1.5 二次函数的应用 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础应用到综合探究，强化二次函数建模与最值求解，适配新授课巩固需求，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点基础应用|选择填空直接考查最值公式、简单面积/利润问题，夯实概念理解| |B组|跨知识点综合应用|解答题结合广告费、分段函数等情境，提升推理能力与运算能力| |C组|复杂情境建模|几何与代数综合（如矩形内接三角形）、动态问题，发展创新意识与应用意识|

浙教版九年级上册数学·第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用 课时作业 1.5 二次函数的应用 课时作业 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 完成用时__________ 一、学习目标 1．会根据实际问题列出二次函数表达式，并结合实际意义确定自变量的取值范围． 2．会利用二次函数的性质解决面积最大、利润最大等最值问题． 3．会通过建立平面直角坐标系，用二次函数解决抛物线形建筑、物体运动轨迹等问题． 4．体会数学建模思想，提高分析问题和解决实际问题的能力． 二、知识点梳理 知识点1 用二次函数解决最值问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，找出变量之间的数量关系； （2）设元列式：设出自变量和函数，列出二次函数表达式； （3）定范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； （4）求最值：配方或用顶点坐标公式求最值，注意检验顶点横坐标是否在自变量的取值范围内； （5）作答：回到实际问题中作答． 知识点2 几何图形的面积最值问题 常见类型：用定长的篱笆围矩形（可能靠墙、可能有隔断）、在三角形中作内接矩形等． 解题关键：用含x的式子表示图形的长和宽，由面积公式列出函数表达式．特别要注意墙长等限制条件对自变量取值范围的影响． 若顶点横坐标在自变量取值范围内，则最值在顶点处取得； 若顶点横坐标不在取值范围内，则要根据函数的增减性，在取值范围的端点处求最值． 知识点3 销售利润最值问题 基本等量关系：总利润=单件利润×销售量；单件利润=售价-进价． 常见情形：“售价每上涨（下降）a元，销量减少（增加）b件”，此时销售量要用含自变量的式子表示． 注意：当自变量只能取整数时，若顶点横坐标不是整数，要比较与它相邻的整数对应的函数值． 知识点4 抛物线形问题（拱桥、隧道、投球、喷泉等） 解题步骤：（1）建立恰当的平面直角坐标系；（2）根据已知条件写出关键点的坐标；（3）用待定系数法求抛物线的表达式；（4）利用表达式解决实际问题． 建系技巧：通常以抛物线的顶点或对称轴为参照建立坐标系．若以顶点为原点，可设y=ax²；若顶点在y轴上，可设y=ax²+k． 三、典型例题 例1 如图，用长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【解析】（1）由题意，与墙垂直的三段篱笆长都为x米，所以BC=(24-3x)米． S=x(24-3x)=-3x²+24x．由0<24-3x≤10，得≤x<8． （2）S=-3(x-4)²+48，对称轴为直线x=4．因为4<，所以在≤x<8范围内，S随x的增大而减小． 所以当x=时，S最大，最大值为×(24-14)=（平方米）． 【点拨】本题最值不在顶点处取得，这是因为墙长限制了x的取值范围，解题时一定要先确定取值范围． 例2 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每月可卖出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，每月少卖出10件．当售价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？ 【解析】设售价为每件x元（x≥50），每月的销售利润为y元． 每件利润为(x-40)元，每月销售量为500-10(x-50)=(1000-10x)件． y=(x-40)(1000-10x)=-10x²+1400x-40000=-10(x-70)²+9000． 因为-10<0，所以当x=70时，y最大，最大值为9000．答：当售价定为每件70元时，每月的利润最大，最大利润为9000元． 例3 某隧道横截面由抛物线和矩形ABCD构成（如图），矩形的长AB=8米，宽AD=2米，隧道最高点P离地面6米．以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货运卡车高4米，宽2.4米，它沿隧道中线的一侧行驶（车的一侧紧靠中线），能否安全通过隧道？ 【解析】（1）由题意，P(0，6)，D(-4，2)．设抛物线为y=ax²+6，把D(-4，2)代入，得16a+6=2，a=-． 所以抛物线的表达式为y=-x²+6（-4≤x≤4）． （2）卡车外侧离中线2.4米，当x=2.4时，y=-×2.4²+6=-1.44+6=4.56．因为4.56>4，所以卡车能安全通过隧道． 四、课时作业 A组 基础达标 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1．某炮弹飞行的高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的关系为h=-5t²+150t+10，炮弹到达最高点所需的时间是（　　） A．10秒 B．15秒 C．20秒 D．30秒 2．用长为16米的篱笆围成一个矩形场地，这个矩形场地的最大面积是（　　） A．16平方米 B．8平方米 C．32平方米 D．64平方米 3．某商品每天的利润y（元）与售价x（元）之间的关系为y=-x²+120x-3000，要使每天的利润最大，售价应定为（　　） A．40元 B．50元 C．60元 D．120元 4．将一个小球从地面竖直向上抛出，小球的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系为h=30t-5t²，小球能达到的最大高度是（　　） A．45米 B．30米 C．60米 D．90米 5．已知两个正数的和为10，则这两个数的积的最大值是（　　） A．20 B．24 C．25 D．50 6．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）之间的关系为s=10t-2t²，汽车从刹车到停下来前进了（　　） A．5米 B．10米 C．12.5米 D．25米 7．某旅社有100张床位，每张床位每晚收费10元时可全部租出．若每张床位每晚收费每提高1元，就减少5张床位租出．为使每晚的收入最多，每张床位每晚应收费（　　） A．12元 B．15元 C．14元 D．20元 8．某水果店销售一种水果，每天的利润y（元）与每千克降价x（元）之间的关系为y=-10x²+100x+2000，要使每天的利润最大，每千克应降价（　　） A．2元 B．5元 C．10元 D．20元 二、填空题 9．周长为20厘米的矩形，面积的最大值是________平方厘米． 10．某商店销售一种商品，每件的利润y（元）与单价x（元）之间满足y=-2x²+80x-750，则单价为________元时，每件的利润最大，最大利润为________元． 11．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系为h=-5t²+20t，则小球经过________秒落回地面，小球达到的最大高度是________米． 12．用长为6米的铝合金型材做一个形状为“日”字形（上、中、下三根横档，左、右两根竖档）的矩形窗框，要使窗户的透光面积最大，最大透光面积为________平方米． 13．某抛物线形拱门，以地面所在直线为x轴、拱门的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，拱门的表达式为y=-x²+4．一辆宽2米、高3.5米的货车沿拱门正中行驶，________（填“能”或“不能”）通过拱门． 14．某种商品的进价为每件30元，当售价为每件x元时，每天可销售(100-x)件（30≤x≤100）．当x=________时，每天的利润最大． 三、解答题 15．如图，用长为30米的篱笆，一面靠墙（墙长18米），围成一个矩形花圃ABCD．设AB边长为x米，花圃的面积为S平方米． （1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）当AB边长为多少米时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 16．某超市销售一种水果，进价为每千克20元．当售价为每千克30元时，每天可售出200千克；售价每千克每上涨1元，每天就少售出10千克．物价部门规定售价不高于每千克45元．设售价为每千克x元，每天的销售利润为y元． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当售价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）若超市要使每天的利润达到2000元，同时尽量让顾客得到实惠，售价应定为多少？ 17．如图是一座抛物线形拱桥，以拱顶O为原点建立平面直角坐标系．正常水位时，水面宽AB=12米，拱顶O到水面AB的距离为4米． （1）求抛物线的表达式； （2）若水面上升1米，求此时水面的宽度； （3）在正常水位时，一艘宽4米、船顶离水面高3米的游船沿桥洞正中通过，能否顺利通过？ 18．如图，一名篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线．以篮球最高点正下方地面上的点为原点O，建立平面直角坐标系．已知篮球运行到最高点时离地面3.5米，篮圈中心离地面3.05米，且篮圈中心与点O的水平距离为1.5米． （1）求抛物线的表达式； （2）求篮球出手时离地面的高度． B组 能力提升 19．某商店购进一批单价为20元的日用品，若按每件30元销售，一个月能售出400件．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少20件．要使月销售利润最大，售价应定为（　　） A．30元 B．35元 C．40元 D．45元 20．飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）之间的关系为s=60t-1.5t²，飞机着陆后滑行的最远距离是（　　） A．600米 B．300米 C．1200米 D．400米 21．某公司生产一种产品，每件成本2元，售价3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．经预测，若投入的广告费为x（单位：10万元），产品的年销售量将是原来的y倍，且y=-x²+x+．当投入的广告费为________万元时，公司的年利润最大，最大年利润为________万元（年利润=销售总额-成本-广告费）． 22．直角三角形两条直角边的长度之和为8，则这个直角三角形面积的最大值是________． 23．某商品的进价为每件20元，经市场调查发现，日销售量y（件）与售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元） 30 40 日销售量y（件） 60 40 （1）求y关于x的函数表达式； （2）设日销售利润为W元，当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若物价部门规定该商品售价不得高于每件35元，此时售价定为多少元，日销售利润最大？最大利润是多少？ 24．一名同学推铅球，铅球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y=-(x-4)²+3． （1）求铅球出手时的高度； （2）求铅球行进的最大高度； （3）求该同学的推铅球成绩（铅球落地点与出手点的水平距离）． C组 拓展探究 25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，矩形CDEF的顶点D，E，F分别在边CA，AB，CB上．设CD=x，矩形CDEF的面积为S． （1）用含x的式子表示DE的长； （2）求S关于x的函数表达式； （3）当x为何值时，矩形CDEF的面积最大？最大面积是多少？ 26．某景区推出团体票优惠活动：团队人数不超过30人时，每人收费800元；超过30人时，每多1人，每人收费降低10元，但每人收费不低于500元．设某旅游团有x人，景区的收费总额为W元． （1）当x>30时，求W关于x的函数表达式，并写出x的取值范围； （2）旅游团人数为多少时，景区的收费总额最多？最多是多少元？ 五、参考答案及解析 A组 基础达标 1．【答案】B 【解析】h=-5t²+150t+10，a=-5<0，当t=-=15时，h最大．故选B． 2．【答案】A 【解析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为(8-x)米，面积S=x(8-x)=-(x-4)²+16，所以最大面积为16平方米．故选A． 3．【答案】C 【解析】y=-x²+120x-3000=-(x-60)²+600，所以当x=60时利润最大．故选C． 4．【答案】A 【解析】h=-5t²+30t=-5(t-3)²+45，所以当t=3时，h最大，为45米．故选A． 5．【答案】C 【解析】设一个数为x，则另一个数为10-x，积为x(10-x)=-(x-5)²+25，所以积的最大值为25．故选C． 6．【答案】C 【解析】s=-2t²+10t=-2(t-)²+，汽车停下时行驶距离最大，为=12.5米．故选C． 7．【答案】B 【解析】设每张床位每晚收费提高x元，收入为y元，则y=(10+x)(100-5x)=-5x²+50x+1000=-5(x-5)²+1125． 当x=5时，y最大，此时每张床位每晚收费10+5=15元．故选B． 8．【答案】B 【解析】y=-10x²+100x+2000=-10(x-5)²+2250，所以当x=5时利润最大．故选B． 9．【答案】25 【解析】设一边长为x厘米，面积S=x(10-x)=-(x-5)²+25，最大值为25平方厘米． 10．【答案】20；50 【解析】y=-2(x-20)²+50，所以单价为20元时，每件利润最大，为50元． 11．【答案】4；20 【解析】令h=0，得-5t²+20t=0，t=0或t=4，所以4秒后落回地面．h=-5(t-2)²+20，最大高度为20米． 12．【答案】 【解析】设横档长为x米，则两根竖档长都为米，透光面积S=x·=-x²+3x=-(x-1)²+． 所以当x=1时，最大透光面积为平方米． 13．【答案】不能 【解析】货车沿正中行驶，车宽2米，则货车外侧对应x=1．当x=1时，y=-1+4=3<3.5，所以货车不能通过拱门． 14．【答案】65 【解析】利润y=(x-30)(100-x)=-x²+130x-3000=-(x-65)²+1225，所以当x=65时利润最大． 15．【答案】（1）S=-2x²+30x（6≤x<15）；（2）AB=7.5米时面积最大，为112.5平方米． 【解析】（1）BC=(30-2x)米，S=x(30-2x)=-2x²+30x．由0<30-2x≤18，得6≤x<15． （2）S=-2(x-7.5)²+112.5．因为6≤7.5<15，所以当x=7.5时，S最大，为112.5平方米． 16．【答案】（1）y=-10x²+700x-10000（30≤x≤45）；（2）售价为35元时利润最大，为2250元；（3）30元． 【解析】（1）每天销售量为200-10(x-30)=(500-10x)千克，y=(x-20)(500-10x)=-10x²+700x-10000． （2）y=-10(x-35)²+2250，35在30≤x≤45范围内，所以当x=35时，y最大，为2250元． （3）令(x-20)(500-10x)=2000，整理得x²-70x+1200=0，解得x₁=30，x₂=40． 为了让顾客得到实惠，售价应取较低的价格，所以售价应定为每千克30元． 17．【答案】（1）y=-x²；（2）6米；（3）能顺利通过． 【解析】（1）由题意，B(6，-4)．设抛物线为y=ax²，把B(6，-4)代入，得36a=-4，a=-．所以y=-x²． （2）水面上升1米后，水面对应y=-3．令-x²=-3，得x²=27，x=±3，所以水面宽度为6米（约10.4米）． （3）船宽4米，沿正中行驶，船的外侧对应x=2．当x=2时，y=-，此处拱桥离水面的高度为4-=（米）． 因为≈3.56>3，所以游船能顺利通过． 18．【答案】（1）y=-x²+3.5；（2）2.25米． 【解析】（1）由题意，顶点为(0，3.5)，篮圈中心为(1.5，3.05)．设y=ax²+3.5，把(1.5，3.05)代入，得2.25a+3.5=3.05，a=-． 所以抛物线的表达式为y=-x²+3.5． （2）运动员距离篮圈中心水平距离为4米，所以出手点的横坐标为1.5-4=-2.5． 当x=-2.5时，y=-×6.25+3.5=-1.25+3.5=2.25，所以篮球出手时离地面2.25米． B组 能力提升 19．【答案】B 【解析】设售价为x元，月利润为y元，则y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1000-20x)=-20x²+1400x-20000=-20(x-35)²+4500． 所以当x=35时，月利润最大．故选B． 20．【答案】A 【解析】s=-1.5t²+60t=-1.5(t-20)²+600，所以滑行的最远距离为600米．故选A． 21．【答案】30；160 【解析】设年利润为S万元，则S=(3-2)×100y-10x=100(-x²+x+)-10x=-10x²+60x+70=-10(x-3)²+160． 当x=3，即广告费为30万元时，年利润最大，为160万元． 22．【答案】8 【解析】设一条直角边长为x，则另一条为8-x，面积S=x(8-x)=-(x-4)²+8，最大值为8． 23．【答案】（1）y=-2x+120；（2）售价40元时，最大利润800元；（3）售价35元时，最大利润750元． 【解析】（1）设y=kx+b，把(30，60)，(40，40)代入，得30k+b=60，40k+b=40，解得k=-2，b=120．所以y=-2x+120． （2）W=(x-20)(-2x+120)=-2x²+160x-2400=-2(x-40)²+800，所以当x=40时，W最大，为800元． （3）由x≤35，且W在x<40时随x的增大而增大，所以当x=35时，W最大，W=(35-20)×(-70+120)=15×50=750（元）． 24．【答案】（1）米；（2）3米；（3）10米． 【解析】（1）当x=0时，y=-×16+3=-+3=，所以出手时的高度为米． （2）顶点为(4，3)，所以铅球行进的最大高度为3米． （3）令y=0，得(x-4)²=36，x-4=±6，x₁=10，x₂=-2（舍去）．所以推铅球成绩为10米． C组 拓展探究 25．【答案】（1）DE=8-x；（2）S=-x²+8x（0<x<6）；（3）x=3时，面积最大为12． 【解析】（1）因为四边形CDEF是矩形，所以DE∥CB，△ADE∽△ACB，所以=，即=，所以DE=8-x． （2）S=CD·DE=x(8-x)=-x²+8x，其中0<x<6． （3）S=-(x-3)²+12，所以当x=3时，S最大，为12． 26．【答案】（1）W=-10x²+1100x（30<x≤60，x为整数）；（2）55人时，最多为30250元． 【解析】（1）当x>30时，每人收费为800-10(x-30)=(1100-10x)元，W=x(1100-10x)=-10x²+1100x． 由1100-10x≥500，得x≤60，所以30<x≤60，且x为整数． （2）当x≤30时，W=800x，最大为800×30=24000元． 当30<x≤60时，W=-10(x-55)²+30250，所以当x=55时，W最大，为30250元． 因为30250>24000，所以旅游团人数为55人时，景区的收费总额最多，为30250元． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $