专题01 应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“图象特征→参数不等式”为核心，系统构建二次函数字母参数问题的解题通法与题型体系，强化分类讨论和临界分析，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|核心：图象特征转化为参数不等式组，抓开口方向、对称轴等关键量|从二次函数基本性质出发，建立参数分析框架| |题型归纳|6题型（每题型1典例+3变式）|各题型模版含特征与方法，如增减性判断用对称轴位置关系，最值问题分类讨论区间与对称轴位置|按“基础应用→综合迁移”递进，题型与解法一一对应| |压轴挑战|多道综合题|高难问题聚焦多知识点融合，强化临界状态与回代检验|衔接中考压轴命题趋势，提升复杂问题解决能力|

专题01 应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、根据给定区间判断函数的增减性 题型2、对称点函数值大小比较 题型3、由函数值范围反求参数取值范围 题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题 题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题 题型6、二次函数临界点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题，核心在于把“图象特征”转化为“关于参数的不等式（组）”．要紧紧抓住开口方向、对称轴、给定区间的单调性、最值、判别式以及特殊点函数值等关键量，建立参数所满足的条件；解题中必须注意分类讨论与临界状态的分析，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、根据给定区间判断函数的增减性 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题目给定自变量的某一区间，要求根据二次函数在该区间上的增减性，确定开口方向、对称轴或相关字母参数的取值范围． 2.方法：先由解析式求出对称轴，再结合开口方向判断区间与对称轴的位置关系：开口向上时，区间在对称轴右侧递增、左侧递减；开口向下相反．必要时利用临界状态列不等式，并回代检验． 变式1-1 已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 变式1-2 （25-26九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 变式1-3 已知二次函数，m为实数． (1)若，求该函数图象的对称轴． (2)当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． (3)若点，，且，，试比较与大小． 题型2、对称点函数值大小比较 典例2 （25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③若，则．以上推断正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型模版 1.特征：给出抛物线上若干对称点或对称关系的点，要求比较这些点对应的函数值大小，进而求参数范围或判断结论正误． 2.方法：利用二次函数的对称性，将各点转化到对称轴同侧，结合开口方向与点到对称轴的距离远近比较函数值；注意分类讨论开口向上与开口向下两种情形． 变式2-1 （25-26九年级上·浙江·期末）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 变式2-2 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点，，均在二次函数图象上，若，则下列选项不成立的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 变式2-3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点两点． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线过点、，试比较与的大小，并说明理由； (3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，求出n的取值范围． 题型3、由函数值范围反求参数取值范围 典例3 （25-26九年级上·浙江温州·期中）已知：二次函数（m为常数）. (1)求证：函数图象与x轴有两个交点. (2)若函数图象经过点，， ①当时，，求函数表达式. ②当时，都有，请直接写出m的取值范围. 题型模版 1.特征：已知函数值（或函数值的范围），要求反求自变量取值范围或字母参数范围，常与最值、区间端点值结合． 2.方法：把函数值条件转化为关于自变量或参数的方程、不等式，结合二次函数最值、单调性与区间位置建立参数不等式组，注意临界状态并回代检验． 变式3-1 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（是实数）． (1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值； (3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围． 变式3-2 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，，求证：． (3)已知函数图象经过点，，．若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 变式3-3 （2025·浙江·三模）已知二次函数（的实数） (1)二次函数图象的对称轴是______． (2)当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． (3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题 典例4 定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（   ） A．当时，函数的最大值为 B．当时，函数图像的顶点到直线的距离为 C．函数图像恒过两个定点和 D．当时，函数在时，随的增大而增大 题型模版 1.特征：抛物线经过定点、恒在某一侧或恒满足某种不等关系，要求确定参数满足的条件． 2.方法：先找定点（令参数系数为零），再研究图象相对于定直线或定点的位置关系；恒成立问题常转化为最值或判别式问题，注意参数的任意性处理． 变式4-1 已知二次函数的图像经过点． (1)求该函数图像的顶点坐标． (2)若点，在该函数图像上，且，求m的取值范围． (3)将该函数图像向上平移t（）个单位长度，所得图像与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），原点O在点A，B之间．当时，求t的值． 