广东深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年高一年级下学期期末考试数学试卷

南科大附中2026年春季学期高一年级期末考试 数学 命题人：马雪东 审题人：孙松华 孙玉才 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 4. 已知在矩形中，，，E、F分别为，的中点，则（ ） A. 6 B. C. 0 D. 5. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（    ） A. 若，，则； B. 若，，，，则； C. 若，，则； D. 若，，，则或与异面 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 7. 某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（ ） A. 148 B. 150 C. 152 D. 154 8. 在四棱锥中，平面，四边形是边长为5的正方形，，分别是棱的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度是（ ） A. B. C. 4 D. 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若向量，满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为 10. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：你的编号是否为奇数？问题：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题，摸到红球则如实回答问题，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这人中，共有人回答“是”，则下列表述正确的是（ ） A. 估计被调查者中约有人吸烟 B. 估计约有人对问题的回答为“是” C. 估计该地区约有的中学生吸烟 D. 估计该地区约有的中学生吸烟 11. 在正四棱锥中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四棱锥外接球的表面积是 B. 正四棱锥内切球的体积是 C. 正四棱锥的体积为 D. 正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 13. 在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 14. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角； （2）若，的平分线交于点，求. 16. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点． （1）证明：． （2）证明：平面平面． 17. 小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． （1）若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； （2）若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 18. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角为，，，，，，． （1）求证：平面ADE； （2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值； （3）求点F到平面ABCD的距离． 19. 学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（ ， ， ， ）．我们称为该生的 维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若 ，则称他们“口味互补”． （1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有 道菜，这8名同学都喜欢，求证： ． 南科大附中2026年春季学期高一年级期末考试 数学 命题人：马雪东 审题人：孙松华 孙玉才 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）因为在正三棱柱中， 所以为等边三角形，又因为为中点， 所以. 因为平面，平面， 所以， 又因为平面，， 所以平面.又因为平面， 所以. （2）的中点，连接.延长与交于，连接， 显然为中点. 因为， 且， 所以，又因为为中线，所以. 因为，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形. 因为平面，平面， 所以，所以四边形为矩形. 所以，又因为，，平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴， 平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF， ，∴平面平面ADE，∵平面BCF，∴平面ADE； （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）假设存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补， 设这6个向量为， 因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的数量积不变， 所以不妨设， 因为 ，所以有3个分量为， 设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，， 则 ，则，矛盾， 所以不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）任取，不妨设前 个分量都为1，计算数量积， 将所有这些数量积求和得到，则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 令 ，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $