第四章 图形与坐标（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材浙教版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章 图形与坐标·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将线段平移后，点的对应点的坐标为， ∴平移规则为先向左平移个单位，再向上平移5个单位， ∴点的对应点的坐标为，即. 2．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 3．五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标系确定位置，根据题意建立适当平面直角坐标系进行求解是解决本题的关键．根据题意白棋①的位置是，黑棋②建立坐标系可确定原点的位置，依据题目所给规则进行判定即可得出答案． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在或位置就胜利了． ∴小明、小亮均正确， 故选：A． 4．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形及已知点坐标，分别找出下标为奇数和偶数时点的坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 归纳可得：当为正整数时，点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标符合的规律，其中， 点的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 5．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点．点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即得． 【详解】解：，， ， ， ，， ，， ，， …， 观察发现， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴点的坐标是． 6．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，线段平移得到线段，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到线段，即可得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：平移前后点对应点，点对应点， 线段先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到线段， ，， ， 故选：A． 7．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，过点作轴于，利用正方形的性质和同角的余角相等证明，根据全等三角形对应边相等求出和的长，再根据点所在的象限写出坐标即可． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， 点E的坐标为， ， ， 点在第二象限， ∴点的坐标为． 8．（25-26八年级下·山东济南·期中）将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“t型平移”的定义，得出关于t的不等式组，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知，点A和点B进行“t型平移”后对应点的坐标分别为和， ∵线段进行“t型平移”后与y轴有公共点， ∴点A和点B“t型平移”后的对应点在y轴两侧（包括y轴上）， ∵， ∴， 解得：. 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 10．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】通过题意画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 有2个整点， 图1有3个整点， 图2有4个整点， 图3有6个整点， ∴甲、丙答案合在一起才完整，故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，已知矩形的各边分别平行于轴或轴，一只电子狗从点出发，沿矩形的边按逆时针方向以2个单位/秒作匀速环绕运动，则第2026秒电子狗所在点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的规律探究问题，解题的关键是先求出矩形的周长，确定电子狗运动的周期，再通过计算余数判断其位置． 先根据矩形顶点坐标求出各边长度，计算周长，结合速度求出运动一周的时间；再用总时间除以周期时间，根据余数判断电子狗的位置． 【详解】解：由图可知，矩形的顶点坐标为，，，． ，， 矩形周长为． 电子狗速度为个单位/秒，运动一周的时间为（秒）． ，即电子狗运动337周后，再运动秒． 从出发，运动秒的路程为个单位． 从到运动的路程为:,故再向右运动1个单位的位置为． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·上海·期中）定义：顶角顶点在坐标轴上的等腰三角形叫做“顶好△”，已知：平面直角坐标系中、，顶好的顶点C的坐标是________． 【答案】或/或 【分析】根据题意分情况进行讨论：点C在x轴和点C在y轴上，利用勾股定理设未知数列出方程求解即可． 【详解】解：由题意知，顶点C在坐标轴上，此时分情况讨论： ①当点C在x轴上， 设顶点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴顶点C的坐标为； ②当点C在y轴上， 设顶点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴顶点C的坐标为， 综上所述，顶点C点的坐标是或． 13．（25-26八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且是等腰直角三角形，则点的坐标为_____．（写出所有满足条件的点） 【答案】或或 【分析】分类讨论，当点为直角顶点时，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点，利用一线三直角模型容易证明，则，，从而得到点的坐标；当点或点为直角顶点时，使用同样的方法构造一线三直角模型，证明全等后得到等量关系，求出点的坐标． 【详解】解：①当点为直角顶点时，如图，作于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 根据题意，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， 同理①可得，， ∴，， ∴点的坐标为； ③当点为直角顶点时，如图，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、，设点的坐标为， 同理①可得，， ∴，， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 14．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，，…，按图中的规律，的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点.通过计算 的长度发现 ，通过观察点的位置发现每8个点为一个循环周期，利用 除以 的余数确定 所在的坐标轴位置，进而得出坐标． 【详解】解：都是等腰直角三角形，，， ， 由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， 观察图形可知，点的位置每8个一循环，即 均在 轴负半轴上， ， 的位置与相同，在轴负半轴上， 的坐标为 ． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限内．当点在轴的正半轴上运动时，点随之运动．则点到原点的最大距离为_____． 【答案】 【分析】取的中点，连接、，根据三角形三边关系可知当、、三点共线时取得最大值，利用直角三角形斜边上的中线性质求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ， 在中，为的中点， ， ， 为直角三角形， 为的中点，， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，， 当、、三点共线时，取得最大值， 的最大值为． 16．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的动点，则PE+PC的最小值为________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的三线合一的性质，连接BE交AD于点P，此时PB＝PC，即可得到PE+PC的最小值即为BE的长． 【详解】 解：如图， 连接BE交AD于点P′， ∵△ABC是等边三角形，AB＝2，AD是BC边上的高，E是AC的中点， ∴AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线， ∴P′B＝P′C， P′E+P′C＝P′E+P′B＝BE， 根据两点之间线段最短， 点P在点P′时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长． BE＝＝， 所以P′E+P′C的最小值为． 故答案为． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A的坐标为． (1)将先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到，画出； (2)画出线段关于x轴对称的线段； (3) 为线段上任意一点，点P在线段和线段上的对应点分别为，请直接写出点的坐标（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）结合平移的性质，找出点，再依次连接，得出； （2）结合轴对称的性质，找出点，再依次连接，得出线段； （3）结合平移的性质，轴对称的性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：线段如图所示： 5分 （3）解：∵将先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到，线段关于x轴对称的线段，且为线段上任意一点，点P在线段和线段上的对应点分别为， ∴，． 8分 18．（8分）（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． 2分 ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 4分 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 8分 19．（8分）（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的顶点分别为，，， (1)作出关于x轴对称的图形，写出顶点D、E、F的坐标． (2)在坐标系中作出的重心P，保留作图痕迹． (3)在重心的综合实践活动中，同学们探索发现了三角形重心的一个重要性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，请据此性质，求出的面积． 【答案】(1)如图，即为所求，，，； (2) 如图，重心P即为所求； (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，重心的定义，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和重心的定义． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接即可； （2）找到边、的中点，作出边、边上的中线相交于点P即可； （3）先利用网格求出，则，再根据重心的性质得，则，进而得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据网格图形可知，， ∵O是的中点， ∴， ∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 20．（8分）（25-26八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，给出如下规定：对于平面内任意一点，将点P的横、纵坐标先乘以，再分别加上1，得到点，则称点Q是点P的变换点．如图，在正方形中，，；已知线段，，，其中． (1)当时，点E的变换点的坐标为________； (2)若点E的变换点的坐标是，则a的值为________； (3)若线段上所有点的变换点，都落在正方形的边上或内部，则h的最大值为________，a的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3)4； 【分析】（1）先求出，再根据变换规则求解即可； （2）先求出点E的变换点，结合已知条件列方程求解即可； （3）先根据变换规则得出变换后仍是竖直线段，，再根据正方形的坐标范围，，即可解答； 【详解】（1）解：当时，， 代入变换规则：横坐标：，纵坐标：， 因此变换点坐标为； （2）解：根据题意可得的变换点为，即， ∵点E的变换点的坐标是， ∴，解得：； （3）解：线段上所有点满足：，（）， 对任意点求变换点得：变换后横坐标恒为，纵坐标， ∴， 即变换后仍是竖直线段，， ∵正方形范围内要求，， ∴对：最大，∴，即的最大值为； 对：，即，解不等式组得． 21．（10分）（25-26八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，则称点是图形的“阶关联点”．已知点． (1)若点是点的“2阶关联点”，则点的坐标为___________； (2)若点是线段的“－2阶关联点”，则点的纵坐标的取值范围是___________； (3)若点是的“阶关联点”，点是点关于轴的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称相关知识，一次函数的性质，图形的“阶关联点”，解题的关键是理解题意． （1）根据图形的“阶关联点”定义直接计算即可； （2）根据图形的“阶关联点”定义，得到，结合线段纵坐标的范围求解即可； （3）根据题意， ，即等于的中点的纵坐标，根据当在上的顶点上时，求出此时的值，由此判断最大值或最小值，根据些取值是范围内连续的，求由得出结论． 【详解】（1）设点，由点是点的“阶关联点”，可得 ，解得， 因此，点的坐标为； 故答案为：； （2）设线段上一点， ，， ， 点是线段的“阶关联点”， ，即， ， ， 即； 故答案为：； （3）点是点关于轴的对称点，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，且， 点是的“阶关联点”， ∵上存在点，使得，， 即，即等于的中点的纵坐标， 由图可知：当在上的顶点上时，取最大值或最小值， 若当点在点时，、都在原点，，但不存在， 若当点在点时，中，或， 或， 若当点在点时，中，或， 或， 综上所述：是最小值，是最大值， 即：． 22．（10分）（25-26八年级上·湖北孝感·期末）综合与实践：学习轴对称、最短路径与匀质薄板的重心．如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系． (1)如图1，的顶点均在小正方形的格点上． ①作关于轴对称的，写出点的坐标； ②作关于轴对称的，写出点的坐标； ③点是轴上一动点，若的值最小，作出寻找点的过程（简写作法，并保留作图痕迹），则点的坐标为___________； (2)如图2，在平面直角坐标系中建立了一个由匀质薄板组成的“”形平面图形．则“”形的重心坐标为___________ 【答案】(1) ①如图,即为所求，； ②如图, 即为所求， ； ③如图， (2) 【分析】（1）①分别作出A、B、C三点关于轴的对称点、、，再顺次连接、、 即可得关于轴对称的，根据图像写出点的坐标即可； ②分别作出、、，三点关于轴的对称点、、，再顺次连接、、即可得关于轴对称的，根据图像写出点的坐标即可； ③作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P点．由图可知P点坐标． （2）将图形“”分割成长方形和长方形，找出长方形的重心和长方形的重心，作直线．再将图形“”分割成长方形和长方形，找出长方形的重心和长方形的重心，作直线，则直线与直线的交点即为图形“”的重心． 【详解】（1）①； ②； ③作A点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P点．由图知P点坐标为． （2）解：如图， 长方形的重心为，长方形的重心为，作直线，则图形“”的重心一定在直线上．长方形的重心为，长方形的重心为，作直线，则图形“”的重心一定在直线上．直线与直线的交点P即为图形“”的重心，由图知P点坐标为． 故答案为：． 23．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)分别作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）和直线（直线上各点的纵坐标都为）对称的图形和； (2)在直线上确定一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 解：如图所示，和 即为所求； (2) 解：如图所示，点P即为所求． 【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握轴对称性质，是解决本题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于直线m的对称点、、，关于直线n的对称点、、，连接点、、，连接点、、，得到和，即为所求； （2）连接交直线n于点P，连接，根据两点之间线段最短可知，此时最小，所以的周长最小． 【详解】（1）分别作出点A、B、C关于直线m的对称点、、，连接点、、，得到； 分别作出点A、B、C关于直线n的对称点、、，连接点、、，得到， 和 即为所求； （2）如图所示，连接，交直线n 于点P，连接， 此时的周长最小， 理由如下：由（1）知，点B、关于直线n对称， ， ， 根据两点之间线段最短， 可知最小， ∴的周长最小． 24．（12分）（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)点的坐标或或． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，可得点D的坐标，设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标，求出的面积，根据“的面积是的面积的”得到，设点的坐标为，进而根据三角形面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： 由折叠的性质得到， ，， ， ， 故直线与直线的位置关系是垂直； （2）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为， ∴， ∵的面积是的面积的， ∴， 设点的坐标为， ∴， 即， ∴， 解得：或． 即点P的坐标为或； （3）解：在第一象限内存在点Q，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点Q的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点Q的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点Q作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章 图形与坐标·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 3．五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 4．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点．点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，线段平移得到线段，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东济南·期中）将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，已知矩形的各边分别平行于轴或轴，一只电子狗从点出发，沿矩形的边按逆时针方向以2个单位/秒作匀速环绕运动，则第2026秒电子狗所在点的坐标是_____． 12．（25-26八年级下·上海·期中）定义：顶角顶点在坐标轴上的等腰三角形叫做“顶好△”，已知：平面直角坐标系中、，顶好的顶点C的坐标是________． 13．（25-26八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且是等腰直角三角形，则点的坐标为_____．（写出所有满足条件的点） 14．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，，…，按图中的规律，的坐标是_____． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限内．当点在轴的正半轴上运动时，点随之运动．则点到原点的最大距离为_____． 16．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的动点，则PE+PC的最小值为________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A的坐标为． (1)将先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到，画出； (2)画出线段关于x轴对称的线段； (3) 为线段上任意一点，点P在线段和线段上的对应点分别为，请直接写出点的坐标（用含a，b的式子表示）． 18．（8分）（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 19．（8分）（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的顶点分别为，，， (1)作出关于x轴对称的图形，写出顶点D、E、F的坐标． (2)在坐标系中作出的重心P，保留作图痕迹． (3)在重心的综合实践活动中，同学们探索发现了三角形重心的一个重要性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，请据此性质，求出的面积． 20．（8分）（25-26八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，给出如下规定：对于平面内任意一点，将点P的横、纵坐标先乘以，再分别加上1，得到点，则称点Q是点P的变换点．如图，在正方形中，，；已知线段，，，其中． (1)当时，点E的变换点的坐标为________； (2)若点E的变换点的坐标是，则a的值为________； (3)若线段上所有点的变换点，都落在正方形的边上或内部，则h的最大值为________，a的取值范围是________． 21．（10分）（25-26八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，则称点是图形的“阶关联点”．已知点． (1)若点是点的“2阶关联点”，则点的坐标为___________； (2)若点是线段的“－2阶关联点”，则点的纵坐标的取值范围是___________； (3)若点是的“阶关联点”，点是点关于轴的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 22．（10分）（25-26八年级上·湖北孝感·期末）综合与实践：学习轴对称、最短路径与匀质薄板的重心．如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系． (1)如图1，的顶点均在小正方形的格点上． ①作关于轴对称的，写出点的坐标； ②作关于轴对称的，写出点的坐标； ③点是轴上一动点，若的值最小，作出寻找点的过程（简写作法，并保留作图痕迹），则点的坐标为___________； (2)如图2，在平面直角坐标系中建立了一个由匀质薄板组成的“”形平面图形．则“”形的重心坐标为___________ 23．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)分别作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）和直线（直线上各点的纵坐标都为）对称的图形和； (2)在直线上确定一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 24．（12分）（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章 图形与坐标·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 3．五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是，②的位置是，现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在位置胜利；小亮认为黑棋放在位置胜利．下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 4．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点．点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，线段平移得到线段，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·山东济南·期中）将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）题目：“在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．将长为3，宽为2的长方形按如图所示的方式摆放(其中一条边与坐标轴平行)，并将其在第一象限内平移，求长方形内部(不含边界)的整点个数．”对于其答案，甲答：2个或3个，乙答：5个，丙答：4个或6个，则正确的是(     ) A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，已知矩形的各边分别平行于轴或轴，一只电子狗从点出发，沿矩形的边按逆时针方向以2个单位/秒作匀速环绕运动，则第2026秒电子狗所在点的坐标是_____． 12．（25-26八年级下·上海·期中）定义：顶角顶点在坐标轴上的等腰三角形叫做“顶好△”，已知：平面直角坐标系中、，顶好的顶点C的坐标是________． 13．（25-26八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且是等腰直角三角形，则点的坐标为_____．（写出所有满足条件的点） 14．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，，…，按图中的规律，的坐标是_____． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，，，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限内．当点在轴的正半轴上运动时，点随之运动．则点到原点的最大距离为_____． 16．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的动点，则PE+PC的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A的坐标为． (1)将先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到，画出； (2)画出线段关于x轴对称的线段； (3) 为线段上任意一点，点P在线段和线段上的对应点分别为，请直接写出点的坐标（用含a，b的式子表示）． 18．（8分）（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 19．（8分）（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，的顶点分别为，，， (1)作出关于x轴对称的图形，写出顶点D、E、F的坐标． (2)在坐标系中作出的重心P，保留作图痕迹． (3)在重心的综合实践活动中，同学们探索发现了三角形重心的一个重要性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，请据此性质，求出的面积． 20．（8分）（25-26八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，给出如下规定：对于平面内任意一点，将点P的横、纵坐标先乘以，再分别加上1，得到点，则称点Q是点P的变换点．如图，在正方形中，，；已知线段，，，其中． (1)当时，点E的变换点的坐标为________； (2)若点E的变换点的坐标是，则a的值为________； (3)若线段上所有点的变换点，都落在正方形的边上或内部，则h的最大值为________，a的取值范围是________． 21．（10分）（25-26八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，则称点是图形的“阶关联点”．已知点． (1)若点是点的“2阶关联点”，则点的坐标为___________； (2)若点是线段的“－2阶关联点”，则点的纵坐标的取值范围是___________； (3)若点是的“阶关联点”，点是点关于轴的对称点，当为等腰直角三角形时，直接写出的取值范围． 22．（10分）（25-26八年级上·湖北孝感·期末）综合与实践：学习轴对称、最短路径与匀质薄板的重心．如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系． (1)如图1，的顶点均在小正方形的格点上． ①作关于轴对称的，写出点的坐标； ②作关于轴对称的，写出点的坐标； ③点是轴上一动点，若的值最小，作出寻找点的过程（简写作法，并保留作图痕迹），则点的坐标为___________； (2)如图2，在平面直角坐标系中建立了一个由匀质薄板组成的“”形平面图形．则“”形的重心坐标为___________ 23．（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)分别作出关于直线（直线上各点的横坐标都为1）和直线（直线上各点的纵坐标都为）对称的图形和； (2)在直线上确定一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 24．（12分）（25-26八年级上·广东清远·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，使点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．直线与直线相交于点E． (1)判断直线与直线的位置关系，说明理由； (2)若点P是x轴上一动点，且的面积是的面积的，求出点P的坐标； (3)点Q在第一象限内，当为等腰直角三角形时，求出点Q的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第四章图形与坐标·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.C 2.A 3.A 4.A 5.D 6.A 7.C 8.A 9.A 10.B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-1,-1 13.3,6或7,4或4,3 14.-202,0 15.1+V2 16.3 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：△A1B1C1如图所示. (2)解：线段A2B2如图所示： 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5分 (3)解：，将△ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到△A1BC1,线段 AB关于x轴对称的线段A2B2,且Pa,b为线段AB上任意一点，点P在线段A1B1和线段A2B2上的对应 点分别为P1,P2, P,a-4,b+2P2a,-b 8分 18.(8分) 【详解】(1)解：①设点P-2,3的“美好点”为Qp,q, p=2×-2=-4 q=2×3-1=5 点P-2,3的“美好点”坐标是-4,5： 故答案为：-4,5) 点P的“美好点”的坐标是-4,5. 2分 ②设点P的坐标是a,b 根据“美好点”的定义可得乙 解得：乙 ∴.点P的坐标是3.5，-1 4分 (2)解：设点Pa,a+3的“美好点”为Qm,n, 根据“美好点”的定义可得，心， 即d 又.Q在x轴上 ∴.n=0 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a=-2.5 8分 19.(8分) 【答案】(1)如图，△i即为所求，D-4,-1,E4,-1,F6,-7: 2分 (2)如图，重心P即为所求： 4分 1 (3)解：根据网格图形可知，S△Aac=之×8x6=24, O是AB的中点， .SAAOC 号S6x=12, 2 ,重心到项点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1， .CP:PO=2:1, .CP:CO=2:3, SAAPC= 3 2×12=8, 即△APC的面积为8. 8分 20.(8分) 【详解】(1)解：当a=1时，E(1,1), 代入变换规则：横坐标：-1+1=0，纵坐标：-1+1=0， 因此变换点坐标为0,0)； 2分 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：根据题意可得E(a,1)的变换点为-a+1,-1+1),即(-a+1,0), ,点E的变换点的坐标是2,0， ∴.-a+1=2,解得：a=-1: 4分 (3)解：线段EF上所有点满足：x=a,1-h≤y≤1(h>0), 对任意点求变换点得：变换后横坐标恒为x=-a+1,纵坐标y=-y+1, .0≤y≤h, 即变换后仍是竖直线段x=1-a,0≤y≤h, ,正方形OABC范围内要求0≤X≤4,0≤y≤4， ∴.对y:最大y=h,.h≤4，即h的最大值为4： 对x:0≤1-a≤4，即 0≤1-a 1-a≤4，解不等式组得-3≤a≤1. 8分 21.(10分) 【详解】(1)设点Pa,b,由点P是点B2,-3的“2阶关联点”，可得 a=2 a=2 b-3=2×2解得6=7 因此，点P的坐标为2,7： 故答案为：2,7： 3分 (2)设线段AC上一点Qc,d, .A0,1,C4,0, ∴.0≤d≤1， .点Pa,b是线段AC的“-2阶关联点”， a=c b+d=2×-2 即b=-4-d' .0≤d≤1， ∴.-1≤-d≤0，-5≤-4-d≤-4 即-5≤b≤-4： 故答案为：-5≤b≤-4； 5分 (3),'点P2是点P1关于X轴的对称点，△P1OP2为等腰直角三角形， ∴.OP1=OP2,∠P1OP2=90°， 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠P1OC=∠P,OC=45° 3 3 1 -5-4-3-2-10 ￥1 3 5 设p,la,b则P,a,-b且a=c=b ,点P1是△ABC的“m阶关联点”， :△ABC上存在点Qc,d,使得a=c,b+d=2m, b+d 即m= 2， 即m等于P1Q的中点的纵坐标， 由图可知：当Q在△ABC上的顶点上时，m取最大值或最小值， 若当点Q在A点时，P、P,都在原点，m号但△P,OP,不存在 若当点Q在B(2,-3)点时，△P1OP2中，P1(2,2或P1(2,-2, m=-3+2-或m=-3-2-3 2 21 2 21 若当点Q在C(4,0)点时，△P10P2中，P1(4,4)或P1(4,-4), m含-2减m=之-2. 综上所述：m=一 号是最小值，m=2是最大值) 即： ms2. 5 10分 22.（10分) 【详解】(1)①B,-4,-2 ②C2-2,4 ③作A点关于x轴的对称点A3,连接A3B,与x轴的交点即为P点.由图知P点坐标为2,0. 4分 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图， .C G B 长方形AFDE的重心为O1,长方形FOBC的重心为O2,作直线O1O2,则图形“L”的重心一定在直 线O1O2上.长方形AOGE的重心为O3,长方形DGBC的重心为O4,作直线O3O4,则图形“L”的重心 一定在直线0,0，上.直线0，O,与直线0,0的交点P即为图形“L”的重心，由图知P点坐标 3,5 故答案为： 3,2 10分 23.(8分) 【详解】(1)分别作出点A、B、C关于直线m的对称点A、B、C,连接点A、B、C,得到 △ABC: 分别作出点A、B、C关于直线n的对称点A、B、C,连接点A、B、C,得到△ABC, △ABC和△ABC即为所求； 如图所示，△ABC和△ABC即为所求： yA m 6 5 4-3-2-10 34 56分 4分 (2)如图所示，连接BC,交直线n于点P,连接BP, 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 6-5-4321Q 23456 此时△PBC的周长最小， 理由如下：由(1)知，点B、B关于直线n对称， ∴.BP=BP, .BP+CP=B P+CP=B C, 根据两点之间线段最短， 可知BP+CB最小， .△PBC的周长最小. 8分 24.(12分) 【详解】(1)解：垂直，理由如下： 由折叠的性质得到∠ABC=∠ADC, .:∠BAO=∠DAE,∠AOB=90°， .∴.∠AED=∠AOB=90°， ∴.BE⊥CD 故直线AB与直线CD的位置关系是垂直； 2分 (2)解：在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A3,0,B0,4, ∴.OA=3,OB=4, 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=32+4=5: 由折叠的性质可知，AD=AB=5, ∴.OD=OA+AD=3+5=8, .点D的坐标是8,0， 设OC=m,则BC=OB+OC=4+m, 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠的性质可知，CD=BC=4+m, 在Rt△COD中，由勾股定理得：OC2+OD2=CD2, .m2+82=m+42, 解得：m=6,即OC=6, .点C的坐标为0，-6， 56o6×8=24 APAB的面积是AOCD的面积的号 1 SAm=Soc=8. 设点P的坐标为p,O, 3-p4=8 即3-p=4, .3-p=±4， 解得：p=-1或p=7. 即点P的坐标为-1,0或7,0： 6分 (3)解：在第一象限内存在点Q,使△QAB为等腰直角三角形；理由如下： ①当∠BAQ=90°，AB=AQ,则△QAB为等腰直角三角形， 如图，过点Q作QG⊥X轴于点G, .∴.∠QGA=ㄥAOB=90°， .∠BAQ=90, .∴.∠BAO+∠QAG=90, ,∠ABO+∠BAO=90°， 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABO=∠QAG, 在△AOB和△QGA中， ∠ABO=∠QAG ∠AOB=∠QGA AB=QA ∴.△AOB≌△QGA AAS, .∴.OA=QG=3,OB=AG=4, ∴.OG=OA+AG=7, .点Q的坐标为7,3； 8分 ②当∠ABQ=90°，BA=BQ,则△QAB为等腰直角三角形， 如图，过点Q作QH⊥y轴于点H, A 0 同理可证，△AOB≌△BHQ AAS, ∴.OA=BH=3,QH=OB=4, ∴.OH=OB+BH=7, ∴.点Q的坐标为4,7： 10分 ③当∠AQB=90°，QA=QB,则△QAB为等腰直角三角形， 如图，过点Q作QM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N, B D t.∠QNB=∠QMA=∠MQN=90 ∴.∠AQN+∠AQM=90°， .∠AQB=90, 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com ◆ 上好每一堂课 .∴.∠BQN+∠AQN=90°， ∴.∠AQM=∠BQN, 在△AQM和△BQN中，∠AQM=∠BQN,QA=QB,∠QMA=∠QNB, ∴.△AQM≌△BQN ASA, .∴.AM=BN,QM=QN, 设点Q的坐标为q,q, ∴.OM=ON=q, .BN=OB-ON=4-q,AM=OM-OA=q-3, ∴.4-q=q-3, 7 解得：q=2 则点。标号引 综上可知，第一象限内存在点Q使△QAB为等展直角三角后，点Q的丝标7,3或47成径， 12分 10/10