专题06 解一元一次方程的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三阶训练体系，系统提炼一元一次方程综合题的条件转化、结构识别、分类讨论核心方法，形成从基础变形到创新应用的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心框架|三大核心（条件转化、结构识别、分类讨论）+两条底线原则（运算法则、结果检验）|构建一元一次方程综合题通用解题范式| |题型归纳|4类题型（含典例+变式）|复杂方程五步法、绝对值方程零点分段法、参数问题代入法、新定义转化法|从基础变形到参数探究再到创新应用的递进逻辑| |压轴挑战|16道综合题|综合运用分类讨论、模型转化思想|衔接中考压轴题，提升数学思维与创新意识|

专题06 解一元一次方程的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 题型二、绝对值方程 题型三、已知一元一次方程的解，求参数 题型四、新定义方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次方程综合题（含复杂方程、绝对值方程、已知解求参数、新定义方程）是初中数学代数板块的高频重难点，所有特殊题型均围绕条件转化、结构识别、分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是变形过程必须严格遵循代数运算法则（如去括号法则、等式基本性质、绝对值非负性），二是运算结果必须准确求出未知数的值或参数取值，且所有解都要经过检验，确保符合题目要求。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 典例1 解方程： 题型模版 核心表述多样：题干常表现为“化简含字母的绝对值式子”（如 ）、“已知字母在数轴上解复杂一元一次方程题型模板 题型特征 结构复杂：方程中含有括号、分母、小数或分数系数，不能直接求解。 步骤繁多：需要先对原方程进行化简变形，转化为标准形式（ax+b=0）后再求解。 解题方法 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数（注意：不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要加括号）。 去括号：按先去小括号、再去中括号的顺序展开（注意符号变化，括号前是负号时，括号内各项要变号）。 移项：将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边（注意：移项要变号）。 合并同类项：将方程化简为 ax=b 的形式。 系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a，得出 x=b/a。 变式1-1解方程：． 变式1-2解下列方程： (1)． (2)． 变式1-3 解方程： (1)． (2)． 类型二、绝对值方程 典例2 先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 题型模版 题型特征 核心标志：方程中含有绝对值符号，未知数在绝对值内部。 分类依据：绝对值内的代数式值有正、负、零三种情况，需分情况讨论。 解题方法 找零点：令绝对值内的代数式等于0，求出未知数的值（即分界点）。 分情况：以零点为界，分“代数式≥0”和“代数式<0”两种情况讨论。 去符号： 当绝对值内代数式≥0时，直接去掉绝对值符号； 当绝对值内代数式<0时，去掉绝对值符号并给代数式添负号。 解方程：分别解两种情况下去掉绝对值后的一元一次方程。 验根：检验求出的解是否符合对应情况的前提条件，不符合的舍去。 变式2-1填空： （1）若，则______． （2）的最小值是______． （3）的最小值是______． （4）已知是常数，若式子的最小值是6，则的值为______． 变式2-2解方程： 类型三、已知一元一次方程的解，求参数 典例3 已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型模版 题型特征 已知条件：题目会明确给出方程的解（如“x=2是方程的解”）。 未知量：方程中含有一个未知的字母系数（参数，如a、m、k）。 求解目标：求出这个参数的值，或者求含该参数的代数式的值。 解题方法 代入：将已知的方程的解，直接代入原方程中。 列式：代入后，原方程会变成一个以该参数为未知数的一元一次方程。 求解：解这个新方程，求出参数的值。 计算：如果题目要求计算含参数的代数式的值，将求出的参数值代入计算即可。 变式3-1已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 变式3-2已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 变式3-3已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 类型四、新定义方程 典例 4若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 题型模版 题型特征 新定义规则：题目会给出一个课本中未出现的新概念、新运算符号（如“※”“△”）或新法则。 代数化表达：解题的核心是将题目给出的文字描述或图形规则，转化为含未知数的代数式。 方程求解：最终通常会结合已知条件，列出一个一元一次方程来求解未知数。 解题方法 读懂定义：仔细阅读题目，明确新符号或新法则的具体运算顺序和规则（注意括号和先后顺序）。 代入转化：将具体的数值或字母代入新定义的公式中，列出代数式。 列方程：根据题目给出的等量关系（如“结果为10”或“两式相等”），列出标准的一元一次方程。 求解检验：解方程得出未知数的值，并检查是否符合题目隐含的限制条件（如整数、正数等）。 变式4-1定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 变式4-2定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 变式4-3定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．已知两个整式．将M加上N减去3后求一半得到结果，此操作记作第1次求半操作；将第1次求半操作的结果加上N减去3后求一半得到结果，记作第2次求半操作；将第2次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第3次求半操作；将第3次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第4次求半操作，，以此类推，以下三个说法中正确的个数有（　　） ①第2026次求半操作后的结果； ②若关于x的方程有无数个解，则； ③关于x的方程的整数解有1002个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A．3 B．2 C．1 D．0 5．规定：，，例如，．下列结论①若，，则：；②若，则；③若，则：；④能使成立的的值有2个．正确的有___________．（填写序号） 6．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，．若x是大于且小于的有理数，且，则x的值为___________． 7．若有理数，同时满足，，则的值为________ 8．关于的方程所有解的和为________． 9．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 10．如果，为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是2，则_____． 11．若一列数、、、…、（为正整数），除、外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“层数列”，如：1、5、4、，满足，，所以1、5、4、为“4层数列”． （1）若3、、为“3层数列”，则的值为______； （2）若一个“60层数列”中，，，则的值为______． 12．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 13．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 14．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 15．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对 ； (2)若有理数对，则 ； (3)当满足等式的x是整数时，求整数k的值． 16．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解一元一次方程的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 题型二、绝对值方程 题型三、已知一元一次方程的解，求参数 题型四、新定义方程 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一元一次方程综合题（含复杂方程、绝对值方程、已知解求参数、新定义方程）是初中数学代数板块的高频重难点，所有特殊题型均围绕条件转化、结构识别、分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是变形过程必须严格遵循代数运算法则（如去括号法则、等式基本性质、绝对值非负性），二是运算结果必须准确求出未知数的值或参数取值，且所有解都要经过检验，确保符合题目要求。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 典例1 解方程： 【答案】 【详解】解：原方程为 移项得 原方程整理为 ， 解得 ． 题型模版 核心表述多样：题干常表现为“化简含字母的绝对值式子”（如 ）、“已知字母在数轴上解复杂一元一次方程题型模板 题型特征 结构复杂：方程中含有括号、分母、小数或分数系数，不能直接求解。 步骤繁多：需要先对原方程进行化简变形，转化为标准形式（ax+b=0）后再求解。 解题方法 去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数（注意：不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要加括号）。 去括号：按先去小括号、再去中括号的顺序展开（注意符号变化，括号前是负号时，括号内各项要变号）。 移项：将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边（注意：移项要变号）。 合并同类项：将方程化简为 ax=b 的形式。 系数化为1：方程两边同除以未知数的系数a，得出 x=b/a。 变式1-1解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．先把各项的分子都化成，逆用乘法分配律，得到，据此求解即可． 【详解】解：整理得， 整理得， 整理得， ∵， ∴， 解得． 变式1-2解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）分母先化为整数，然后根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 变式1-3 解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为）是解题关键． （1）原方程可化为，继续转化为解方程即可得； （2）原方程可化为，逆用分配律，得，最后求解即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得． （2）原方程可化为， 逆用分配律，得． ∵， ∴， 解得. 类型二、绝对值方程 典例2 先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 题型模版 题型特征 核心标志：方程中含有绝对值符号，未知数在绝对值内部。 分类依据：绝对值内的代数式值有正、负、零三种情况，需分情况讨论。 解题方法 找零点：令绝对值内的代数式等于0，求出未知数的值（即分界点）。 分情况：以零点为界，分“代数式≥0”和“代数式<0”两种情况讨论。 去符号： 当绝对值内代数式≥0时，直接去掉绝对值符号； 当绝对值内代数式<0时，去掉绝对值符号并给代数式添负号。 解方程：分别解两种情况下去掉绝对值后的一元一次方程。 验根：检验求出的解是否符合对应情况的前提条件，不符合的舍去。 变式2-1填空： （1）若，则______． （2）的最小值是______． （3）的最小值是______． （4）已知是常数，若式子的最小值是6，则的值为______． 【答案】 或 【分析】（1）由题意得出或，分别解出即可； （2）分情况：当时；当时；当时；分别化简求出即可； （3）分情况：当时；当时；当时；当时分别化简求出即可； （4）分情况：当时；当时；当时分别化简求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得， 解得方程无解， 故； （2）当时，； 当时，； 当时，； 故的最小值是4； （3）当时，； 当时，； 当时，， 即当时值最小为7； 当时，； 故的最小值是7； （4）当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为4，不符合题意，舍去； 综上所述，则的值为或． 变式2-2解方程： 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的定义从最外层绝对值开始，逐步根据绝对值的定义去掉绝对值符号，分情况讨论并排除无解的情况，最终求解x的值． 【详解】解：， 或， ∴或（不合题意，舍去）， 则， 或， 或（不合题意，舍去）， 故或． 类型三、已知一元一次方程的解，求参数 典例3 已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 题型模版 题型特征 已知条件：题目会明确给出方程的解（如“x=2是方程的解”）。 未知量：方程中含有一个未知的字母系数（参数，如a、m、k）。 求解目标：求出这个参数的值，或者求含该参数的代数式的值。 解题方法 代入：将已知的方程的解，直接代入原方程中。 列式：代入后，原方程会变成一个以该参数为未知数的一元一次方程。 求解：解这个新方程，求出参数的值。 计算：如果题目要求计算含参数的代数式的值，将求出的参数值代入计算即可。 变式3-1已知关于x的一元一次方程的解为非负整数，则符合条件的所有正整数a的值是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，用表示出方程的解是解题的关键． 先解方程得到，再根据解为非负整数，即且为整数，结合为正整数求解即可． 【详解】解：解方程 ， 得 ∵方程的解为非负整数，即 且为整数， 又∵为正整数， ∴或2， 当时，，不是整数， 当时，，是非负整数， ∴符合条件的正整数的值为2． 故答案为：2． 变式3-2已知关于x的方程．若方程的解是整数时，则整数k的值为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程及整数解的确定，先通过解一元一次方程用含的代数式表示，再根据为整数、为整数且确定的取值． 【详解】解：对原方程进行化简 ， ， ， 方程的解是整数，且为整数， 是2的整数因数， ， 故答案为：． 变式3-3已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组求解即可． 【详解】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵二次多项式和的“衍生值”都相等， ∴，即， ∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等， ∴，解得， ∴． 类型四、新定义方程 典例 4若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 【答案】(1) 解：方程， 解得：， 方程， 解得：， ∴， ∴方程与方程不是“同心方程”； (2)或 (3)或 【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再根据“同心方程”的定义求解； （2）先求出方程的解，根据“同心方程”的定义求出的可能值，再将的值代入关于的方程中求出的值； （3）先求出方程的解，再根据无论取任何有理数都成立，得到关于，的方程求解，再代入求值． 【详解】（1）略 （2）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，代入得， 解得； （3）解：方程， 解得：， ∵方程与方程是“同心方程”， ∴， ∴或， 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵无论取任何有理数都成立， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，已知方程的解，求参数，解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，解一元一次方程（二）——去括号，解一元一次方程（三）——去分母等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 题型模版 题型特征 新定义规则：题目会给出一个课本中未出现的新概念、新运算符号（如“※”“△”）或新法则。 代数化表达：解题的核心是将题目给出的文字描述或图形规则，转化为含未知数的代数式。 方程求解：最终通常会结合已知条件，列出一个一元一次方程来求解未知数。 解题方法 读懂定义：仔细阅读题目，明确新符号或新法则的具体运算顺序和规则（注意括号和先后顺序）。 代入转化：将具体的数值或字母代入新定义的公式中，列出代数式。 列方程：根据题目给出的等量关系（如“结果为10”或“两式相等”），列出标准的一元一次方程。 求解检验：解方程得出未知数的值，并检查是否符合题目隐含的限制条件（如整数、正数等）。 变式4-1定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， 解得； （3）解：， 去分母：， ∴． ， ， ， ， ∵， ∴． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故当任意满足的值，的值是定值，定值为． 变式4-2定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． 变式4-3定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026， ∴， ∴， 解得． 2．已知两个整式．将M加上N减去3后求一半得到结果，此操作记作第1次求半操作；将第1次求半操作的结果加上N减去3后求一半得到结果，记作第2次求半操作；将第2次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第3次求半操作；将第3次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第4次求半操作，，以此类推，以下三个说法中正确的个数有（　　） ①第2026次求半操作后的结果； ②若关于x的方程有无数个解，则； ③关于x的方程的整数解有1002个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先计算前几次操作结果，归纳出的一般规律，再分别验证三个说法的正确性． 【详解】解：已知，，计算前几次结果找规律： ∵ ∴归纳得对任意正整数，． 验证①： ∵， ∴①正确． 验证②： 代入规律得， 左边， 右边， 方程有无数个解，则对应系数相等，得， ∴②正确． 验证③： 代入得原方程为， 分区间讨论得： 第1种情况：当时： 原方程可化为 ， 即，该等式不成立， ∴当时，方程无解； 第2种情况：当时： 原方程可化为 ， ∴， ∴(符合区间条件)． 第3种情况：当时： ∵， ∴（等式恒成立）． 此区间内整数解为，共1001个． 第4种情况：当时， 原方程可化为 ， ∴， ∴(不在此区间，舍去)． 第5种情况：当时： 原方程可化为 ， ∴， 即，该等式不成立， ∴当时，方程无解； 综上，整数解为，共1002个，故说法③正确． ∴正确个数为3个． 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等号左边可变形为，通过裂项相消进行化简，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得 ． 4．已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】对于①，最小的3个不同正整数为，且，即可判断；对于②，讨论、、三种情况讨论，找出对应的整式；对于③，得到对应，，方程为，再解绝对值方程即可． 【详解】解：验证①：若为二次三项式，则，需3个不同正整数满足， 最小的3个不同正整数为，且， 的最小值为，①正确； 验证②：，由题为正整数，按分类讨论： 当时，需两个不同正整数满足， 可得或或，共3个整式； 当时，需三个不同正整数满足， 可得或，共2个整式； 当时，最小的个不同正整数乘积为，无满足条件的整式； 总个数为， ②错误； 验证③：当，，找不同正整数满足，得 或 对应，，方程为，分段讨论： 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 当时，原方程化为，解得，不满足要求，舍去； 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 方程的解为或，不存在这个解，③错误， 综上，正确的说法只有1个． 5．规定：，，例如，．下列结论①若，，则：；②若，则；③若，则：；④能使成立的的值有2个．正确的有___________．（填写序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可． 【详解】解：①若，，则，①正确； ②若，则，解得，所以，②错误； ③若，则，，所以，③正确； ④若，则， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得， 当时，，解得， 故x的值有2个，④正确． 故正确的有①③④． 6．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，．若x是大于且小于的有理数，且，则x的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程求解，理解新定义的整数部分与小数部分的含义，根据的取值范围确定，再将原方程转化为关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：是大于且小于的有理数，根据定义可得， ， 又 ， ， 将，代入方程， 得， 整理得 ， 移项得 ， 解得 ． 7．若有理数，同时满足，，则的值为________ 【答案】 【分析】根据，可知，进而消去b，得到，分情况讨论求出a的值，进而得到b的值，可知的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，， 解得：； 当时，，无解； 综上所述，， ∴， ∴． 8．关于的方程所有解的和为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，从外层开始逐层去掉绝对值，利用绝对值的非负性舍去不符合条件的结果，最终得到（），计算两个解的和即可． 【详解】解：原方程，由绝对值等于零的性质，得， 逐层去绝对值，根据绝对值的非负性，每一步取正号，对任意第步（），去掉绝对值后可得前一层表达式的值为， 因为，不符合绝对值的非负性，舍去， 仅保留正结果， 最终推得， 设，则， 解得，， 所有解的和为． 9．嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的个数字之和都相等，则的值为____________． 【答案】或 【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， 两个圈的和各为，横、竖的和也各为， 则， 得， 由， 得， 由， 得， 当时，，则， 当时，，则， 10．如果，为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是2，则_____． 【答案】 【分析】先整理原方程，得到关于的表达式．再根据无论为何值，方程的解总是，得到关于和的方程组．求解得到，的值，再计算即可． 【详解】解： 去分母得： ． 去括号得： ． 移项得： ． 合并同类项得： ． 无论为何值，方程的解总是． 当时，等式对任意恒成立，可得， 解得：，． ． 11．若一列数、、、…、（为正整数），除、外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“层数列”，如：1、5、4、，满足，，所以1、5、4、为“4层数列”． （1）若3、、为“3层数列”，则的值为______； （2）若一个“60层数列”中，，，则的值为______． 【答案】 0 3 【分析】（1）根据3、、为“3层数列”，列出方程，求解即可； （2）根据定义，对任意，得递推关系：​，变形得​． 设，，依次写出数列前几项，得出数列每6项为一个周期循环，从而得出，即，，即，联立得，代入求解即可； 【详解】解：（1）∵3、、为“3层数列”， ∴， 整理得：， 解得：． （2）根据定义，对任意，得递推关系：​，变形得​． 设，， 依次写出数列前几项： ， 因此数列每6项为一个周期循环， ，余数为1，故，即， ，余数为4，故，即，得， 联立得：，整理得， ∴． 12．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【分析】（1）根据题意可知数轴上右侧的数比左侧大，利用M对应的数加上两点距离即可得到N对应的数即可； （2）根据点P到点M、N的距离之和大于M、N的距离得到点在点、的两侧，分情况讨论：当点P在点M的左边或点P在点N的右边时，分别求出、的距离，从而求出点P所对应的数； （3）先分别确定P到达O点的时间、Q到达M点的时间，根据时间节点划分运动阶段，每个阶段分别用含t的式子表示P、Q对应的数，再根据两点距离为1列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． 13．阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 14．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 15．对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对 ； (2)若有理数对，则 ； (3)当满足等式的x是整数时，求整数k的值． 【答案】(1) (2)1 (3)整数k的值为3或5或7或9． 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出整数k的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得，， ∵x是整数， ∴或， ∴整数k的值为3或5或7或9． 16．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）先分别求解两个方程的解，再根据“集团方程”定义（解的和为1）列方程求m； （2）设两个解，利用“集团方程”解的和为1及差为6列方程求n； （3）先求已知方程的解，根据“集团方程”定义求另一个方程的解，再通过方程变形求y的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $