专题02 全等三角形（3大考点）（期中真题汇编，湖北专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）已知图中两个三角形全等，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，已知、点B、C，E，F在同一直线上，若，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，点，在上，且．若，，则的长为（       ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 4．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，，，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（        ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 6．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，已知≌，点和点是对应顶点．若，则的度数为（　　） A. 6 B. 5 C. 5 D. 4 7．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（       ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 3．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，已知，下列条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，已知，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；再以点O为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点E，F；连接，，则，其全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，为测量湖两端的距离，某课外实践小组在湖旁的空地上选了一点，测得的度数．在的另一侧测得，，根据全等三角形的判定与性质可知，测得的长，即为的长，那么判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在下列条件中，不能判定的条件是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）下列条件中，不能判定与一定全等的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，那么理由是（     ） A. 边角边 B. 斜边、直角边 C. 角角边 D. 边边边 11．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，为了测量水池两边，间的距离，可以先过点作射线，再过点作于，在的延长线上截取，连接，则的长就是，间的距离，用来判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 13．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（     ） A. 与全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 14．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 16．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）等腰中，，D是的中点，交延长线于E，交的延长线于F，若，则的面积为（　　） A. 42 B. 36 C. 48 D. 58 17．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）下列说法错误的是（       ）． A. 一个三角形最多有一个直角 B. 直角三角形的外角不可能是锐角 C. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等 D. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 18．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，、是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 20．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（       ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 21．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，在与中，，，求证：． 22．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，已知，．求证：． 23．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 24．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图所示，已知E是上的一点，，请再添加一个条件：　　　　　　　　，使得． 25．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，C、F为线段上两点，，，．求证：． 26．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，要测量河两岸上A，B两点的距离，在点B所在河岸一侧平地上取一点C，使A，B，C在一条直线上，另取点D，使，测得，，在CD的延长线上取点E，使．这时测得的长就是A，B两点的距离，为什么？ 27．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 28．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，为了测量一幢楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，在处仰望旗杆顶和楼顶，两条视线的夹角正好为，量得、都等于量得为，求楼高是多少？ 29．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 30．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，，，求证：． 31．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．如图，从花折伞中抽象出“牵形图”，．求证：． 32．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）（多选）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF．要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一个条件是　　　　　　　．（写出一个即可） 33．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 34．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 35．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 36．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在和中，若；；．求证： 37．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，，添加一个条件　　　　　　　　，使得（填写一个条件即可）． 38．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，已知，，，求证：． 39．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，过点A作，垂足是，过点C作，垂足是C．交于点F，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 　　　　　　　　　　（填序号）． 40．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，求点的坐标． 41．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，，垂足分别为，若，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，是的中线，． （1）若的面积为5，则的面积_______；（直接写出结果） （2）探究与证明：请探究线段与线段的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：． 43．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，正方形的边长为，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等腰，，，连接，则的最小值为　　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）在中，，中线，则边的取值范围是　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，是上一点，交于点，，．证明：是的中点． 46．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 47．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 48．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 49．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在等腰中，，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于　　　　　　　　． 50．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）中，边上的中线，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）（多选）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 已知：如图，中， 求证：． 三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明． 小刚的方法：作的平分线，可证，得； 小亮的方法：作边上的高，可证．得； 小莉的方法：作边上的中线． （1）请你写出小刚与小亮方法中的理由：___________； （2）小莉的方法：作边上的中线，但发现无法直接通过证明和全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明． 52．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程． （2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）． （3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由． 53．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）在中，，，则边上的中线的取值范围是　　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，、、、四点在一条直线上，，，， 求证：． 55．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在中，，是的角平分线，于E，F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 56．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）在中，，，，三点都在直线上，． （1）若． ①如图1，若，则与的数量关系为：______________，与的数量关系为____________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． （2）如图3，若，，点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为（s）．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 57．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 58．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，等腰中，，点A，C分别在坐标轴上． （1）如图1，若，则B点的坐标为               ； （2）如图2，垂直x轴于D点，判断的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上运动时，分别以为边如图作等腰和等腰，其中，，连接交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 59．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）已知：在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且， ． （1）如图1，，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； （2）如图2，若平分，交于，过作轴于点，证明：； （3）如图3，当点C在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断，与之间的关系，并说明理由． 60．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）【问题背景】 在平面直角坐标系中，，点M为y轴上一动点（不与点O重合）． 【问题探究】 （1）如图1，为等边三角形，点B在第一象限，连接，以为边，在上方作等边，点M在运动过程中； ①当时，             ；（直接写出答案） ②连接，求的最小值； 【问题拓展】 （2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持，且，连接，过点P作于H，直线与y轴交于点K，连接，点M在运动过程中，的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 61．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 62．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 63．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． （1）如图1，若，直接写出点的坐标：___________； （2）如图1，点，、两点均在轴上，且，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． （3）如图2，若，求证：． 64．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，（其中和是一组对应点） （1）如图1，的对应点是________，的对应边是________，的对应角是________； （2）如图2，是的中点，连接并延长，恰好经过点，求证：； （3）如图3，、分别是、的中点，连接、、、，其中与交于点，求的值． 65．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． （1）已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． 【内化迁移】 （2）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，，，求的长度； ②如图4，连接交直线于点，点在运动过程中，若，，请直接写出的长． 66．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知在四边形中，，． （1）【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； （2）【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 67．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，是钝角三角形（），将绕点A顺时针旋转至，连接、，取的中点F，连接并延长交于点G，其中，，，则　　　　　　　　（用含m、n的式子表示） 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 2．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（   ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 3．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 5．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（　　） A. 30° B. 35° C. 70° D. 45° 7．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（       ） A. 说明的依据是 B. 点M，N到的距离不相等 C.  D. 上任意一点到两边的距离相等 8．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，给出下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，，B，C分别是射线，上的点，连接，，，，两外角的角平分线、交于点O，连接，分别过O作于D，于F，于E，下列结论正确的有（     ）个． ①②③④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，在中，，平分，于，，则的面积为　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线，若点坐标为，则　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴______________． ∴_____________． 又∵， ∴_____________． 【类比探究】 如图②，若是的外角平分线，与的延长线交于点D． 求证：． 14．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 15．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 16．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，请直接写出的长． 17．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    （1）求证：平分； （2）连接交于点G，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 18．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接． ①；②；③；④． 其中正确的结论有　　　　　　．（只需填写序号） 19．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图1，在中，为边上一点，连，为边上一点，若平分，平分． （1）若，则　　　　　　　　　　　． （2）求证：； （3）如图2，若，且，求的度数． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（3大考点） 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．A 2．B 3．A 4．C 5．C 6．A 7．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 考点02 三角形全等的判定 1．B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．A 7．C 8．C 9．B 10．A 11．B 12．B 13．D 14．B 15．D 16．C 17．C 18．C 19．B 20．A 21．【答案】证明：在与中，， ， ∴， ∴ 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据直角三角形中斜边直角边判定，由全等三角形的性质即可求解． 【详解】 略 22．【答案】见详解 【分析】 本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】 证明：∵在和中， ∴（） 23．【答案】证明：∵， ∴∠B=∠C， ∵，， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴． 【分析】 利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 24．【答案】 【分析】 根据三角形全等的判定定理，结合图形添加即可。 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。 【详解】 解：添加， ∵ ∴， 故添加条件为， 故答案为：（答案不唯一）。 25．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可求证． 【详解】 略 26．【答案】证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 测得的长就是A，B两点的距离． 【分析】 证明，推出，进一步得出． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题． 27．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）利用“边边边”证明即可； （2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28．【答案】25米 【分析】 此题主要考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长． 【详解】 解：两条视线的夹角正好为， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 答：楼高是米． 29．【答案】（1） ，， 且，， 在与， ， ．     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再由即可求值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ，， ． 30．【答案】证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，根据可证得，再利用证得进而可求证结论，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【详解】 略 31．【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证明三角形全等． 利用证明，然后得出对应角相等即可． 【详解】 证明：在与中， ∴， ∴． 32．【答案】BC=EF（或或或BE=CF）答案不唯一，符合题意即可 【分析】已知AB=DE，∠B=∠DEF，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边即可判定三角形全等，由此即可解答． 【详解】已知AB=DE，∠B=∠DEF，加①BC=EF，用SAS判定△ABC≌△DEF； 加∠A=∠D，用ASA判定△ABC≌△DEF； 加，用AAS判定△ABC≌△DEF； 添加BE=CF，可得BC=EF，用SAS判定△ABC≌△DEF. 故答案为BC=EF（或或或BE=CF）答案不唯一，符合题意即可. 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据判定方法添加合适的条件是解决问题的关键. 33．【答案】详见解析 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由平行线的性质得到，再由得到，根据全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】 证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 34．【答案】（1） 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴ 35．【答案】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】 略 36．【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题目的条件可证明，则，故，则题目可证． 【详解】 略 37．【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． 根据题意，运用边角边或边边边的判定方法求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴当时，可根据推出； 当时，可根据推出； 故答案为：或（答案不唯一）． 38．【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 由“”可证，可得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 39．【答案】① ③ ④ 【分析】 由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案． 【详解】 解：，， ， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，，， ，故②不正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④正确； 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 40．【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的性质．利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，得到，得到，，过点C作于E，过点D作于F，求得，，即可得出点D坐标． 【详解】 解：点在第一象限（不与点重合），且 与 全等，即 ， ，， 过点C作于E，过点D作于F，如图所示： ∵， ∴（全等三角形对应边的高相等）， ∴， ∴， ∴点C与点D纵坐标相等， ∵，，， ∴轴 ， ， ∴，， ∴， ∴． 41．【答案】3 【分析】 由AD⊥CE，BE⊥CE，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD，从而求得△CEB≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求得BE的长． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠BCE=∠CAD， 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）； ∴BE=CD，CE=AD=9． ∵DC=CE-DE，DE=6， ∴DC=9-6=3， ∴BE=3． 故答案为：3 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 42．【答案】（1）20     （2），证明见解析     （3）见解析      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分求出的面积，继而求出的面积； （2）如图，延长到，使，利用证得和全等，得出，再根据三角形三边关系定理得出，从而问题得证； （3）结合（2）中的条件先证和全等，得出，从而问题得证． (1) 小问详解： 解：是的中线，的面积为5， ， ， ， 是的中线， ， 故答案为：20； (2) 小问详解： 解：， 证明：如图，延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系定理得，， 即； (3) 小问详解： 证明：由（2）知， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（2）知， ． 43．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点作于，过点作，可证明，得到，则点在平行且到距离为的直线上运动，故当时，有最小值，据此可得答案． 【详解】 解：如图，过点作于，过点作， 四边形是正方形， ，， ， ； ， ，， ， 又， ， ， 点在平行且到距离为的直线上运动， 当时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：． 44．【答案】 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长至，使，连接，则，证明和全等得，在中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边的取值范围． 【详解】 延长至，使，连接，如图所示： ， ， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， 在中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， ∴边的取值范围是：． 故答案为：． 45．【答案】证明：如下图所示，    ， ，， 在和中 ， ， ， 是的中点． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．首先根据平行线的性质可证、，再利用证明，根据全等三角形对应边相等可证，从而可得结论成立． 【详解】 略 46．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出的度数． 证明，可得，由和三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ． 47．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 48．【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．【答案】5 【分析】 本题考查了垂线段最短的性质，等腰三角形的性质．在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】 解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，     是的平分线，， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是5． 故答案为：5． 50．【答案】 【分析】 此题主要考查三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到，使，连接，证明，得到，利用三角形三边关系得到，代入求解即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 51．【答案】（1）     （2） 证明：过点作于点，过点作于点． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ， 即．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）过点作于点，过点作于点，首先证明，推出，，再证明，推出即可解决问题． (1) 小问详解： 解：小刚的方法： ∵平分 ， ∴， 在 与 中， ； 小亮的方法： ∵， ∴ ， 在 与 中： ． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 52．【答案】（1） （2）如图（2），AO为所作； （3）如图（3），AO为所作． 在△ABC和△AED中 ， ∴△ABC≌△AED， ∴AC=AD，∠ACB=∠ADE， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠BCD=∠EDC， 在△BCD和△EDC中， ， ∴△BCD≌△ECD， ∴∠BDC=∠ECD， ∴OD=OC， ∴AO垂直平分CD． 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只要AB=AC，OB=OC即可说明直线AO垂直平分BC； （2）连结BE、CD相交于点O，则直线AO为BC边的垂直平分线； （3）连结BD、CE相交于点O，则直线AO为CD边的垂直平分线．先证明ABC≌△AED得到AC=AD，∠ACB=∠ADE，根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC，所以∠BCD=∠EDC，再证明△BCD≌△ECD，则∠BDC=∠ECD，所以OD=OC，于是根据线段垂直平分线定理的逆定理即可判断直线AO为CD边的垂直平分线． 【详解】 （1）略； （2）略； （3）略． 53．【答案】 【分析】 本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【详解】 解：如图，延长至E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故边上的中线的取值范围是． 故答案为：． 54．【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，同时还考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行，掌握全等三角形的判定方法和平行线的判定定理是解题的关键． 本题中，先利用和对应的三条边相等，证得两三角形全等，得到对应角，进而得到． 【详解】 略 55．【答案】（1） 证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的长为      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴． 56．【答案】（1）①，；②     （2），      【分析】 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）① 通过垂直与等角关系证得，根据全等三角形的性质可得出结论； ② 借助三角形内角和定理进行等角代换，得到，证明，再根据全等三角形的性质进行线段的等量代换即可； （2）假设存在，根据，分、两种情况讨论求出对应的、值． (1) 小问详解： 解：①，， ， ， ， 在和中， ， ，， 则与的数量关系为，与的数量关系为． ②， ， ， 在和中， ， ，， ， 故，与的数量关系为． (2) 小问详解： 假设存在，使得与全等， 由于，则有、； 运动的时间为时，，， 当时， ，即， ，即， ，； 当时， ，即， ，即， ，； 故当和，与全等． 57．【答案】（1）     （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G，     ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （3）的长度不变，      【分析】 本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． (1) 小问详解： 解：如图1，过点C作轴于点F，     ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，     ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 58．【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线于N， ∵垂直x轴于D点，， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）的值为，是定值；      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点B作轴于M，证明，得到，进而得到，则； （2）过点C作交延长线于N，可证明，再证明，得到，即可证明； （3）过点E作轴于T，同理可证明，得到；再证明，得到，可推出，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点B作轴于M， ∵， ∴； ∵等腰中，， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为，是定值． 59．【答案】（1）     （2） 证明：延长，交于点，     ，， ， 平分， ， ， 又， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；     （3） ， 理由如下：作于，则， ，， ， 在和中， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质： （1）过点作于，由“”可证得，根据全等三角形对应边相等，即可得到答案； （2）延长，交于点，利用“”证得，进而证得，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）作于，则，利用“”可证得，可得，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：过点作于，     ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点B坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 60．【答案】（1）①或；②；（2）不变化， 【分析】 （1）① 根据等边三角形的性质即可解答； ② 如图1，连接，先证明，则，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即可解答； （2）如图2，过点于E，作于F，则，证明和，即可解答． 【详解】 解：（1）① ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴当在内部时， ； 当在外部时， ； 故答案为：或； ② 如图1，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵中，， ∴， 即的最小值是； （2）点M在运动过程中，的度数没有发生变化，是定值， 如图2，过点O作于E，作于F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，分类讨论． 61．【答案】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3） 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 62．【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）① 证明：过点E作交的延长线于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或5． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）① 过点E作交的延长线于点F，证明，再证明，即可得出结论；② 过点E作交的延长线于点F，由① 得，得到；根据已知求出；设；分为当点H在线段上时，当点H在线段反向延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】 （1）略 （2）① 略 ② 过点E作交的延长线于点F， 由① 得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 63．【答案】（1）     （2）不发生改变，     （3） 证明：如图，连接、交于点H， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ．      【分析】 （1）过点C作，构造一线三垂直全等即可得出点C坐标； （2）过点E作，构造一线三垂直全等得出，从而可证，结合即可求解； （3）连接和，可证明，从而证明，利用八字型导角即可得证． (1) 小问详解： 解：如图，过点C作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 故答案为： (2) 小问详解： 解：长度不发生改变，，理由如下， 如图，过点C作，过点E作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握一线三垂直的辅助线构造是解决本题的关键． 64．【答案】（1），，     （2） 证明：如图：过、分别作于点，于点 ， 为中点 在和中 在和中      （3）1      【分析】 （1）根据全等对应边，对应用角即可求解； （2）过、分别作于点，于点，得，再证，即可求证； （3）在延长线上取点．令，连，证得，再证，即可求解. (1) 小问详解： 解：∵（其中和是一组对应点） ∴的对应点是：；的对应边是：；的对应角是： 故答案为：，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在延长线上取点．令，连． 、为、中点． ，． ， ． 在和中 ， ， 在和中 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质等相关知识点，解题关键在于熟悉各个知识点应用和理解. 65．【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）①；②或18 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）① 证明，则，，据此求解即可； ② 过点E作交的延长线于点F，同① 得，有；由面积关系得，设； 分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）① ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴； ②或18．解析如下： 过点作交的延长线于点，如图； 同① 得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， 设； 当点在线段上时，如图， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得， ∴， 当点在线段上的情况不存在． 综上，或18． 66．【答案】（1）5     （2） 解：，理由如下： 证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴即；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答； （2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论； （3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，理由如下： 如图3，在延长线上找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 67．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 延长至点，使，连接，在上截取点，使，连接，根据旋转的性质得到，且，进而证得和，根据全等三角形的性质，设，，再次证得，进而证得，求解计算即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接，在上截取点，使，连接，如图所示： 由题意可知，，且 ， 为的中点 在和中， 、 在和中， ,, 设， 在中， 在和中， ， ，即 ， ， ，即 ． 故答案为：． 考点03 角的平分线 1．C 2．A 3．A 4．B 5．D 6．B 7．B 8．D 9．B 10．B 11．【答案】7 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点D作于F，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】 解：过点D作于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．【答案】5 【分析】 本题考查作图—基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，为的平分线，进而可得，解方程即可． 【详解】 解：由作图过程可知，为的平分线， ， ， 解得． 故答案为：5． 13．【答案】[探究发现]，，； [类比探究]证明：如图② ，过点D作于N，过点D作于M，过点A作于点P． ∵平分， ∴． ∴， 又∵． ∴． 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，等高三角形面积的关系．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． [探究发现]根据过程填写即可； [类比探究]证明过程同[探究发现] ． 【详解】 [探究发现]证明：∵是的角平分线，且，， ∴． ∴． 又∵， ∴． 故答案为：，，； [类比探究] 略 14．【答案】（1） 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．【答案】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】 此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】 略 16．【答案】（1） 证明：如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴；     （2）2     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可； （3）由（2）知：，，则可求出，然后根据线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴． 17．【答案】（1） 证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .      平分.     （2） 证明：过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，         （3）7.5      【分析】 （1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 18．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，可判断① ；如图，在上截取，连接，证明，得，证明，得，可判断② ；如图，延长，交于点，证明，得，由等腰三角形的性质及三角形内角和可推出，可判断③ ；过点作于，于，由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，得的值，可判断④ ，即可得解． 【详解】 解：① ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故结论① 正确； ② 如图，在上截取，连接， ∵平分，平分，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论② 正确； ③ 如图，延长，交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 假设， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立，即， ∴， 故结论③ 错误； ④ 如图，过点作于，于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论④ 正确； ∴正确的结论有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 19．【答案】（1）     （2） 证明：过作于，于，于，如图1所示： 平分，平分， ，， ， 平分， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）由平分，平分，可得，，在和中分别利用外角可得，则题目可解； （2）过作于，于，于，先由角平分线的性质得，，则，得平分，则，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，先证，则，再证，得，则，求出，然后由三角形的外角性质得，最后由三角形内角和定理进而得出答案． (1) 小问详解： 解： 平分 ， ， 平分 ， ， ， 代入得：        ， ∵， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长至点，使，连接，如图2所示： 则， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 解得：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（3大考点） 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）已知图中两个三角形全等，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】 解：∵两个三角形全等，是a、c边的夹角， ∴． 故选：A． 2．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，已知、点B、C，E，F在同一直线上，若，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 3．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，点，在上，且．若，，则的长为（       ） A. 2 B.  C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，根据，从而可得的长． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，，，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 5．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（        ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【分析】 利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案． 【详解】 解：如图， ∵两三角形全等， ∴∠2=60°，∠1=50°， ∴∠α=180°-50°-60°=70°， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，已知≌，点和点是对应顶点．若，则的度数为（　　） A. 6 B. 5 C. 5 D. 4 【答案】A 【分析】 首先利用得到进一步得到，然后利用已知角求得答案即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应边、对应角，难度较小． 7．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】 在与， ∵ ， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（       ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】 解：在和中， ∵ ， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 3．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格图，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．通过构造全等三角形，结合全等三角形的角度性质，推导的度数． 【详解】 解：设小正方形的边长为，如图， ∵，，， ∴（）． ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 4．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，已知，下列条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】 解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 5．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，已知，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；再以点O为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点E，F；连接，，则，其全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了尺规作图，全等三角形的判定等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．利用证明即可． 【详解】 解：由作图步骤可知，，， 在和中， ， ， 故选：B 6．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，为测量湖两端的距离，某课外实践小组在湖旁的空地上选了一点，测得的度数．在的另一侧测得，，根据全等三角形的判定与性质可知，测得的长，即为的长，那么判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．利用，，加上公共边可根据“”判断． 【详解】 解：在和中， ， ． 故选：A． 7．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】 解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】 此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 8．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在下列条件中，不能判定的条件是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角．已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等．根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】 解：A、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； B、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； C、，，，符合，和不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意； D、，，，符合，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）下列条件中，不能判定与一定全等的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】 解：如图示： .，，，根据证明，不符合题意； .，，，根据不能推出，故本选项符合题意； .，，，利用能推出，故本选项不符合题意； .，，，利用能推出，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 10．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，那么理由是（     ） A. 边角边 B. 斜边、直角边 C. 角角边 D. 边边边 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定()，解题关键是掌握上述知识点． 根据求解即可． 【详解】 解：在与中， ， ， ， 故选：A． 11．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，为了测量水池两边，间的距离，可以先过点作射线，再过点作于，在的延长线上截取，连接，则的长就是，间的距离，用来判定的理由是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 12．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 证明可判断① ② 正确；根据证明可判断④ 正确；无法判断③ 正确． 【详解】 解：，，， ， ，，，故② 正确； ， 即，故① 正确； ，，， ，故④ 正确； 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③ 错误． 故选：B． 13．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（     ） A. 与全等 B. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法即可判断； 【详解】 解：由题意可知：，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等， 故选：D． 14．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】 解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 15．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质；第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由可判断，由全等三角形的性质得，由可判定，全等三角形的性质得，由可判定，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质，由等腰三角形的性质得，即可判断；第五个图由可判定，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解： 由作图痕迹得知是角平分线的标准作法，射线为的平分线； 由作图痕迹得知，是的垂直平分线， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，，， （）， ， ，， （）， ， （）， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，， ，， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，作、的垂直平分线， ， （）， ， 射线为的平分线； 故选：D． 16．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）等腰中，，D是的中点，交延长线于E，交的延长线于F，若，则的面积为（　　） A. 42 B. 36 C. 48 D. 58 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可利用证明得到，进而由线段中点的定义得到，再求出线段的长即可得到答案． 【详解】 解：∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 17．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）下列说法错误的是（       ）． A. 一个三角形最多有一个直角 B. 直角三角形的外角不可能是锐角 C. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等，那么这两个三角形全等 D. 如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 【答案】C 【分析】 选项A和B根据三角形内角和及外角性质易判断正确；选项D是三角形全等的判定定理之一；选项C中，两边及其中一边上的高相等不一定导致三角形全等，可能存在反例． 【详解】 解：∵三角形内角和为，若有两个直角则内角和超过，矛盾， ∴ A正确； ∵直角三角形有一个直角和两个锐角，其外角为内角的补角：直角的外角为直角，锐角的外角为钝角， ∴所有外角均不为锐角，B正确； ∵两个三角形有两条边和其中一边上的高分别相等时，可能对应夹角不同（两种情况的夹角互补），导致第三边不等，从而不全等， ∴ C错误； ∵两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等时，可通过延长中线构造平行四边形，证明第三边相等，从而全等， ∴ D正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合），判断命题真假，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 18．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题的关键． 先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】 解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是， 故选：C． 19．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，、是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，进而证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】 解：、是锐角的高， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 20．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，已知，分别以，为边作等腰和等腰，，连接，点H为的中点，连接并延长交于点G，若，，则的面积为（       ）． A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，延长至点，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，，证明，求出的面积，根据等积转化结合三角形的中线，进行求解即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接，则， ∵为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ，即； ∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 21．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，在与中，，，求证：． 【答案】证明：在与中，， ， ∴， ∴ 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据直角三角形中斜边直角边判定，由全等三角形的性质即可求解． 【详解】 略 22．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】见详解 【分析】 本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】 证明：∵在和中， ∴（） 23．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 【答案】证明：∵， ∴∠B=∠C， ∵，， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴． 【分析】 利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 24．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图所示，已知E是上的一点，，请再添加一个条件：　　　　　　　　，使得． 【答案】 【分析】 根据三角形全等的判定定理，结合图形添加即可。 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。 【详解】 解：添加， ∵ ∴， 故添加条件为， 故答案为：（答案不唯一）。 25．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，C、F为线段上两点，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可求证． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，要测量河两岸上A，B两点的距离，在点B所在河岸一侧平地上取一点C，使A，B，C在一条直线上，另取点D，使，测得，，在CD的延长线上取点E，使．这时测得的长就是A，B两点的距离，为什么？ 【答案】证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 测得的长就是A，B两点的距离． 【分析】 证明，推出，进一步得出． 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题． 27．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）利用“边边边”证明即可； （2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，为了测量一幢楼的高，在旗杆与楼之间选定一点，在处仰望旗杆顶和楼顶，两条视线的夹角正好为，量得、都等于量得为，求楼高是多少？ 【答案】25米 【分析】 此题主要考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长． 【详解】 解：两条视线的夹角正好为， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 答：楼高是米． 29．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） ，， 且，， 在与， ， ．     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键． （1）根据证明三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再由即可求值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ，， ． 30．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，根据可证得，再利用证得进而可求证结论，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．如图，从花折伞中抽象出“牵形图”，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证明三角形全等． 利用证明，然后得出对应角相等即可． 【详解】 证明：在与中， ∴， ∴． 32．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）（多选）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF．要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一个条件是　　　　　　　．（写出一个即可） 【答案】BC=EF（或或或BE=CF）答案不唯一，符合题意即可 【分析】已知AB=DE，∠B=∠DEF，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边即可判定三角形全等，由此即可解答． 【详解】已知AB=DE，∠B=∠DEF，加①BC=EF，用SAS判定△ABC≌△DEF； 加∠A=∠D，用ASA判定△ABC≌△DEF； 加，用AAS判定△ABC≌△DEF； 添加BE=CF，可得BC=EF，用SAS判定△ABC≌△DEF. 故答案为BC=EF（或或或BE=CF）答案不唯一，符合题意即可. 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，根据判定方法添加合适的条件是解决问题的关键. 33．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由平行线的性质得到，再由得到，根据全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】 证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 34．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵， ∴ 35．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】 略 36．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，在和中，若；；．求证： 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题目的条件可证明，则，故，则题目可证． 【详解】 略 37．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，，添加一个条件　　　　　　　　，使得（填写一个条件即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． 根据题意，运用边角边或边边边的判定方法求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴当时，可根据推出； 当时，可根据推出； 故答案为：或（答案不唯一）． 38．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 由“”可证，可得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 39．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，过点A作，垂足是，过点C作，垂足是C．交于点F，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是 　　　　　　　　　　（填序号）． 【答案】① ③ ④ 【分析】 由证明，故①正确；得，，再由三角形的三边关系得，得，故②不正确；然后证，得，由三角形的面积关系，故③正确，最后由全等三角形的性质得，则，故④正确；即可得出答案． 【详解】 解：，， ， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ，，， ，故②不正确； 在和中， ， ， ， ， ，故③正确， ， ， ，故④正确； 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 40．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，求点的坐标． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的性质．利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，得到，得到，，过点C作于E，过点D作于F，求得，，即可得出点D坐标． 【详解】 解：点在第一象限（不与点重合），且 与 全等，即 ， ，， 过点C作于E，过点D作于F，如图所示： ∵， ∴（全等三角形对应边的高相等）， ∴， ∴， ∴点C与点D纵坐标相等， ∵，，， ∴轴 ， ， ∴，， ∴， ∴． 41．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，，垂足分别为，若，则的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 由AD⊥CE，BE⊥CE，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD，从而求得△CEB≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求得BE的长． 【详解】 解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠BCE=∠CAD， 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）； ∴BE=CD，CE=AD=9． ∵DC=CE-DE，DE=6， ∴DC=9-6=3， ∴BE=3． 故答案为：3 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 42．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）李老师在数学课上，让同学们以“三角形的中线”为主题开展数学探究活动，并设计如下问题，引导同学们进行探究思考． 已知：如图，是的中线，． （1）若的面积为5，则的面积_______；（直接写出结果） （2）探究与证明：请探究线段与线段的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：． 【答案】（1）20     （2），证明见解析     （3）见解析      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分求出的面积，继而求出的面积； （2）如图，延长到，使，利用证得和全等，得出，再根据三角形三边关系定理得出，从而问题得证； （3）结合（2）中的条件先证和全等，得出，从而问题得证． (1) 小问详解： 解：是的中线，的面积为5， ， ， ， 是的中线， ， 故答案为：20； (2) 小问详解： 解：， 证明：如图，延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系定理得，， 即； (3) 小问详解： 证明：由（2）知， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（2）知， ． 43．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，正方形的边长为，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向左侧作等腰，，，连接，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点作于，过点作，可证明，得到，则点在平行且到距离为的直线上运动，故当时，有最小值，据此可得答案． 【详解】 解：如图，过点作于，过点作， 四边形是正方形， ，， ， ； ， ，， ， 又， ， ， 点在平行且到距离为的直线上运动， 当时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：． 44．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）在中，，中线，则边的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 延长至，使，连接，则，证明和全等得，在中，根据三角形三边之间得，由此即可得出边的取值范围． 【详解】 延长至，使，连接，如图所示： ， ， ， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， 在中，根据三角形三边之间得：， ，， ， ， 即， ∴边的取值范围是：． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，是上一点，交于点，，．证明：是的中点． 【答案】证明：如下图所示，    ， ，， 在和中 ， ， ， 是的中点． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．首先根据平行线的性质可证、，再利用证明，根据全等三角形对应边相等可证，从而可得结论成立． 【详解】 略 46．（25-26学年八上·湖北黄石·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出的度数． 证明，可得，由和三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， ． 47．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 48．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，点E在外部，点D在边上，交于点F，若，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，，    ∴， 故．     （2） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．      【分析】 （1）根据，，利用三角形内角和定理计算证明即可． （2）根据，得到即再证明即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 49．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在等腰中，，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了垂线段最短的性质，等腰三角形的性质．在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】 解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，     是的平分线，， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是5． 故答案为：5． 50．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）中，边上的中线，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到，使，连接，证明，得到，利用三角形三边关系得到，代入求解即可，掌握三角形三边关系是解题的关键． 【详解】 解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是中线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 51．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）（多选）命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 已知：如图，中， 求证：． 三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明． 小刚的方法：作的平分线，可证，得； 小亮的方法：作边上的高，可证．得； 小莉的方法：作边上的中线． （1）请你写出小刚与小亮方法中的理由：___________； （2）小莉的方法：作边上的中线，但发现无法直接通过证明和全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明． 【答案】（1）     （2） 证明：过点作于点，过点作于点． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ， 即．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）过点作于点，过点作于点，首先证明，推出，，再证明，推出即可解决问题． (1) 小问详解： 解：小刚的方法： ∵平分 ， ∴， 在 与 中， ； 小亮的方法： ∵， ∴ ， 在 与 中： ． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 52．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程． （2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）． （3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由． 【答案】（1） （2）如图（2），AO为所作； （3）如图（3），AO为所作． 在△ABC和△AED中 ， ∴△ABC≌△AED， ∴AC=AD，∠ACB=∠ADE， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠BCD=∠EDC， 在△BCD和△EDC中， ， ∴△BCD≌△ECD， ∴∠BDC=∠ECD， ∴OD=OC， ∴AO垂直平分CD． 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只要AB=AC，OB=OC即可说明直线AO垂直平分BC； （2）连结BE、CD相交于点O，则直线AO为BC边的垂直平分线； （3）连结BD、CE相交于点O，则直线AO为CD边的垂直平分线．先证明ABC≌△AED得到AC=AD，∠ACB=∠ADE，根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC，所以∠BCD=∠EDC，再证明△BCD≌△ECD，则∠BDC=∠ECD，所以OD=OC，于是根据线段垂直平分线定理的逆定理即可判断直线AO为CD边的垂直平分线． 【详解】 （1）略； （2）略； （3）略． 53．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）在中，，，则边上的中线的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【详解】 解：如图，延长至E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故边上的中线的取值范围是． 故答案为：． 54．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，、、、四点在一条直线上，，，， 求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，同时还考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行，掌握全等三角形的判定方法和平行线的判定定理是解题的关键． 本题中，先利用和对应的三条边相等，证得两三角形全等，得到对应角，进而得到． 【详解】 略 55．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，在中，，是的角平分线，于E，F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的长为      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质，掌握全等三角形的判定与性质及角的平分线的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴． 56．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）在中，，，，三点都在直线上，． （1）若． ①如图1，若，则与的数量关系为：______________，与的数量关系为____________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． （2）如图3，若，，点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为（s）．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，；②     （2），      【分析】 本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）① 通过垂直与等角关系证得，根据全等三角形的性质可得出结论； ② 借助三角形内角和定理进行等角代换，得到，证明，再根据全等三角形的性质进行线段的等量代换即可； （2）假设存在，根据，分、两种情况讨论求出对应的、值． (1) 小问详解： 解：①，， ， ， ， 在和中， ， ，， 则与的数量关系为，与的数量关系为． ②， ， ， 在和中， ， ，， ， 故，与的数量关系为． (2) 小问详解： 假设存在，使得与全等， 由于，则有、； 运动的时间为时，，， 当时， ，即， ，即， ，； 当时， ，即， ，即， ，； 故当和，与全等． 57．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G，     ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （3）的长度不变，      【分析】 本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． (1) 小问详解： 解：如图1，过点C作轴于点F，     ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，     ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 58．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）如图，等腰中，，点A，C分别在坐标轴上． （1）如图1，若，则B点的坐标为               ； （2）如图2，垂直x轴于D点，判断的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若点A的坐标为，点C在y轴的正半轴上运动时，分别以为边如图作等腰和等腰，其中，，连接交y轴于P点，当点C在y轴上移动时，的值是否变化？如果不变求出它的值，如果变化求它的取值范围． 【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： 如图所示，过点C作交延长线于N， ∵垂直x轴于D点，， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）的值为，是定值；      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点B作轴于M，证明，得到，进而得到，则； （2）过点C作交延长线于N，可证明，再证明，得到，即可证明； （3）过点E作轴于T，同理可证明，得到；再证明，得到，可推出，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，过点B作轴于M， ∵， ∴； ∵等腰中，， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为，是定值． 59．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）已知：在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且， ． （1）如图1，，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； （2）如图2，若平分，交于，过作轴于点，证明：； （3）如图3，当点C在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断，与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） 证明：延长，交于点，     ，， ， 平分， ， ， 又， ， ，即， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；     （3） ， 理由如下：作于，则， ，， ， 在和中， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质： （1）过点作于，由“”可证得，根据全等三角形对应边相等，即可得到答案； （2）延长，交于点，利用“”证得，进而证得，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）作于，则，利用“”可证得，可得，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：过点作于，     ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点B坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 60．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）【问题背景】 在平面直角坐标系中，，点M为y轴上一动点（不与点O重合）． 【问题探究】 （1）如图1，为等边三角形，点B在第一象限，连接，以为边，在上方作等边，点M在运动过程中； ①当时，             ；（直接写出答案） ②连接，求的最小值； 【问题拓展】 （2）如图2，点P为x轴负半轴上一点，始终保持，且，连接，过点P作于H，直线与y轴交于点K，连接，点M在运动过程中，的度数是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①或；②；（2）不变化， 【分析】 （1）① 根据等边三角形的性质即可解答； ② 如图1，连接，先证明，则，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即可解答； （2）如图2，过点于E，作于F，则，证明和，即可解答． 【详解】 解：（1）① ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴当在内部时， ； 当在外部时， ； 故答案为：或； ② 如图1，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N始终在过点B且与垂直的直线上运动， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵中，， ∴， 即的最小值是； （2）点M在运动过程中，的度数没有发生变化，是定值， 如图2，过点O作于E，作于F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，分类讨论． 61．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3） 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 62．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）① 证明：过点E作交的延长线于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或5． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）① 过点E作交的延长线于点F，证明，再证明，即可得出结论；② 过点E作交的延长线于点F，由① 得，得到；根据已知求出；设；分为当点H在线段上时，当点H在线段反向延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】 （1）略 （2）① 略 ② 过点E作交的延长线于点F， 由① 得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 63．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． （1）如图1，若，直接写出点的坐标：___________； （2）如图1，点，、两点均在轴上，且，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． （3）如图2，若，求证：． 【答案】（1）     （2）不发生改变，     （3） 证明：如图，连接、交于点H， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ．      【分析】 （1）过点C作，构造一线三垂直全等即可得出点C坐标； （2）过点E作，构造一线三垂直全等得出，从而可证，结合即可求解； （3）连接和，可证明，从而证明，利用八字型导角即可得证． (1) 小问详解： 解：如图，过点C作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 故答案为： (2) 小问详解： 解：长度不发生改变，，理由如下， 如图，过点C作，过点E作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握一线三垂直的辅助线构造是解决本题的关键． 64．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，（其中和是一组对应点） （1）如图1，的对应点是________，的对应边是________，的对应角是________； （2）如图2，是的中点，连接并延长，恰好经过点，求证：； （3）如图3，、分别是、的中点，连接、、、，其中与交于点，求的值． 【答案】（1），，     （2） 证明：如图：过、分别作于点，于点 ， 为中点 在和中 在和中      （3）1      【分析】 （1）根据全等对应边，对应用角即可求解； （2）过、分别作于点，于点，得，再证，即可求证； （3）在延长线上取点．令，连，证得，再证，即可求解. (1) 小问详解： 解：∵（其中和是一组对应点） ∴的对应点是：；的对应边是：；的对应角是： 故答案为：，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在延长线上取点．令，连． 、为、中点． ，． ， ． 在和中 ， ， 在和中 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质等相关知识点，解题关键在于熟悉各个知识点应用和理解. 65．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． （1）已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． 【内化迁移】 （2）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，，，求的长度； ②如图4，连接交直线于点，点在运动过程中，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）①；②或18 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）① 证明，则，，据此求解即可； ② 过点E作交的延长线于点F，同① 得，有；由面积关系得，设； 分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）① ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴； ②或18．解析如下： 过点作交的延长线于点，如图； 同① 得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， 设； 当点在线段上时，如图， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得， ∴， 当点在线段上的情况不存在． 综上，或18． 66．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）已知在四边形中，，． （1）【问题背景】如图（1），连接，若，，求的长度； （2）【类比探究】如图（2），点P、Q分别在线段、上，满足，探究、、的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图（3），若点Q在的延长线上，点P在DA的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】（1）5     （2） 解：，理由如下： 证明：如图，延长，在上面找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ∴， ∴即；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）由已知可得，再根据全等三角形的性质可以得到解答； （2）如图2，延长，在上面找一点K，使得，连接，通过证得到：，，然后结合已知可以得到，根据全等三角形的性质可以得到要证结论； （3）如图3，在延长线上找一点K，使得，连接，构建全等三角形：，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是360度可以推得：． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，理由如下： 如图3，在延长线上找一点K，使得，连接， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 67．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，是钝角三角形（），将绕点A顺时针旋转至，连接、，取的中点F，连接并延长交于点G，其中，，，则　　　　　　　　（用含m、n的式子表示） 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 延长至点，使，连接，在上截取点，使，连接，根据旋转的性质得到，且，进而证得和，根据全等三角形的性质，设，，再次证得，进而证得，求解计算即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接，在上截取点，使，连接，如图所示： 由题意可知，，且 ， 为的中点 在和中， 、 在和中， ,, 设， 在中， 在和中， ， ，即 ， ， ，即 ． 故答案为：． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（25-26学年八上·湖北武汉水果湖第一中学·期中）某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（   ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【分析】 本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】 解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 3．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了作图-基本作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，，又，可以证明，即可得结论． 【详解】 解：根据作图过程可知： ， 又， ， ， 故选：A． 4．（25-26学年八上·湖北龙泉北校德艺学校·期中）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；过点D作于E，则，由垂线段最短即可得的最小值． 【详解】 解：由作图知，平分， 过点D作于E，如图， ∵， ∴； ∵， ∴的最小值为3， 故选：B． 5．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】 解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 6．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（　　） A. 30° B. 35° C. 70° D. 45° 【答案】B 【分析】 先根据平行线的性质得到∠BAC＝70°，再根据基本作图得到AM平分∠BAC，则∠BAM＝∠CAM＝35°，然后根据平行线的性质得∠CMA的度数． 【详解】 解：由作法得AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BAM＝∠BAC＝35°， ∵AB∥CD， ∴∠CMA＝∠BAM＝35°． 故选：B． 【点睛】 此题考查角平分线的作法和意义，平行线的性质等知识解决问题．解题时注意：两直线平行，内错角相等． 7．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（       ） A. 说明的依据是 B. 点M，N到的距离不相等 C.  D. 上任意一点到两边的距离相等 【答案】B 【分析】 根据作图可得证明即可判断A；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断B；根据作图即可判断C；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断D． 【详解】 解：A、由作图可知： ∵， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； B、过点N作于点P，过点M作于点Q，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B错误，符合题意； C、由作图可得：，故C正确，不符合题意； D、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴上任意一点到两边的距离相等， 故D正确，不符合题意；    故选：B． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 8．（25-26学年八上·湖北荆楚联盟·期中）如图，在中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点，给出下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义可判断① ；证明，推出，再证明，即可判定③ ，进而得出可判断④ ． 【详解】 解：在中，， ∴， 又∵分别平分， ∴， ∴， ∴， 故① 正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故② 正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴故③ 正确， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④ 正确； 所以，正确的结论有4个， 故选：D． 9．（25-26学年八上·湖北期中学·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中线和高的定义，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，那么，即可判断① ；证明，即可判断② ；证明即可判断③ ；证明，则，同理可知，再根据线段和差即可判断④ ． 【详解】 解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故① 正确； ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，即是的中线，故② 正确； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能证明，故③ 错误； 过点D作于点G，如图所示： ∵平分，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∵， ∴，故④ 正确， ∴正确的有① ② ④ ， 故选：B． 10．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，，B，C分别是射线，上的点，连接，，，，两外角的角平分线、交于点O，连接，分别过O作于D，于F，于E，下列结论正确的有（     ）个． ①②③④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和角平分线的性质是解题的关键，根据题意易得到四边形为正方形，从而得到，设，可得，由角平分线的性质可得，，利用角度之间的计算可判断① 正确；由题可知，故② 错误；设，列出式子 解得 ，所以，故④ 正确；则代入即可得到答案． 【详解】 解：∵，, ∴ ∵，，， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴， ∴， ∵、是两外角的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故① 正确； 由图可知：， ∴， 故② 错误； 设， ∴ 解得： ， ∴， 故④ 正确； ∴， 故③ 错误， 综上所述：正确的个数有2个， 故选：B． 11．（25-26学年八上·湖北咸宁温泉中学·期中）如图，在中，，平分，于，，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点D作于F，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】 解：过点D作于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点，画射线，若点坐标为，则　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查作图—基本作图、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，为的平分线，进而可得，解方程即可． 【详解】 解：由作图过程可知，为的平分线， ， ， 解得． 故答案为：5． 13．（25-26学年八上·湖北武汉中学·期中）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图①，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点D作于点E，于点F，过点A作于点G， ∵是的角平分线，且，， ∴______________． ∴_____________． 又∵， ∴_____________． 【类比探究】 如图②，若是的外角平分线，与的延长线交于点D． 求证：． 【答案】[探究发现]，，； [类比探究]证明：如图② ，过点D作于N，过点D作于M，过点A作于点P． ∵平分， ∴． ∴， 又∵． ∴． 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，等高三角形面积的关系．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． [探究发现]根据过程填写即可； [类比探究]证明过程同[探究发现] ． 【详解】 [探究发现]证明：∵是的角平分线，且，， ∴． ∴． 又∵， ∴． 故答案为：，，； [类比探究] 略 14．（25-26学年八上·湖北仙桃第二中学·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·湖北武汉武珞路中学·期中）如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【分析】 此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】 略 16．（25-26学年八上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）若，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴；     （2）2     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可； （3）由（2）知：，，则可求出，然后根据线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）知，， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴． 17．（25-26学年八上·湖北黄石第八中学·期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    （1）求证：平分； （2）连接交于点G，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【答案】（1） 证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .      平分.     （2） 证明：过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，         （3）7.5      【分析】 （1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 18．（25-26学年八上·湖北武汉东湖高新区·期中）如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接． ①；②；③；④． 其中正确的结论有　　　　　　．（只需填写序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，可判断① ；如图，在上截取，连接，证明，得，证明，得，可判断② ；如图，延长，交于点，证明，得，由等腰三角形的性质及三角形内角和可推出，可判断③ ；过点作于，于，由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，得的值，可判断④ ，即可得解． 【详解】 解：① ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故结论① 正确； ② 如图，在上截取，连接， ∵平分，平分，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论② 正确； ③ 如图，延长，交于点， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 假设， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，与矛盾， ∴假设不成立，即， ∴， 故结论③ 错误； ④ 如图，过点作于，于， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故结论④ 正确； ∴正确的结论有① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 19．（25-26学年八上·湖北武汉武钢实验学校·期中）如图1，在中，为边上一点，连，为边上一点，若平分，平分． （1）若，则　　　　　　　　　　　． （2）求证：； （3）如图2，若，且，求的度数． 【答案】（1）     （2） 证明：过作于，于，于，如图1所示： 平分，平分， ，， ， 平分， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）由平分，平分，可得，，在和中分别利用外角可得，则题目可解； （2）过作于，于，于，先由角平分线的性质得，，则，得平分，则，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，先证，则，再证，得，则，求出，然后由三角形的外角性质得，最后由三角形内角和定理进而得出答案． (1) 小问详解： 解： 平分 ， ， 平分 ， ， ， 代入得：        ， ∵， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长至点，使，连接，如图2所示： 则， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 解得：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $