专题1.4二次函数与一元二次方程（专题训练）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题1.4二次函数与一元二次方程（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·抛物线与x轴的交点】 1 【题型 2·利用二次函数的图象确定方程根的情况】 3 【题型 3··求x轴与抛物线的截线长】 5 题型 4··利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 8 【题型 5·利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 9 题型 6·利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 11 题型 7·根据两函数交点确定不等式的解集 15 【题型 1·抛物线与x轴的交点】 1．二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数与x轴交点是对应方程的解，即解方程，通过因式分解求解即可得到答案. 【详解】解：∵与x轴交点即， ∴ 解方程， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∴ 交点的横坐标为，. 故选：B. 2．抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，解题的关键在于熟知抛物线与轴的交点坐标的纵坐标为．先求出抛物线与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、两点， 令，即， ，解得，， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ． 故选：D． 3．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 4．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 【题型 2·利用二次函数的图象确定方程根的情况】 5．已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（    ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表中数据得当时，； 当时， 所以方程的解为． 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 7．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 8．已知二次函数 的部分对应值如表： x 0 2 3 y 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 ；③当 时，y随x增大而减小；④方程 的一个根为：，另一个根为 ．其中正确的有 （     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用对称点的性质求出对称轴，再结合二次函数性质逐一判断结论即可． 【详解】解：∵当时，当时，两点值相等， ∴对称轴为直线，故②正确； 由表格可知当时，随的增大而减小，故③正确； 再由表格可知当时，随的增大而增大， 则抛物线开口向下，故①正确； 由表格可知时，所以是方程的一个根， 由表格可知时，所以是方程的另一个根， 则方程 的一个根为：，另一个根为 ，故④正确． 综上，4个结论都正确． 【题型 3··求x轴与抛物线的截线长】 9．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 10．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵恒成立， ∴的值为或． 11．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 12．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 13．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2， 当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0， 设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2， 则x1+x2＝6，x1x2＝， ∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4， ∴|x1﹣x2|＝4， ∴（x1﹣x2）2＝16， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16， ∴36﹣4×＝16， 解得，a＝， 故选：D． 【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式. 题型 4··利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 14．根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程的解理解为函数当时与x轴交点的横坐标，再解答即可． 【详解】解：∵对于函数， 当时， 当时， 可见，x取1.1与1.2之间的某一值时，， 则方程的一个解的取值范围是． 15．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程 的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格中函数值的变化，确定时的取值范围，再结合负解得出答案即可，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在与之间，存在使， ∵是方程的负解， ∴， 故选：． 16．如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；由题意知，函数值的绝对值越小，则自变量越接近对应一元二次方程的解，比较函数值的绝对值即可判断． 【详解】解：由表知，函数值的绝对值最小，对应的自变量值最接近一元二次方程的一个根， 故选：B． 【题型 5·利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 17．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 18．如图，抛物线 与直线 交于点 ， ，则不等式 的解集为(    )   A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】直接利用函数图象结合其交点坐标得出不等式的解集． 【详解】解：如图所示： ∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为， ， ∴不等式的解集， 即二次函数图象在一次函数图像上方时， 得出的取值范围为： 或 ． 不等式 的解集为： 或 ． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确运用数形结合是解题关键． 19．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 20．如图，已知二次函数与一次函数的图象交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得x的取值范围． 【详解】解：由图象知，当时，抛物线位于直线的下方，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键． 题型 6·利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 21．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 22．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先利用抛物线对称轴公式求出的值，再代入已知交点求出的值得到抛物线解析式，通过配方确定顶点（最小值点），结合区间端点函数值与抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，，对称轴， ∴，解得， ∵抛物线与轴交于点，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为，配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为， 当时，， 当时，， 又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于， ∴． 故选：B． 23．点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】∵点在抛物线上， ∴，． ∵， ∴， 解得． 故m的取值范围为． 故选：B． 24．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点的应用是解题的关键． 先根据题意画出图象，通过抛物线与直线在之间有个公共点，则，最后解出不等式组即可． 【详解】解：如图， 由直线得，当时，，当时，， ∵抛物线与直线在之间有个公共点， ∴， 解得：， 故选：． 25．已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质和数形结合是解题的关键． 【详解】解：由， 当时，随的增大而减小， ∴在时，当时，有最大值， 最大值为：， 故选：． 题型 7·根据两函数交点确定不等式的解集 26．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 27．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 28．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，， 图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 29．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 30．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像求解不等式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 由图像可得，二次函数的对称轴为，与轴的一个交点为，根据对称性求得另一点的坐标，即可求解． 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 31．二次函数（，，，为常数）的部分对应值列表如下： 则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和不等式的关系，根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，进而可得的解集 【详解】解：根据表格可得抛物线开口向下，顶点为，过点 ∴不等式的解集为或 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4二次函数与一元二次方程（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·抛物线与x轴的交点】 1 【题型 2·利用二次函数的图象确定方程根的情况】 2 【题型 3··求x轴与抛物线的截线长】 3 题型 4··利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 3 【题型 5·利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 4 题型 6·利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 5 题型 7·根据两函数交点确定不等式的解集 5 【题型 1·抛物线与x轴的交点】 1．二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．抛物线与轴交于点、两点，则线段长是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 4．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型 2·利用二次函数的图象确定方程根的情况】 5．已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（    ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B． C． D． 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 7．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数 的部分对应值如表： x 0 2 3 y 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 ；③当 时，y随x增大而减小；④方程 的一个根为：，另一个根为 ．其中正确的有 （     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型 3··求x轴与抛物线的截线长】 9．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 10．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 11．已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 12．抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 13．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（    ） A．1 B． C． D． 题型 4··利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 14．根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 15．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程 的一个负解的范围是（    ） A． B． C． D． 16．如表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值，那么最接近方程的一个根是（   ） x 1 y A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【题型 5·利用二次函数的图象求一元二次不等式的取值范围】 17．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 18．如图，抛物线 与直线 交于点 ， ，则不等式 的解集为(    )   A． B． 或 C． D． 或 19．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 20．如图，已知二次函数与一次函数的图象交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是______． 题型 6·利用不等式求自变量或函数值的取值范围】 21．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．点都在抛物线上．若，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 24．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 25．已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 题型 7·根据两函数交点确定不等式的解集 26．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 27．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 28．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 29．已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 30．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 31．二次函数（，，，为常数）的部分对应值列表如下： 则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $