专题15.1 轴对称及其性质（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题15.1 轴对称及其性质 教学目标 1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。 2. 掌握轴对称图形与轴对称的性质，并能够熟练的应用其解决相关问题。 教学重难点 1. 重点 （1）轴对称及其轴对称图形的概念； （2）轴对称及其轴对称图形的性质。 2. 难点 （1）利用轴对称及其轴对称图形的性质求角的度数； （2）利用轴对称及其轴对称图形的性质求线段的长； （3）桌球反弹规律题。 知识点01 轴对称图形 1. 轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 。一个轴对称图形可以有多条对称轴。 2. 常见的几种轴对称图形以及他们的对称轴数量： 角：对称轴所在位置是 所在直线，一共有 条对称轴。 底和要不相等的等腰三角形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 等边三角形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 矩形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 正方形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 圆形：对称轴所在直线是 所在的直线，一共有 条对称轴。 【即学即练1】 1．在下列图形：线段，角，等腰三角形，平行四边形，圆中，是轴对称图形的有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即学即练2】 2．下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 轴对称 1. 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 。轴对称只有一条对称轴。 重合的边叫做 ，重合的角叫做 。重合的点叫做 。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 【即学即练1】 3． 观察下图中各组图形，其中成轴对称的为　 （只写序号1，2等）． 知识点03 轴对称与轴对称图形的性质 1. 轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分 ，成轴对称的两个图形 。 ②对应边 ，对应角 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的 且与线段 。我们把对称轴叫做对应点连线的 。 ④对应点的连线之间相互 。 【即学即练1】 4．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对应点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥PQ B．AC∥BD C．CO＝CD D．△ABO≌△CDO 【即学即练2】 5．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC＝115°，则∠DAB1的度数为（　　） A．25° B．35° C．30° D．45° 【即学即练3】 6．如图，D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝7，AC＝3，BC＝6，则△BDE的周长是（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【即学即练4】 7．如图是一个经过改造的台球桌面示意图（该图由相同的小正方形组成，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入 　1　 号球袋． 题型01 轴对称及其轴对称图形的判断 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式2】把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（　　） （1）F，R，P，J，L，G，（　　） （2）H，I，O，（　　） （3）N，S，（　　） （4）B，C，K，E，（　　） （5）V，A，T，Y，W，U，（　　） A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M 【典例2】下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列体育运动图标中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 【典例1】如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 【变式3】小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断正确的是（　　） ①OB⊥OD； ②∠BOC≠∠AOB； ③OE＝OF； ④∠BOC+∠AOD＝180° A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型03 利用性质求角度 【典例1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点C与点B关于DE成轴对称，连接BE，已知∠ABE＝3∠EBD，则∠C的度数是（　　） A．30° B．20° C．18° D．16° 【变式2】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．105° D．35° 【变式3】小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片ABCD沿着EF翻折，点A，D的对应点分别为A′，D′，A′D′与CD交于点G，再将△ED′G沿着CD边翻折，点D′的对应点落在长方形ABCD的内部点H处，若EH平分∠CEF，则∠A′FB的度数为（　　） A．36° B．40° C．42° D．44° 题型04 利用性质求线段 【典例1】△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则A′C′的长为（　　） A．5cm B．8cm C．7cm D．20cm 【变式1】如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝9，AC＝4，BC＝10，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．18 【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7cm，AC＝9cm，BC＝12cm，则△DBE的周长为 　 　 cm． 【变式3】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 题型05 轴对称的性质—桌球反弹规律 【典例1】如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是 　 　 ． 【变式3】一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　 　 次． 【变式4】如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 1．下列字母中，属于轴对称图形的有（　　） ①A；②C；③G；④N． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A．AD∥BE B．∠ABC＝∠DEF C．AB＝DF D．AD⊥MN 4．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．15 B．7.5 C．6 D．4.5 5．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，l交CC′于点D，若AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B′的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 6． 折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线DE是△ABD的对称轴，点D到点B的距离为25cm，点D到直线AC的距离是8cm，△ACD的周长为53cm，则点A到直线BC的距离是（　　） A．25cm B．21cm C．20cm D．8cm 8．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（　　）次． A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．无法确定 10．折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体．如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CD边上一点，小南将这张纸片ABCD沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G，若∠BEF＝α，则∠FGN的度数为（　　） A． B． C． D．2α﹣90° 11．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有 　 　 种． 12．如图，在△ABC中，BC＝8cm，E是边AB上的一点，△ACE是轴对称图形，ED所在直线是它的对称轴．若△BCE的周长为18cm，则AB＝ 　 　 cm． 13．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝100°，则∠MGE＝　 ． 15．如图，在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，AC＝5，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为E、F，连接EF，点D在EF上，则在点M的运动过程中，线段EF长度的最小值是　 ． 16．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°． （1）若点B到直线l的距离为4，则B，E两点间的距离为 　 　 ； （2）求∠E的度数． 17．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D．如果PQ∥RS，AB，BC，CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS． （1）求证BN平行CM？ （2）球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？ 18．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 19．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． （1）求出BF的长度； （2）求∠CAD的度数； （3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 20．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连接AD、BC． （1）求证：∠B＝∠D； （2）如图2，若∠ABC＝68°，点G是线段BC上一点，点C与点C′关于DG对称，连接DC′并延长，与直线BC交于E点． ①如图3，在射线EB上存在点F，连接DF，使∠EFD＝∠EDF，则∠FDG＝ 　34°　 ； ②如图4，在射线EC上存在点F，连接DF，使∠CFD＝∠EDF，则∠FDG＝ 　56°　 ． （3）如图5，若∠ABC＝α（0＜α＜90），点G在BC延长线上，点C与点C′关于直线DG对称，连接DC′并延长，与直线BC交于E点．若在直线BC上存在点F，连接DF，使∠EFD＝∠EDF，请直接写出∠FDG的度数（用α表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 轴对称及其性质 教学目标 1. 掌握轴对称与轴对称图形的概念，并能够熟练的判断两种图形。 2. 掌握轴对称图形与轴对称的性质，并能够熟练的应用其解决相关问题。 教学重难点 1. 重点 （1）轴对称及其轴对称图形的概念； （2）轴对称及其轴对称图形的性质。 2. 难点 （1）利用轴对称及其轴对称图形的性质求角的度数； （2）利用轴对称及其轴对称图形的性质求线段的长； （3）桌球反弹规律题。 知识点01 轴对称图形 1. 轴对称图形的概念： 若一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够 完全重合 ，则这个图形是一个轴对称图形。这条直线叫做轴对称图形的 对称轴 。一个轴对称图形可以有多条对称轴。 2. 常见的几种轴对称图形以及他们的对称轴数量： 角：对称轴所在位置是 角平分线 所在直线，一共有 1 条对称轴。 底和要不相等的等腰三角形：对称轴所在直线是 底边中线 所在的直线，一共有 1 条对称轴。 等边三角形：对称轴所在直线是 任意边中线 所在的直线，一共有 3 条对称轴。 矩形：对称轴所在直线是 经过对边中点 所在的直线，一共有 2 条对称轴。 正方形：对称轴所在直线是 经过对边中点以及对角线 所在的直线，一共有 4 条对称轴。 圆形：对称轴所在直线是 直径 所在的直线，一共有 无数 条对称轴。 【即学即练1】 1．在下列图形：线段，角，等腰三角形，平行四边形，圆中，是轴对称图形的有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：线段，角，等腰三角形和圆都是轴对称图形，平行四边形不一定是轴对称图形， 故选：C． 【即学即练2】 2．下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A中的图形是轴对称图形，符合题意； B、C、D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：A． 知识点02 轴对称 1. 轴对称的概念： 一个图形沿着某一条直线对折与另一个图形能够 完全重合 ，则这两个图形的位置关系成轴对称。这条直线是轴对称的 对称轴 。轴对称只有一条对称轴。 重合的边叫做 对应边 ，重合的角叫做 对应角 。重合的点叫做 对应点 。 注意：轴对称图形是一个图形的形状特点，轴对称是两个图形的形状特点加上位置特点构成。 【即学即练1】 3． 观察下图中各组图形，其中成轴对称的为　①②④　 （只写序号1，2等）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④ 故填①②④ 知识点03 轴对称与轴对称图形的性质 1. 轴对称与轴对称图形的性质： ①轴对称图形对称轴两旁的部分 全等 ，成轴对称的两个图形 全等 。 ②对应边 相等 ，对应角 相等 。对应边若不与对称轴平行，则延长线的交点一定交于对称轴上。 ③对称轴经过任何一组对应点连线的 中点 且与线段 垂直 。我们把对称轴叫做对应点连线的 垂直平分线 。 ④对应点的连线之间相互 平行 。 【即学即练1】 4．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对应点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥PQ B．AC∥BD C．CO＝CD D．△ABO≌△CDO 【答案】C 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，AC⊥PQ，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故A、B、D选项正确， CO不一定等于CD，故C选项不一定正确， 故选：C． 【即学即练2】 5．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，连接AC，点B1在CD边上，连接AB1，△ABC 与△AB1C关于直线AC对称，若∠ABC＝115°，则∠DAB1的度数为（　　） A．25° B．35° C．30° D．45° 【答案】A 【解答】∵△ABC 与△AB1C关于直线AC对称， ∴∠AB1C＝∠ABC＝115°， ∵∠AB1C是△AB1D的外角， ∴∠DAB1＝∠AB1C﹣∠D＝25°． 故选：A． 【即学即练3】 6．如图，D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝7，AC＝3，BC＝6，则△BDE的周长是（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上， 所以AD＝ED，EC＝AC＝3． 因为BC＝6， 所以BE＝6﹣3＝3， 所以△BDE的周长为：BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝7+3＝10． 故选：D． 【即学即练4】 7．如图是一个经过改造的台球桌面示意图（该图由相同的小正方形组成，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入 　1　 号球袋． 【答案】1． 【解答】解：如图， 该球最后将落入1号球袋． 故答案为：1． 题型01 轴对称及其轴对称图形的判断 【典例1】视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：B，C，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而A选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：A． 【变式1】将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得， 展开后的图形呈轴对称， 故选：C． 【变式2】把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（　　） （1）F，R，P，J，L，G，（　　） （2）H，I，O，（　　） （3）N，S，（　　） （4）B，C，K，E，（　　） （5）V，A，T，Y，W，U，（　　） A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M 【答案】D 【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z； （2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X； （3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z； （4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D； （5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M． 故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M． 故选：D． 【典例2】下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； C、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【变式1】中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据轴对称图形的定义可知： A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【变式2】下列体育运动图标中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 题型02 轴对称及其轴对称图形性质熟悉 【典例1】如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 【答案】A 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故B、C、D选项正确， AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确， 故选：A． 【变式1】如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称， ∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确， AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 【变式2】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′，CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上 【答案】D 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 当AB∥A'B'∥MN时，AB与A'B'没有交点．D错误； 故选：D． 【变式3】小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断正确的是（　　） ①OB⊥OD； ②∠BOC≠∠AOB； ③OE＝OF； ④∠BOC+∠AOD＝180° A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， 由对称得∠AOB＝∠DOC， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，OE⊥OF， ∴∠BOC∠AOB，∠DOF∠DOC， ∴∠BOF+∠DOF＝90°， ∴OB⊥OD，结论①正确； ∠BOC不一定等于∠AOB，结论②错误； 由对称得△OAB≌△ODC， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE＝OF，结论③正确； 过O作GM⊥OH， ∴∠GOD+∠DOH＝90°， ∵∠BOH+∠DOH＝90°， ∴∠GOD＝∠BOH， 根据对称得∠BOH＝∠COH， ∴∠GOD＝∠COH， 同理可证∠AOM＝∠BOH， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOM+∠DOG＝180°，结论④正确， 所以推断正确的是①③④． 故选：C． 题型03 利用性质求角度 【典例1】如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°． 故选：C． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点C与点B关于DE成轴对称，连接BE，已知∠ABE＝3∠EBD，则∠C的度数是（　　） A．30° B．20° C．18° D．16° 【答案】C 【解答】解：∵点C与点B关于DE成轴对称， ∴∠EBD＝∠C， 又∵∠A＝90°，∠ABE＝3∠EBD， ∴∠ABC+∠C＝90°，∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝4∠EBD＝4∠C， ∴4∠C+∠C＝90°， 解得∠C＝18°， 故选：C． 【变式2】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A'重合，若∠A＝35°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．105° D．35° 【答案】A 【解答】解：由折叠可知， ∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE． ∵∠1+∠A′DA＝180°，∠2+∠A′EA＝180°， ∴∠ADE，∠AED． 又∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠A＝180°， 则∠1+∠2＝2∠A＝70°． 故选：A． 【变式3】小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片ABCD沿着EF翻折，点A，D的对应点分别为A′，D′，A′D′与CD交于点G，再将△ED′G沿着CD边翻折，点D′的对应点落在长方形ABCD的内部点H处，若EH平分∠CEF，则∠A′FB的度数为（　　） A．36° B．40° C．42° D．44° 【答案】A 【解答】解：由题知， 令∠GEH的度数为x， 因为EH平分∠CEF， 所以∠GEF＝2∠GEH＝2x． 由翻折可知，∠D′EG＝∠GEH＝x， 所以∠D′EF＝3x， 则∠DEF＝∠D′EF＝3x． 由∠DEF+∠GEF＝180°得， 3x+2x＝180°， 解得x＝36°， 所以∠GEF＝2x＝72°． 因为AB∥CD， 所以∠AFE＝∠GEF＝72°． 由翻折可知，∠AFA′＝2∠AFE＝144°， 所以∠A′FB＝180°﹣∠AFA′＝36°． 故选：A． 题型04 利用性质求线段 【典例1】△ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则A′C′的长为（　　） A．5cm B．8cm C．7cm D．20cm 【答案】C 【解答】解：若△ABC的周长为20cm，AB＝5cm，BC＝8cm，易得AC＝7cm； △ABC经过轴对称变换得到△A′B′C′，即△ABC≌△A′B′C′， 故A′C′＝AC＝7cm． 故选：C． 【变式1】如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝9，AC＝4，BC＝10，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【解答】解：∵点A关于直线CD的对称点E恰好在线段BC上，连接DE，AC＝4， ∴AD＝DE，CE＝AC＝4， ∵BC＝10， ∴BE＝BC﹣CE＝6， ∵AB＝9， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝9+6＝15． 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7cm，AC＝9cm，BC＝12cm，则△DBE的周长为 　10　 cm． 【答案】10． 【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称， ∴AD＝DE，AC＝CE＝9cm， ∵AB＝7cm，AC＝9cm，BC＝12cm， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE ＝BD+AD+BC﹣AC ＝AB+BC﹣AC ＝7+12﹣9 ＝10（cm）． 故答案为：10． 【变式3】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2， ∴PM＝P1M，PN＝P2N， ∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2， ∵△PMN的周长是5cm， ∴P1P2＝5cm． 故选：C． 题型05 轴对称的性质—桌球反弹规律 【典例1】如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】A 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是1号袋， 故选：A． 【变式1】如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【解答】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 【变式2】如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是 　675　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2025÷6＝337…3， 当点P第2025次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）， ∴碰撞次数是：337×2+1＝675（次）， 故答案为：675． 【变式3】一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　3　 次． 【答案】3． 【解答】解：利用轴对称画出图形可知球的运动路线如图： ∴经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是3次； 故答案为：3． 【变式4】如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 【答案】（1）∠PAB＝116°； （2）PA∥BC． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°，∠1+∠PAB+∠2＝180°， ∴∠PAB＝180°﹣32°×2＝116°； （2）PA∥BC，理由： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°，而∠1+∠2+∠PAB＝180°＝∠3+∠4+∠ABC， ∴∠1+∠2+∠PAB+∠3+∠4+∠ABC＝180°×2＝360°， ∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣90°×2＝180°， ∴PA∥BC． 1．下列字母中，属于轴对称图形的有（　　） ①A；②C；③G；④N． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①字母A：沿竖直中线对折，左右部分完全重合，是轴对称图形． ②字母C：沿水平中线对折，上下部分完全重合，是轴对称图形． ③字母G：其右侧有横向延伸结构，上下不对称，不是轴对称图形． ④字母N：由斜线连接两竖线，沿任何直线对折均无法重合，不是轴对称图形． 故选：B． 2．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 3．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A．AD∥BE B．∠ABC＝∠DEF C．AB＝DF D．AD⊥MN 【答案】C 【解答】解：A．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，BE⊥MN，所以AD∥BE，故本选项正确； B．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，故本选项正确； C．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AB＝DE，AB与DF不相等，故本选项不一定正确； D．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，故本选项正确； 故选：C． 4．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．15 B．7.5 C．6 D．4.5 【答案】B 【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称， ∴B、C关于直线AD对称， ∴△CEF和△BEF关于直线AD对称， ∴S△BEF＝S△CEF， ∵△ABC的面积是：BC×AD6×5＝15， ∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝7.5． 故选：B． 5．如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，l交CC′于点D，若AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B′的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解答】解：由条件可知AB＝AB′，BC＝B′C′，DC＝DC′， ∵AB＝4，B′C′＝2，CD＝0.5， ∴AB′＝4，BC＝2，DC′＝0.5， ∴五边形ABCC′B′的周长为：4+2+0.5+0.5+2+4＝13． 故选：C． 6．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支．按如图所示方法折纸，则下列说法不正确的是（　　） A．∠1与∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1与∠AEC互补 【答案】C 【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC， ∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°， ∴2（∠1+∠3）＝180°， 即∠1+∠3＝90°，故A不符合题意； ∴∠2＝90°，故B不符合题意，C符合题意； ∵∠1+∠AEC＝180°， ∴∠1与∠AEC互补， 故D不符合题意． 故选：C． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线DE是△ABD的对称轴，点D到点B的距离为25cm，点D到直线AC的距离是8cm，△ACD的周长为53cm，则点A到直线BC的距离是（　　） A．25cm B．21cm C．20cm D．8cm 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为直线DE是△ABD的对称轴，且点D到点B的距离为25cm， 所以AD＝DB＝25cm． 又因为∠ACB＝90°，点D到直线AC的距离是8cm， 所以CD＝8cm． 因为△ACD的周长为53cm， 所以AC＝53﹣25﹣8＝20（cm）， 即点A到直线BC的距离是20cm． 故选：C． 8．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（　　）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 9．如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．无法确定 【答案】A 【解答】解：连接OM，如图所示， ∵点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2， ∴∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB， ∴∠M1OA+∠M2OB＝∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝40°， ∴∠M1OM2＝∠M1OA+∠M2OB+∠AOB＝40°+40°＝80°， 故选：A． 10．折纸起源于中国，不仅是一种手工技艺，更是承载历史记忆与文化密码的载体．如图，四边形ABCD为一张长方形纸片，点E、F分别为AB、CD边上一点，小南将这张纸片ABCD沿EF折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，BC的对应边MN与CD交于点G，若∠BEF＝α，则∠FGN的度数为（　　） A． B． C． D．2α﹣90° 【答案】D 【解答】解：延长NM，交AB于点P，如图所示： 由题意得，DC∥AB，∠MEF＝α，∠NME＝90°， ∴∠PEM＝180°﹣2α， ∴∠EPM＝90°﹣∠PEM＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°， ∴∠FGN＝∠EPM＝2α﹣90°， 故选：D． 11．正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有 　4　 种． 【答案】4． 【解答】解：如图所示： ， 共4种， 故答案为：4． 12．如图，在△ABC中，BC＝8cm，E是边AB上的一点，△ACE是轴对称图形，ED所在直线是它的对称轴．若△BCE的周长为18cm，则AB＝ 　10　 cm． 【答案】10． 【解答】解：∵△ACE是轴对称图形，直线ED是它的对称轴， ∴AE＝CE ∴AE+BE＝CE+BE， ∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm， ∴AE+BE＝CE+BE＝10（cm）， ∴AB＝10cm． 故答案为：10． 13．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　100°　 ． 【答案】100°． 【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE， ∵A′D∥BC， ∴∠ADF＝∠C， ∵∠B﹣∠A＝20°， ∴∠B＝∠A+20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A， ∴∠ADE∠C＝80°﹣∠A， ∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°， ∴∠AED＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100°． 14．如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝100°，则∠MGE＝　100°　 ． 【答案】100°． 【解答】解：∵∠A＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝80°， 由折叠的性质得：∠MGN＝∠B，∠EGF＝∠C， ∴∠MGN+∠EGF＝∠B+∠C＝80°， ∴∠MGE＝180°﹣（∠MGN+∠EGF）＝100°． 故答案为：100°． 15．如图，在直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝4，AC＝5，动点M在线段AC上运动（不与端点重合），点M关于边AD，DC的对称点分别为E、F，连接EF，点D在EF上，则在点M的运动过程中，线段EF长度的最小值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图：过D作DM1⊥AC于M1，连接DM， ∴ ∴， 由对称性质可知DE＝DM＝DF， ∴EF＝2DM， 线段EF长度最小即是DM长度最小，此时DM⊥AC，即M与M1重合，EF最小值为2． 故答案为：． 16．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°． （1）若点B到直线l的距离为4，则B，E两点间的距离为 　8　 ； （2）求∠E的度数． 【答案】（1）8； （2）54°． 【解答】解：（1）如图，连接BE，BE与l交于G， ∵△ABC与△DEF关于直线l对称，点B到直线l的距离为4， ∴BG＝EG＝4． ∴B，E两点间的距离＝4+4＝8， 故答案为：8； （2）∵△ABC与△DEF关于直线l对称，且∠A＝78°，∠F＝48°， ∴∠D＝∠A＝78°， ∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣78°﹣48°＝54°． 17．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D．如果PQ∥RS，AB，BC，CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS． （1）求证BN平行CM？ （2）球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？ 【答案】（1）见解答； （2）球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB． 【解答】解：（1）延长BN交RS于点K， ∵BN⊥PQ， ∴∠PBK＝90°， ∵PQ∥RS， ∴∠BNK＝∠PBK＝90°， ∵CM⊥RS， ∴∠MCR＝90°， ∴∠BNK＝∠MCR＝90， ∴BN∥CM； （2）球经过两次反弹后所滚的路径CD平行于原来的路径AB，理由如下： 由（1）可知BN∥CM， ∴∠CBN＝∠BCM， ∵BN平分∠ABC，CM的平分∠BCD， ∴∠ABC＝2∠CBN，∠BCD＝2∠BCM， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴CD∥AB． 18．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 【答案】（1）6cm； （2）2α． 【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点， ∴EM＝EO，FN＝FO， ∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN． 又∵MN＝6cm， ∴C△OEF＝6cm． （2）连接OP， ∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点， ∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON， ∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB， ∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝2α． 19．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． （1）求出BF的长度； （2）求∠CAD的度数； （3）连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC﹣FC＝3cm． （2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°． （3）结论：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图， ∵E，C关于直线MN对称， ∴直线MN垂直平分线段EC． 20．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连接AD、BC． （1）求证：∠B＝∠D； （2）如图2，若∠ABC＝68°，点G是线段BC上一点，点C与点C′关于DG对称，连接DC′并延长，与直线BC交于E点． ①如图3，在射线EB上存在点F，连接DF，使∠EFD＝∠EDF，则∠FDG＝ 　34°　 ； ②如图4，在射线EC上存在点F，连接DF，使∠CFD＝∠EDF，则∠FDG＝ 　56°　 ． （3）如图5，若∠ABC＝α（0＜α＜90），点G在BC延长线上，点C与点C′关于直线DG对称，连接DC′并延长，与直线BC交于E点．若在直线BC上存在点F，连接DF，使∠EFD＝∠EDF，请直接写出∠FDG的度数（用α表示）． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）①34°；②56°； （3）或． 【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示： 由平移的性质得：AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 在△BAC和△DCA中， ， ∴△BAC≌△DCA（SAS）， ∴∠B＝∠D； （2）∵∠ABC＝68°， 由（1）可知：∠ABC＝∠ADC＝68°， ∵△BAC≌△DCA， ∴∠BCA＝∠DAC， ∴AD∥BC， ∵点C与点C'关于DG对称， ∴设∠CDG＝∠C'DG＝θ， ∴∠CDE＝∠CDG+∠C'DG＝2θ， ①解：设∠EFD＝∠EDF＝β， ∴∠FDG＝∠C'DG+∠EDF＝θ+β， ∴AD∥BC， ∴∠ADF＝∠EFD＝β， ∴∠ADE＝∠ADF+∠EDF＝2β， ∴∠ADC＝∠CDE+∠ADE＝2θ+2β＝68°， ∴θ+β＝34°， ∴∠FDG＝θ+β＝34°， 故答案为：34°； ②设∠CDF＝β， ∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝2θ+β， ∠ADF＝∠ADC+∠CDF＝68°+β， ∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝θ+β， ∵∠CFD＝∠EDF， ∴∠CFD＝2θ+β， ∵AD∥BC， ∴∠ADF+∠CFD＝180°， ∴68°+β+2θ+β＝180°， ∴θ+β＝56°， ∴∠FDG＝θ+β＝56°， 故答案为：56°； （3）∵∠ABC＝α（0＜α＜90）， ∴∠ABC＝∠ADC＝α， ∵点C与点C'关于直线DG对称， ∴设∠CDG＝∠C'DG＝θ， ∴∠CDE＝∠CDG+∠C'DG＝2θ， 依题意有以下三种情况： ①当点F在点G的左侧时，如图5①所示： 设∠CDF＝β， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝α﹣β， ∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝θ+β， ∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝2θ+β， ∵AD∥BC， ∴∠EFD＝∠ADF＝α﹣β， ∵∠EFD＝∠EDF， ∴α﹣β＝2θ+β， ∴θ+β， ∴∠FDG＝θ+β； ②当点F在点C右侧且在点G左侧时，如图5②所示： 设∠CDF＝β， ∴∠ADF＝∠ADC+∠CDF＝α+β， ∠FDG＝∠CDG﹣∠CDF＝θ﹣β， ∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝2θ﹣β， ∵AD∥BC， ∴∠EFD＝∠ADF＝α+β， ∵∠EFD＝∠EDF， ∴α+β＝2θ﹣β， ∴θ﹣β， ∴∠FDG＝θ﹣β； ③当点F在点G右侧时，如图5③所示： 设∠EFD＝∠EDF＝β， ∴∠ADF＝ADC+∠CDE+∠EDF＝α+2θ+β， ∠FDG＝∠C'DG+∠EDF＝θ+β， ∵AD∥BC， ∴∠ADF+∠EFD＝180°， ∴α+2θ+β+β＝180°， ∴θ+β， ∴∠FDG＝θ+β， 综上所述：∠FDG的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $