专题03 二次函数与几何压轴综合十大题型突破全册高频考点题型归纳与满分必刷题2026-2027学年九年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合十大核心题型，以题载法系统覆盖中考压轴考点，通过从基础几何元素到复杂图形存在性的逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何元素综合|15题/3道|角相等、线段最值、面积计算|从坐标表示到几何性质转化，构建代数与几何桥梁| |特殊四边形存在性|10题/2道|平行四边形、菱形、矩形存在性|依据图形性质列方程，渗透分类讨论思想| |特殊三角形存在性|22题/4道|等腰、直角、等腰直角、全等三角形存在性|结合勾股定理与全等判定，强化模型观念|

专题03 二次函数与几何压轴综合十大题型突破 【题型01 ：二次函数与角问题】 【题型02 ：二次函数与线段问题】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角问题】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（ ）经过点、两点，与轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由； (3)将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，若平移后的抛物线与直线 相切（只有一个交点），求n的值． 3．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 5．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型02 ：二次函数与线段问题】 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 7．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 8．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 9．如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 【题型03：二次函数与面积综合】 11．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 13．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 16．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 19．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 22．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 25．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 26．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 27．如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 28．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 29．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 30．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 31．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 33．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 34．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 35．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 36．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，为抛物线上的一动点（不与点重合）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当是直角三角形时（），求点的坐标． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 39．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 41．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 42．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 43．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与直线的图象交于，两点，其中抛物线与轴交于点，已知． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线第四象限部分上的一点，点是坐标平面内一点（点与点不重合），过点作轴交直线于点，求出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 44．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 45．综合运用：如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线，点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P、Q、R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 46．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与几何压轴综合十大题型突破 【题型01 ：二次函数与角问题】 【题型02 ：二次函数与线段问题】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角问题】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（ ）经过点、两点，与轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由； (3)将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，若平移后的抛物线与直线 相切（只有一个交点），求n的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解． （2）先假设存在，设出其横坐标，利用等角对等边得出其纵坐标，再代入解析式即可求解． （3）利用只有一个交点，联立解析式，令即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（ ）经过点、两点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线关于y轴对称， ∴． （2）解：存在，或； 理由：假设存在点，设其横坐标为t，连接，过P点作x轴于点D， ∵， ∴， ∴， 如图，当P点在x轴上方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． 如图，当P点在x轴下方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． （3）解：将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，平移后的抛物线解析式为， 令， ∴， ∵平移后的抛物线与直线 相切， ∴， ∴． 3．如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可． (3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 故或． （3）解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 4．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 5．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用抛物线经过的点以及对称轴，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，进而表示出与的长度，得到，是等腰直角三角形，的长度，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一可得的长，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）分点在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴交于、两点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． （2）解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点作于，则点是的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边上的高的最大值为． （3）解：当点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 当点位于下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点与点重合， ， 综上所述：或． 【题型02 ：二次函数与线段问题】 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 7．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 8．已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 9．如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【分析】（1）先由直线求出与坐标轴的交点、，再代入抛物线方程解得，得解析式； （2）设，则，，由得，解得，故． 【详解】（1）解：抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点， 当时，， ， 当时，， ，， 将、代入， 得：，解得， 抛物线的解析式为； （2）M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． 可设点，则点，点，， ， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得，                                   抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为，                      在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 【题型03：二次函数与面积综合】 11．如图是抛物线，其顶点为，与x轴的交点为（点A在点B的左边）． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点P，其坐标为或 【分析】（1）根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可； （2）根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令，解一元二次方程即可； （3）根据平面直角坐标系中点的位置关系求出的面积，从而确定的面积，求出点的纵坐标，将点的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可． 【详解】（1）解：将顶点代入中， 得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴令，则， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点的坐标为，点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，, ∴，则， ∴，解得． ∵点P在抛物线上， ∴， ∴， 由，解得， ∴存在满足条件的点P，其坐标为或． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 13．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 14．如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 16．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 17．如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3) ，； ，； ，． 【分析】把，代入，求出抛物线解析式为，然后通过配方即可求出顶点坐标； 分若点在上方，，若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同两种情况求解即可； 分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴； （2）解：若点在上方，， 即，得， 把代入抛物线， 解得， ∴或； 若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同，此时点； 综上所述，点坐标为或或； （3）解：设，， 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 综上可得共三种情况 ，； ，； ，． 18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】 （1）将，代入，解方程组即可； （2）设，则，，确定，根据得，继而得到，求解即可； （3）由得原抛物线对称轴是直线，根据将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，可得原抛物线水平向右平移了个单位，平移后的抛物线是，设，，分三种情况：①以、为对角线，则的中点即是中点；②以、为对角线，则的中点即是中点；③以、为对角线，则的中点即是中点；分别画图求解即可． 【详解】（1） 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2） 解：如图，设， ∵点是抛物线上位于第一象限的动点， ∴，， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （3） 解：∵原抛物线的解析式为，，， ∴原抛物线的对称轴是直线， ∵将原抛物线水平向右平移，使点落在点处， ∴原抛物线水平向右平移了个单位， ∴平移后的抛物线是， 设，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ②以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 19．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、代入求出抛物线解析式； （2）设，过作轴交于，用表示，利用二次函数的性质求点的坐标； （3）设，，，，分三种平行四边形对角线情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：， ． （2）解：时，，， 设，代入，得， 设，过作轴交于，则， ， ， 当时，面积最大， ， ． （3）解：设，，，，分三种平行四边形对角线情况： ①当为对角线时，中点为， 根据平行四边形性质，同时也为中点， ∴， 整理第二个方程得，， 解得（舍去，与重合），， ∴，， ∴； ②当为对角线时，中点与中点为同一点， 同理可得，， 整理第二个方程得，， 解得(舍)，， ∴，， ； ③当为对角线时，中点与中点为同一点， ， 整理第二个方程得，， 解得， ∴当时，，此时； 当时，，此时， 综上，点坐标为或或或． 20．综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （ 2 ）过点作轴于点，交于点．设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于两点， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：二次函数与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的表达式为， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图1，过点作轴于点，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：设． ∵， 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：或， 或； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ． 综上所述，在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式； （2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在． 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为， 设，则， ，，， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况： ①当为边时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为， 综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或． 22．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求b，c的值； (2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)b的值为的值为3 (2)或或或 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）求出平移后的解析式，求出点坐标，根据菱形的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得：， 解得：； ∴b的值为的值为3； （2）解：存在，或或或，理由如下： 由（1）知：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得：， ， ， ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为， 联立：， 解得：， ， 设， ， ， 情况1：为菱形的边： ①当时，， 解得：或， ∴或； ②当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 情况2：为菱形的对角线： ③当时，，解得：， ∴， 综上：或或或． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 25．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 26．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 27．如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 28．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 29．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 30．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 31．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 32．如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及的知识点主要有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质以及平面内两点间的距离公式． （1）由抛物线的顶点坐标是知：，，则．再把代入此解析式求解即可； （2）连接、则设点的坐标为，则根据平面内两点间的距离公式可得，的值，令二者相等求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为， ． 抛物线经过点， ， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接、． 设点的坐标为． ， ． ， ． 整理，得， 解得（舍去）． 当时，， 点的坐标为． 33．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）把两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点与点关于对称轴对称，所以与抛物线对称轴的交点为，此时最小，即最小值等于线段长，求出直线与抛物线对称轴交点坐标即可； （3）分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①，②，设出点 P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；ii）当是以为底的等腰三角形时，点 P 在的垂直平分线上，，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由抛物线的对称性可知点与点关于抛物线的对称轴对称， 设与抛物线对称轴的交点为，连接，此时最小，即最小值，如图， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点与点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ． （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ， 设点的坐标为， ， ， 分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若，则，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为； ②若，则，解得， 所以点 P 的坐标为或； ii）当是以为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是或或或． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 34．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 35．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 、、， ， ， ， ， ，则， 是直角三角形； (3)存在， 【分析】（1）将、、的坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：存在， 当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为， ， 把代入得：， ，． 点坐标为．    【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 36．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，分别将，代入求得、、的坐标； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点睛】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 37．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 38．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，为抛物线上的一动点（不与点重合）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当是直角三角形时（），求点的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的性质，勾股定理． （1）把，代入可得抛物线的函数表达式为； （2）设，有，，，①当为斜边时，舍去；②当为斜边时，；③当为斜边时，，分别解方程可得的坐标为或． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设， ，， ，，， ①当为斜边时，如图，，不合题意，舍去； ②当为斜边时，如图： ， 化简变形得：， 解得（舍去）或； ； ③当为斜边时，如图： ， 变形得：， 解得（舍去）或， ； 综上所述，的坐标为或． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 39．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 40．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 41．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 42．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 43．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与直线的图象交于，两点，其中抛物线与轴交于点，已知． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线第四象限部分上的一点，点是坐标平面内一点（点与点不重合），过点作轴交直线于点，求出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据点为抛物线第四象限部分上的一点，设点的坐标为，根据轴交直线于点，则点的坐标为，所以，根据二次函数的性质可知当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为，点的坐标为，可知，根据以、、为顶点的三角形与全等，分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，可得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式为， 把点和点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， （2）解：点为抛物线第四象限部分上的一点， 设点的坐标为， 轴交直线于点， 则点的坐标为， 可得：， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为，点的坐标为， 又点的坐标为， 轴， ， ， 如下图所示，当轴，， 则， 可得：， 此时， 点的坐标为， 点的坐标为； 如下图所示，当在轴上，时， ，轴， ， 可得：， 此时， 点的坐标为， 点的坐标为； 如下图所示，当轴，时， 则， ∴， 可得：， ， 点的坐标为， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 44．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质． （1）将、代入中，解二元一次方程组即可； （2）先根据二次函数解析式求出，进而得，，再分两种情况讨论：①若，如图1，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；②若，如图2，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：， ， ， ， ，                             ①若，如图1， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ；                         ②若，如图2， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ． 综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与全等，当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或． 45．综合运用：如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线，点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P、Q、R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，分为当M点在x轴上方时，当M点在x轴下方时两种情况求得直线的解析式，再和抛物线联立方程组求解即可； （3）先求得，进而求得平移后抛物线的解析式，设，则，，分当P在Q点上方时和当点P在Q点下方时两种情况，利用全等三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得． 抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴    ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当M点在x轴上方时，如图1， ∵， ∴， 则设直线的解析式为， ∵直线经过点C，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 当M点在x轴下方时，如图1，设直线与y轴的交点为E，则，作E关于x轴对称的点F，则，连接并延长交抛物线于点，此时，则满足题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，m的值为或； （3）解：∵抛物线的图象过点，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线平移后得到，且顶点为点B， ∴， 即． 设，则， 由题意，点Q、R关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ①如图2，当P在Q点上方时， ，， ∵与全等，，，， ∴当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； ②如答图3，当点P在Q点下方时， 同理：，， 当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； 综上可得P点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、坐标与图形、全等三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 46．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 47．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或，或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $