专题3.1 圆的有关概念（专题训练）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册《知识解读·题型专练》　

**基本信息** 聚焦圆的基础概念到性质应用，以5类题型构建从认识到动态最值的递进训练，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的认识|5题|考查圆的定义、确定条件及基本要素|从核心概念出发，建立圆的几何表征| |判断点与圆的位置关系|4题|通过距离与半径比较判断位置|衔接概念与数量关系，培养抽象能力| |利用位置关系求半径|5题|结合图形动态性求半径范围|深化位置关系应用，发展空间观念| |利用性质求角度|5题|综合圆心角、外心等性质推理计算|渗透圆的性质应用，强化推理意识| |利用性质求最值|5题|结合矩形、动点等情境探究最值|实现知识综合，提升应用意识|

专题3.1 圆的有关概念（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【颖型 1.圆的认识】 1 【题型 2·判断点与圆的位置关系】 2 【题型3·利用点与圆的位置关系求半径】 2 【题型 4··利用圆的基本性质求角度】 3 【题型 5·利用圆的基本性质求最值】 4 【颖型 1.圆的认识】 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（     ） A． B． C． D． 4．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 5．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【题型 2·判断点与圆的位置关系】 6．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 7．某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 9．已知的半径r为4，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在的外部 B．点P在上或点P在的外部 C．点P在上或点P在的内部 D．点P在的内部 【题型3·利用点与圆的位置关系求半径】 10．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 11．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 12．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 13．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．如图，矩形ABCD中，，，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2.5 【题型 4··利用圆的基本性质求角度】 15．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 16．如图，在含的直角三角板中，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．如图，是的直径，点C、D在上， ，，则的度数为（） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【题型 5·利用圆的基本性质求最值】 20．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 21．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 22．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 23．如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 圆的有关概念（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【颖型 1.圆的认识】 1 【题型 2·判断点与圆的位置关系】 3 【题型3·利用点与圆的位置关系求半径】 4 【题型 4··利用圆的基本性质求角度】 8 【题型 5·利用圆的基本性质求最值】 12 【颖型 1.圆的认识】 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 3．如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和等边对等角得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 4．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 5．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【题型 2·判断点与圆的位置关系】 6．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 7．某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆形桌面上，可得点P在圆内或圆上，由此得到的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在内或上， ∴， 故观察选项，只有符合该范围． 8．已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【答案】B 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合点与圆的位置关系判断的长度范围，点不在圆内包含点在圆上和点在圆外两种情况． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵点不在内， ∴点在上或外， ∴，即的长不小于． 9．已知的半径r为4，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在的外部 B．点P在上或点P在的外部 C．点P在上或点P在的内部 D．点P在的内部 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系和解一元二次方程，先解方程求出d的值，再根据点与圆位置关系的判定规则判断点P的位置即可。 【详解】∵解方程， 因式分解得， ∴， ∵的半径， 当时，， ∴点P在内部． 当时，， ∴点P在上． ∴点P在上或点P在的内部． 故选：C． 【题型3·利用点与圆的位置关系求半径】 10．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 11．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 12．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 13．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 14．如图，矩形ABCD中，，，点P是平面内一点，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2.5 【答案】B 【分析】根据题意，分别以为圆心的长为半径，作，作的垂直平分线，则符合题意的点，在以及的垂直平分线上，根据点到圆的距离即可求得的最小值 【详解】如图，分别以为圆心的长为半径，作，作的垂直平分线，则符合题意的点，在以及的垂直平分线上， 当位于的延长线与的交点时，取得最小值， 四边形是矩形，，， ，则最小值为1 故选B 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，根据题意作出两圆一线是解题的关键． 【题型 4··利用圆的基本性质求角度】 15．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴ ． 16．如图，在含的直角三角板中，以点为圆心，为半径作弧，交边于点，，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中垂线的性质知，从而得，，进而得出答案． 【详解】解：连接， 由尺规作图可得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在含的直角三角板中，， ∴ 17．如图，是的直径，点C、D在上， ，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义求得的度数，再根据平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质得，最后由三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 19．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可． 【详解】方法一、如图，连接，    ∵点是的外心， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 方法二、如图，    ∵点是的外心， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用． 【题型 5·利用圆的基本性质求最值】 20．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 21．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由 ，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 22．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离． 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部），作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时有最小值，最小值为，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，， 如图，连接， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， ， 点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部）， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， ， ∴此时有最小值，最小值为， ，， ， 的最小值为9， 故选：B． 23．如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求圆外一点到圆上一点的最值，根据，得到点在以为直径的上，利用一箭穿心模型，得到三点共线时，的值最小，为，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上， 连接，则：，，    当三点共线时，的值最小， 连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故选A． 24．如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 【答案】A 【分析】取点，连接，连接交于E，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，取点，连接，连接交于E，   是的中点，O是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， 当点P与点E重合时，最小为， 的最小值为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $