专题15.1 垂直平分线的性质及判定（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦垂直平分线的概念、性质、判定及尺规作图核心知识点，前承线段与轴对称知识，后启三角形外心等应用，构建从概念理解到性质运用再到作图实践的学习支架。 资料含思维导图辅助直观认知，通过即学即练与分层题型（性质应用、判定综合、尺规作图）培养几何直观与推理能力，典例变式结合生活情境（如公路建站）提升应用意识，课中助教师高效授课，课后供学生强化练习查漏补缺。

专题15.1垂直平分线的性质及判定 教学目标 1.了解线段的垂直平分线的概念． 2.掌握线段的垂直平分线的性质及判定． 3.运用线段的垂直平分线的性质及判定解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）线段的垂直平分线的概念； （2）理解线段的垂直平分线的性质及判定． 2.难点 运用线段的垂直平分线的性质及判定解决相关问题． 知识点01 线段的垂直平分线的概念 1. 线段的垂直平分线的概念： 经过线段 并且 于这条线段的 ，叫做这条线段的 ． 注意： ①线段垂直平分线必须同时满足两个条件：经过线段中点和垂直于这条线段． ②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴． ③线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合． 知识点02 线段的垂直平分线的性质及判定 1．线段的垂直平分线的性质： （1）内容：线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等． （2）几何语言： ∵，于点C，点P在l上， ∴． （3）应用：证明线段相等． 2．线段的垂直平分线的判定： （1）内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上． （2）几何语言： ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上． （3）应用： ①确定点在线段的垂直平分线上； ②确定某直线是线段的垂直平分线． 【即学即练】 1． 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为26，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2． 如图，与关于直线l对称，连接交直线l于点D，连接交直线l于点E，若，，则四边形的周长为___________． 3．到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 4．如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 5．已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 知识点03 线段垂直平分线的尺规作图 已知：线段． 求作：线段的垂直平分线． 作法：如图所示， （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线，就是所求作的直线． 【即学即练】 1．如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 2．如图，、表示两条互相交叉的公路，点Q处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站P．要求货物中转站P到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站P的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型01 线段垂直平分线的性质的应用 【典例1】如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F、H，作直线．若，的周长为15，则的周长为（    ） A．19 B．20 C．22 D．23 【典例2】 如图，中，，边的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点F、G，若的周长为18，则边的长度是_______ ． 【变式1】 如图，中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．，，则的度数为______． 题型02 线段垂直平分线的性质及判定 【典例1】如图，内部有一点P，若点P到边、的距离相等，且，则点P是（    ） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 【典例2】如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，，延长交的延长线于点F．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式1】如图，在中，，垂足为D，点E在边上，且，垂直平分，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若的周长为21，，求的周长． 【变式2】如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：垂直平分． 题型03 线段垂直平分线的尺规作图 【典例1】如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】已知：锐角，求作：点P，使，且点P到边的距离与到边的距离相等．（不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹） 1．如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（    ） A．5 B．6 C．3 D．7 2．如图，是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，边上的点D在的垂直平分线上，连接，E是的中点，连接，若，，，则的长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 4．如图，在中，，，，的平分线与相交于点D．在线段上取一点K，以点C为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线，与相交于点E，连接．则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图所示，已知是的平分线，，点E在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 7．如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 8．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．正确的有___________．（填序号） 10．已知中，，分别以A、B为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 11．如图，已知线段与线段外一点C，分别以点A，B为圆心，，长为半径画弧，两弧分别交于点C，D，连接，，，，，若，四边形的面积为60，则的长为______． 12．如图，在中，，延长至D，使得，P为外一点且，连接，，交于点F，．点E为上一动点，当的面积为12，时，的最小值为______． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，求的长． 14．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点M，N，画一点P，使得点P到的两边距离相等，且． 1．如图，在中，平分． （1）如图1，的外角，的平分线与交于点P．求证：； （2）如图2，的垂直平分线交于点Q，交于点G，过点Q作于点M，，交的延长线于点N，若，，求的长． 2．问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_________________． 【解决问题】 （2）如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 （3）如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营点P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1垂直平分线的性质及判定 教学目标 1.了解线段的垂直平分线的概念． 2.掌握线段的垂直平分线的性质及判定． 3.运用线段的垂直平分线的性质及判定解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）线段的垂直平分线的概念； （2）理解线段的垂直平分线的性质及判定． 2.难点 运用线段的垂直平分线的性质及判定解决相关问题． 知识点01 线段的垂直平分线的概念 1. 线段的垂直平分线的概念： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 注意： ①线段垂直平分线必须同时满足两个条件：经过线段中点和垂直于这条线段． ②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴． ③线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合． 知识点02 线段的垂直平分线的性质及判定 1．线段的垂直平分线的性质： （1）内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． （2）几何语言： ∵，于点C，点P在l上， ∴． （3）应用：证明线段相等． 2．线段的垂直平分线的判定： （1）内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （2）几何语言： ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上． （3）应用： ①确定点在线段的垂直平分线上； ②确定某直线是线段的垂直平分线． 【即学即练】 1． 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为26，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为26， ∴， ∴， ∴的周长． 2． 如图，与关于直线l对称，连接交直线l于点D，连接交直线l于点E，若，，则四边形的周长为___________． 【答案】23 【详解】解：∵与关于直线l对称，，， ∴，，， ∴四边形的周长为：． 3．到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离相等的点，是三边垂直平分线的交点． 4．如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【详解】解：连接，，交于点O， ∵，， ∴，， ∴B正确，A，C，D错误． 5．已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，连接，，， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理：， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴边的垂直平分线经过点P． 知识点03 线段垂直平分线的尺规作图 已知：线段． 求作：线段的垂直平分线． 作法：如图所示， （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线，就是所求作的直线． 【即学即练】 1．如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作图见解析 【详解】解：如图所示即为所作， 2．如图，、表示两条互相交叉的公路，点Q处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站P．要求货物中转站P到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站P的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图，P点即为所求． 由作图可知点P在的平分线上， ∴点P到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 题型01 线段垂直平分线的性质的应用 【典例1】如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F、H，作直线．若，的周长为15，则的周长为（    ） A．19 B．20 C．22 D．23 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线， 则，， ∵， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴，即， ∴， 故的周长为23． 【典例2】 如图，中，，边的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点F、G，若的周长为18，则边的长度是_______ ． 【答案】18 【详解】解：∵，边的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴． 【变式1】 如图，中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 题型02 线段垂直平分线的性质及判定 【典例1】如图，内部有一点P，若点P到边、的距离相等，且，则点P是（    ） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 【答案】A 【详解】解：∵点P到边、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， ∵， ∴点P在边的垂直平分线上， ∴点P是的角平分线与的垂直平分线的交点． 【典例2】如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，，延长交的延长线于点F．求证： （1）； （2）是的垂直平分线； （3）猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵E为的中点， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； （3）解：结论：，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， 即． 【变式1】如图，在中，，垂足为D，点E在边上，且，垂直平分，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若的周长为21，，求的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）13 【详解】（1）证明：∵，且， ∴垂直平分． ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为21，， ∴， ∴ ∴ 即的周长为13． 【变式2】如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）解： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 题型03 线段垂直平分线的尺规作图 【典例1】如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解： 以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 【变式1】已知：锐角，求作：点P，使，且点P到边的距离与到边的距离相等．（不写作法，铅笔作图，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【详解】解：如图所示，点P即为所求点的位置， 1．如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（    ） A．5 B．6 C．3 D．7 【答案】D 【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上， ∴， ∵，的周长为15， ∴， ∴． 2．如图，是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是中边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 3．如图，在中，边上的点D在的垂直平分线上，连接，E是的中点，连接，若，，，则的长为（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】D 【详解】解：∵E是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，，的平分线与相交于点D．在线段上取一点K，以点C为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线，与相交于点E，连接．则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：由作图可知，，设，交于点O，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为． 5．如图所示，已知是的平分线，，点E在线段上，下列结论：①；②；③平分；④是的垂直平分线．其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，即平分；故①③正确， 又∵， ∴垂直平分，故④正确， ∵E在上， ∴，故②正确， 故①②③④正确． 6．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 7．如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【详解】解：设，交点为O， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 8．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【详解】解：由折叠的性质得，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴． 9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中：①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．正确的有___________．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：根据题意可得是的平分线，故①正确； ∴， ∴，故②正确； 不能证明，故不能说明，故③错误； 过点D作， ∵是的平分线， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 10．已知中，，分别以A、B为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【答案】4 【详解】解：如图，过点E作， 由题意得，垂直平分， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵的面积为12， ∴，即， ∴． 11．如图，已知线段与线段外一点C，分别以点A，B为圆心，，长为半径画弧，两弧分别交于点C，D，连接，，，，，若，四边形的面积为60，则的长为______． 【答案】15 【详解】解：如图，设与相交于点M， 由题意知，，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，四边形的面积为60， ∴， 解得． 12．如图，在中，，延长至D，使得，P为外一点且，连接，，交于点F，．点E为上一动点，当的面积为12，时，的最小值为______． 【答案】3 【详解】解：如图，当时，最小， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，的面积为12， ∴的面积为6， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 13．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，求的长． 【答案】 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴． 14．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点M，N，画一点P，使得点P到的两边距离相等，且． 【答案】作图见解析 【详解】解： 1．如图，在中，平分． （1）如图1，的外角，的平分线与交于点P．求证：； （2）如图2，的垂直平分线交于点Q，交于点G，过点Q作于点M，，交的延长线于点N，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，，       ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴，       ∴； （2）解：如图，连接，，     ∵平分，，， ∴，       ∵的垂直平分线交于点Q， ∴，       在和中， ∵， ∴，       ∴， 在和中， ∵， ∴，       ∴， ∵，， ∴， 即的长为2． 2．问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案． 正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_________________． 【解决问题】 （2）如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【类比探究】 （3）如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营点P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P． ①在图3中作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，求的度数． 【答案】（1）④，两点之间，线段最短；（2）13；（3）①作图见解析；② 【详解】（1）解：正确的方案是④， ∵由轴对称的性质可得， ∴当点B，C，三点共线时，， ∴此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：连接，如图所示： ∵点B与点C关于直线m成轴对称， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴当点P，C，A三点共线时，有最小值7， ∴周长的最小值为； （3）解：①所作图形如下： ②∵，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $