妥的下饭神器；后者香辣多汁、早餐界的扛把子！为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“炸广椒炒肥肠”，“红油包子”两个镇店招牌美食． 素材1 炸广椒炒肥肠 红油包子 21元/份 19元/份 素材2 经统计，该美食店5月份“炸广椒炒肥肠”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“红油包子”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“红油包子”作降价促销，已知每份“红油包子”的成本为9元．经试验，发现该款包子每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“炸广椒炒肥肠”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为使该店8月份“红油包子”总利润达到6300元，求该款包子应该降价多少元？ 【答案】任务1：5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：该款包子应该降价3元 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 任务1：假设增长率为，根据题意列出方程求解即可； 任务2：假设该款包子应该降价元，根据销售方案列出方程求解即可． 【详解】 解：任务1：假设增长率为，根据题意得， ， 解得，或（负值舍fcu ）， ∴5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：假设该款包子应该降价元，根据题意得， 解得或， 为尽快减少库存，选择， ∴该款包子应该降价3元． 21．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1000万元，2024年投入资金1440万元，现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． （2）年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）；     （2）15个．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用等知识． （1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据题意列方程得 ，解方程，舍去不合题意的解，问题得解； （2） 设该市在2025年可以改造y个老旧小区，根据题意列出不等式，解不等式，取最大整数解，问题得解． (1) 小问详解： 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得 ，不符合题意，舍去 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该市在2025年可以改造y个老旧小区， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为 答：该市在2025年最多可以改造15个老旧小区． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）下列是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）一元二次方程，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（       ） A. 2，3 B. ，3 C. 2， D. ， 3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）下列方程中是关于的一元二次方程的是（     ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）一元二次方程的二次项系数为1，则它的常数项为（　　） A. 1 B.  C. 3 D.  5．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列属于一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）一元二次方程化成一般形式后二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（       ） A.  ， B.  ， C. ，1 D. ，1 7．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 5，2，6 C. 2，5，﹣6 D. 5，2，﹣6 8．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）关于x的方程是一元二次方程，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个解为2，则m的值为（       ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 10．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）当m　　　　　　　　时，方程是关于x的一元二次方程． 12．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知方程有一根为m，则的值为　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）一元二次方程配方后可化为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）用配方法解方程．时，原方程应变形为（        ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）下列方程中可用直接开平方法求解的是(　　) A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）用配方法解方程时，方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）把方程化为的形式，则的值是（       ） A. 10 B. 4 C. 14 D.  7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数（x，-2x）放入其中，得到-1，则x=　　　　　　　 ． 8．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（          ） A. a2且a≠0 B. a2 C. a2且a≠1 D. a2 3．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）方程 x2﹣2x+1＝0的根的情况是（            ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）已知关于的一元二次方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）方程的根的情况是（       ） A. 没有实数根 B. 有且只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）下列方程中，有两个不相等实数根的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则 m 的取值是 　　　　　　　　　 ． 9．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 11．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　　　　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）一元二次方程 的根为（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）一元二次方程的根为（     ） A.  B.  C. ， D. ， 3．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）解方程：． 4．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）解方程：． 5．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）方程的实数解是　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 8．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 9．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）解方程：． 10．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）解方程 （1） （2）（配方法） 11．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 12．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）解方程： （1）． （2）． 13．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）用适当的方法解方程． （1） （2）． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知和是方程的两个解，则的值为（          ） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 2．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）已知a，b是方程的两个根，则的值为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）关于的方程 的一个根为，则另一个根为　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 8．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求k的值． 9．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）求证：． 10．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 11．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·湖北黄冈部分学校·期中）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排5天，每天安排6场比赛．问：共有多少个队伍参加比赛？设共有个队参赛，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）某种商品原价是300元，经两次降价后的价格是180元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（     ） A. 3 B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（     ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是(       ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（       ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 8．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）某县开展关于精准扶贫的决策部署后，贫困户2023年人均纯收入为3800元，经过帮扶到2025年预计人均纯收入为5000元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·湖北襄阳南漳县部分学校·期中）有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为（       ） A. 596 B. 428 C. 512 D. 604 10．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区粮道街中学·期中）一辆新车购买价为万元，第一年使用后折旧，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．若第三年年末这辆车折旧后价格为万元，则第二、三年的年折旧率为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·湖北荆楚联盟·期中）华夏好风光，世界遗产游．某景区年接待游客万人，之后每年持续加大旅游开发，提高服务质量，接待游客逐年增加，年接待游客万人．求该景区从年到年接待游客的年平均增长率． 12．（25-26学年九上·湖北十堰·期中）《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．那么四周装裱上的边衬的宽度为多少？ 13．（25-26学年九上·湖北武汉武昌区武珞路中学·期中）如图，一面墙长18m，借助这面墙用长32m的篱笆围成面积为的矩形花园（墙的长度大于花园的长）．求矩形的宽的长． 14．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度? 15．（25-26学年九上·湖北荆州·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 16．（25-26学年九上·湖北武汉东湖高新区·期中）学校的劳动实践基地是一块长30米、宽17米的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到448平方米．若设小道的宽为x米，则根据题意，x满足的方程是　　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　　　　　个人． 18．（25-26学年九上·湖北荆州田家炳中学·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．若要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 19．（25-26学年九上·湖北仙桃第二中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 20．（25-26学年九上·湖北宜昌五中教·期中）【综合与实践】为了更好推广宜昌特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：宜昌特色美食销售方案制定问题 宜昌美食历史悠久，尤其是“炸广椒炒肥肠”和“红油包子”，前者酸辣脆爽、妥妥的下饭神器；后者香辣多汁、早餐界的扛把子！为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“炸广椒炒肥肠”，“红油包子”两个镇店招牌美食． 素材1 炸广椒炒肥肠 红油包子 21元/份 19元/份 素材2 经统计，该美食店5月份“炸广椒炒肥肠”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“红油包子”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“红油包子”作降价促销，已知每份“红油包子”的成本为9元．经试验，发现该款包子每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“炸广椒炒肥肠”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为使该店8月份“红油包子”总利润达到6300元，求该款包子应该降价多少元？ 21．（25-26学年九上·湖北武穴实验中学·期中）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1000万元，2024年投入资金1440万元，现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． （2）年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．C 9．C 10．A 11．【答案】 【分析】 根据一元二次方程的定义可得：且，由此解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：是一元二次方程， ， ， 故答案为： 12．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键． 利用方程根的定义，将m代入方程得到关系式，再代入所求表达式计算． 【详解】 m是方程的根， ， 即， ． 故答案为． 考点02 配方法 1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．A 7．【答案】-2 【分析】 根据新定义得到x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可． 【详解】 解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1， 整理得x2+4x+4=0， （x+2）2=0， 所以x1=x2=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】 本题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的方法步骤是解题的关键． 8．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）方程左侧为完全平方式，可利用因式分解法求解． （2）利用配方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 解得． (2) 小问详解： 解： ， 解得，． 考点03 公式法 1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D 7．B 8．【答案】且 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式．由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可． 【详解】 关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 9．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴且， 解得且， 故答案为：且． 10．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】 （1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】 本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 11．【答案】且 【分析】 由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 考点04 因式分解法 1．D 2．C 3．【答案】， 【分析】 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 利用因式分解法计算即可； 【详解】 ， ， 则或， 解得，． 4．【答案】 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】 解：， ， ∴． 5．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法． （1）直接利用开平方的方法解方程即可． （2）利用因式分解的方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴或， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 6．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 7．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （3）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ，，， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 所以，； (4) 小问详解： 解：， ， ， ， 或， 所以，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法和配方法． 8．【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根．     （2），另一根为      【分析】 （1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 9．【答案】， 【详解】 ， ， 或， 解得：，． 10．【答案】（1） ,      （2） ,       【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 则， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 则，即， ， ，． 11．【答案】（1），     （2），      【分析】 （）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， ， 即， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 或， 解得，． 12．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法解该一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 13．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先移项，根据配方法求解即可； （2）对等式左边因式分解，再求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， ，． (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．D 2．B 3．【答案】 【分析】 根据根与系数的关系解答即可． 【详解】 解：∵a，b是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和，结合已知根，即可求出另一个根． 【详解】 解：方程 中，，， 两根之和为 ， 一个根为 ， 另一个根为 ． 故答案为：． 5．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数关系，熟记是解题关键； 直接利用求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程的两根分别为， 则， 故答案为：2． 6．【答案】 【分析】 本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据一元二次方程有有两个不相等的实数根，列出关于的不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数关系，得出，，代入，得到关于的方程求解． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： ∵关于的一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 由（1）得：， 故． 8．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据判别式的意义可得△=，解不等式即可求出实数k的取值范围； （2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可． 【详解】 解：（1）由题意得：△≥0 ∴ ∴                  （2）由题意得：        由得： ∴ ∴或 ∵      ∴ 点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式，当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根.也考查了根与系数的关系. 9．【答案】（1）     （2） 证明：∵的两个实数根为， ∴，， ∴， ∴      【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有根时，以及根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有实数根，可知，即可求得k的取值范围； （2）根据根与系数的关系，可以得则可获证． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 略 10．【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程，即， ， ， ，即， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）或      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式求解即可； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将其代入可以求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：关于的一元二次方程，即， ，， ， ， 解得或． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； (2) 小问详解： ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．D 3．A 4．C 5．A 6．B 7．D 8．D 9．C 10．B 11．【答案】平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设这两年游客人数的年平均增长率为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】 解：设年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：该景区从年到年接待游客的年平均增长率为． 12．【答案】四周装裱上的边衬的宽度为． 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，先设四周装裱上的边衬的宽度，再根据长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬，装裱后整幅画的面积为，进行列出方程，再解得（舍去），即可作答． 【详解】 解：设四周装裱上的边衬的宽度， ∵该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬，装裱后整幅画的面积为 ∴， ∴， 则 整理得， 解得（舍去）， ∴四周装裱上的边衬的宽度为． 13．【答案】10米 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找出等量关系列出方程并求解． 设矩形的宽为米，那么长为米，根据矩形面积公式列出方程，求解后结合墙的长度进行取舍． 【详解】 解：设矩形的宽的长为米，则长的长为米． 由题意可得方程： 解得， 当时，米，因为墙长18米，，不符合题意，舍去， 当时，米，，符合题意， 所以矩形的宽的长为10米． 14．【答案】竖彩条的宽度为1cm，横彩条的宽度为2cm． 【分析】 可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的，可列方程求解，同时要考虑x的取值范围． 【详解】 解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则有： ， 解得：，, 且， 整理得：x2﹣20x+19＝0， 解得：x1＝1，x2＝19（不合题意，舍去）， ∴． 答：竖彩条的宽度为1cm，横彩条的宽度为2cm． 【点睛】 此题考查的是一元二次方程的应用：面积类问题及不等式组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 15．【答案】6 【分析】 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】 解：由题意，可列方程为； 故答案为： 17．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后共有个人患新冠肺炎，第二轮传染后共有个人患新冠肺炎，根据两轮传染后共有人患新冠肺炎，列方程求解即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意可得：， 两边直接开平方得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 平均一个人传染了个人． 故答案为：． 18．【答案】鸡场的长是米，宽为米． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．设鸡场的宽为x米，根据题意列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设鸡场的宽为x米，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴鸡场的长15米，宽10米． 19．【答案】（1）     （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 20．【答案】任务1：5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：该款包子应该降价3元 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 任务1：假设增长率为，根据题意列出方程求解即可； 任务2：假设该款包子应该降价元，根据销售方案列出方程求解即可． 【详解】 解：任务1：假设增长率为，根据题意得， ， 解得，或（负值舍fcu ）， ∴5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：假设该款包子应该降价元，根据题意得， 解得或， 为尽快减少库存，选择， ∴该款包子应该降价3元． 21．【答案】（1）；     （2）15个．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用等知识． （1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，根据题意列方程得 ，解方程，舍去不合题意的解，问题得解； （2） 设该市在2025年可以改造y个老旧小区，根据题意列出不等式，解不等式，取最大整数解，问题得解． (1) 小问详解： 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得 ，不符合题意，舍去 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该市在2025年可以改造y个老旧小区， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为 答：该市在2025年最多可以改造15个老旧小区． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $