3.1.1 圆的有关概念（第1课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“圆的有关概念”为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到实际应用的递进，强化抽象能力与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|圆的定义、弦、弧等概念|以辨析题为主，如判断“直径是弦”等命题，培养抽象能力| |技能应用|弦的计数、周长面积计算、点与圆位置关系|结合图形与计算，如“求过圆内一点的最长弦”，发展运算能力| |综合拓展|最值问题、位置关系综合解答|通过折叠、动点等情境，如“折叠矩形求线段最小值”，提升推理意识与应用能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.1.1圆的有关概念（第1课时) 圆的基本概念辨析 求圆中弦的个数 过圆内一点的最长弦 0基础达标题 圆的周长相关计算 圆的面积相关计算 判断点与圆的位置关系 利用点与圆的位置关系求半径 。圆的有关概念 圆中最值问题 ②能力提升题 点与圆的位置关系解答综合 ③拓展培优题 高分冲刺题型 基础达标题 题型一：圆的基本概念辨析 1.（2026九年级上四川南充专题练习)下列说法中，正确的是() A.圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B.圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C.弦是直径 D.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 2.(25-26九年级上·广东深圳阶段检测)下列说法正确的是() A.任意两点之间的部分叫做弦 B.长度相等的两条弧是等弧 C.圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D.圆上任意两点之间的部分叫做弧 1/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2526九年级上.宁夏固原期中)下列命题中，正确的是() ①半圆是弧：②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆：④在同圆或等圆中，直径是最长 的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②④⑤ 4.有下列说法：①直径是弦；②弦是直径：③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中正确的说法有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(25-26九年级上黑龙江大庆阶段检测)在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形.这是应用 了圆特征中() A.圆心决定圆的位置 B.半径决定圆的大小 C.同圆中的半径都相等 D.同圆中直径是半径的2倍 6.（25-26九年级上河南周口期中)下列说法正确的是() A.相等的圆心角所对的弧相等 B.半圆是弧，但弧不一定是半圆 C.长度相等的两条弧是等弧 D.圆的切线垂直于半径 题型二：求圆中弦的个数 1.(25-26九年级上北京期末)如图所示，点A,O,D,点C,D,E以及点B,O,C分别在一条直线 上，则圆中弦的条数为() B A.2 B.3 c.4 D.5 2.(2025湖南张家界.一模)如图，在⊙O中，点A,O,D在一条直线上，点B,O,C在一条直线上， 那么图中有弦() 2/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B E D A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.如图，在⊙O中，弦的条数是() D A B A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 4.(25-26九年级上河南周口期末)若⊙O的直径长为4，点A,B在⊙O上，则AB的长不可能是( A.2 B.3 C.4 D.5 5.(24-25九年级上河南周口·期末)若A,B是半径为4的⊙O上的两个点，则弦AB的长不可能是 () A.2 B.6 C.8 D.10 6.⊙O的半径为2cm,A为⊙O上一定点，点P在⊙O上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦AP的 长度为整数的点P共有个. 题型三：过圆内一点的最长弦 1.(25-26九年级上江苏泰州期末)在平面直角坐标系xOy中，以点C(1,0)为圆心，半径为2作⊙C, 直线y=kx+1交⊙C于A、B两点，若AB=4,则k的值为 3/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25九年级上·河北唐山期中)⊙O外一点P到圆周上一点的最长距离为8cm,最短距离为2cm, 则⊙O的直径长为 cm. 3.（24-25九年级上贵州期中)P是⊙O内任意一点.若圆的半径为1，则经过点P的弦的长度可以是 (写一种即可) 4.(2025江苏淮安模拟预测)如图，已知线段AB=4,点P是平面内一点，且∠APB=60°，则 △ABP的周长最大值是 题型四：圆的周长相关计算 1.(25-26九年级上上海阶段检测)一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是12.56厘米， 那么圆的直径是 厘米（π取3.14）. 2.(25-26九年级上湖南长沙自主招生)钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过厘米（π取 3.14). 3.(24-25九年级上·辽宁本溪开学考试)一个400米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行200 米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移米. 4.（25-26九年级上上海·期中)小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图)·这个新图 形的周长与半圆周长相比() 半圆 新图形 A.半圆周长更长 B.新图形的周长更长 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.一样长 D.无法比较. 5.（25-26九年级上上海静安期中)一个圆形花坛，周长是9.42m,在距花坛边0.5m的外面围上一圈栏 杆，栏杆的长（π取3.14）() A.9.42m B.10.42m c.12.56m D.15.7m 6.(25-26九年级上·江苏镇江·期末)如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体 大圆的周长)，然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时 绳子与球体表面之间出现均匀的空隙.假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进 行上述操作.那么，绳子与球体表面之间的空隙距离() A.地球的空隙更大 B.篮球的空隙更大C.一样大D.无法确定 题型五：圆的面积相关计算 1.（25-26九年级上浙江台州期末)如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点A是其圆心，毛刷BC 绕点B转动，⊙A面积比⊙B面积大200π平方厘米，若点C在⊙A外经过的路径为半圆，则AB为() 厘米 A.10V2 B.15 c.10V3 D.20 2.(25-26九年级上上海·期中)如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行 四边形，如下图所示.已知平行四边形的底是15.7cm,那么圆形茶杯垫片的面积是 cm2.(π取 3.14) 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 沿线剪开 15.7cm 3.（2026湖南三模)如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径 与正方形的对角线之比是3：1，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是 图1 图2 4.（2026河南信阳一模)园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法.如图是一面墙和墙中间一个圆 拱门的示意图，墙高2.5m,长6m,门为圆形的一部分，圆的半径为1m,圆与地面的交界处AB宽V2m, 则墙的面积为m2. B 5.(25-26九年级上·江苏扬州期中)圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动4Cm,水 平位置的直径向下移动5Cm,把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为S1,S2,S3, S4则S2+S,-S+S4= cm2 ① ② ●0 ③ ④ 6.(25-26九年级上上海普陀阶段检测)·已知图1、图2中两个半圆的半径相等，O1、O2分别是两圆 的圆心，图1中的阴影部分面积为S1,图2中的阴影部分面积为S2,那么S1与S2之间的大小关系是S1 -S 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 01 02 图1 图2 7.(25-26九年级上湖北荆州期末)如图，在一个长方形休闲广场的中央设计一个圆形的音乐喷泉，若 圆形音乐喷泉的半径为r米，广场的长为α米，宽为b米，则广场空地的面积为平方米（结果用含 a,b,r的代数式表示). a 8.(25-26九年级上广东揭阳期中)如图，M、N是表示两个曲边形的面积，那么MN的大小关系是 M 题型六：判断点与圆的位置关系 1.(25-26九年级上山东潍坊·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.分别以B、C为圆 心，BC长为半径作圆B、圆C,下列关于点A的位置描述正确的是() A.在圆B外部，在圆C外部 B.在圆B外部，在圆C内部 C.在圆B内部，在圆C内部 D.在圆B内部，在圆C外部 2.(2026贵州遵义模拟预测)如图，在直角△ABC中，CD为斜边AB上的中线，以点D为圆心，以AB 为直径作⊙D,则点C与⊙D的位置关系为() 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.点C在圆外B.点C在圆内 C.点C在圆上 D.不能确定 3.(25-26九年级上广东韶关期末)如图，A,B,C是小区内的三栋楼，现准备在B,C的中点D处建造 一个5G基站，若其覆盖范围是一个半径为200m的圆，则这三栋楼在该5G基站覆盖范围内的是() 390m 150m B 360m A.只有B B.只有A、B C.只有B、C D.A、B、C 4.(2026河南周口.二模)已知⊙O的直径为2cm,点M不在⊙O内，则OM的长() A.大于1cmB.不小于1cm C.大于2cm D.不小于2cm 5.(25-26九年级上河南周口期末)已知⊙O的半径为5cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P与 ⊙O的位置关系是() A.点P在圆上B.点P在圆内 C.点P在圆外D.无法确定 6.(25-26九年级上湖北恩施期末)如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，一条 圆弧经过A,B,C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是() A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.在圆内或圆上 7.(25-26九年级上湖北武汉阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6cm, 以点C为圆心，以3Cm的长为半径作圆，则点A与⊙C的位置关系是() B A.点A在⊙C外 B.点A在⊙C上 C.点A在⊙C内 D.以上都有可能 8.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CP, CM分别是AB上的高线和中线.如果是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是 8/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () PM A.点P,M均在⊙A内 B.点P,M均在⊙A外 C.点P在⊙A内，点M在⊙A外 D.以上选项都不正确 题型七：利用点与圆的位置关系求半径 1.(25-26九年级上河北邯郸期末)点P、Q与⊙O的位置关系如图所示，若OP=8,OQ=6,则⊙O 的半径可能是() A.3 B.5 c.7 D.9 2.(25-26九年级上河北保定.期末)点P是⊙O外一点，⊙O的半径是11cm,则OP的长可能是() A.4cm B.8cm C.10cm D.12cm 3.(25-26九年级上，安徽宿州期末)平面上的一点和⊙O的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这 个圆的半径是() A.7cm B.3cm或5cm C.3cm或7cm D.5cm或7cm 4.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=7,点D在 边BC上，且BD=3,连接AD.以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A,B,C中只有2个点在圆内，则r 的值可能为() B D A.3 B.4 C.5 D.6 9/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上山东济宁期中)已知一个点到圆上的点的最大距离是5cm,最小距离是1cm,则这 个圆的半径是(). A.3cm B.2cm C.3cm或2cm D.不能确定 6.(24-25九年级上浙江宁波阶段检测)点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r 满足() A.0<r<6 B.0<r≤6 C.r>6 D.r≥6 B 能力提升题 题型一：圆中最值问题 1.(25-26九年级上，安徽滁州期末)如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,∠ABC=60°，E为BC的 中点.点D在平面内运动，且满足AD=2,取BD的中点F,连接EF,则EF的最大值与最小值的和是 () B 37 A.6 B.2V7 c.213 D. 2 2.(2026黑龙江绥化三模)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E在AD边上且AE=1,点F为 直线AB上一动点，连接EF,将△AEF沿着折痕EF折叠，得到△AEF,动点P在BC边上，连接PA, 则PA+PD最小值是 3.正△ABC的边长为4，⊙A的半径为2，D是⊙A上动点，点E在CD上且CE=号CD,则BE的最大值 10/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 D 4.如图，已知⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，连接AC,BC.若D,E分别是AB, BC的中点，则DE的最大值为 E Q D B 5.(2025上海模拟预测)如图，以边长为1的正方形OPQR的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过 点Q,圆P、R均和圆O内切.设圆P、R上任意两点之间的距离是d,则d的最大值是 题型二：点与圆的位置关系解答综合 1.(25-26九年级上河北廊坊期中)在平面直角坐标系xOy中，如果点A的坐标为x,y,点B的坐标为 2x+2,2y-2,则称点B为点A的“亲情点” 11/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 5引 4 C 2 2 D -5-4-32-101245x 5-4-3-2-@2345x -2 2 -4 -4 图1 图2 (1)如图1，如果⊙O的半径为3+1. ①请你判断M2,1,N-1,2两个点的“亲情点”与⊙O的位置关系： ②设⊙O与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D,C.若点Pa,a+2的“亲情点”P在直线CD上， 求a的值： (2)如图2，如果⊙O的半径为1，且Q-2,3的“亲情点”为Q,求点Q到⊙O上任一点距离的最小值， 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,以点C为圆心作圆. (1)若以4为半径，判断A,B两点与⊙C的位置关系， (2)若以3为半径，判断A,B两点与⊙C的位置关系. (3)若以2.4为半径，判断B,D两点与⊙C的位置关系. 3.（25-26九年级上·浙江杭州阶段检测)阅读下列材料： 平面上两点P1X,yP2x2,y2之间的距离表示为P,P,=x1-x+y,-y2, 称为平面内两点间 的距离公式，根据该公式，设Px,y是圆心坐标为Ca,b、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条 件可表示为x-a+y-b=r:变形可得：(x-a+y-bP=r2,我们称其为圆心为ca,b半径为 r的圆的标准方程.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题. ()圆的标准方程x-1?+y-2P=25:则它的圆心是 ,半径是 (2)圆心为C-3,4,半径为2的圆的标准方程为： (3)若已知。C的标准方程为：(x-2?+y=2:圆心为C,请判断点A3,-1卢⊙C的位置关系并说明理 12/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由. 4.(24-25九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4, AD是高线，AE是中线. B D (1)以点A为圆心，3为半径作圆A,则点B,D,C与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A,使B,D,C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径 的取值范围？ 拓展培优题 1.(2026河北邯郸.二模)将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min) 之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为() y(m) 70 器 3 5 234681012x(min) A.70m B.32.5m c.35m D.40m 2.(2026浙江温州.二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以C为圆心，BC长为半径作弧，交 BC延长线于点D,交AB于点E,连接DE,交AC于点F.若∠B=59°，则∠AFD的度数为() 13/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.108° B.118o C.121° D.131° 3.（2026山东淄博一模)如图，⊙O上有两点M和N若点N在圆上匀速运动一周，那么弦MN的长度 y与时间t的关系可能是下图中的() ① ④ A.① B.③ C.①或③ D.②或④ 4.（2026山东德州一模)如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练， 已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是() A.2米 B.10米 C.20米 D.25米 5.(25-26九年级上黑龙江哈尔滨期末)如图，点C在线段AB上，AC=2BC,以AB,AC,BC为 直径的三个圆的面积分别为，S,S,财的值为( 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 83 c 6.(2026云南保山一模)已知⊙O的半径为7cm.若点P到圆心0的距离为10cm,则() A.点P在⊙O上B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法判断 7.(25-26九年级上山东聊城期末)已知正方形ABCD边长为2，分别以顶点A,B,C,D为圆心作四 个等圆，若这四个等圆能完全覆盖正方形ABCD,则所作等圆的最小半径是() A.1 B.V2 C.2 D.22 8.一个圆形花坛的周长是25.12米，这个花坛的面积是 平方米. 9.(25-26九年级上.湖北宜昌·期末)在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域C中”记作事件 W,若事件W的概车P。 ,则区域C的半径为_cm. 10.(24-25九年级上江苏南京期中)⊙O的半径是5cm,同一平面内，若点P到点0的距离是6cm, 则点P与⊙O的位置关系为 11.(25-26九年级上广东惠州期中)团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社团组织 学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为900c.完成扇面后，需对扇面边缘用缎 带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（π取3）， (1)圆形团扇的半径为cm,正方形团扇的边长为Cm; (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短. 12.(25-26九年级上上海金山阶段检测)一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周.如 图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（π取3.14）· 15/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20dm (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 16/16 3.1.1 圆的有关概念（第1课时） 题型一：圆的基本概念辨析 1．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②进行判断；根据三点确定一个圆的条件对③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 4．有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，解题关键是掌握圆的基本概念． 根据圆的基本概念判断各说法的正确性：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， ∴①正确； ∵弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心， ∴②错误； ∵半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧， ∴③正确； ∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧， ∴仅长度相等不一定是等弧， ∴④错误； ∵半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆， ∴⑤正确． ∴正确的说法有①、③、⑤，共3个， 故选：C． 5．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，圆上各点到圆心的距离相等．人们围成圆形是为了使每个人到舞台（圆心）的距离相等，从而获得相同的观看体验，这利用了同圆中所有半径相等的性质． 【详解】解：∵ 在同圆中，所有半径都相等， ∴ 当人们围成圆形时，每个人到圆心的距离相等， ∴ 这是应用了同圆中半径都相等的特征． 故选：C． 6．（25-26九年级上·河南周口·期中）下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 题型二：求圆中弦的个数 1．（25-26九年级上·北京·期末）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 2．（2025·湖南张家界·一模）如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 3．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的弦长范围，熟练掌握“圆上两点间的弦长最大值为直径”是解题的关键． 根据圆的直径明确圆上弦的长度范围，从而判断选项． 【详解】解：∵ 的直径长为4，点A，B在上 ∴ 弦的长满足，选项A、B、C都满足条件， ∵ 选项D中， ∴ 选项D不符合条件． 故选：D． 5．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 6．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 题型三：过圆内一点的最长弦 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 3．（24-25九年级上·贵州·期中）是内任意一点．若圆的半径为1，则经过点的弦的长度可以是__________．（写一种即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了弦的性质，由是内任意一点，圆的半径为1，可得经过点的弦长的取值范围，即可得出答案，注意答案不唯一． 【详解】解：∵是内任意一点，圆的半径为1， ∴经过点的弦的长， ∴经过点的弦的长度可以是1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 _______． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 【详解】解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 题型四：圆的周长相关计算 1．（25-26九年级上上海·阶段检测）一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是厘米，那么圆的直径是___________厘米（取）． 【答案】16 【分析】本题考查了正方形周长公式和圆的周长公式，解题的关键是根据题意建立等量关系．先根据正方形周长公式求出正方形的周长， 由题意得正方形周长等于圆的周长，再利用圆的周长公式计算出圆的直径即可． 【详解】解：正方形的周长为：， 因此圆的周长为厘米，设圆的直径为，根据圆的周长公式，可得： ， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·自主招生）钟面上分针长4厘米，1小时它的尖端经过_____厘米（取3.14）． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式，根据分针经过1小时正好走了一周，形成一个半径为4厘米圆，求圆的周长即可． 【详解】解：∵分针经过1小时正好走了一周，形成一个半径为4厘米圆， ∴（厘米）． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁本溪·开学考试）一个米一周的标准跑道，如果跑道的宽度为1米，进行米比赛时，起跑时第二道比第一道向前移____米． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的周长公式的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 我们需要求出两个半圆弯道的长度差，也就是第二道比第一道在弯道部分多跑的距离，这个距离就是起跑时第二道比第一道向前移的距离． 【详解】解：圆的周长公式为，那么半圆的周长就是， ∵跑道一周400米，进行200米比赛， ∴比赛跑半圈， 第一道弯道（半圆）的长度：， 第二道弯道（半圆）的长度，， 两者的长度差为：， 取，所以长度差约为米， 故答案为：． 4．（25-26九年级上上海·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 5．（25-26九年级上上海静安·期中）一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 题型五：圆的面积相关计算 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的面积，勾股定理，解题的关键是确定点的轨迹．设的半径为，的半径为，根据面积比面积大平方厘米，列式可得，再根据点在外经过的路径为半圆，可得，进而可求得的长． 【详解】解：设的半径为，的半径为， 根据题意得，即， ， 点在外经过的路径为半圆， 点的轨迹为以点为圆心，半径为的半圆，，， ∴， 如图所示，    ，即， ，解得（负值已舍去）， 故选：A． 2．（25-26九年级上上海·期中）如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 3．（2026·湖南·三模）如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之比是，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________． 【答案】 【分析】设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中，分别表示出圆的面积和正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径与正方形的对角线之比是， ∴设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中， ∴圆的面积， 正方形的面积， ∴． 4．（2026·河南信阳·一模）园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为________． 【答案】 【分析】设圆心为，连接，过点作于点，求得，得到是等腰直角三角形，得出，再通过面积法求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接，过点作于点，如图： ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴大扇形的面积为：， ， ∴墙的面积为：． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）圆是最美的对称图形之一，将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，，，．则________． 【答案】80 【分析】利用中心对称的性质将圆分成9个部分，再利用各部分之间面积的和差关系将所求的面积转化为规则图形的面积即可． 【详解】解：作圆竖直位置的直径向右移动，水平位置的直径向上移动， 如图所示： 由对称性可知：、、， 则 ． 6．（25-26九年级上上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 7．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，在一个长方形休闲广场的中央设计一个圆形的音乐喷泉，若圆形音乐喷泉的半径为r米，广场的长为a米，宽为b米，则广场空地的面积为______平方米（结果用含a，b，r的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了长方形和圆的面积计算，组合图形面积的求解及代数式的表示，先分别计算长方形广场和圆形音乐喷泉的面积，再用长方形面积减去圆形面积得到广场空地的面积． 【详解】解：由题意知，长方形广场的面积为（平方米）， 圆形音乐喷泉的面积为（平方米）， 广场空地的面积为：（平方米）， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 题型六：判断点与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 3．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【答案】C 【分析】由题意画出图形，根据勾股定理的逆定理求出，再利用勾股定理求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：如图，点O是的中点， ∴， ∵，，， 而， ∴， 在中，，， ∴ 即， 又∵， ∴点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部． 4．（2026·河南周口·二模）已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【答案】B 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合点与圆的位置关系判断的长度范围，点不在圆内包含点在圆上和点在圆外两种情况． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵点不在内， ∴点在上或外， ∴，即的长不小于． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在内． 故选：B． 6．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质． 根据30度角的直角三角形的性质，得，再与半径比较即可作答． 【详解】解：在中，，，， 设，则， 又，即， 解得， ， 即点A在外． 故选：A． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可． 先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， ，， ，， 点在内、点在外． 故选：C． 题型七：利用点与圆的位置关系求半径 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解： 的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有2个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵点中只有2个点在圆内，， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东济宁·期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（    ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内还是圆外分类讨论是解题关键． 设这个点到圆心距离为，圆的半径为．当这个点在圆外时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为；当这个点在圆内时，其到圆上一点的最小距离为，最大距离为，分别计算出结果即可． 【详解】设圆的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ． ∵ 点 到圆上点的最大距离为 ，最小距离为 ． 情况一：点 在圆外时， 有 ，， ∴ 两式相加：，， 代入 ，得 ； 情况二：点 在圆内时， 有 ，， ∴ 两式相加：，． 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 题型一：圆中最值问题 1．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、点的轨迹（圆）以及线段最值问题．掌握中位线性质将转化为，并利用点D在以A为圆心、为半径的圆上运动，通过几何位置关系求的最值是解题的关键． 【详解】解：如图1，作于G点， ∵，， ∴，， ∴，． ∵点D在平面内运动，且满足， ∴点D的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上， 图2中最小等于， 图3中最大等于， ∴则的最大值与最小值的和是， 故选B． 2．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 【答案】4 【分析】由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 3．正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接、，根据题意得，根据等边三角形的性质得到，，，根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理得到，再根据两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵的半径为，是上动点， ∴， ∵正的边长为，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 4．如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理与圆的性质，解题核心是利用中位线定理将与建立数量关系，再结合“圆中最长的弦是直径”确定的最大值，从而求出的最大值． 根据三角形中位线定理可得，所以当最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线， ， 又是的弦， 的半径为， 直径为：， 因为圆中直径是最长的弦， 的最大值为， 当时， ， ， ， 即的最大值为． 故答案为： ． 5．（2025·上海·模拟预测）如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是_________． 【答案】 【分析】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接，延长交圆于C，求出圆P和圆R的半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值． 【详解】如图，连接，延长交圆于C， 由圆O和圆P内切知C点即为切点， ∴， 连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B， 则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值， ∴ ， 故答案为：． 题型二：点与圆的位置关系解答综合 1．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为，点B的坐标为，则称点B为点A的“亲情点” (1)如图1，如果的半径为． ①请你判断，两个点的“亲情点”与的位置关系； ②设与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于点D，C．若点的“亲情点”在直线上，求a的值； (2)如图2，如果的半径为1，且的“亲情点”为，求点到上任一点距离的最小值． 【答案】(1)①点在外，点在内；② (2) 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆上一点的最值问题，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据“亲情点”的定义可得，，即可求解； ②求出直线的解析式，根据“亲情点”的定义可得为，再由点在直线上，即可求解； （2）根据“亲情点”的定义可得的坐标为，可得到点到圆心O的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，点M的“亲情点”为，点N的“亲情点”为， ，， 点在外，点在内； ②设直线的解析式为，将和代入 ， 解得：， ， 根据题意得：点的“亲情点”为， 点在直线上， ， 解得； （2）解：∵的“亲情点”为， ∴的坐标为， 点到圆心O的距离为， 点与上任意一点的最短距离是． 2．如图，在中，，，，于点，以点为圆心作圆． (1)若以4为半径，判断，两点与的位置关系． (2)若以3为半径，判断，两点与的位置关系． (3)若以2.4为半径，判断，两点与的位置关系． 【答案】(1)点在上，点在内 (2)点在外，点在上 (3)点在外，点在上 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、等面积法，牢记点与圆的位置关系是解题关键． （1）将和分别与做比较，即可判断两点与的位置关系； （2）将和分别与做比较，即可判断两点与的位置关系； （3）利用勾股定理可求，再根据等面积法求，将和分别与做比较，即可判断两点与的位置关系． 【详解】（1）解：， 点在上． ， 点在内． （2）解：， 点在外． ， 点在上． （3）解：，，， ． ， ， ． ， 点在外． ， 点在上． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）阅读下列材料： 平面上两点，之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设是圆心坐标为、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：，我们称其为圆心为，半径为r的圆的标准方程．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． (1)圆的标准方程，则它的圆心是________，半径是________． (2)圆心为，半径为2的圆的标准方程为：____________； (3)若已知的标准方程为：，圆心为C，请判断点与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)，5 (2) (3)点A在的内部，理由见解析 【分析】本题考查两点距离公式，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． （1）先设圆上任意一点的坐标，根据圆的标准方程公式求解即可； （2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，，点在圆外，，点在圆上，，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系． 【详解】（1）∵圆的标准方程，其中为圆心，为半径。 ∴，圆心为，半径。 故答案为：，5 （2）解：设圆上任意一点的坐标为， ∵，半径为2 ∴， 故答案为； （3）∵的标准方程为：， ∴圆心坐标为，， ∵点，AC= ∴点A在的内部． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 1．（2026·河北邯郸·二模）将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． 2．（2026·浙江温州·二模）如图，在中， ，以为圆心，长为半径作弧，交延长线于点，交于点，连接，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质求出和的度数，进而得到的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，最后利用三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． 3．（2026·山东淄博·一模）如图，上有两点M和N，若点N在圆上匀速运动一周，那么弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的（   ） A．① B．③ C．①或③ D．②或④ 【答案】C 【分析】观察图像可知，N点的运动轨迹可以分为顺时针运动、逆时针运动两种情况，再结合运动过程中弦的长度变化进行分析，即可解题． 【详解】解：由图中可知：长度y是一开始就存在的，如果点N顺时针运动，那么长度y将逐渐变大；当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，则运动图象为①； 如果点N逆时针运动，那么长度y将逐渐变小；当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，则运动图象为③； 弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的①或③． 4．（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的比例，圆的面积公式，得到各圆半径是解题的关键． 设，则，，再根据圆的面积公式的计算求解即可． 【详解】解：设， ， ，， 则，，， ． 故选：C． 6．（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期末）已知正方形边长为2，分别以顶点A，B，C，D为圆心作四个等圆，若这四个等圆能完全覆盖正方形，则所作等圆的最小半径是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质及圆的覆盖问题，要确定能完全覆盖正方形的四个等圆的最小半径，需找到正方形内到四个顶点距离最大的点，该点到顶点的距离即为最小半径，此点为正方形的中心，利用勾股定理计算中心到顶点的距离即可． 【详解】解：设正方形的中心为点O， ∵正方形边长为2， ∴由勾股定理得，对角线的长度为， ∵正方形的中心O是对角线的中点， ∴， ∵要使四个等圆完全覆盖正方形，圆的半径必须大于或等于正方形内任意一点到其最近顶点距离的最大值， ∴正方形内任意一点到四个顶点的距离最大值为中心点O到顶点的距离为， ∴当等圆半径为时，四个等圆可完全覆盖正方形，且此为最小半径， 故选：B． 8．一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，再将半径代入圆的面积公式计算得到花坛的面积． 【详解】解：取，根据圆的周长公式，计算圆形花坛的半径： 米， 再根据圆的面积公式，计算圆形花坛的面积： 平方米． 9．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 设区域的半径为，区域的面积为，即可得. 【详解】解：由图可知最大的圆的面积为， 设区域的半径为，区域的面积为， ∵把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率， ∴ ，解得， 故答案为：2． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 11．（25-26九年级上·广东惠州·期中）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示（取3）． (1)圆形团扇的半径为________，正方形团扇的边长为_______； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形扇面所用的包边长度更短，理由见解析 【分析】（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）设圆形团扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得：，， ， ，， ； （2）圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：， ， ， ， 圆的周长较小，即圆形扇面所用的包边长度更短． 12．（25-26九年级上上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $