专题1.5二次函数的应用（专题训练）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过9类生活情境题型系统训练建模能力，强化图像性质与实际问题的转化逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |销售问题|4题|利润与销量关系，求最大利润|建立利润函数模型，用二次函数顶点式求最值| |拱门/拱桥/隧道问题|10题|几何图形截面，求解析式及距离|以对称轴建系，用顶点式/交点式求解析式，体现几何直观| |投球/喷水/跳跃问题|10题|运动轨迹，求高度/距离/有效性|以起点或最高点建系，用顶点式刻画抛物线，培养模型意识| |实物/情境问题|8题|结合生活场景（如帐篷、安检）|从实际情境抽象变量关系，强化应用意识与数据观念|

专题1.5二次函数的应用（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·销售问题】 1 【题型 2·拱门问题】 5 【题型 3·投球问题】 10 【题型 4··拱桥问题】 15 【题型 5··隧道问题】 21 【题型 6··喷水问题】 25 【题型 7··跳跃问题】 30 【题型 8··实物问题】 36 【题型 9··情境问题】 42 【题型 1·销售问题】 1．某专卖店销售的一款童装每件进价为 元，销售价为 元，每天可售出 件．如果每件童装降价 元，那么平均可多售出 件，设每件童装降价 元．当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【答案】降价 元时，最大利润 元 【分析】根据“总利润单件利润销售量”列出二次函数，利用二次函数顶点性质求出利润最大值对应的降价金额与最大利润． 【详解】解：∵每件童装降价x元， ∴则每件利润为元，平均多售出件， 由题意有，即， ∴ 设利润为y元，则有， 由可知，该函数的开口向下，是图像的对称轴， 此时y有最大值为 ， 即当每件童装降价15元时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 2．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个25元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种健身球每天的销售利润为W元． (1)如果销售单价定为32元，那么健身球每天的销售量是______个； (2)求W与x之间的函数关系式； (3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）代入函数，求函数值即可； （2）根据销售利润单件利润销售量，计算即可； （3）根据二次函数的图象性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 则健身球每天的销售量是个； （2）解：根据题意，得； （3）解：，， 抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为， 当时，W取得最大值，为（元）， 则该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 3．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 4．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【答案】(1) (2)每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元 【分析】（1）根据图表可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设， 把代入得， 解得：， ∴客房每天的出租数量y（间）与每间房日租金x（元）的函数关系式为， ∵每天房间的出租率不低于， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：由已知表格可知：客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间， ∴设每间客房的日租金提高元，则每天客房出租数会减少间． 则， 即． ∵，且， ∴． 当时，的最大值为． 这时每间客房的日租金为（元）． 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最高为元． 【题型 2·拱门问题】 5．3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ （2）解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 6．某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． （1）由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； （2）将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：任务（1）：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为（、为常数，）， 将，代入，得， 解得， 该抛物线型拱门的函数表达式为， 当时，， 该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 任务（2）：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 7．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案，现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 抛物线型拱门的跨度，拱高，其中，点N在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，（框架的粗细忽略不计）．矩形框架的面积记为S，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求矩形框架的面积S． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式． （1）根据顶点坐标设二次函数为，，求出抛物线的解析式即可； （2）在中，令得：，求出或，得出，求出即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中， 令得：， 解得或， ∴， ∴； 8．某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段和一段抛物线构成，垂直于地面．将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知，抛物线顶点E的坐标为． (1)求拱门抛物线的函数关系式； (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用，，三根钢架隔出正方形区域供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上，求此正方形的边长； (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为，每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过，左右外侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上．求至少需要安装彩灯的个数．