精品解析：广东省深圳市龙华区中小学2025-2026学年第二学期期末试卷高一数学

龙华区中小学2025—2026学年第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数据中，方差最大的为（ ） A. 5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，6，6，6 C. 3，4，5，5，6，7 D. 2，2，5，5，8，8 【答案】D 【解析】 【分析】四组数据的平均数均为，利用方差公式分别计算各组数据的方差并比较． 【详解】四组数据的平均数均为．由方差公式可得 A组的方差为； B组的方差为； C组的方差为； D组的方差为． 因为，所以D组数据的方差最大． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 4. 已知事件与相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，变形代入已知数值求解. 【详解】因为事件与相互独立，所以, 因为，，代入上式得： . 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知，函数在区间有唯一零点， 所以函数的零点所在区间是. 6. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知圆锥底面半径，所以底面圆的周长 因为圆锥侧面展开图是一个半圆，这个半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长， 所以半圆的弧长为. 设圆锥的母线长，则半圆的弧长为，解得. 所以圆锥的高，解得. 所以圆锥的体积. 7. 复平面内，，，三点对应的复数分别是，，，若四边形是平行四边形，则点对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得，，设， 因为，， 四边形是复平面内的平行四边形， 所以，解得， 所以点对应的复数为． 8. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法写出基本事件，根据古典概型求解. 【详解】因正四面体抛掷一次，侧面上的三个数字之和分别为6,7,8,9， 所以正四面体骰子连续抛掷两次所得样本点为， ，共个， 其中满足的样本点为， ，共个， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因为，所以，B正确； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，因为， 所以， ． 又因为，所以，即，D正确． 10. 已知直线，和平面，，能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意转化为由条件能否推出即可，各选项逐一分析可得结论. 【详解】，，即垂直内任意直线，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； ，，则可能在内，也可能与斜交，不能推出，故C错误； 因为，，则存在，，又，，所以，所以，故D正确. 11. 如图，正三角形的边长为1，动直线过的重心，且与线段，分别交于，两点，设，，则（ ） A. ，且 B. 存在，，使 C. 面积的最小值为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A、B选项，利用三点共线的向量表示进行求解； C选项，利用基本不等式进行求解； D选项，利用换元法进行求解. 【详解】A选项，正边长为1，且的重心，则， 因为，，所以，，则 因为三点共线，所以，即：， 其中，，联立解得：，且，所以A选项正确； B选项，由A选项可知，，所以B选项错误； C选项，，由A选项得：，解得， 当且仅当时等号成立，此时三角形面积最小值为：，所以C选项正确； D选项，的几何意义为：线段在直线上的投影长度. 过点作，则， ，由图得：，， 代入，得，令，因为，所以，且， 代入化简得：，其中， 易知在时是单调递增的，所以，，所以D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________． 【答案】 6 【解析】 【详解】首先，因，代入对应的分段解析式，可得：.  又，代入对应的分段解析式，可得： . 因此. 13. 已知，为虚数单位，若，则__________． 【答案】（或） 【解析】 【详解】． 14. 已知的面积为，若，，则的外接圆半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知的三角函数式，结合两角和的余弦公式求出，从而求得，再利用三角形的面积公式求出，然后利用正弦定理即可求得外接圆半径． 【详解】因为，， 所以． 因为在中，，所以， 所以，则， 所以，即． 又因为，，， 所以，则，，． 因为的面积为，即，所以． 由正弦定理，可得，则，即． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中）的最小正周期为，且． （1）求，，的值； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】(1)利用周期公式并代入即可求得； (2)利用正弦函数的单调性分别计算最大值最小值. 【小问1详解】 因为最小正周期为，所以，则， 又因为， 即：，解得：，. 【小问2详解】 由第一问得， 当时，，， 所以，即：函数在上的值域为. 16. 某社区开展全民健身活动，工作人员抽样统计了500名居民每日体育锻炼时长（单位：分钟），得到频率分布直方图如图所示． （1）根据频率分布直方图，求出图中的值； （2）估计这500名居民锻炼时长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）为了鼓励居民积极参与体育锻炼，工作人员想将锻炼时长排名前50%的居民定义为“健身达人”，需要确定一个临界值，试根据频率分布直方图判断临界值和平均锻炼时长的大小关系． 【答案】（1） （2） （3）， 大于平均锻炼时长 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积之和为求． （2）用各组区间中点值乘对应频率后求和，估计平均锻炼时长． （3）由累计频率确定临界值所在区间，再与平均锻炼时长比较． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为，各组频率之和为，所以 ，解得． 【小问2详解】 各组区间中点值依次为，对应频率依次为． 平均锻炼时长估计为（分钟）． 【小问3详解】 锻炼时长小于分钟的累计频率为； 锻炼时长小于分钟的累计频率为． 因此临界值在55分钟到65分钟之间，即． 由（2）知平均锻炼时长为分钟，且，所以临界值大于平均锻炼时长． 17. 如图，在三棱台中，，，底面，为的中点． （1）作出经过点和侧棱的截面（需说明理由），并证明：平面； （2）若，，求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）过点作，交于点，连接， 则四边形就是经过点和侧棱的截面． 理由：由于，两条平行线确定一个平面， 因此四点共面，且该平面包含侧棱和点． 下证平面． 因为， 故，为等腰直角三角形， 在三棱台中，，故也为等腰直角三角形， 而为的中点，故， 又平面，平面，故， 因此由平面，且可得平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用两条平行线确定一个平面可作出所求截面；利用题设条件和三棱台的性质可得且，利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）由于，故异面直线与所成角等于与所成角，利用线面垂直的性质和判定定理可得，，再利用勾股定理求出各边长度即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故异面直线与所成角等于与所成角， 由于底面，平面，故， 又，故， 又，，故平面， 而平面，故， 在Rt中，， 在Rt中，， 设直线与所成角为，故． 18. 已知的三个角，，的对边分别为，，，满足． （1）求； （2）设，，点，，分别在边，和上，且为等边三角形． （i）若，求的周长； （ii）求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合恒等变换得即可求得答案； （2）（i）设等边边长为，则根据正弦定理，三角函数关系分别求得,，再结合，解得即可求得周长；（ii）设等边边长为，，,同（i）理，求得，，进而结合求得，再根据三角函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得： 整理得， 因为， 所以，即 因为，在中，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，， （i）设等边边长为， 在中，，故, 所以，, 因为， 所以 在中，， 因为， 所以，即，解得. 周长. (ii) 设等边边长为，，， 在中，，,， 因为，所以， 在中，，， 由正弦定理得， 因为，即， 整理得： 因为，其中， 因为，， 所以，即， 所以 所以，周长的最小值为 所以，周长最小值为 19. 已知函数，． （1）若为奇函数，求的值； （2）若有两个不同的零点和． （i）求的取值范围； （ii）是否存在正实数，使得恒成立？若存在，请给出一个满足条件的；若不存在，说明理由． 【答案】（1）0 （2）（i） （ii）不存在，理由如下： 不妨设，由（i）可得， 又， 故， 当时，，，故， 因此当无限趋近于0时，可以无限变大，所以不存在正实数满足条件． 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可得，解得，再代入检验确实是奇函数即可； （2）（i）由可得，令，则方程有两个不等正根，据此列出不等式即可求解；（ii）不妨设，可得，取，，因此即可得知不存在正实数满足条件． 【小问1详解】 设函数定义域为， 由题意得， 即， 即， 即， 故. 【小问2详解】 （i）由得， 令，则方程化为， 因此有两个不同的零点和等价于上述方程有两个不等正根， 故，解得， 所以的取值范围是． （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙华区中小学2025—2026学年第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数据中，方差最大的为（ ） A. 5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，6，6，6 C. 3，4，5，5，6，7 D. 2，2，5，5，8，8 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件与相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 复平面内，，，三点对应的复数分别是，，，若四边形是平行四边形，则点对应的复数为（ ） A. B. C. D. 8. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字1，2，3，4）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次侧面上的三个数字之和分别为，，则的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 已知直线，和平面，，能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 11. 如图，正三角形的边长为1，动直线过的重心，且与线段，分别交于，两点，设，，则（ ） A. ，且 B. 存在，，使 C. 面积的最小值为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则__________． 13. 已知，为虚数单位，若，则__________． 14. 已知的面积为，若，，则的外接圆半径为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中）的最小正周期为，且． （1）求，，的值； （2）求函数在上的值域． 16. 某社区开展全民健身活动，工作人员抽样统计了500名居民每日体育锻炼时长（单位：分钟），得到频率分布直方图如图所示． （1）根据频率分布直方图，求出图中的值； （2）估计这500名居民锻炼时长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）为了鼓励居民积极参与体育锻炼，工作人员想将锻炼时长排名前50%的居民定义为“健身达人”，需要确定一个临界值，试根据频率分布直方图判断临界值和平均锻炼时长的大小关系． 17. 如图，在三棱台中，，，底面，为的中点． （1）作出经过点和侧棱的截面（需说明理由），并证明：平面； （2）若，，求直线与所成角的余弦值． 18. 已知的三个角，，的对边分别为，，，满足． （1）求； （2）设，，点，，分别在边，和上，且为等边三角形． （i）若，求的周长； （ii）求周长的最小值． 19. 已知函数，． （1）若为奇函数，求的值； （2）若有两个不同的零点和． （i）求的取值范围； （ii）是否存在正实数，使得恒成立？若存在，请给出一个满足条件的；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $