湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

应城市（2025－2026）第一学期期中考试九年级 数学试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） ★ 祝 考 试 顺 利 ★ 温馨提示： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，只交答题卡，试卷请自己保存。 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数是二次函数的是（ ） A． B． C．y＝2x＋1 D．y＝x2＋1 2．用求根公式解一元二次方程2x2－4＝3x时，其中a，b，c的值分别是（　　） A．a＝2，b＝－3，c＝－4 B．a＝2，b＝－4，c＝3 C．a＝2，b＝3，c＝－4 D．a＝2，b＝－3，c＝4 3．在下列四个银行标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　） A． B． C． D． 5．红星厂一月份生产手提电脑200台，为满足消费者需求，计划二、三月份共生产750台电脑．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．200(1＋x)＋200(1＋x)2＝750 B．200(1＋x)2＝750 C．200(1－x)2＝750 D．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝750 6．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与坐标轴交点的情况是（　　） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕着点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段AE的长为（ ） A． B．6 C． D． 8．直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋b在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ） A． B． C． D． 9．若点A(－2，5)绕原点O逆时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（ ） A．(－2，－5) B．(－5，－2) C．(5，－2) D．(2，－5) 10．已知开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为（－1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为－4a；④若关于x的方程ax2＋bx＋c＝a＋1无实数根，则－＜a＜0．其中错误的结论有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、细心填一填，试试你的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程(x－2)2＝9的解是　 　． 12．在平面直角坐标系中，点P（m，－2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m＋n＝ ． 13．已知(m2＋n2)2＋3(m2＋n2)－10＝0，则m2＋n2＝　 　． 14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2.5米，则水面宽度增加　 　米． 15．已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为－2，则 常数h的值为　 　． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分） 16．（本题满分6分，每小题3分）解下列一元二次方程： （1）x2－2x＝4 （2）(3x＋1)2＝(2x－1)2 17．（本题满分6分）函数y＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，结合图象回答下列问题: （1）方程－x2＋2x＋3=0的两个根为　 　 ； （2）当y＞0时，则x的取值范围为　 ；当－1＜x＜2时，则y的取值范围为　 　　 ； （3）若方程－x2＋2x＋3=有实数，则的取值范围是　 　． 18．（本题满分6分）如图，平面直角坐标系内，网格中的小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点上． （1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1； （2）将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1； （3）△D1EF1可由△ABC绕着某点旋转得到，请直接写出这点的坐标． 19．（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的两个实数根，求的值． 20.（本题满分8分）如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE. （1）求证：△AEB≌△ADC； （2）连接DE，若∠ADC＝105°，求的度数． 21．（本题满分8分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝________，PB＝________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于 cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于24cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，也请说明理由． 22．（本题满分10分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的关系如下表，另外每天还需支付其他各项费用共100元． 销售单价（元/袋） 3.5 4 4.5 5 5.5 销售量（袋） 350 300 250 200 150 （1）请你从学过的正比例函数、一次函数、二次函数三个模型中确定哪种函数能恰当地表示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式； （2）为了在春节前将这批干果销售完，每天的销量不能低于150袋，如果每天获得200元的利润，销售单价为多少元？ （3）若每天的销量不能低于150袋，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 23．（本题满分11分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG． （1）求证:△AEF≌△AEG； （2）如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，点F在射线DC上，∠EAF=45°，试探究线段BE、EF、DF之间的数量关系，请作出结论并予以证明． （3）如图3，正方形ABCD的边长为，连接BD分别交AE，AF于点M，N．若点M恰好为线段BD的四等分点，且BM＜DM，求线段MN的长． 24．（本题满分12分）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B，C两点的直线为y＝－x＋3． （1）求二次函数的解析式； （2）Q是直线BC下方抛物线上一动点，△QBC的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时Q的坐标；若无，也请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，也请说明理由． 九年级数学期中试卷 第6页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 应城市（2025－2026）第一学期期中考试九年级 数学试卷参考答案 一、精心选一选 1．D　 2．A　 3．B　 4．C　 5．A　 6．C　 7．C　 8．D　 9．B　 10．A 二、细心填一填 11． 12．－1 13．2 14．2 15．－1或5 三、专心解一解 16．解：（1） x2－2x－4＝0 ∴△ …………………………………………………（1分） …………………………………………………………（2分） ………………………………………………………（3分） （2） ………………………………………………（4分） …………………………（5分） ……………………………………（6分） 17.解：（1）………………………………………………………（2分） （2）……………………………………………………（4分） (每空1分） （3）………………………………………………………………………（6分） 18. 解：（1）△A1B1C1如图所示； ………………………………………………………（2分） （2）△D1E1F1如图所示； …………………………………………………………（4分） （3）（3，1） …………………………………………………………（6分） 19.解：（1）△……………………………………………………（1分） ……………………………………………………（3分） ∴不论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根.……………………………（4分） （2）…………………………………………………（5分） …………………………………………………（6分） …………………………………………………（7分） …………………………………………………（8分） 20.（1）证明：∵AD绕点A旋转60°得线段AE， ∴∠DAE=60°，AE＝AD.………………………………………………………（1分） ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°. ∴∠DAC=∠EAB.………………………………………………………（2分） ∴△AEB≌△ADC ……………………………………（4分） （2）解：由△AEB≌△ADC 得∠AEB=∠ADC=105°……………………………………（6分） ∵∠DAE=60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED=60° ∴∠BED=∠AEB－∠AED=105°－60°=45°…………………………………………（8分） 21.解：（1）解：2t cm，(5－t)cm；…………………………………………………（2分） （2）解：由勾股定理得， …………………………………………（3分） ，……………………………………………………（4分） 解得 ，…………………………………………………………（5分） ∴当t=1秒时，的长度等于； （2） 解：存在，当t＝2能够使得五边形的面积等于24cm2.………………（6分） 理由如下： 当点运动到点时，两点停止运动，∴ . 又∵t＝3时，点Q与点C重合，不构成五边形APQCD， ∴t≠3，∴t＜3. ∴24…………………………………………………………（7分） ∴ ，解得t＝2，3. ∵t＜3，∴t＝2.…………………………………………………（8分） 22．解：（1）与之间的函数关系式为；……………………………（3分） （2）根据题意，得，…………………………（4分） 整理得：， 解得：，，…………………………………………………………（5分） ， ， ，…………………………………………………………（6分） ∴如果每天获得200元的利润，销售单价为4元/袋； （3）设每天的利润为元，则 ，……………………………（8分） ，，………………………………………………………（9分） ∴当时，最大，此时， ∴当销售单价定为5元/袋时，每天的利润最大，最大利润是300元．………………（10分） 23.（1）证明：由旋转得AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，点G，B，E，C在同一直线上． ∵ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°． ∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°． ∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°＝∠EAF． 又AE公共，∴△AEF≌△AEG． ……………………………………………………（3分） （2）解：EF＝DF－BE. …………………………………………………………(4分) 理由如下： 将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG，则点G，E，B，C在同一直线上，………（5分） 且AF=AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG． ∴∠EAG＝∠BAG－∠BAE＝∠DAF－∠BAE＝90°－∠BAF－BAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠EAF． 又AE公共，∴△AEF≌△AEG． ∴EF＝EG． ∴EF＝EG＝BG－BE＝DF－BE．…………………………………………………（7分） （3）解：BD＝ ＝8，BM＝．………………………………………（8分） 将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABG，连接GM． 则△AGB≌△AND，同（1）理得△AMG≌△AMN． ∴∠GBN＝∠GBA＋∠MBA＝∠NDA＋∠MBA＝90°，BG＝DN，MN＝MG． 设MN＝x，则MG＝x，BG＝DN＝6－x． 在Rt△BGM中，，∴， 解得，即．……………………………………………………………（11分） 24.解：（1）由y＝－x+3求得B（3，0），C（0，3） 代入y＝x2+bx+c中，求得y＝x2－4x＋3 …………………………………（3分） （2）如图，过点Q作 轴交BC于H , 设 ∴………………………………………（6分） ∴ …………………………………………(7分) （3） ①P为顶点时 ： …………………………（9分） ②点C 为顶点时： …………………………………（10分） ③点M 为顶点时： ∴………………………………………(12分) 综上，符合条件的M点的坐标为 说明：每道解答题如有其他方法，只要解法正确，均应给分. 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