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)至少需要安装彩灯的个数为5个 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，设点P的坐标为，则，再由正方形的性质可得 ∵四边形是正方形，点N的横坐标为，然后根据点P，N关于对称轴对称，即可求解； （3）把代入解析式可得，到地面的垂直距离为的大棚的水平宽度，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为， ∵抛物线顶点E的坐标为， ∴可设拱门抛物线的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴拱门抛物线的函数关系式为； （2）解：∵抛物线顶点E的坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点P的坐标为，则， ∵四边形是正方形， ∴轴，， ∴点N的横坐标为， ∴点P，N关于对称轴对称， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 即正方形的边长为； （3）解：当时，， 解得：， ∴到地面的垂直距离为的大棚的水平宽度为， ∵每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过1米， ∴至少需要安装彩灯的个数为5个． 【题型 3·投球问题】 9．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 10．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】(1) (2)机器人此次投篮有效 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 11．美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】(1) (2)不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功． (3) 【分析】（1）利用表格中的对称点找到抛物线顶点，然后设顶点式求二次函数； （2）算出守门员在原地对应的水平距离，代入函数求值，和守门员的最大防守高度对比进行判断； （3）算出球的高度等于最大防守高度时的水平距离，求出足球的飞行时间，再根据守门员后退的最小距离算出守门员后退的最小速度． 【详解】（1）解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； （2）略； （3）解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 12．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 【题型 4··拱桥问题】 13．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 14．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 15．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．正确理解题意是关键； （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为， 故设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线状沙丘的函数表达式为． （2）解：令，得， 解得，， ， 、两点之间的距离为． 16．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题知，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，． ∴， ∴水面所在直线为． 在中，令得：， 解得：或， ∵， ∴此时水面的宽度为． 17．远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)最多可摆放6个拉杆箱 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． 【详解】（1）解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； （2）解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． 【题型 5··隧道问题】 18．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，，抛物线的最高点离路面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：这辆货车能安全通过，理由如下： 根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； （2）略 20．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在抛物线上的点，处分别安装照明灯（点，到路面的距离相等），规定：照明灯距离路面的高度的取值范围是．师傅安装完照明灯后，测得两点，间的距离为，请你判断是否符合规定?说明理由． 【答案】(1) (2)解：符合规定，理由如下： 由题意可知，点，之间的距离为，且点与点关于对称轴对称， 因为，， 所以点的横坐标为， 把代入得：． 因为， 所以师傅安装的照明灯符合规定． 【分析】（1）利用抛物线顶点式设出表达式，结合图像过原点的坐标特征，代入求解系数确定抛物线解析式； （2）根据A、B间距及对称轴性质确定A点横坐标，代入解析式求高度，结合高度取值范围判断是否符合规定． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为， 可设抛物线的表达式为：， 又经过原点，代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）略 21．某施工队要建设一个高速公路隧道，如图是工程师利用电脑软件制作的隧道横断面设计图的局部．以水平路面为轴建立平面直角坐标系（每个单位长度为米），隧道的拱顶形状为抛物线，且解析式为．    (1)求隧道底部路面的宽度； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； (3)工程队在施工时，需要在隧道门口搭建一个矩形施工架，使点，在抛物线上．点，在地面线上（如图所示）．为了准备工程材料，需计算施工架三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮工程队计算一下． 【答案】(1)米； (2) 解：该双车道不能同时并行两辆宽米、高米的车辆，理由如下： 当时，， ∴不能同时并行两辆宽米、高米的车辆； (3)三根木杆，，的长度和的最大值是米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由当时，求出，，抛物线与轴的交点为和，从而求出路面的宽度； （）当时，，从而求解； （）由四边形是矩形，则，，，，设米，则米，（米），设，然后代入得出，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴路面的宽度为米； （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 设米，则米，（米）， 设， 则 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为（米）， 答：三根木杆，，的长度和的最大值是米． 【题型 6··喷水问题】 22．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【答案】(1)抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为 (2)抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确审清题意是解题的关键． （1）根据题意求最高点A到地面的距离，即求顶点的纵坐标； （2）根据题意可知，令即可求解． 【详解】（1）解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； （2）当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 23．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【答案】(1)（或） (2) 解：水柱不会打湿护栏花墙．． 理由：∵m，m， ∴m， 则点的坐标为． 当时，． ∵， ∴水柱不会打湿护栏花墙． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，再代入即可求解； （2）点的坐标为，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为． 设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，）， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）略 24．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2) 行人会被洒水车淋到水， 理由：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）略 25．2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可； (2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：由题意得米， ， 米， ∴，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴过水门”水柱抛物线的解析式； （2）解：∵米，米， ∴米， 当时，， 解得， ∴米, ∵米, ∴米, ∴(米)。 即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米． 【题型 7··跳跃问题】 26．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． (2)在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 【答案】(1)①；② (2)能 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【详解】（1）解： ①由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为米， 故答案为：； ②由题意可知，抛物线的顶点为. 设抛物线解析式为. 当时，， ，解得. 抛物线的解析式为. （2）能. 理由：令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， ， ∴野兔此次跳跃能跃过小溪． 故答案为：能． 27．舞狮是中国优秀的传统民间艺术，每逢佳节或隆重庆典，民间常以舞狮来助兴．如图，舞狮团进行舞狮表演，演员从木桩顶部A处弹跳到另一木桩顶部B处，以O点为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，已知木桩顶部A处的高度为1米，另一木桩顶部B处的高度为米，两个木桩的水平距离为米．（不考虑木桩横截面积） (1)求该抛物线的表达式； (2)若在木桩右侧设置一个与高度相同的木桩，演员从B处按如图所示方式跳出，跳跃轨迹形状不变（即抛物线形状不变，演员跳起的最高点距起跳点水平距离与从A点起跳时一致），要保证演员可落在新设置的木桩顶部D处，求新设置的木桩与间的水平距离． 【答案】(1) (2)新设置的木桩与间的水平距离为2米 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据平移，先向右平移1.6个单位长度，再向上平移（个）单位长度后得到新的抛物线，将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，， 将A，B两点的坐标代入， 得 解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：根据题意，演员从B处跳到新设置的木桩顶部D处的轨迹是将（1）中抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移（个）单位长度后的抛物线， ∴新抛物线的表达式为， 令，则， 解得（舍去），， （米）， ∴新设置的木桩与间的水平距离为2米． 28．某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求出经过、、三点的抛物线表达式； (2)求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 【答案】(1) (2)线段的长度为 【分析】（1）先求出点的坐标，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）增加起跳高度后的抛物线表达式为，求出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，经过、、三点的抛物线的对称轴为直线， 顶点坐标为， ∵图像过原点， 设抛物线的函数表达式为， 把，代入中， 得， 解得， 经过、、三点的抛物线表达式为； （2）根据题意，抛物线形状不变， 增加起跳高度后的抛物线表达式为， 当时，， 解得，（舍去）， ， ，     答：线段的长度为． 29．学科实践 驱动任务：滑板运动是在不同地形、地面及特定设施上，在音乐的旋律下，完成各种复杂的滑行、跳跃等高难动作的技巧性运动．酷炫的滑板运动吸引了大批青少年参与其中，数学研习小组对U型滑板场地进行了研究． 研究步骤： （1）如图，U型滑板轨道和是各自所在抛物线的一部分，，分别为所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中． （2）为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请你通过计算，确定轨道两侧需要支架材料的最短长度． 【答案】(1) (2)轨道两侧需要支架材料的最短长度为米 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，则，设，则，设轨道两侧需要支架材料的长度为，进而表示出关于的二次函数，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 依题意，， 且为抛物线的最低点即顶点， 设抛物线解析式为，代入 ∴， 解得： ∴抛物线解析式为 ． （2）解：∵ ∵，则， 设，则， 设轨道两侧需要支架材料的长度为， ∴ 当时，的最小值为 答：轨道两侧需要支架材料的最短长度为米． 【题型 8··实物问题】 30．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 31．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 32．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 【答案】(1); (2) (3) 【分析】（1）根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标； （2）将点的坐标代入即可求解； （3）根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围． 【详解】（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米， 则得， 解得：， ∴ 无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点， 则水平距离为：（千米） 则点的横坐标为：， 则点； （2）解：∵抛物线经过点, 则将点代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）解：由题可知点, 由（2）可知抛物线的顶点坐标为：, 则平移后得顶点坐标为， 点平移后的坐标为： 则新抛物线的表达式为：， ∴抛物线的轨迹在点的上方， 将点的坐标代入可得， 解得： 则的最大值为：． 33．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 【题型 9··情境问题】 34．车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 (1)求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值． (3)年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 【答案】(1) (2) (3)该车的刹车性能符合年检标准， 计算如下： ∵， ∴当时，汽车停下，最大刹车距离为． ∵， ∴该车的刹车性能符合年检标准． 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）将代入（1）中解析式，即可解答； （3）根据（1）中函数解析式求出最大刹车距离，即可解答； 【详解】（1）解：由于当时，， 故设关于的函数解析式为， 将 代入，得， 解得， 故关于的函数解析式为； （2）解：由（1）知， 当时，， 解得：（舍去）， 所以当汽车刹车后行驶了时，的值为； （3）略 35．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 【答案】(1) (2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴， 设绳子摇至最高点时的抛物线为，把代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：9名同学中，身高最小的是，在最右（左）边， ∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距， ∴最右则同学的横坐标为， ∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的， ∴此时，头顶到地面的高度是， 在抛物线中， 当时，， ∵， ∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学． 36．某数学小组针对体育馆某场体育比赛，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 信息1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 信息2：该体育馆最多可开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人； 信息3：该场比赛前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道，安检时间x分钟时，已入场人数为________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为________； (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)由于场地有限，比赛主办方要求排队人数在安检开始12分钟内（包含12分钟）减少，请问体育馆至少开通几条安检通道？请说明理由． 【答案】(1)， (2)排队人数在第20分钟达到最大值，最大人数是500人 (3)最少开设7条安检通道，理由如下： 设开通了条安检通道， 根据题意可得：， 整理得：， 对称轴为， 排队人数在安检开始12分钟内（包含12分钟）减少， ∴， 解得：， 为整数 故取， 所以最少开设7条安检通道． 【分析】（1）根据平均每条通道每分钟可安检5人可得已入场人数，再根据排队人数现场总人数已入场人数，可得到排队人数w与安检时间x的函数关系式； （2）将（1）所得关系式化为顶点式，求最大值即可； （3）由题意可知，开通7条安检通道，进而求出此时排队人数w与安检时间x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当开通3条安检通道，安检时间x分钟时，已入场人数为， 排队人数w与安检时间x的函数关系式为； （2）解：把整理成顶点坐标式，得， ∵， 当时，达到最大值，最大值是500， 答：排队人数在第20分钟达到最大值，最大人数是500人； （3）略 37．综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： (1)过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； 问题解决： (2)在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； (3)过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其现场总人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 【答案】(1) (2)① ② (3)，此时应选择海盗船排队 【分析】（1）先根据运行时长和每分钟服务人数计算已入场人数，因为排队人数等于现场总人数减去已入场人数，所以代入对应的表达式即可得到m和x的关系式； （2）①因为工作人员匀速行走，速度已知，行走时间为x分钟，所以根据路程=速度×时间可直接得到s与x的关系式；②当工作人员走到队伍末端时，工作人员与门口的距离等于队伍长度，所以先将L用含m的表达式替换，再将m用含x的表达式替换，得到关于x的方程，解方程即可； （3）首先明确海盗船的运行时间t与过山车运行时间x的关系为，再计算海盗船的已入场人数，得到海盗船排队人数关于x的表达式；然后根据两个项目排队人数相等列方程求解x；最后分别计算两个项目当前排队人员全部入场需要的时间，比较大小即可判断选择哪个项目． 【详解】（1）根据题意：排队人数现场总人数已入场人数， 已知总人数， 且每分钟服务人，分钟已入场人数为， ． （2）①工作人员从门口出发，速度为米/分，匀速行走分钟， 根据路程速度时间， ∴； ②工作人员走到队伍末端时，， ∵，且， ∴， 令，， 即： ， 整理得， 解得，（舍去）， 因此． （3）海盗船分钟开始运行， 因此（）， ∴海盗船的排队人数为：总人数已服务人数 令两个项目排队人数相等，即， 代入得： ， 整理得， 解得，， 当时，过山车排队人数， 不符合“两个项目同时存在排队”，故舍去， ∴， 此时两个项目排队人数均为， 过山车每分钟服务人，需要等待分钟， 海盗船每分钟服务20人，需要等待分钟， 因此选择海盗船能更早入场． 38．综合与实践 【问题情境】长治市某区在某智慧农业基地建设中，技术人员为了优化温室大棚的采光与结构，选取了一座典型的抛物线形智能温室棚顶进行测量建模．为了方便建模，他们将温室棚顶的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】技术人员以温室棚顶的最低点（同时也是棚顶与地面的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，棚顶在地面上的跨度（即底端点和点之间的距离）为30米． 【问题解决】 (1)请求出描述该温室棚顶轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了提升棚内通风效率，施工人员计划在棚顶上部（最高点下方）铺设一条水平的通风管． ①若要求通风管距离地面的高度为3米，请计算这条通风管的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为稳固棚顶结构，需在棚顶轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面（即轴），底端固定在地面上，顶端贴合棚顶轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（棚顶左侧最低点）水平距离的，请计算这两根立柱之间的水平距离． 【答案】(1) (2)①米；②米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①把代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案； ②设左侧立柱的横坐标为，那么纵坐标为，把代入函数解析式，求出m的值，再求出结果即可． 【详解】（1）解：由温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，，可知抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时，， ， 解得：， ； （2）解：①根据题意得：通风管距离地面的高度为3米， ∴把代入得：， 解得：，， （米）， ②设左侧立柱的横坐标为，那么纵坐标为， 将代入得： ， 化简得： （舍去），， ∴两根立柱之间的水平距离为（米）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5二次函数的应用（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·销售问题】 1 【题型 2·拱门问题】 3 【题型 3·投球问题】 6 【题型 4··拱桥问题】 9 【题型 5··隧道问题】 11 【题型 6··喷水问题】 13 【题型 7··跳跃问题】 15 【题型 8··实物问题】 19 【题型 9··情境问题】 23 【题型 1·销售问题】 1．某专卖店销售的一款童装每件进价为 元，销售价为 元，每天可售出 件．如果每件童装降价 元，那么平均可多售出 件，设每件童装降价 元．当每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 2．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个25元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种健身球每天的销售利润为W元． (1)如果销售单价定为32元，那么健身球每天的销售量是______个； (2)求W与x之间的函数关系式； (3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 4．某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，每天房间的出租率不低于，客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）的关系如下表： 客房日租金x（元） 160 170 180 190 客房出租数量y（间） 120 114 108 102 (1)观察表格中的数据，求出客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？ 【题型 2·拱门问题】 5．3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 6．某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，， 任务（1） 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离； 任务（2） 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离． 7．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案，现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 抛物线型拱门的跨度，拱高，其中，点N在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，（框架的粗细忽略不计）．矩形框架的面积记为S，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求矩形框架的面积S． 8．某校为学生拍毕业照设计了一个拱门，该拱门的横截面由线段和一段抛物线构成，垂直于地面．将其截面放入平面直角坐标系如图1所示，点O为坐标原点，已知，抛物线顶点E的坐标为． (1)求拱门抛物线的函数关系式； (2)现要在抛物线与地面围成的区域中用，，三根钢架隔出正方形区域供师生拍照留念，点P，N在抛物线上，点Q，M在地面上，求此正方形的边长； (3)如图2，在拱门上安装彩灯，要求彩灯到地面的垂直距离为，每两个相邻彩灯之间的水平距离相等且不超过，左右外侧的两个彩灯安装在拱门的抛物线上．求至少需要安装彩灯的个数．（参考数据：） 【题型 3·投球问题】 9．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 10．2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 11．美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 12．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【题型 4··拱桥问题】 13．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 14．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 15．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 16．一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 17．远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【题型 5··隧道问题】 18．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，，抛物线的最高点离路面的距离为． (1)按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； (2)一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由． 20．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在抛物线上的点，处分别安装照明灯（点，到路面的距离相等），规定：照明灯距离路面的高度的取值范围是．师傅安装完照明灯后，测得两点，间的距离为，请你判断是否符合规定?说明理由． 21．某施工队要建设一个高速公路隧道，如图是工程师利用电脑软件制作的隧道横断面设计图的局部．以水平路面为轴建立平面直角坐标系（每个单位长度为米），隧道的拱顶形状为抛物线，且解析式为．    (1)求隧道底部路面的宽度； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； (3)工程队在施工时，需要在隧道门口搭建一个矩形施工架，使点，在抛物线上．点，在地面线上（如图所示）．为了准备工程材料，需计算施工架三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮工程队计算一下． 【题型 6··喷水问题】 22．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 23．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 24．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 25．2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 【题型 7··跳跃问题】 26．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． (1)建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． (2)在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 27．舞狮是中国优秀的传统民间艺术，每逢佳节或隆重庆典，民间常以舞狮来助兴．如图，舞狮团进行舞狮表演，演员从木桩顶部A处弹跳到另一木桩顶部B处，以O点为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，已知木桩顶部A处的高度为1米，另一木桩顶部B处的高度为米，两个木桩的水平距离为米．（不考虑木桩横截面积） (1)求该抛物线的表达式； (2)若在木桩右侧设置一个与高度相同的木桩，演员从B处按如图所示方式跳出，跳跃轨迹形状不变（即抛物线形状不变，演员跳起的最高点距起跳点水平距离与从A点起跳时一致），要保证演员可落在新设置的木桩顶部D处，求新设置的木桩与间的水平距离． 28．某数学兴趣小组了解到仿青蛙机器人是模仿青蛙跳跃、游泳等运动方式设计的仿生机器人，它可用于搜救、勘探、侦察、教学演示等场景．小组同学想探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线，为此展开了综合实践活动，记录如下： 【活动主题】探究仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线 【活动准备】①查阅到仿青蛙机器人腾空阶段的运动路线可看作抛物线，起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； ②准备测量工具． 【数据采集】仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内可抽象为抛物线，如图1其运动路线的最高点距地面，落地点在起跳点的右侧，与点距离为． 【设计方案】小组同学了解到仿青蛙机器人可以通过调整起跳高度扩大勘测周围环境的范围．如图2仿青蛙机器人从原起跳点的正上方的点处起跳，落地点在点的右侧，长度为．仿青蛙机器人的两次运动路线均在同一竖直平面内，、、为顺次三点且在同一水平线上． 【确定思路】小组成员经过讨论，确定以地面起跳点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系如图2，分析数据得到经过、、三点的抛物线表达式，再利用抛物线的形状不变的特点求出起跳高度增加后的运动路线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求出经过、、三点的抛物线表达式； (2)求调整起跳高度前后地面勘察范围扩大了多远，即线段的长度． 29．学科实践 驱动任务：滑板运动是在不同地形、地面及特定设施上，在音乐的旋律下，完成各种复杂的滑行、跳跃等高难动作的技巧性运动．酷炫的滑板运动吸引了大批青少年参与其中，数学研习小组对U型滑板场地进行了研究． 研究步骤： （1）如图，U型滑板轨道和是各自所在抛物线的一部分，，分别为所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中． （2）为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)以线段所在直线为x轴，线段所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请你通过计算，确定轨道两侧需要支架材料的最短长度． 【题型 8··实物问题】 30．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 31．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 32．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 33．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【题型 9··情境问题】 34．车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 (1)求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值． (3)年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 35．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 36．某数学小组针对体育馆某场体育比赛，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 信息1：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 信息2：该体育馆最多可开放8条安检通道，平均每条通道每分钟可安检5人； 信息3：该场比赛前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道，安检时间x分钟时，已入场人数为________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为________； (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)由于场地有限，比赛主办方要求排队人数在安检开始12分钟内（包含12分钟）减少，请问体育馆至少开通几条安检通道？请说明理由． 37．综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： (1)过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； 问题解决： (2)在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； (3)过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其现场总人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 38．综合与实践 【问题情境】长治市某区在某智慧农业基地建设中，技术人员为了优化温室大棚的采光与结构，选取了一座典型的抛物线形智能温室棚顶进行测量建模．为了方便建模，他们将温室棚顶的纵向轮廓线近似看作一条抛物线． 【建立模型】技术人员以温室棚顶的最低点（同时也是棚顶与地面的交界点）为原点，以水平地面为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知该温室棚顶轮廓线的最高点距离地面5米，棚顶在地面上的跨度（即底端点和点之间的距离）为30米． 【问题解决】 (1)请求出描述该温室棚顶轮廓线的抛物线的函数表达式． (2)为了提升棚内通风效率，施工人员计划在棚顶上部（最高点下方）铺设一条水平的通风管． ①若要求通风管距离地面的高度为3米，请计算这条通风管的长度（结果精确到1米，参考数据：）． ②为稳固棚顶结构，需在棚顶轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面（即轴），底端固定在地面上，顶端贴合棚顶轮廓线．若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点（棚顶左侧最低点）水平距离的，请计算这两根立柱之间的水平距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $