专题02 二次函数实际应用 八大题型突破-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用八大题型，以情境化问题为载体，系统构建从模型建立到性质应用的解题逻辑链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |投球问题|5题|运动轨迹抛物线，求解析式与水平距离|顶点式/一般式建模，最值与交点应用| |喷泉问题|5题|对称抛物线水流，求高度与距离|对称性与顶点坐标应用| |拱桥问题|6题|抛物线型建筑截面，解实际通行问题|坐标系建立与函数性质综合| |图形问题|5题|矩形/梯形面积最值，几何与函数结合|图形边长关系转化为二次函数| |每每问题|4题|售价与销量关系，利润最大化|“每增减”类数量关系建模| |利润问题|3题|成本与售价，总利润函数构建|利润公式与二次函数最值| |其他问题|8题|游客增长/排队安检等综合情境|多样化实际问题的函数转化| |图形运动问题|4题|动点与图形重叠面积，动态函数|运动过程分段与面积表达式构建|

专题02 二次函数实际应用常考八大题型突破 【题型01：投球问题】 【题型02：喷泉问题】 【题型03：拱桥问题】 【题型04：图形问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：利润问题】 【题型07：其他问题】 【题型08：图形运动问题】 【题型01 ：投球问题】 1．实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 2．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 3．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 4．综合与实践． 【实践活动】如图，某科技小组开展无人机抛投实验，已知无人机在距离地面20米的高空水平飞行，当无人机到达点时，竖直向下抛出一个小型探测装置，探测装置的运动轨迹为抛物线，其水平方向做匀速直线运动，速度为4米/秒，竖直方向做自由落体运动（竖直方向位移公式为，其中为下落高度，为运动时间，米/秒，（忽略空气阻力）． (1)【数据收集】设探测装置运动时间为秒（），水平距离为米，竖直方向距离地面高度为米，完成以下表格，并求出关于的函数解析式； 时间/秒 0 1 2 水平距离/米 竖直方向位移距离/米 竖直方向距离地面高度/米 (2)【区域探究】为了确保实验安全，现规定当探测装置离地高度不低于5米时为飞行安全区域，请你通过计算求出安全区域水平距离的范围，并求出探测器在安全区域飞行的时间（结果保留根号）； (3)【方案调整】若实验区域正前方有一个长2米、高3米的长方体障碍物，障碍物的中心与原点的水平距离为6.5米，探测装置是否会与障碍物发生碰撞？请通过计算说明理由；若发生碰撞，该如何调整抛出的位置？ 5．如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【题型02 ：喷泉问题】 6．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 7．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 8．【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．    (1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? (2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 10．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【题型03 ：拱桥问题】 11．有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． (1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 12．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 13．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． (1)设抛物线的解析式为，求a和k的值； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求点F的坐标； 14．在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面，水平地面上的点O，B之间的距离为．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 15．如图1是家里常用的炒菜锅，其侧面可抽象为图2中的几何图形，已知其中经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形．锅口和锅盖贴合面的直径为，锅深，锅盖的高度是锅深的，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C、D在y轴上． (1)求锅盖所在抛物线的函数表达式； (2)若在锅里平放一个直径为的圆盘，圆盘的边缘P、Q两点在炒菜锅所在的抛物线上（点P、Q关于y轴对称，），求点P到锅盖的竖直高度． 16．学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【题型04：图形问题】 17．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 18．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 19．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 20．【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； (2)当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； (3)在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 21．如图①，在地面上有两根等长的立柱，，它们之间悬挂了一根抛物线形状的晾衣绳，按照图中的直角坐标系，这条晾衣绳可以用表示，已知米． (1)求抛物线的表达式； (2)现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根管子作为立柱对晾衣绳进行支撑（如图②），现要求立柱到距离为，两旁的晾衣绳也是抛物线形状，且立柱左侧晾衣绳的最低点到的距离为，到地面的距离为．现有一根长米的管子且可加工切割，请你通过计算，判断这根管子的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）． 【题型05：每每问题】 22．