精品解析：广东深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年高一年级下学期期末考试数学试卷

南科大附中2026年春季学期高一年级期末考试 数学 命题人：马雪东 审题人：孙松华 孙玉才 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 4. 已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（ ） A. 6 B. C. 0 D. 5. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（    ） A. 若，，则； B. 若，，，，则； C. 若，，则； D. 若，，，则或与异面 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 7. 某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 8. 在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（ ） A. B. C. 4 D. 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 10. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：你的编号是否为奇数？问题：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题，摸到红球则如实回答问题，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这人中，共有人回答“是”，则下列表述正确的是（ ） A. 估计被调查者中约有人吸烟 B. 估计约有人对问题的回答为“是” C. 估计该地区约有的中学生吸烟 D. 估计该地区约有的中学生吸烟 11. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱锥外接球的表面积是 B. 正四棱锥内切球的体积是 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 13. 在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 14. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角； （2）若，的平分线交于点，求. 16. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点． （1）证明：． （2）证明：平面平面． 17. 小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． （1）若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； （2）若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 19. 学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（ ， ， ， ）．我们称为该生的 维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若 ，则称他们“口味互补”． （1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有 道菜，这8名同学都喜欢，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2026年春季学期高一年级期末考试 数学 命题人：马雪东 审题人：孙松华 孙玉才 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 2. 参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将成绩从小到大排序，再根据百分位数的计算规则分别求出第60、75百分位数，组合得到对应复数即可 【详解】首先将10名学生的成绩按从小到大排序：. 由，故第60百分位数为排序后第6位和第7位数据的平均数，即，即所求复数的实部为85. 由，故第75百分位数为排序后第8位数据88，即所求复数的虚部为88. 因此所求复数为. 3. 已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【详解】因为，事件与对立，所以， 又，与互斥，所以. 4. 已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（ ） A. 6 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图平面直角坐标系. 于是， 所以 所以. 5. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（    ） A. 若，，则； B. 若，，，，则； C. 若，，则； D. 若，，，则或与异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系及相关判定、性质定理，逐一判断即可. 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 【答案】B 【解析】 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 7. 某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 【答案】B 【解析】 【详解】由于两类从业者总人数均为10万，权重均为，分别为两组的样本平均， 两类职业满意度的总体均值的估计值， 又为两组的样本方差，代入数值计算：， 因此总体方差的估计值. 8. 在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，利用线面垂直判定定理证明平面，进而得出动点的轨迹即为，再计算求出． 【详解】取中点，连接， 分别是中点， ， 又平面，则平面， 平面， ， 由正方形的性质可知， 分别是中点， ，故， 平面，， 平面，则动点平面， 是侧面内的一个动点， 动点的轨迹即为， 已知是边长为5的正方形，， 则， 分别是中点， ，即动点的轨迹长度为． 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知可得可判断B；利用向量的夹角公式求解可判断A；求得可判断C；利用投影向量的定义求解可判断D. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，故B正确； 所以，又，所以，故A错误； ，所以与不垂直，故C错误； 因为， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 10. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：你的编号是否为奇数？问题：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题，摸到红球则如实回答问题，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这人中，共有人回答“是”，则下列表述正确的是（ ） A. 估计被调查者中约有人吸烟 B. 估计约有人对问题的回答为“是” C. 估计该地区约有的中学生吸烟 D. 估计该地区约有的中学生吸烟 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为，其编号为奇数的概率也是，计算可得出随机抽出的名学生中回答第一个问题且为“是”的学生人数，由此可求出回答第二个问题且为“是”的学生人数，由此可估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进而可估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项即可得出结论. 【详解】随机抽出的名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是. 所以回答问题且回答的“是”的学生人数为； 回答问题且回答的“是”的人数为. 由此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，估计被调查者中吸烟的人数为. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用样本的数字特征估计总体的数字特征，同时也考查了抽样方法的应用，考查计算能力，属于中等题. 11. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱锥外接球的表面积是 B. 正四棱锥内切球的体积是 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 【答案】BD 【解析】 【分析】取中点，连接，过作底面于点，易得为侧面与底面所成的角，由此求出正四棱锥的高与斜高的长，借助于，求出其外接球的半径计算判断A；再由等体积求出其内接球的半径计算判断B；再利用棱锥的体积公式判断C,D即可. 【详解】如图，取中点，连接，过作底面于点， 则为底面的中心，连接，在正四棱锥中，易得， 则为侧面与底面所成的角，故，在中，， 所以，斜高， 对于A，设外接球的球心为，半径为，则，， 在中，有，解得， 则正四棱锥外接球的表面积为，故A错误； 对于C，正四棱锥的体积为，故C错误； 对于B，设正四棱锥内切球的半径为， 由，解得， 则正四棱锥内切球的体积，故B正确； 对于D，由选项AB可知，，故D正确． 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设及向量坐标运算可得答案. 【详解】设，因，则， 从而. 13. 在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】因为选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中， 设每种选法可标记为，其中分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，，共6种. 其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，，共2种， 故所求概率为. 14. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理对题目条件进行化简，求出边长的关系，进而根据余弦值的范围列出不等式，再构造函数，根据函数单调性，判定自变量的范围，求出结果. 【详解】由题意可知，化简得， 即， 因为，即， 将代入得，化简得， 设函数， 根据对勾函数可知，当时，单调递减，当时，单调递增， 可知，所以当时，， 即，解得，即. 所以a的取值范围是. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角； （2）若，的平分线交于点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理合理转化，结合同角三角函数关系求角B； （2）先由余弦定理求出ac的值，再利用等面积法列方程求解角平分线BD的长度. 【小问1详解】 解法一：由正弦定理得， 可将化为， 由知， 所以. 又，故. 解法二：根据正弦定理，可将化为， 因为，所以，约去得. 又，故. 【小问2详解】 已知、、，根据余弦定理得， 解得. 因为， 所以， 因为，，所以，解得. 16. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点． （1）证明：． （2）证明：平面平面． 【答案】（1）因为在正三棱柱中， 所以为等边三角形，又因为为中点， 所以. 因为平面，平面， 所以， 又因为平面，， 所以平面.又因为平面， 所以. （2）的中点，连接.延长与交于，连接， 显然为中点. 因为， 且， 所以，又因为为中线，所以. 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形. 因为平面，平面， 所以，所以四边形为矩形. 所以，又因为，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】(1)先利用正三棱柱的性质得到，，再利用线面垂直判定定理证明平面，最后利用线面垂直性质定理得到即可； （2）利用平面几何知识得到，，再利用线面垂直判定定理得到平面，最后再利用面面垂直判定定理得到平面平面 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． （1）若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； （2）若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【小问1详解】 设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． 【小问2详解】 设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴， 平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面BCF，平面BCF，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案； （2）即为二面角的平面角，作于O，由线面垂直的判定定理可得平面ADE，平面CDEF，连结CO，直线AC与平面CDEF所成角为，求出正弦值即可； （3）由（2）得平面CDEF，又，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，∴即为二面角的平面角， ∴， 又，平面ADE， 所以平面ADE，作于O，因为平面ADE， 所以，又，平面CDEF， 所以平面CDEF，连结CO， 所以直线AC与平面CDEF所成角为， ，，所以． 直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得平面CDEF，又，所以距离，又由已知可得 ，，，所以． 19. 学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（ ， ， ， ）．我们称为该生的 维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若 ，则称他们“口味互补”． （1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有 道菜，这8名同学都喜欢，求证： ． 【答案】（1）， （2）假设存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补， 设这6个向量为， 因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的数量积不变， 所以不妨设， 因为 ，所以有3个分量为， 设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，， 则 ，则，矛盾， 所以不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）任取，不妨设前 个分量都为1，计算数量积， 将所有这些数量积求和得到，则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 令 ，所以 . 【解析】 【分析】（1）由 维信号向量的定义可写出4个两两口味互补的4维喜好向量； （2）先假设存在，设6个向量为，根据题意不妨设，利用，可得有3个分量为，进而可得的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，由题意可得，可证结论； （3）任取，不妨设前 个分量都为1，计算数量积，，设的第个分量之和为，利用 ，可得结论. 【小问1详解】 由题意，构造4个4维向量，每个分量为1或， 设， 则 ， ， ， ， ， ， 所以这4个向量两两口味互补. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $