1.5 二次函数的应用 课时作业 2026-2027学年浙教版数学 九年级上册

1.5 二次函数的应用  课时作业

班级__________  姓名__________  学号__________  完成用时__________

一、学习目标

1．会根据实际问题列出二次函数表达式，并结合实际意义确定自变量的取值范围．

2．会利用二次函数的性质解决面积最大、利润最大等最值问题．

3．会通过建立平面直角坐标系，用二次函数解决抛物线形建筑、物体运动轨迹等问题．

4．体会数学建模思想，提高分析问题和解决实际问题的能力．

二、知识点梳理

知识点1  用二次函数解决最值问题的一般步骤

（1）审题：弄清题意，找出变量之间的数量关系； （2）设元列式：设出自变量和函数，列出二次函数表达式； （3）定范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； （4）求最值：配方或用顶点坐标公式求最值，注意检验顶点横坐标是否在自变量的取值范围内； （5）作答：回到实际问题中作答．

 

知识点2  几何图形的面积最值问题

常见类型：用定长的篱笆围矩形（可能靠墙、可能有隔断）、在三角形中作内接矩形等．

解题关键：用含x的式子表示图形的长和宽，由面积公式列出函数表达式．特别要注意墙长等限制条件对自变量取值范围的影响．

若顶点横坐标在自变量取值范围内，则最值在顶点处取得； 若顶点横坐标不在取值范围内，则要根据函数的增减性，在取值范围的端点处求最值．

 

知识点3  销售利润最值问题

基本等量关系：总利润=单件利润×销售量；单件利润=售价-进价．

常见情形：“售价每上涨（下降）a元，销量减少（增加）b件”，此时销售量要用含自变量的式子表示．

注意：当自变量只能取整数时，若顶点横坐标不是整数，要比较与它相邻的整数对应的函数值．

知识点4  抛物线形问题（拱桥、隧道、投球、喷泉等）

解题步骤：（1）建立恰当的平面直角坐标系；（2）根据已知条件写出关键点的坐标；（3）用待定系数法求抛物线的表达式；（4）利用表达式解决实际问题．

建系技巧：通常以抛物线的顶点或对称轴为参照建立坐标系．若以顶点为原点，可设y=ax²；若顶点在y轴上，可设y=ax²+k．

三、典型例题

例1  如图，用长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．

（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；

（2）当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？

【解析】（1）由题意，与墙垂直的三段篱笆长都为x米，所以BC=(24-3x)米．

S=x(24-3x)=-3x²+24x．由0<24-3x≤10，得≤x<8．

（2）S=-3(x-4)²+48，对称轴为直线x=4．因为4<，所以在≤x<8范围内，S随x的增大而减小．

所以当x=时，S最大，最大值为×(24-14)=（平方米）．

【点拨】本题最值不在顶点处取得，这是因为墙长限制了x的取值范围，解题时一定要先确定取值范围．

例2  某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每月可卖出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，每月少卖出10件．当售价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？

【解析】设售价为每件x元（x≥50），每月的销售利润为y元．

每件利润为(x-40)元，每月销售量为500-10(x-50)=(1000-10x)件．

y=(x-40)(1000-10x)=-10x²+1400x-40000=-10(x-70)²+9000．

因为-10<0，所以当x=70时，y最大，最大值为9000．答：当售价定为每件70元时，每月的利润最大，最大利润为9000元．

例3  某隧道横截面由抛物线和矩形ABCD构成（如图），矩形的长AB=8米，宽AD=2米，隧道最高点P离地面6米．以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的表达式；

（2）一辆货运卡车高4米，宽2.4米，它沿隧道中线的一侧行驶（车的一侧紧靠中线），能否安全通过隧道？

【解析】（1）由题意，P(0，6)，D(-4，2)．设抛物线为y=ax²+6，把D(-4，2)代入，得16a+6=2，a=-．

所以抛物线的表达式为y=-x²+6（-4≤x≤4）．

（2）卡车外侧离中线2.4米，当x=2.4时，y=-×2.4²+6=-1.44+6=4.56．因为4.56>4，所以卡车能安全通过隧道．