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件． (1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为________件；当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为_________件． (2)当每件的销售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 23．重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 24．某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 25．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． (1)若每个房间每天定价增加元（是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； (2)若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【题型06：利润问题】 26．某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 27．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 28．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【题型07：其他问题】 29．今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 30．近些年全国各地频发雾霾天气，给人们的身体健康带来了危害，某单位计划统一购买A，B两种型号的空气净化器，下面是该单位的采购员和售货员有如下对话： (1)求A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器台，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价（元）满足，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元? 31．某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 32．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 33．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 34．【问题背景】 排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为________． 【模型应用】 (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最多人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 35．综合与实践： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线，以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶，截面宽米，竖直高为米，请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)求机器人第一次落地点与起跳点之间的距离； (3)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶，求台阶应放在离点多远处？（求的取值范围） 36．多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 37．综合与实践 【问题情境】：如图1，一个小球在一条足够长的平直轨道（射线）上运动．轨道上存在恒定的摩擦力，小球从点A出发，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动的过程中，其速度v（单位：）与时间t（单位：s）之间的部分数据如下表所示： t/s 0 2 4 6 … v/（） 10 9 8 7 … 【建立模型】： (1)根据表格中的实验数据可知，v是t的_____（选填“一次”“二次”或“反比例”）函数，则v关于t的函数表达式为_____． (2)实验测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为．已知其路程y（单位：）关于时间t的关系是抛物线的一部分，求y关于t的函数表达式． 【问题解决】： (3)如图2，在（2）的条件下，轨道上是否存在点C和点D（点C在点D的左侧），，小球从C到D用时恰好为？若存在，求点D到点A的距离；若不存在，请说明理由． 【题型08：图形运动问题】 38．综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 39．如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 40．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 41．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数实际应用常考八大题型突破 【题型01：投球问题】 【题型02：喷泉问题】 【题型03：拱桥问题】 【题型04：图形问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：利润问题】 【题型07：其他问题】 【题型08：图形运动问题】 【题型01 ：投球问题】 1．实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 2．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 3．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 4．综合与实践． 【实践活动】如图，某科技小组开展无人机抛投实验，已知无人机在距离地面20米的高空水平飞行，当无人机到达点时，竖直向下抛出一个小型探测装置，探测装置的运动轨迹为抛物线，其水平方向做匀速直线运动，速度为4米/秒，竖直方向做自由落体运动（竖直方向位移公式为，其中为下落高度，为运动时间，米/秒，（忽略空气阻力）． (1)【数据收集】设探测装置运动时间为秒（），水平距离为米，竖直方向距离地面高度为米，完成以下表格，并求出关于的函数解析式； 时间/秒 0 1 2 水平距离/米 竖直方向位移距离/米 竖直方向距离地面高度/米 (2)【区域探究】为了确保实验安全，现规定当探测装置离地高度不低于5米时为飞行安全区域，请你通过计算求出安全区域水平距离的范围，并求出探测器在安全区域飞行的时间（结果保留根号）； (3)【方案调整】若实验区域正前方有一个长2米、高3米的长方体障碍物，障碍物的中心与原点的水平距离为6.5米，探测装置是否会与障碍物发生碰撞？请通过计算说明理由；若发生碰撞，该如何调整抛出的位置？ 【答案】(1)解：填表如下： 时间/秒 0 1 2 水平距离/米 0 2 4 6 8 竖直方向位移距离/米 0 5 20 竖直方向距离地面高度/米 20 15 0 (2)安全区域水平距离的范围为，时间为秒； (3)解：探测装置与障碍物会发生碰撞， 理由：当时，， 当时，， 探测装置与障碍物会发生碰撞， 当时，则， 解得（负值舍去）， ∵， ∴只需将抛出的位置向左平移（米）或向右平移（米）， ∴可以向右平移1米抛出或向左平移3米抛出．（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意分别计算即可完成表格；再利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （2）当时，代入（1）中解析式得，即可解答，再利用路程除以水平方向的速度即可求出时间； （3）求出当时，，当时，，即可解答，再求出当时，，结合，即可作出调整． 【详解】（1）解：填写表格略， 设关于的函数解析式为， 把代入得， 解得， 关于的函数解析式为． （2）解：当时，代入（1）中解析式得， 解得， 安全区域水平距离的范围为， 时间为（秒）． （3）略 5．如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】(1)8，1000 (2) (3) 【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求； （2）由（1）知，求出，消去即可； （3）把代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 【题型02 ：喷泉问题】 6．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 7．某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由． 【答案】(1)（或） (2) 解：水柱不会打湿护栏花墙．． 理由：∵m，m， ∴m， 则点的坐标为． 当时，． ∵， ∴水柱不会打湿护栏花墙． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出顶点式，再代入即可求解； （2）点的坐标为，代入函数解析式计算出函数值与2m的护栏花墙比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知水柱所在抛物线的顶点坐标为． 设水柱所在抛物线的函数表达式为（为常数，）， 将代入，得， 解得， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）略 8．【项目式学习】 项目主题：合理设计  智慧泉源 项目背景：为美化校园，学校计划增设环形喷泉池，并在池边安装LED发光地砖灯．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一  测量建模 （1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，喷水口距离地面米，在距池中心水平距离1米处，水柱达到最高，高度为3米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）； 任务二  设计方案 （2）喷水池的俯视图如图3所示．若要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少多少米？ 【答案】（1）；（2）要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米 【分析】本题考查了二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征 （1）设抛物线解析式为，把代入求出的值，即可得抛物线解析式； （2）把代入解析式求出的值，即可求解． 【详解】（1）设，过点 ∴代入，解得， ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； （2）当时， 解得： ∴第一象限部分的抛物线与轴的交点为， ∴要求喷泉水不落到喷水池外，喷水池半径至少米． 9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．    (1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? (2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 【答案】(1)不会，理由如下： 由题意得：该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得： ∴ 当时， ∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键． （1）设该抛物线的解析式为，将点代入即可求出解析式；求出当时的函数值，即可判断； （2）由题意得直线的解析式为：，确定水流的高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：由题意得， ∴直线的解析式为： 水流的高度与斜坡铅垂高度差， ∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为 10．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【题型03 ：拱桥问题】 11．有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． (1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴， 解得：， ∴； （2）解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米． 12．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式即可； （2）将代入抛物线解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴把，代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，． 答：保温墙的高度是米． 13．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． (1)设抛物线的解析式为，求a和k的值； (2)分别延长，交抛物线于点F，E，求点F的坐标； 【答案】(1) (2)点F坐标为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． （1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标F． 【详解】（1）解：根据题意，点，，， 设抛物线解析式为：， 将坐标代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：设直线解析式为， 将坐标代入得，， 解得， ∴直线解析式为：， 联立函数解析式：， 解得：，或， ∴点F坐标为． 14．在万物复苏的春天，露营成了很多人们放松休闲的选择，它带给我们的不仅仅是亲近自然的体验，更是一种身心的放松和宁静．周末小雅一家去公园露营，他们在草坪上撑开了一个露营帐篷．该露营帐篷撑开后（如图1）上面的轮廓可近似看作抛物线．如图2，以帐篷左侧A的底部为原点O，以水平地面为x轴，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线的最高点A距离地面，水平地面上的点O，B之间的距离为．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． 【答案】(1) (2)活动区域在水平方向上的最大宽度为 【分析】（1）根据题意确定，，再将点代入，进行计算即可； （2）当时，得，解得，，即可得到答案． 【详解】（1）解： ，点A为抛物线的顶点，且距离地面， ，, 设该抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的函数表达式为， 当时，得， 解得，， ， 活动区域在水平方向上的最大宽度为． 15．如图1是家里常用的炒菜锅，其侧面可抽象为图2中的几何图形，已知其中经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形．锅口和锅盖贴合面的直径为，锅深，锅盖的高度是锅深的，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C、D在y轴上． (1)求锅盖所在抛物线的函数表达式； (2)若在锅里平放一个直径为的圆盘，圆盘的边缘P、Q两点在炒菜锅所在的抛物线上（点P、Q关于y轴对称，），求点P到锅盖的竖直高度． 【答案】(1) (2)点P到锅盖的竖直高度为 【分析】（1）根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出炒菜锅所在的抛物线的函数表达式，再将点的横坐标代入两解析式即可得解． 【详解】（1）解：∵锅深，锅盖的高度是锅深的， ∴， ∵以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，直径为， ∴，，， ∴设锅盖所在抛物线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵锅深，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，直径为， ∴，，， ∴设炒菜锅所在的抛物线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴； ∵点P、Q关于y轴对称，， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴点P到锅盖的竖直高度为． 16．学科实践：根据以下项目材料，探索并完成任务． 课题 为新校区设计拱形校门 背景 校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等，从而增强对学校的认同感，提升学校的社会价值．数学实践小组设计出一款拱形校门，拱形在中国古典庭院设计中被广泛应用，同时也是西方古典建筑的重要元素；选取“拱”为主要元素，恰如其分的体现出学校“和而不同，美美与共”的理念． 图示 效果图 示意图 实验数据 图1为“拱形校门”的效果图，由门房、拱形钢架以及电动推拉门组合而成，整个图形呈轴对称，拱形钢架可抽象为抛物线形状；如图2，是其正面示意图，以为原点建立平面直角坐标系，抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米，两侧矩形门房、大小相同且米，米，抛物线与关于对称且抛物线、与的形状相同，经过点、、，经过点、、，点的对称点，米． 问题解决 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)求点、的坐标； (3)若在抛物线钢架拱门内壁悬挂一个平行于的矩形横幅，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称，横幅长为6米，宽为0.5米，请你计算横幅最低点离地面的距离． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)横幅最低点离地面的距离为7米 【分析】（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为．再把顶点，分别代入计算，得，即可作答． （2）先理解题意，得点的坐标为，点的坐标为，结合抛物线、与的形状相同，故设抛物线表达式为，再运用待定系数法进行解方程，得抛物线表达式为，故点的坐标为以及点的坐标为； （3）由（1）得抛物线的顶点的坐标为，再求出点的横坐标为，代入函数解析式求出，结合横幅宽为0.5米，列式计算得横幅最低点离地面的距离为7米，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为． 抛物线的跨度米，最高点离地面的距离为8米， 米， 抛物线的顶点的坐标为， ， 点的坐标为， 将点代入，得，解得， 抛物线表达式为； （2）解：米，米， 点的坐标为， 米， 点的坐标为， 抛物线、与的形状相同， 设抛物线表达式为， 把代入得， 解得：， 抛物线表达式为， 令时，则， 点的坐标为， 由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 点的对称点为， 点的坐标为； （3）解：由（1）得抛物线的顶点的坐标为， 横幅长为6米，、为悬挂点，悬挂点在抛物线上且关于对称， 点的横坐标为， ∵， 当时，， 横幅宽为0.5米， （米）， 横幅最低点离地面的距离为7米． 【题型04：图形问题】 17．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 18．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵ ， ∴当时，面积取最大值为． 19．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 20．【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； (2)当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； (3)在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 【答案】(1)；9 (2)或 (3)时，面积差的最大值为 【分析】（1）依据函数图像和函数解析式，利用 二次函数的性质解答即可； （2）依据图像，利用数形结合法解答即可； （3）在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可． 【详解】（1）解：， ， 抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小， ， 当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为； （2）解：由图像得，两函数交于点，， 所以，表示两个水池面积相等的点是，， 联立方程组 解得：，， ，， 由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， 当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积； （3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积， 两个水池面积差， ， 函数有最大值， 当时，函数有最大值，为， 当时，面积差的最大值为． 21．如图①，在地面上有两根等长的立柱，，它们之间悬挂了一根抛物线形状的晾衣绳，按照图中的直角坐标系，这条晾衣绳可以用表示，已知米． (1)求抛物线的表达式； (2)现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根管子作为立柱对晾衣绳进行支撑（如图②），现要求立柱到距离为，两旁的晾衣绳也是抛物线形状，且立柱左侧晾衣绳的最低点到的距离为，到地面的距离为．现有一根长米的管子且可加工切割，请你通过计算，判断这根管子的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）． 【答案】(1) (2)这根管子的长度够用． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先根据抛物线的对称性求得坐标轴，再根据二次函数的性质确定b的值即可解答； （2）由原抛物线解析式求得点A坐标，根据左侧抛物线顶点坐标设出解析式，将A坐标代入求得其解析式，再求出时y的值，再与即可解答． 【详解】（1）解：∵地面上有两根等长的立柱，，米． ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴对称轴为， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：对于，当时，， ∴点A坐标为， 由题意可知：立柱左侧绳子所在抛物线的顶点为，点E的横坐标为3， 设立柱左侧绳子所在抛物线的解析式为， 把点A坐标为代入得：，解得：， ∴， 当时，， ∴这根管子的长度够用． 17．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 18．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵ ， ∴当时，面积取最大值为． 19．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 20．【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； (2)当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； (3)在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 【答案】(1)；9 (2)或 (3)时，面积差的最大值为 【分析】（1）依据函数图像和函数解析式，利用 二次函数的性质解答即可； （2）依据图像，利用数形结合法解答即可； （3）在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可． 【详解】（1）解：， ， 抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小， ， 当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为； （2）解：由图像得，两函数交于点，， 所以，表示两个水池面积相等的点是，， 联立方程组 解得：，， ，， 由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， 当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积； （3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积， 两个水池面积差， ， 函数有最大值， 当时，函数有最大值，为， 当时，面积差的最大值为． 21．如图①，在地面上有两根等长的立柱，，它们之间悬挂了一根抛物线形状的晾衣绳，按照图中的直角坐标系，这条晾衣绳可以用表示，已知米． (1)求抛物线的表达式； (2)现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根管子作为立柱对晾衣绳进行支撑（如图②），现要求立柱到距离为，两旁的晾衣绳也是抛物线形状，且立柱左侧晾衣绳的最低点到的距离为，到地面的距离为．现有一根长米的管子且可加工切割，请你通过计算，判断这根管子的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）． 【答案】(1) (2)这根管子的长度够用． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先根据抛物线的对称性求得坐标轴，再根据二次函数的性质确定b的值即可解答； （2）由原抛物线解析式求得点A坐标，根据左侧抛物线顶点坐标设出解析式，将A坐标代入求得其解析式，再求出时y的值，再与即可解答． 【详解】（1）解：∵地面上有两根等长的立柱，，米． ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴对称轴为， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：对于，当时，， ∴点A坐标为， 由题意可知：立柱左侧绳子所在抛物线的顶点为，点E的横坐标为3， 设立柱左侧绳子所在抛物线的解析式为， 把点A坐标为代入得：，解得：， ∴， 当时，， ∴这根管子的长度够用． 【题型05：每每问题】 22．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售100件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件． (1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售量为________件；当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为_________件． (2)当每件的销售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)90， (2)每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为1125元． 【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少5件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：当每件的销售价为52元时，则每件的销售价增加2元，每天的销售数量将减少件． 该纪念品每天的销售量为件， 当每件的销售价为元时，该纪念品每天的销售量为件； （2）由题意得： ∵，抛物线开口向下，且， ∴当时，y有最大值1125， ∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为1125元． 23．重庆市某景区是旅游热门景点，景区某商店有A、B两款热销冰箱贴，小鲁和小巴在旅游时购买了这两款冰箱贴，其中小鲁买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，小巴买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元． (1)求A、B两款冰箱贴每件售价分别是多少元？ (2)景区内游客如潮，该商店推出了B款冰箱贴的优惠活动．若按（1）中求出的单价销售，每天可销售B款冰箱贴件．销售单价每下降元，每天可多售出件．已知B款冰箱贴成本为元，请求出B款冰箱贴每天的销售利润（元）与销售单价下降（元）（）之间的函数关系，当每件售价为多少元时，B款冰箱贴每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元 (2)当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元，根据买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，买件A款冰箱贴和件B款冰箱贴共花费元，列方程组求解即可； （2）根据销售利润等于销售量乘以售价与进价的差，列出销售利润（元）与销售单价下降（元）之间的函数关系式，再依据二次函数的性质求得最大利润即可． 【详解】（1）解：设A、B两款冰箱贴每件售价分别为元，元， 根据题意得：，解得． 答：A、B两款冰箱贴每件售价分别是元、元． （2）解：销售单价下降元， ∴销售量为件， 根据题意得：， ， ，， 开口向下， 当时，有最大值为， B款冰箱贴销售单价：（元）． 答：当B款冰箱贴销售单价定为元时，该景区一天内销售这款冰箱贴获得的利润最大，最大利润是元． 24．某商场销售人员在销售中发现：“南极人”牌童装进价为60元，售价定为100元时平均每天可售出20件．为了迎接六•一儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价5元，那么平均每天可多售出10件． (1)要想平均每天盈利1200元，那么每件童装的售价应定为多少元？ (2)每件童装的售价为多少元时，该商场每天销售此童装的盈利最多？ 【答案】(1)80元 (2)每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元 【分析】（1）设每件应降价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设总利润为W元，建立起关于的函数解析式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件应降价x元，由题意得 ， 解得：，， ∵为增大销量，减少库存， ∴每件童装应降价20元， 则售价为（元）； （2）解：设总利润为W元，由题意，得 ， ∴， ∴抛物线的开口向下，W有最大值， ∴当时，，元． 即每件童装售价为85元时，商场平均每天盈利最多1250元． 25．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． (1)若每个房间每天定价增加元（是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； (2)若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】(1) (2)①当天的定价为200元或500元时，宾馆一天利润为8640元；②房价定为350元时，宾馆一天利润最大 【分析】此题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出函数关系式． （1）依据题意，由当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可计算得解； （2）①设每个房间的定价为元，根据以上关系式列出方程求解可得； ②根据（1）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴每个房间每天定价增加元，就会有个房间空闲． 已居住的房间数为：． （2）设每个房间每天的定价增加元，宾馆一天利润为元， 则． ①令， 则， 解得，． （元），（元）． 答：当天的定价为200元或500元时，宾馆一天利润为8640元． ②， 此抛物线开口向下，对称轴为． 当时，有最大值． （元）． 房价定为350元时，宾馆一天利润最大． 【题型06：利润问题】 26．某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据利润(售价-进价) 售量，代入数据化简即可得与x之间的函数关系式. （2）根据（1）的解析式，进一步配方后，结合二次函数性质即可得此抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据的取值范围即可得出时， 元，即可得答案. 【详解】（1）解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. （2）解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. 27．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 28．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 【题型07：其他问题】 29．今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1) (2)①898万元；②当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为917.6万元 【分析】（1）设该景区游客人数的月平均增长率为，则三月份的游客为万人，四月份的游客为万 人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙三种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案； ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：该景区游客人数平均每月增长率为． （2）解：①由题意，得： （万元）， 答：景区5月份的门票总收入为898万元． ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元， 由题意，得： ， ， 当时，取最大值，为元，即万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为万元． 30．近些年全国各地频发雾霾天气，给人们的身体健康带来了危害，某单位计划统一购买A，B两种型号的空气净化器，下面是该单位的采购员和售货员有如下对话： (1)求A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； (2)该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器台，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价（元）满足，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元? 【答案】(1)每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器销售单价为1500元 (2)销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元 【分析】（1）设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设销售完这批空气净化器能获取的利润是元，由题意得到关于的二次函数，根据“B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍”，求得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台型空气净化器销售单价为元，型空气净化器销售单价为元， 根据题意，得： ， 解得， 每台型空气净化器销售单价为1000元，型空气净化器销售单价为1500元； （2）解：设销售完这批空气净化器能获取的利润是元，由题意得： ， ， ， 当时，随的增大而减小，且，取正整数， 当时，有最大值为82040元， 销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 31．某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)增加10台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是3600件 【分析】（1）增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， 每天生产总量 = 总台数 × 单台日均产量，根据此关系式列式子即可； （2）根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， ∴（且为整数）； （2）解：， 当时，有最大值，最大值为3600， 因此增加10台机器时生产总量最大，最大值为3600件． 32．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 【答案】(1) (2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴， 设绳子摇至最高点时的抛物线为，把代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：9名同学中，身高最小的是，在最右（左）边， ∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距， ∴最右则同学的横坐标为， ∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的， ∴此时，头顶到地面的高度是， 在抛物线中， 当时，， ∵， ∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学． 33．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 34．【问题背景】 排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为________． 【模型应用】 (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最多人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】(1)人，； (2)排队人数在第21分钟达到最大值，最多人数为541人； (3)开设7条安检通道． 理由：设开设条安检通道， ， 抛物线开口向下，对称轴为， 排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ， ， 该演出场地最多可开放9条安检通道， ， 为整数， 的最小值为， 即开设7条安检通道． 【分析】（1）用通道数每条通道每分钟可安检人数时间 可求出已入场人数；用现场总人数y与安检时间x之间满足关系式已入场人数，可得出排队人数w与安检时间x的函数关系式； （2）利用二次函数的性质求最值即可； （3）设开设条安检通道，得到排队人数关于安检时间的新函数，根据题意得到在对称轴右侧，随的增大而减小，进而得出的取值范围，取最小值即可． 【详解】（1）解：当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为（人）， 现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：，且排队人数现场总人数已入场人数， 排队人数w与安检时间x的函数关系式为； （2）解：， 当时，有最大值为， 即排队人数在第21分钟达到最大值，最多人数为541人； （3）解：略 35．综合与实践： 央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线，以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系．机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米．舞台上设有长方体台阶，截面宽米，竖直高为米，请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)求机器人第一次落地点与起跳点之间的距离； (3)若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶，求台阶应放在离点多远处？（求的取值范围） 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可． （2）将代入，求出点E的坐标，即可求出． （3）先求出第二次起跳点的坐标，对比两次起跳点的坐标，通过平移求出第二起跳的解析式，再令，求出对应的的值，从而得到的取值范围； 【详解】（1）解：根据题意可知，图1中抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得或， ∴ ∴． （3）解：第一次落地点的坐标为，即第二次起跳点的坐标为， 根据题意，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线， ∴第二次跳跃的抛物线等同于第一次跳跃的抛物线向右平移4个单位得到， ∴第二次跳跃的抛物线为， 将代入，得， ， 解得或， 机器人想要越过长方体台阶，则点和点必须在抛物线的内部， ∴，且， ∵， ∴． 答：台阶应放在离点O距离米处，即． 36．多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 【答案】(1)，； (2)解：不可以，理由如下： 根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得， 解得（舍去），． ， ， ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． 【分析】（1）由题可得：抛物线的顶点的坐标为．设与的函数解析式为，再进一步利用待定系数法求解即可． （2）设点的坐标为，代入抛物线的解析式求解，再进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得． 抛物线的函数解析式为，． （2）略 37．综合与实践 【问题情境】：如图1，一个小球在一条足够长的平直轨道（射线）上运动．轨道上存在恒定的摩擦力，小球从点A出发，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动的过程中，其速度v（单位：）与时间t（单位：s）之间的部分数据如下表所示： t/s 0 2 4 6 … v/（） 10 9 8 7 … 【建立模型】： (1)根据表格中的实验数据可知，v是t的_____（选填“一次”“二次”或“反比例”）函数，则v关于t的函数表达式为_____． (2)实验测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为．已知其路程y（单位：）关于时间t的关系是抛物线的一部分，求y关于t的函数表达式． 【问题解决】： (3)如图2，在（2）的条件下，轨道上是否存在点C和点D（点C在点D的左侧），，小球从C到D用时恰好为？若存在，求点D到点A的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次； (2) (3)存在，点D到点A的距离为 【分析】（1）根据表格的数据变化规律即可确定函数类型，再待定系数法求解函数表达式即可； （2）由题意得，时，；时，，再代入解方程组即可； （3）的距离等于秒时的路程减去t秒时的路程，据此列方程求解，即可求解点D到点A的距离． 【详解】（1）解：根据表格可得时间每增加2秒，速度均匀减少， 因此v是t的一次函数， 设 代入和可得， 解得 ∴ 当时，则， 解得 ∴ （2）解：由题意得，时，；时，， ∴ 解得 ∴； （3）解：存在， 设小球到达点C的时间为t秒，则到达点D的时间为秒， 由题意得，的距离等于秒时的路程减去t秒时的路程， ∴ 解得， 此时，符合题意 点D到点A的距离为时的路程， ∴点D到点A的距离 ∴存在，点D到点A的距离为． 【题型08：图形运动问题】 38．综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，进行求解即可； （2）易得为等腰直角三角形，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （3）设，分别交于点，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，求出的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形的面积，进行求解即可； （4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∵， ∴； （2）解：∵等腰中，，， ∴， ∵正方形，落在上 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，分别交于点， 则为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵，； ∴， ∴ ， ∴； （4）解：当时，重叠部分的面积即为正方形的面积， ∴， ∴当时，值最大为； 当时，由（3）可知：； ∴当时，值最大为； ∵， ∴正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是. 39．如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)点落在边上时，的值为2； (3)． 【分析】（）先得出，又四边形是矩形，则， ，从而有 ，所以，然后通过勾股定理得，再代入即可求解； （）可得、、都是等腰直角三角形，又四边形是矩形，则 ， ，，所以 ，即，然后求出的值即可； （）分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当点落在边上时，如图， 同（）理可得、、都是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴点落在边上时，的值为； （3）解：当点与点重合时，，， 当时， 重叠部分的面积就是矩形的面积，此时，； 当时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述：． 40．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到． (1)如图1，当经过点A时，求直线的函数解析式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为S． ①如图2，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，求重叠部分面积S（用含有t的式子表示），并直接写出t的取值范围； ②从初始位置起向右平移的过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①，；②或 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 41．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①（）②的取值范围为 【分析】（1）过点作于点，根据是等腰直角三角形，得到，得到点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标． （2）①先根据平移规律表示出平移后正方形各顶点的坐标，求出直线的解析式，结合重叠部分为五边形的图形特征，通过“正方形面积减去空白等腰直角三角形面积”的方法表示出重叠面积，并根据交点的位置范围确定的取值范围； ②根据平移过程中重叠部分的形状变化进行分段讨论，结合各段对应函数的增减性，分别求出给定区间内的最大值与最小值，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是, 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是； 故答案为：；； （2）解：正方形沿轴向右平移个单位后，顶点坐标为： ，，，， 直线：过、，解析式为； 直线：过、，斜率为，解析式为 ①是竖直线，与交于； 是水平线，与交于， 重叠部分为五边形时，在边上，在边上， 解得， 此时重叠面积正方形面积左上角的面积， 是等腰直角三角形，直角边长， ， 正方形面积为，因此： ； ②分三段分析函数单调性与最值： 当时，，开口向下，对称轴为，随增大而增大， 时，；时，； 当时，正方形右上角被切去等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 当时，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 的取值范围为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形在坐标系中的位置与平移，等腰直角三角形的性质、正方形的性质，分情况讨论确定重叠部分的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $