精品解析：湖北荆门市掇刀区2026年秋季学期期中考试九年级数学试卷

2026年秋季学期期中考试九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列说法正确的个数是（ ） ①的相反数是2024；②的绝对值是2024；③的倒数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：①的相反数是2024，说法正确； ②的绝对值是2024，说法正确； ③的倒数是，说法正确； 故选A． 2. 以下事件是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 C. 购买一张彩票，中奖 D. 掷两枚质地均匀的骰子，点数的和大于12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念等知识点．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可解答． 【详解】解：A．明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； B． 通常温度降到以下，纯净的水结冰是必然事件，不符合题意； C．购买1张彩票，中奖是随机事件，符合题意； D． 掷两枚质地均匀的骰子，点数的和大于12是不可能事件，不符合题意． 故选：C． 3. 2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元（1亿），同比增长．将数据1800亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：将数据1800亿用科学记数法表示是． 故选：B． 4. 下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为. 【详解】解：A. ，结果为，非， B. ，结果为，非， C. ，结果为，符合题意， D. ，结果为，非； 故选：C 5. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由于，是一元二次方程的两根，可得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 7. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：D． 8. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10. 如图，已知抛物线为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，a、b同号， ∴， ∵抛物线与y轴的交点B在，之间， ∴， ∴，故①不正确； ∵对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点， ∴当时，，故②正确； 由题意可得，方程的两个根为， 又∵，即， ∵， ∴， 因此，故③正确； 若方程的两根为，，即方程为：，则直线与抛物线的交点的横坐标为m，n， ∵直线过一、二、三象限，且过点， ∴直线与抛物线的交点在第一、第三象限， 由图象可知．故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 写出一个使有意义的数_________． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．掌握被开方数大于等于0，分母不为0是关键． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， 解得． 的值可以是5 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 某学校九年级1班十名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，1这组数据的中位数为____________． 【答案】3.5 【解析】 【分析】现将这列数据从小到大排列，再根据中位数的定义即可作答． 【详解】将统计数据从小到大排列如下：1，1，2，3，3，4，4，5，5，5， 第五个数和第六个数分别为：3、4， 则中位数为：(3+4)÷2=3.5， 故答案为：3.5． 【点睛】本题考查了中位数的定义，属于基础题型，掌握中位数的定义是解答本题的关键． 13. 点和点关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数得出的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，得出的值是解题的关键． 14. 如图：在中，，则的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据圆周角定理，得，从而判断是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得其外接圆的直径，从而求得其周长． 【详解】解：如图，连接，，作于E， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，， ， 则的周长是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造直角三角形，是解决问题的关键． 由题意可知，，过点作，交于，则，，过点作，交于，则，可知，得，则，设，，得，，，则，可得，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作，交于，则，， 过点作，交于，则， ∴， ∴，则， ∵，则设，， ∴，，， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，根据，，直接求解即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，，E是上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 【答案】乙楼的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 19. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握分式混合运算法则及一元一次不等式组的解法是解题关键． 【详解】解： = ， 又， 由①解得：， 由②解得：， ∴不等式组的解集为，其整数解为，， ∵，，即，， ∴ 当时，原式． 20. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 【答案】（1） （2）520人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，利用样本估计总体，求扇形圆心角的度数，解题关键是能从统计图获取有用信息求解． （1）用3分的人数除以其所占的百分比即可求出m的值；用5分的人数除以100再乘以360度即可求5分对应的扇形的圆心角； （2）用成绩超过3分的学生人数的百分比乘以1000即可； （3）分别根据众数、中位数的意义进行作答即可． 【小问1详解】 解：m的值为：， 扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数约为520人； 【小问3详解】 解：众数为3分，实际意义为：所有的成绩中，出现最多的是3分，试卷的难度中等； 中位数为4分，实际意义为：有一半的成绩在4分以下，试卷有一定的难度． 21. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】（1）购买A种水果2千克，B种水果1千克 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【小问1详解】 解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． 【小问2详解】 解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 23. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点P是x轴上方抛物线上一动点，轴于点M，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，当点P在第二象限时，连接交y轴于点D，若，求m的值； （3）当点P不与抛物线的顶点重合时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q，作轴于点N，四边形的周长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，请写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，得到，设，则，根据，建立方程求出n的值，再根据，由题意可知，，求出，利用建立方程求解即可； （3）①求出抛物线的对称轴为，分当时，当时两种情况，求出，即可解答；②根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 解得，； 抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时， 解得． ， ． 轴，轴， ． ． ． ， ． ． 设，则． ， ． 解得． ． 由题意可知，， ． ． 解得， ，（不合题意，舍去） ． 【小问3详解】 解：①抛物线的对称轴为， 如图2，当时，， ． 如图3，当时，， ． ②如图4所示，由图象可知或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期期中考试九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共10题，共30分） 1. 下列说法正确的个数是（ ） ①的相反数是2024；②的绝对值是2024；③的倒数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 2. 以下事件是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 C. 购买一张彩票，中奖 D. 掷两枚质地均匀的骰子，点数的和大于12 3. 2025年“五一”期间，全国旅游市场火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国内旅游消费超过1800亿元（1亿），同比增长．将数据1800亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算的结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2 6. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，已知抛物线为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题3分，共5题，共15分） 11. 写出一个使有意义的数_________． 12. 某学校九年级1班十名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，1这组数据的中位数为____________． 13. 点和点关于x轴对称，则______． 14. 如图：在中，，则的周长是___________． 15. 如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为________． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，，E是上一点，且，．求证：． 18. 如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：） 19. 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 20. 某校开展“中国诗词”竞赛，学生成绩为正整数，满分为5分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）的值是_________，扇形统计图中“5分”对应的扇形的圆心角大小是_________． （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过3分的学生人数． （3）从样本的众数、中位数中选择一个统计量，写出它的值并说明它的实际意义． 21. 如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． （1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ （2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 23. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点P是x轴上方抛物线上一动点，轴于点M，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，当点P在第二象限时，连接交y轴于点D，若，求m的值； （3）当点P不与抛物线的顶点重合时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q，作轴于点N，四边形的周长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l随m的增大而增大时，请写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $