专题1.3 二次函数的图象和性质（二）（专题训练）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象性质核心考点，以8类题型系统覆盖图象识别、性质应用、系数关系、平移变换及三种解析式求法，知识逻辑从直观到抽象层层递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象识别|3题|考查开口方向、顶点位置等几何直观|从形到数的转化基础| |性质应用|6题|涉及顶点坐标、对称轴、增减性|图象特征的代数表达| |系数关系|4题|通过图象判断a,b,c及代数式符号|数形结合的推理训练| |平移变换|3题|考查“左加右减、上加下减”规律|图象变换的量化描述| |一般式求解析式|4题|用三点坐标建立方程求解|代数模型的直接构建| |顶点式求解析式|4题|利用顶点坐标设式求解|性质与表达式的关联| |交点式求解析式|2题|结合与x轴交点设式求解|根与表达式的联系| |对称变换|5题|关于点或直线对称的解析式推导|图形变换的代数化|

专题1.3 二次函数的图象和性质（二）（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1··二次函数y= ax²+ bx+ c的图象】 1 【题型 2··二次函数y = ax² + bx+ c的性质】 3 【题型 3··二次函数y= ax² + bx+ c图象与系数的关系】 5 【题型 4··二次函数y= ax²+ bx+ c图象的平移】 9 【题型 5··用“一般式”求二次函数解析式】 10 【题型 6··用“顶点式”求二次函数解析式】 12 【题型 7··用“交点式”求二次函数解析式】 14 【题型 8·求二次函数关于点或直线对称的解析】 15 【题型 1··二次函数y= ax²+ bx+ c的图象】 1．二次函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择． 【详解】=-2x2+6x ∵a=-2＜0， ∴抛物线开口方向向下； ∵二次函数解析式为y=-2（x-）2+， ∴顶点坐标为（，），对称轴x=． 故选B． 【点睛】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限． 2．下列是抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】 【分析】利用二次函数的图象对四个选项逐一判断即可得到答案． 【详解】抛物线y=-2x2-3x+1的图象，因为a=-2，所以开口向下，故CD错误； 抛物线y=-2x2-3x+1的对称轴是直线x=- ，故A错误； 故选B． 【点睛】考查了二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断． 3．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 【题型 2··二次函数y = ax² + bx+ c的性质】 4．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 5．已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的根的判别式等于，据此列方程求解的值． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个公共点， ∴根的判别式满足， 解得． 6．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 7．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项. 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； ∴A、B选项错误； 令，则，解得， ∴抛物线与轴只有一个交点，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项正确. 8．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 9． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 【题型 3··二次函数y= ax² + bx+ c图象与系数的关系】 10．已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 11．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据图象特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、特殊点的函数值）判断系数及代数式的符号，逐一分析结论． 【详解】解：判断结论①： 观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误； 判断结论②： 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误； 判断结论③： 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确； 判断结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确； 判断结论⑤： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误； 判断结论⑥： 若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误． 综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意． 12．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 【答案】D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 【点睛】二次函数图象开口向上，，有最小值，对称轴在x的负半轴，b和a同号． 13．如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断a，b，c的符号；利用抛物线的对称性确定时y的符号，结合判断①；利用对称轴公式判断③；利用顶点坐标公式判断④，即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线， ，即． ，故②错误． ， ，故③错误． 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，，即． ， ，即，故①正确． 抛物线的顶点坐标为， ． ． ，故④正确． 综上所述，正确的结论是①④，共个． 【题型 4··二次函数y= ax²+ bx+ c图象的平移】 14．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 15．将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位， ∴， ∵再向下平移个单位， ∴． 16．将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 【题型 5··用“一般式”求二次函数解析式】 17．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点不在此抛物线上 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴此抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在此抛物线上． 18．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵ ， ∴ 函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 19．已知抛物线 的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法，将两个坐标代入抛物线求解即可． 【详解】解：将、代入抛物线 ， 得， 解得， ∴这个二次函数的解析式． 20．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【题型 6··用“顶点式”求二次函数解析式】 21．一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 22．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）令，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴该抛物线与轴的交点坐标为，． 23．已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设顶点式，代入求值即可； （2）根据抛物线与轴的交点问题，即时，求函数值即可． 【详解】（1）解：设二次函数的顶点式为：， ∵顶点为， ∴， 将代入得， ∴， 则二次函数的解析式为：， （2）解：令， 则， 解得：， 所以二次函数与轴的交点坐标为：． 24．已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，解题的关键是掌握顶点解析式． 根据顶点坐标设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为．把代入，得， 解得． ． 即这个二次函数的解析式为． 【题型 7··用“交点式”求二次函数解析式】 25．已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由于二次函数经过点，所以可以设出二次函数的交点式，代入点，即可用待定系数法求出其解析式． （2）结合二次函数的图像进行分析，得到时的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点， 设二次函数的交点式为， 将点代入解析式得：， 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：二次函数的图像经过点和，且二次项系数， 可知抛物线开口向上， 要使，即抛物线在轴的上方，对应的取值范围是或． 26．已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【答案】抛物线解析式为，抛物线得顶点坐标为 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式，写出顶点坐标即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， 所以抛物线解析式为， 而， 所以抛物线的顶点坐标为． 【题型 8·求二次函数关于点或直线对称的解析】 27．二次函数的图象关于直线对称，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是掌握对称轴公式． 根据二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 本题中，对称轴为直线， 因此有：， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 28．已知抛物线，抛物线是由抛物线向右平移3个单位得到的，那我们可以得到抛物线和抛物线一定关于某条直线对称，则这条直线为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，函数，对称轴为直线； 先求出两个函数的对称轴，根据对称性即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：直线， ∵抛物线是由抛物线向右平移3个单位得到的， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线和抛物线一定关于直线对称． 故答案为：． 29．把函数的图象关于直线对称后为函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的顶点坐标，再根据对称的特点求出对称后的函数顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：∵原函数解析式为， ∴原函数顶点坐标为， ∴对称后的函数顶点坐标为， ∵关于直线对称后的函数图象，形状不发生变化，开口方向相反， ∴对称后的函数图象为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确求出变换后的函数顶点坐标是解题的关键． 30．将二次函数的图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折前后图像对称的性质进而得出答案． 【详解】解：将二次函数y=（x-1）2-4的图象沿直线y=1翻折， 则顶点关于y=1对称， ∵原顶点为（1，-4），且开口向上， ∴翻折之后的顶点为（1，6），开口向下， ∴所得图象的函数表达式为y=-（x-1）2+6， 故选：D． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，明确关于直线y=1翻折得到的图象与原图象关于直线y=1对称是解题的关键． 31．二次函数的图象关于轴对称的抛物线解析式是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于轴对称的抛物线解析式是， 化简得，， 故选：A． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确熟知基本变换性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 二次函数的图象和性质（二）（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1··二次函数y= ax²+ bx+ c的图象】 1 【题型 2··二次函数y = ax² + bx+ c的性质】 2 【题型 3··二次函数y= ax² + bx+ c图象与系数的关系】 3 【题型 4··二次函数y= ax²+ bx+ c图象的平移】 4 【题型 5··用“一般式”求二次函数解析式】 4 【题型 6··用“顶点式”求二次函数解析式】 5 【题型 7··用“交点式”求二次函数解析式】 6 【题型 8·求二次函数关于点或直线对称的解析】 6 【题型 1··二次函数y= ax²+ bx+ c的图象】 1．二次函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．下列是抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象大致是（　　） A．B．C．D． 3．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【题型 2··二次函数y = ax² + bx+ c的性质】 4．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 7．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 8．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【题型 3··二次函数y= ax² + bx+ c图象与系数的关系】 10．已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 11．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（为实数） 13．如图，抛物线的部分图象，其顶点坐标为，与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：．其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型 4··二次函数y= ax²+ bx+ c图象的平移】 14．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 15．将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 16．将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 【题型 5··用“一般式”求二次函数解析式】 17．已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 18．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 19．已知抛物线 的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 20．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 【题型 6··用“顶点式”求二次函数解析式】 21．一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 22．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 23．已知二次函数的图象经过点，顶点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与轴的交点坐标． 24．已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【题型 7··用“交点式”求二次函数解析式】 25．已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当为何值时，？ 26． 已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为、，且与y轴的交点为，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【题型 8·求二次函数关于点或直线对称的解析】 27．二次函数的图象关于直线对称，则______． 28．已知抛物线，抛物线是由抛物线向右平移3个单位得到的，那我们可以得到抛物线和抛物线一定关于某条直线对称，则这条直线为______． 29．把函数的图象关于直线对称后为函数（    ）的图象 A． B． C． D． 30．将二次函数的图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 31．二次函数的图象关于轴对称的抛物线解析式是（    ） A．B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $