专题14.7 角平分线的性质与判定（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题14.7 角平分线的性质与判定 教学目标 1. 掌握角平分线尺规作图的步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。 2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。 3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。 教学重难点 1. 重点 （1） 角平分线的作图； （2） 角平分线的性质与判定。 2. 难点 （1）角平分线的作图及其性质的应用。 知识点01 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线。 【即学即练1】 1．尺规作图：如图，已知∠AOB，请作出它的角平分线OC（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】见解析． 【解答】解：如图，射线OC即为所求． 知识点02 角平分线的性质 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE 。 【即学即练1】 2．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD， ∵PD＝3， ∴PE＝3． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【即学即练2】 3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【即学即练3】 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【答案】B 【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA， ∴． 故选：B． 【即学即练4】 5．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【答案】D 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°， 由作图过程可得：AP平分∠BAC， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝95°． 故选：D． 知识点03 证明几何文字命题的一般步骤 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的 已知 与 求证 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 已知 与 求证 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 【即学即练1】 6．求证：在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 【答案】见解答． 【解答】解：已知：点P为∠AOB的角平分线上的任意一点，如图， 求证：P点到OA、OB的距离相等． 证明：过P点作PC⊥OA于C点，PD⊥OB于D点，如图， ∴∠PCO＝∠PDO＝90°， ∵OP平分∠AOB， ∴∠POC＝∠POD， 在△POC和△POD中， ， ∴△POC≌△POD（AAS）， ∴PC＝PD， ∴P点到OA、OB的距离相等， 所以在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 知识点04 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【即学即练1】 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∴∠B＝90°，AE平分∠BAD， ∴BE⊥AB， ∴BE＝EF． ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CE＝EF． 又∵∠C＝90°， ∴EC⊥DC． ∵EF⊥AD， ∴DE是∠ADC的平分线． 【即学即练2】 8．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作∠AOB的平分线交AB于M，即M为水厂的位置． 题型01 角平分线的性质求线段长度或周长 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABD的面积为15， ∴AB•DF＝15， ∵AB＝10， ∴DF＝3， ∴DE＝3； 故选：C． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠C+∠CBD＝90°， ∵∠A＝90° ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵∠ADB＝∠C， ∴∠ABD＝∠CBD， 当DP⊥BC时，DP的长度最小， ∵AD⊥AB， ∴DP＝AD， ∵AD＝4， ∴DP的最小值是4， 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【答案】D 【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴AD＝DE， 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB＝BE， ∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3， ∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3， ∴AB+BE＝10， ∴AB＝BE＝5． 故选：D． 【变式3】如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 【答案】B 【解答】解：∵BD平分∠ABE，DE⊥BC，DA⊥AB ∴AD＝DE 又∵BD＝BD ∴Rt△BAD≌Rt△BED（HL） ∴AB＝BE 又∵AB＝AC ∴BE＝AC BC＝BE+EC＝AC+EC＝AD+DC+EC＝DE+DC+EC＝10cm ∴△DEC的周长是10cm， 故选：B． 【变式4】如图，已知△ABC的面积是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接OA， ∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴点O到AB、AC、BC的距离都相等， ∵△ABC的面积是20，OD⊥BC于D，且OD＝3， ∴S△ABC（AB+BC+AC）×3＝20． ∴AB+BC+AC， 故答案为：． 题型02 角平分线的性质解决面积问题 【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【答案】A 【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图， ∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB， ∴DH＝DE＝2， ∴S△ABD5×2＝5． 故选：A． 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解答】解：过D作DF⊥AB于F， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD＝3， ∴DF＝CD＝3， ∵点E为AB的中点，AB＝12， ∴BE＝6， ∴△DBE的面积BE•DF6×3＝9， 故选：C． 【变式2】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　31.5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OD＝OE＝OF， ∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB OD×BCOE×ACOF×AB OD×（BC+AC+AB） 3×21＝31.5． 故答案为：31.5． 【变式3】如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：3：2，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（　　） A．2：3：3 B．3：3：2 C．4：9：9 D．9：9：4 【答案】B 【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图， ∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P， ∴PD＝PF，PD＝PE， ∴PD＝PE＝PF，设PD＝PE＝PF＝h， ∵S△PABPD•ABh•AB，S△PBCPE•BCh•BC，S△PACPF•AC•AC． ∵AB：BC：AC＝3：3：2， ∴S△PAB：S△PBC：S△PAC＝AB：BC：AC＝3：3：2． 故选：B． 【变式4】如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点， ∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等， ∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3， ∴S1+S2，S3， 由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC， ∴S1+S2＞S3， 故选：C． 题型03 根据作图痕迹判断角平分线并应用 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为6，则CD的长为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H． ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DC＝DH＝6． 故答案为：6． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是（　　） A．21 B．80 C．40 D．45 【答案】C 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H． 由作法可知，AP平分∠CAB， ∵DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DC＝DH＝5， ∴S△ABD•AB•DH16×5＝40． 故选：C． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 　35　 度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣40°）＝70°， 由作图可知BG平分∠ABC， ∴∠ABG∠ABC＝35°． 故答案为：35． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，画射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵AB＝4，AC＝6，AF＝AB＝4， ∴FC＝AC﹣AF＝6﹣4＝2， 由作图方法可得：AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（SAS）， ∴BD＝DF， ∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝8+2＝10． 故答案为：10． 题型04 角平分线的判定 【典例1】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC， 求证：AD是∠BAC的平分线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴△BDE与△CDF是直角三角形， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∴AD是∠BAC的平分线． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过点E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线于点G，过点E作EF⊥AD于点F， ∵AB∥CD，EH⊥AB， ∴EG⊥DC， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BE， 在△CGE与△BHE中， ， ∴△CGE≌△BHE， ∴GE＝EH， ∵DE平分∠ADC， ∴GE＝EF， ∴GE＝EH， ∴EF＝EH， ∴AE是∠DAB的平分线． 【变式2】如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC＝AB+CD，求证：CE平分∠BCD． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：在BC上截取BF＝BA，连接EF． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE． 在△BAE和△BFE中， ， ∴△BAE≌△BFE． ∴EF＝AE． ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE＝EF． 又∵BC＝AB+CD，BF＝AB， ∴CD＝CF， ∴． ∴△CED≌△CEF（SSS）， ∴∠FCE＝∠DCE，即CE平分∠BCD． 【变式3】如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）线段OM与ON的长度之和为20． 【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD＝PE， ∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB； （2）∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16， ∴8•PD＝16， ∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4， ∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40， ∴△POM的面积+△PON的面积＝40， ∴OM•PCON•PE＝40， ∴OM•4ON•4＝40， ∴OM+ON＝20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 题型05 角平分线的性质在生活中的应用 【典例1】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【答案】图见解析． 【解答】解：如图所示：点P即为所求． 【变式1】如图，有三条公路两两相交于A、B、C处，现计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请你在图中确定加油站的位置P． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： （1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1； （2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4， 故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4． 【变式2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示． 分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求． 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝32°，点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．若OM＝ON，则∠OBC的度数为（　　） A．32° B．29° C．18° D．16° 【答案】D 【解答】解：∵ON⊥BC，OM⊥AB，OM＝ON， ∴点O到BC、AB的距离相等， ∴OB是∠ABC的角平分线， ∵∠ABC＝32°， ∴∠OBC∠ABC32°＝16°． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示： ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4， ∴DF＝DE＝3， ∴S△ADC． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，ED⊥AB于点D，如果BC＝6，DE＝2，那么BE的长为（　　） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，ED⊥AB于点D，DE＝2， ∴EC＝DE＝2． ∵BC＝6， ∴BE＝BC﹣EC＝6﹣2＝4， 故选：A． 4．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上 【答案】A 【解答】解：如图： ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME＝MF， ∴M在∠A的角平分线上， 故选：A． 5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 6．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【解答】解：由条件可知点O到△ABC三边的距离相等， 设点O到AB的距离为a， 则S△ABO：S△BCO：S△CAO ＝AB：BC：AC ＝5：6：7， 故选：D． 7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，点E是BC边上的动点，连接AC、AE，若CA平分∠BCD，则AE的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：过A作AE′⊥BC于E′，则AE′的长为AE的最小值， ∵CA平分∠BCD，AE′⊥BC，∠D＝90°，AD＝2， ∴AE′＝AD＝2， 即AE的最小值为2， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若AB＝3，AC＝5，则△CDE的周长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：由题意知：AD平分∠BAC， ∵∠ABC＝90°， ∴DB⊥AB， ∵DE⊥AC， ∴DE＝DB， ∵AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AB＝3， ∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5， ∴BC4， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+BD+CE＝BC+CE＝4+2＝6． 故选：C． 9．如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，且S3＝8，则S1+S2的值可能为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：由题意可得：△ABI、△ACI和△BCI的边AB，AC，BC上的高相等， 设这个相等的高长为h， ∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3， ∴，， ∴，，， ∵AB+AC＞BC， ∴， ∴S1+S2＞S3， 又∵S3＝8， ∴S1+S2可能的值10， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE，交AE的延长线于点G，FG与AC的延长线交于点M，与AD的延长线交于点N，连接BN．给出下列结论：①∠DEA＝∠F；②∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠BNF＝∠BAE+∠ACB．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴△FDN和△ANG都是直角三角形， ∴∠F+∠ANG＝90°，∠DAE+∠ANG＝90°， ∴∠F＝∠DAE 假设∠DEA＝∠F， ∴∠DEA＝∠DAE， 在△ADE中，当DA＝DE时，∠DEA＝∠DAE＝45°， 但是，根据已知条件无法判定DA＝DE， 故结论①不正确； ②在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠ABD+∠ACE）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝90°（∠ABD+∠ACE）， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°（∠ABD+∠ACE）﹣（90°﹣∠ABD）（∠ABD﹣∠ACE）， 故结论②不正确； ③过点E作EK⊥AB于点K，ET⊥AC于点T，如图所示： ∵AE平分∠BAC， ∴EK＝ET， ∵S△AEBAB•EK，S△AECAC•ET， ∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC， 故结论③正确； ④∵∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠CAB+∠ACB， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAB， ∴∠AEB＝∠BAE+∠ACB， ∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠NDE＝∠NGE＝90°， ∴∠NDE+∠NGE＝180°， 在四边形DEGN中，∠DNG+∠DEG+∠NDE+∠NGE＝360°， ∴∠DNG+∠DEG＝180°， 又∵∠AEB+∠DEG＝180°， ∴∠DNG＝∠AEB， ∵∠BNF＝∠BND+∠DNG， ∴∠BNF＝∠BND+∠AEB， ∴∠BNF＞∠AEB， 即∠BNF＞∠BAE+∠ACB， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论有③，共1个． 故选：A． 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到射线OA的距离是 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作PM⊥OA，垂足为M， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PM⊥OA， ∴PD＝PM， ∵PD＝2， ∴PM＝2， 故答案为：2． 12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8，∠CAB的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝3，则BD＝ 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝3， ∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5， 故答案为：5． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，△ABD的面积为，则线段AB的长为 　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过D点作DE⊥AB于E点，如图， 由作法得AD平分∠BAC， 而DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE＝DC， ∵△ABD的面积为， ∴AB， 解得AB＝5， 即线段AB的长为5． 故答案为：5． 14．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：连接OA，OB， ∵O为△ABC三个内角平分线的交点， ∴OA平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠OAC， 由平移的性质得到：OF∥AC， ∴∠AOD＝∠∠OAC， ∴∠OAD＝∠AOD， ∴AD＝OD， 同理：BE＝OE， ∴阴影部分的周长＝OD+DE+OE＝AD+DE+BE＝AB＝6． 故答案为：6． 15．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　4：3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴， 则AB：AC＝4：3， 故答案为：4：3． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 17．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠ABC的大小． （2）若△ABC的面积为30，BD＝5，求AF的长． 【答案】（1）42°； （2）6． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝46°，∠BAD＝25°， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝46°﹣25°＝21°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×21°＝42°； （2）∵AD为中线，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵AF⊥BC， ∴△ABC的面积BC•AF＝30， ∴AF＝6． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若∠A＝38°，求∠ADB的度数； ②若AB＝5，CD＝2，求△ABD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠ABC的平分线BD交AC于点D，如图所示： （2）①∵∠C＝90°，∠A＝38°， ∴∠ABC＝180°﹣90°﹣38°＝52°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD∠ABC＝26°， ∴∠ABD＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣38°﹣26°＝116°； ②过点D作DH⊥AB于点H， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DH＝CD＝2， ∴△ABD的面积AB•DH5×2＝5． 19．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 【答案】（1）40°； （2）见解析； （3）△ABE的面积为15． 【解答】（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD， 由条件可得EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝24， ∴S△ACE+S△DCE＝24， ∴，即， ∴， ∴x＝3， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴△ABE的面积为． 20．已知直线m⊥n于点O，点A在直线m上，点B在直线n上． （1）如图1，射线AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．问点A、B运动过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求∠ACB的大小． （2）如图2，延长AB至E，AF是∠BAO内的一条射线，与直线n相交于点D，若∠EBD、∠FDB、∠BAD的平分线恰好交于点G，过点G作GH⊥AE于H，设∠BGH＝α，∠AGD＝β，试探究α和β满足的数量关系，并证明． （3）如图3，延长AB至E，已知∠ABO、∠OBE的角平分线与∠BOQ的角平分线所在直线分别相交于M、N．在△BMN的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO的度数． 【答案】（1）∠ACB大小不发生变化，为135°； （2）α＝β，理由见解答； （3）∠BAO为45°或60°． 【解答】解：（1）不发生变化，理由如下： ∵m⊥n， ∴∠AOB＝90°， 在△ABO中，∠BAO+∠ABO＝180°﹣∠AOB＝90°， ∵射线AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴，， ∴， 在△ABC中，∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ACB大小不发生变化，为135°； （2）∴α＝β，理由： ∵∠EBD、∠FDB、∠BAD的平分线恰好交于点G，设∠EBG＝∠GBD＝x，∠FDG＝∠GDB＝y，∠BAD＝2z． ∴∠EBD＝∠BAD+∠ADB，∠BDF＝∠BAD+∠ABD， ∴∠EBD+BDF＝∠BAD+∠ADB+∠BAD+∠ABD＝180°+∠BAD，即2x+2y＝180°+2zx+y＝90°+z， ∴∠AGD＝∠GDF﹣∠GAD＝y﹣z，∠AGB＝∠GBE﹣∠GAB＝x﹣z，∠BGD＝180°﹣（x+y）， ∵GH⊥AE， ∴∠BGH＝α＝90°﹣x， ∴∠AGD＝β＝∠BGD﹣∠AGB＝180°﹣（x+y）﹣（x﹣z）＝180°﹣（90°+z）﹣（x﹣z）＝90°﹣x， ∴α＝β； （3）∵BM平分∠ABO，BN平分∠OBE， ∴∠MBN（∠ABO+∠OBE）＝90°， ∵OM平分∠BOQ， ∵∠BOQ＝90°， ∴∠BOM＝45°． 分情况讨论情况一：若∠BMN＝3∠BNM，∠BMN+∠BNM＝90°， 则∠BNM＝22.5°，∠BMN＝67.5°， ∵∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°． ∴∠OBN＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠BAO＝90°﹣∠ABO＝90°﹣2×22.5°＝45°； 情况二：若∠BNM＝3∠BMN，∠BMN+∠BNM＝90°，则∠BMN＝22.5°，∠BNM＝67.5°， 而∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°＜75°，不合题意，舍去； 情况三：若∠MBN＝3∠BMN，则∠BMN＝30°． ∴∠BNM＝60°而∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°＜60°，不合题意，舍去； 情况四：若∠MBN＝3∠BNM，∠BNM＝30°， ∵∠BOM＝∠BNO+∠OBN＝45°， ∴∠OBN＝45°﹣30°＝15°，∠BAO＝90°﹣∠ABO＝90°﹣2×15°＝60°， 综上所述，∠BAO为45°或60°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.7 角平分线的性质与判定 教学目标 1. 掌握角平分线尺规作图的步骤，能够熟练作图以及根据作图痕迹判断出角平分线并解决问题。 2. 掌握角平分线的性质与判定，能够熟练的应用其解决相关题目。 3. 掌握命题证明题中题设和结论，并能够熟练的对结论给予证明。 教学重难点 1. 重点 （1） 角平分线的作图； （2） 角平分线的性质与判定。 2. 难点 （1）角平分线的作图及其性质的应用。 知识点01 角平分线的尺规作图 1. 作已知角的角平分线： 步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 2. 证明上图中的OP是角平分线： 连接MP，NP 由作图过程可知，OM ON，MP NP。 在△OMP与△ONP中 ∴△OMP≌△ONP ∴∠MOP＝ ∴OP是∠AOB的角平分线。 【即学即练1】 1．尺规作图：如图，已知∠AOB，请作出它的角平分线OC（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 知识点02 角平分线的性质 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 。且他们都等于∠AOB的 。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离 。 即若OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 。 【即学即练1】 2．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【即学即练2】 3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【即学即练3】 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5 【即学即练4】 5．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 知识点03 证明几何文字命题的一般步骤 1. 证明几何文字命题的一般步骤： （1） 根据命题明确命题中的 与 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 与 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 【即学即练1】 6．求证：在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 知识点04 角平分线的判定 1. 角平分线的判定的内容： 角的内部到角两边距离相等的点一定在 上。 2. 数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【即学即练1】 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【即学即练2】 8．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 题型01 角平分线的性质求线段长度或周长 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【变式3】如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC＝10cm，则△DEC的周长是（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm 【变式4】如图，已知△ABC的面积是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的周长是　 　 ． 题型02 角平分线的性质解决面积问题 【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（　　） A．10 B．12 C．9 D．6 【变式2】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是 　 ． 【变式3】如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，若AB：BC：AC＝3：3：2，则△PAB、△PBC、△PAC的面积之比为（　　） A．2：3：3 B．3：3：2 C．4：9：9 D．9：9：4 【变式4】如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定 题型03 根据作图痕迹判断角平分线并应用 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为6，则CD的长为 　 ． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝16，则△ABD的面积是（　　） A．21 B．80 C．40 D．45 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 　 　 度． 【变式3】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，画射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 　 　 ． 题型04 角平分线的判定 【典例1】如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC， 求证：AD是∠BAC的平分线． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线． 【变式2】如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC＝AB+CD，求证：CE平分∠BCD． 【变式3】如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 题型05 角平分线的性质在生活中的应用 【典例1】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【变式1】如图，有三条公路两两相交于A、B、C处，现计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请你在图中确定加油站的位置P． 【变式2】如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置． 1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝32°，点O在△ABC的内部，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．若OM＝ON，则∠OBC的度数为（　　） A．32° B．29° C．18° D．16° 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE＝3，AC＝4，则△ADC的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，ED⊥AB于点D，如果BC＝6，DE＝2，那么BE的长为（　　） A．4 B．6 C．3 D．5 4．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上 5．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 6．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若AB＝50，BC＝60，CA＝70，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（　　） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 7．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝2，点E是BC边上的动点，连接AC、AE，若CA平分∠BCD，则AE的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC边于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若AB＝3，AC＝5，则△CDE的周长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，且S3＝8，则S1+S2的值可能为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE，交AE的延长线于点G，FG与AC的延长线交于点M，与AD的延长线交于点N，连接BN．给出下列结论：①∠DEA＝∠F；②∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠BNF＝∠BAE+∠ACB．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到射线OA的距离是 　 　 ． 12．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8，∠CAB的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝3，则BD＝ 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P，作射线AP交边BC于点D，若，△ABD的面积为，则线段AB的长为 　 ． 14．如图，O为△ABC三个内角平分线的交点，AB＝6，将△ABC向下平移得到△FGO，OF、OG分别与AB相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 ． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 17．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠ABC的大小． （2）若△ABC的面积为30，BD＝5，求AF的长． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下： ①若∠A＝38°，求∠ADB的度数； ②若AB＝5，CD＝2，求△ABD的面积． 19．如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 20．已知直线m⊥n于点O，点A在直线m上，点B在直线n上． （1）如图1，射线AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．问点A、B运动过程中，∠ACB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求∠ACB的大小． （2）如图2，延长AB至E，AF是∠BAO内的一条射线，与直线n相交于点D，若∠EBD、∠FDB、∠BAD的平分线恰好交于点G，过点G作GH⊥AE于H，设∠BGH＝α，∠AGD＝β，试探究α和β满足的数量关系，并证明． （3）如图3，延长AB至E，已知∠ABO、∠OBE的角平分线与∠BOQ的角平分线所在直线分别相交于M、N．在△BMN的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$