变式4-2 （24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 变式4-3 已知二次函数，反比例函数 (1)当时，求这两个函数图象的交点坐标； (2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值； (3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围． 题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题 典例5 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 题型模版 1.特征：以二次函数在闭区间上的最大值、最小值为背景，讨论区间端点、对称轴与参数之间的关系． 2.方法：根据开口方向与对称轴相对区间的位置分情况讨论，分别求出区间端点函数值与顶点函数值，再按要求的最大值、最小值建立方程或不等式求解． 变式5-1 已知二次函数（为常数）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 变式5-2 已知二次函数的图象经过点，． (1)求b的值． (2)若函数图象与x轴的两个交点间的距离为4，求该二次函数的表达式． (3)设函数图象顶点到直线的距离为k，若当时，二次函数的最大值与最小值之差为k，求m的值． 变式5-3 已知二次函数（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点，且过点． (1)求a与b的关系式． (2)若，当时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． (3)在（2）的条件下，若点，点两点在该函数图象上，且，求t的取值范围． 题型6、二次函数临界点问题 典例6 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 题型模版 1.特征：二次函数图象与线段、射线或某区域有交点、无交点或恰好一个交点，要求参数的临界取值． 2.方法：借助数形结合，确定边界位置（如端点在抛物线上、相切等），求出临界值后再结合图象变化趋势判断参数范围，注意端点是否取等． 变式6-1 直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式6-2 已知二次函数 (1)小顾同学说：当和时，函数值相等．你认为小顾同学的说法正确吗？请说明理由． (2)点为抛物线上一点，小庐同学发现：当时，n的最大值为6，根据小庐同学的发现，求出此时a的值． (3)当，时，，求k的取值范围． 变式6-3 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 26．已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 27．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数的四个结论： ①对任意实数m，取及，对应的函数值总相等； ②若，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则； ④若，是抛物线上两点，若，，则． 其中正确的结论有__________．（填序号） 28．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． (2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 29．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数． (1)若它的图像过点，求此二次函数解析式． (2)当时，随的增大而增大，求的范围． (3)如果，，都在这个二次函数上，且，求的范围． 30．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 31．已知抛物线（，为常数）经过点． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的函数表达式． ②若抛物线上的点在直线上方，且时，求的取值范围． (2)若关于的一元二次方程有解，且解都为非负实数，求的最大值和最小值． 32．已知二次函数，下列结论： ①当时，二次函数图象经过原点； ②当时，二次函数有最小值； ③当时，二次函数的对称轴在y轴右侧； ④当，时，y随x的增大而减小，则正确结论有______（填序号即可）． 33．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的交点为． (1)求二次函数的表达式； (2)若抛物线上有一点，将线段沿着轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值是，最小值是，求的取值范围． 34．已知二次函数（），其函数图象顶点为P． (1)记与y轴交点为A，求直线的函数表达式（含a的代数式表示）． (2)若将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上． ①求a的值． ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求m的值． 35．如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． (1)求的值． (2)与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围． (3)已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 36．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 37．在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（b为常数）向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，其顶点为E． (1)求点E的坐标；（用含m，n的式子表示） (2)若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标； (3)当时，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，且当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等，探究下列问题： ①求m的取值范围； ②若存在一点F，满足，求点F的纵坐标的取值范围． 38．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． (1)求顶点的坐标（用含有字母的代数式表示） (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)当时，函数的最小值等于6，求的值． 39．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为m，且，求实数t的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、根据给定区间判断函数的增减性 题型2、对称点函数值大小比较 题型3、由函数值范围反求参数取值范围 题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题 题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题 题型6、二次函数临界点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题，核心在于把“图象特征”转化为“关于参数的不等式（组）”．要紧紧抓住开口方向、对称轴、给定区间的单调性、最值、判别式以及特殊点函数值等关键量，建立参数所满足的条件；解题中必须注意分类讨论与临界状态的分析，所有结果均需回代检验． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、根据给定区间判断函数的增减性 典例1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意，得到，，进而得到，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的符号由的符号决定， 当时，，当时，．故B选项错误， ∴． ∵（二次函数中），且， ∴．故C选项正确，D选项错误； 无法判断的符号；故A选项错误； 故选C． 题型模版 1.特征：题目给定自变量的某一区间，要求根据二次函数在该区间上的增减性，确定开口方向、对称轴或相关字母参数的取值范围． 2.方法：先由解析式求出对称轴，再结合开口方向判断区间与对称轴的位置关系：开口向上时，区间在对称轴右侧递增、左侧递减；开口向下相反．必要时利用临界状态列不等式，并回代检验． 变式1-1 已知二次函数的图象上有两点，，设，若，，则下列结论正确的是（     ） A．S有最大值，也有最小值 B．S有最小值，但没有最大值 C．S有最大值，但没有最小值 D．S没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先根据已知条件将表示为关于的二次函数，确定的取值范围，再根据二次函数的顶点位置的最值情况即可． 【详解】解：∵点在的图象上 ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，整理得 ， 配方得， ∵， ∴， 解得 或 ， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，S随的增大而减小， ∴， ∴当时，S随的增大而增大， ∴， ∴S没有最小值，也没有最大值． 变式1-2 （25-26九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)①点的纵坐标为；② 【分析】（1）化为顶点式求解即可． （2）①利用抛物线平移的性质（左加右减变横坐标）求出平移后的抛物线解析式，将两个抛物线联立方程推出即点横坐标，代入任意一个抛物线即可求出点纵坐标．②根据题意，将分别代入各自的抛物线，表示出，将其转化成 关于的一次函数，利用一次函数的图像性质和取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①， ， 顶点坐标为． （2）解：①∵， ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线的解析式为． 是和的交点， ， ， ， 将代入得． ②；，点、分别在抛物线，上，， ∴， ． 是关于的一次函数，且， 的值是随着的增加而减小， 当时，； 当时，， ． 变式1-3 已知二次函数，m为实数． (1)若，求该函数图象的对称轴． (2)当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． (3)若点，，且，，试比较与大小． 【答案】(1)直线 (2)m的值为 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，二次函数的解析式为，再由对称轴公式计算即可得出结果； （2）先求出二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可得，从而得出在上，随着的增大而增大，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，先求出、两点的中点坐标的横坐标为，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为； （3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 题型2、对称点函数值大小比较 典例2 （25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③若，则．以上推断正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象性质，需结合开口方向、对称轴与点的距离关系，分析函数值大小的推断是否成立． 【详解】解：设二次函数的对称轴为， ∵对于二次函数，当时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当时，点到对称轴的距离越远，函数值越小． ①若： 当时， ∵， ∴，两边平方得，展开化简得， ∴， ∵， ∴，结合的性质， ∴； 当时， ∵， ∴，两边平方化简得， ∴， ∵， ∴，结合的性质， ∴， 综上，①正确； ②若： 当时， ∵， ∴，平方化简得， ∴， 取（满足）， ∵且， ∴，与矛盾，故②错误； ③若： 当时， ∵， ∴，平方化简得， ∴， 取（满足）， ∵且， ∴，与矛盾，故③错误； 综上，正确的推断只有1个， 故选：B． 题型模版 1.特征：给出抛物线上若干对称点或对称关系的点，要求比较这些点对应的函数值大小，进而求参数范围或判断结论正误． 2.方法：利用二次函数的对称性，将各点转化到对称轴同侧，结合开口方向与点到对称轴的距离远近比较函数值；注意分类讨论开口向上与开口向下两种情形． 变式2-1 （25-26九年级上·浙江·期末）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由抛物线开口方向，顶点坐标，与y轴的交点位置可判断①；根据二次函数图象的平移，得出的顶点在x轴下方，可判断②；根据抛物线与轴的另一个交点在点和之间，将代入，可判断③；分在对称轴左侧或右侧两种情况，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 顶点为， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴， ， ，故①错误； 向下平移m个单位长度时，新图象的解析式为， 顶点为， 时，新图象的顶点在x轴下方，新图象与x轴没有交点， 没有实数根，故②正确； 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 时，， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，和，且，对称轴为直线， 在对称轴左侧，在对称轴左侧或右侧， 当在对称轴左侧时， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，， ； 当在对称轴右侧时， 关于对称轴的对称点为， ， ，故④错误， 综上可知，正确的是②③， 故选：D． 变式2-2 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点，，均在二次函数图象上，若，则下列选项不成立的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，以及二次函数的对称轴与顶点坐标，解决本题的关键是求解出该函数的顶点式，并分析各点的特征． 由二次函数解析式可得对称轴为，且顶点纵坐标为，结合可知点为顶点，即，根据二次函数的性质，函数值的大小与点到对称轴的距离有关，依此分析各选项即可． 【详解】解：∵函数， ∴对称轴为，顶点纵坐标为， 即顶点坐标为， ∵， ∴点为顶点，即， 选项A：若且，则函数图像开口向下，函数值越小则离对称轴越远， ∴，即，成立； 选项B：若且，则函图像象开口向上，函数值越大则离对称轴越远， ∴，即，但选项结论为，不成立； 选项C：若，即， 则有两点关于对称轴对称，即，成立； 选项D：若，即， ∵，，则，成立． 故选：B． 变式2-3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点两点． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线过点、，试比较与的大小，并说明理由； (3)若将抛物线平移得到新抛物线，当时，新抛物线与直线有且只有一个公共点，求出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，或 【分析】（1）点 代入解析式求解即可； （2）由，得抛物线开口向上，对称轴为直线，由点、在抛物线上，点与点关于对称轴对称，得，由当时，y随x的增大而减小，得； （3）新抛物线为，开口向上，对称轴为直线，顶点为，点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称，当时，得；当时, 得；当时, 得；由时新抛物线与直线有且只有一个公共点，得，或． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得， ∴抛物线为； （2）解：由（1）知，抛物线过点、， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点与点关于对称轴对称， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴ （3）解：∵新抛物线， ∴新抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 令，则； 令，则； ∴点与点在新抛物线上，点与关于对称轴对称， ∵当时新抛物线与直线有且只有一个公共点， ∴当时，得； 当时, 得； 当时, 得； ∴，或 【点睛】本题考查二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征及平移，二次函数的对称性、增减性，是解题的关键． 题型3、由函数值范围反求参数取值范围 典例3 （25-26九年级上·浙江温州·期中）已知：二次函数（m为常数）. (1)求证：函数图象与x轴有两个交点. (2)若函数图象经过点，， ①当时，，求函数表达式. ②当时，都有，请直接写出m的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)①，或；②或 【分析】（1）运用根的判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （2）①当时，求出的表达式；当时，求出的表达式，根据建立方程，解方程求出m的值，即得；②根据对称轴为直线， 关于对称轴对称的点为，，点在对称轴右侧，y值随x的增大而减小，分当时，当时解答，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴函数图像与x轴有两个交点． （2）解：①∵函数图像经过点，，， ∴，． ∵， ∴． ． ∴ ，或． ②∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴关于对称轴对称的点为． ∵， ∴点在对称轴右侧，y值随x的增大而减小． ∵， ∴当时，； 当时，． 综上所述，m的取值范围为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二次函数图像与x轴交点，二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性和增减性，分类讨论，是解题的关键． 题型模版 1.特征：已知函数值（或函数值的范围），要求反求自变量取值范围或字母参数范围，常与最值、区间端点值结合． 2.方法：把函数值条件转化为关于自变量或参数的方程、不等式，结合二次函数最值、单调性与区间位置建立参数不等式组，注意临界状态并回代检验． 变式3-1 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（是实数）． (1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值； (3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围． 【答案】(1) (2)1或8 (3) 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可解答； （2）先根据函数顶点在轴上，结合，求出，得到二次函数表达式，进而得到二次函数图象的对称轴为，且开口向下，再根据二次函数的性质，分，，三种情况讨论即可； （3）由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下，根据，则有，求解即可． 【详解】（1）解：， 函数顶点坐标为； （2）解：函数顶点在轴上， ， 解得：或， ， ， 二次函数表达式为：， ， 二次函数图象的对称轴为，且开口向下， 时，函数最大值为， 当时，， 则时，函数有最大值， 即， 解得：（舍去）； 当时， 则时，函数有最大值， 即， 解得：（舍去）； 当时，函数最大值为0，不符合题意； 综上，的值为1或8； （3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下， 二次函数图象上的两点，，时，始终有成立， ∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离， ，即， ，即， ， ， ，即， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 变式3-2 （24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，，求证：． (3)已知函数图象经过点，，．若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)函数图象的顶点坐标为； (2)见解析 (3)m的取值范围为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再用表示出，配方，即可求解； （3）分两种情况，当和时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【详解】（1）解：∵函数图象经过点， ∴． 解得． ∴． 所以函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵函数图象经过点，， ∴．． ∴． 所以； （3）解：，设函数图象经过点，，． 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况： 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， ∴， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 变式3-3 （2025·浙江·三模）已知二次函数（的实数） (1)二次函数图象的对称轴是______． (2)当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． (3)对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式代入可得； （2）①根据平移可得，，关于对称轴对称，可得，求出的值，再代入当时的二次函数的解析式求出的值即可； ②根据点到轴的距离小于等于，确定的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线为且开口向上，当时随值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可； 【详解】（1）解：∵二次函数（的实数）， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）①当时，二次函数为， ∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于， ∴抛物线的图象开口向上，， ∴顶点处有最小值：当时，， 顶点处有最大值：当时，， 当时，， ∴的取值范围是； （3）当，时，需满足，则， ∵点，是二次函数图象上的两点， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值是， ∴， ∴，即， ∴或， ∴解得， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， ∴综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，函数的最值问题，不等式（组）的应用等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题 典例4 定义为函数的特征数，下面给出的特征数为时，关于函数的一些结论，其中不正确的是（   ） A．当时，函数的最大值为 B．当时，函数图像的顶点到直线的距离为 C．函数图像恒过两个定点和 D．当时，函数在时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】A、把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可； B、利用平行线的性质求得直线与过顶点平行直线的直线与轴的交点，求得交点的长度，进一步即可解决问题； C、代入的值，验证即可解答； D、根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答． 【详解】解：∵函数的特征数为 ∴， A、当时，，顶点坐标是，故当时，函数的最大值为，此结论正确； B、过顶点平行直线的直线为， 所以直线与轴的交点为，而直线与轴的交点为， 所以两交点的长度为， 所以顶点到直线的距离为，此结论正确； C、当时，， 当时，， 即函数图象恒过两个定点和，此结论不正确． D、当时，是一个开口向下的抛物线， 其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小． 因为当时，，即函数在时，随的增大而增大，此结论正确； 故选C． 【点睛】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，平行线间距离相等，顶点坐标以及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 题型模版 1.特征：抛物线经过定点、恒在某一侧或恒满足某种不等关系，要求确定参数满足的条件． 2.方法：先找定点（令参数系数为零），再研究图象相对于定直线或定点的位置关系；恒成立问题常转化为最值或判别式问题，注意参数的任意性处理． 变式4-1 已知二次函数的图像经过点． (1)求该函数图像的顶点坐标． (2)若点，在该函数图像上，且，求m的取值范围． (3)将该函数图像向上平移t（）个单位长度，所得图像与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），原点O在点A，B之间．当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）待定系数法求得解析式，再化成顶点式，即可确定顶点坐标； （2）根据二次函数的对称性和增减性求解即可； （3）先求得平移后的抛物线解析式为，由二次函数的性质可得对称轴为，易得，则对称轴位于，即，易得，然后代入平移后的抛物线解析式即可求得t的值． 【详解】（1）解：把点代入 得，解得． ∴． ∴该函数图像的顶点坐标为． （2）解：∵该函数图像的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为． ∵开口向上，离对称轴越近函数值越小，， ∴m的取值范围为． （3）解：∵向上平移t（）个单位长度，得， ∴对称轴为直线． ∵， ∴，即对称轴处于， ∴，即． ∴点A坐标为，代入，得，解得． ∴t的值是7． 变式4-2 （24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，，当时，，且，为两个连续偶数，求的值； (3)该抛物线与直线（为常数且）相交于，两点，且在的左侧．若在范围内，的取值恰好有3个整数值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，确定直线经过定点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由二次函数性质可得当时，；当或时，；即可求出， 或，最后根据，为两个连续偶数确定具体的值即可； （3）先求出直线经过定点，再判断在抛物线上，即可得到直线与抛物线一个交点为，则或，据此分情况讨论，再根据在范围内，的取值恰好有3个整数值确定的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， ∵开口向下， ∴当时，；当或时，； ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴或， ∵，为两个连续偶数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴直线经过定点， ∵当时， ∴在抛物线上， ∵抛物线与直线（为常数且）相交于，两点， ∴或， 当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，则， 当时，，直线经过点时，，解得； 当时，，直线经过点时，，解得； ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值； 同理当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值，； ∵， ∴当时，在范围内，的取值恰好有3个整数值． 变式4-3 已知二次函数，反比例函数 (1)当时，求这两个函数图象的交点坐标； (2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值； (3)若这两个函数的所有交点在直线的右侧，求a的取值范围． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括两个函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，二次函数的增减性，解不等式组等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）把代入两函数解析式，然后联立方程组求解即可； （2）两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据方程有一个到两个的根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)，整理得：，即：，一一代入求解即可； （3）分无解和有解讨论即可． 【详解】（1）解：联立，并整理得： ① 时，上式为：， 解得：x=1或或， 故函数交点坐标为：或或； （2）解：①式中含有的因式，即：， 故其中一个根：， a为正整数，方程有一个到两个的根， ， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)， 即(k为非负整数)，整理得：， 即：， 而， 当，时，解得： (舍去)； 当，时，解得：； 当，时， (舍去)； 故； （3）解：对于， ①当无解时，则， 解得； ②当时，两个根均大于， 即和均为正数， 则 ∵，， 代入上式得：，解得， 故：a的取值范围为：． 题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题 典例5 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标． (2)若将该二次函数的图象沿x轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求m的值． 【答案】(1) 二次函数表达式为，顶点坐标为 (2) 平移1个单位或3个单位 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，求出时的函数值，得到顶点坐标即可； （2）求出二次函数与x轴的交点坐标，根据平移后，新的抛物线过原点，分2种情况进行求解即可； （3）根据二次函数的增减性进行求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，解得， ∴抛物线与 x轴的交点坐标为和， ∵将该二次函数的图象沿x轴平移，平移后的图象经过原点， 当经过平移与原点重合时，图象向右平移了1个单位，当经过平移与原点重合时，图象向左平移了3个单位； 故该二次函数的图象沿x轴平移1个单位或3个单位能使图象经过原点； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，最大； 当时，最小； ∴， 整理，得， \解得或， ∵， ∴. 题型模版 1.特征：以二次函数在闭区间上的最大值、最小值为背景，讨论区间端点、对称轴与参数之间的关系． 2.方法：根据开口方向与对称轴相对区间的位置分情况讨论，分别求出区间端点函数值与顶点函数值，再按要求的最大值、最小值建立方程或不等式求解． 变式5-1 已知二次函数（为常数）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）通过对称求出点坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （3）分两种情况①当时，②当时，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得：或． （3）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； ， ，即：， ①当时，， ∴当时，， ∴，， ∴； ②当时，， 此时，点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴此时最小值为，最大值为， ， ∴，， ∴， 综上所述，． 变式5-2 已知二次函数的图象经过点，． (1)求b的值． (2)若函数图象与x轴的两个交点间的距离为4，求该二次函数的表达式． (3)设函数图象顶点到直线的距离为k，若当时，二次函数的最大值与最小值之差为k，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式和二次函数轴对称的特征进行解答即可； （2）求出抛物线与轴的两个交点，根据函数图象与x轴的两个交点间的距离为4，列方程并解方程即可； （3）先求出，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线． 点，关于直线成轴对称， ． （2）解：， 把代入，得， ， ， ， 函数表达式为． （3）解：由（1）可得，， ∴函数的顶点坐标为， ∵二次函数的图象经过点，． ∴的方程为直线， 则函数图象顶点到直线的距离为， 当时， ， ∴ 二次函数的图象对称轴为直线抛物线开口向上， ∵, ∴， ①若，即，在上，y随着的增大而减小， ∴当时，； 当时，， ， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时， 当时，， ∵，，， ∴， 即， ∴横坐标为的点到对称轴的距离大于横坐标为的点到对称轴的距离, ∴, 当时，， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，． 变式5-3 已知二次函数（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点，且过点． (1)求a与b的关系式． (2)若，当时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． (3)在（2）的条件下，若点，点两点在该函数图象上，且，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据（1）中的结果，求出函数的对称轴，根据增减性结合题意，列出方程进行求解即可； （3）求出解析式，再求出时的自变量的值，求出点关于对称轴的对称点，再根据，得到关于t的不等式组，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵二次函数过点和， ∴将代入函数得； 将和代入函数得， 整理得，即； （2）解：由（1）可知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵ ， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，，值最小， 由题意，， ∴； （3）解：当时，函数解析式为：， ∴当时，解得，， 点，在函数图象上，对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴且且， 解得. 题型6、二次函数临界点问题 典例6 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 题型模版 1.特征：二次函数图象与线段、射线或某区域有交点、无交点或恰好一个交点，要求参数的临界取值． 2.方法：借助数形结合，确定边界位置（如端点在抛物线上、相切等），求出临界值后再结合图象变化趋势判断参数范围，注意端点是否取等． 变式6-1 直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线l的解析式，再化简二次函数，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，利用判别式得到a的范围，再结合对称轴位置确定最终a的取值范围. 【详解】解：∵直线过点且与轴垂直， ∴直线的解析式为， ， ∵二次函数图像与直线有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵二次函数对称轴在轴右侧， ∴对称轴， 解得， 综上，的取值范围是. 变式6-2 已知二次函数 (1)小顾同学说：当和时，函数值相等．你认为小顾同学的说法正确吗？请说明理由． (2)点为抛物线上一点，小庐同学发现：当时，n的最大值为6，根据小庐同学的发现，求出此时a的值． (3)当，时，，求k的取值范围． 【答案】(1)小顾同学的说法正确，理由如下： 当时，， 当时，， 所以当和时，函数值相等． (2)或 (3) 【分析】（1）把和分别代入函数解析式，即可求解； （2）求出抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，然后分两种情况：若，若，结合二次函数的性质解答即可； （3）由（2）得：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，根据题意可得点关于对称轴的对称点为点，再由，可得当时，函数取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 若，此时抛物线上的点距离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴此时当时，函数取得最大值，最大值为， ∵点为抛物线上一点，当时，n的最大值为6， ∴，解得：； 若，此时抛物线上的点距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴此时当时，函数取得最大值，最大值为， ∵点为抛物线上一点，当时，n的最大值为6， ∴，解得：； 综上所述，a的值为或； （3）解：由（2）得：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，即点在抛物线上， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∵， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∵当时，， ∴． 变式6-3 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为，“友好点”坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 根据“友好点”的定义可设， 把代入，得， 整理得：， 解得， ∴“友好点”坐标为； （2）解：由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 由方程可变形为，则问题等价于二次函数与直线在范围内至少有一个交点， ∴由可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有，当时，则有， 即在上，的取值范围为，即， 综上所述：的取值范围为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 25．已知：，，，则下列说法中正确的是 （   ） A．有最大值4，最小值1 B．有最大值3，最小值 C．有最大值3，最小值1 D．有最大值3，最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n的范围，进而可求n的最值； 【详解】由题意得，， ， 当时，m 有最小值，当时，m有最大值， ， ，， 当时，n随着b的增大而减小， 当时，n 有最小值1， 当时，n有最大值4， ， ， ， ， 解得：， ， ， n有最大值3，最小值1； 故选：C． 26．已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用． 当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意． 【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图： ∴，即． ∴． ∴． 令，则， ∴， 记直线与y轴交于点， 又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧， ∴． ∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图： 又继续向左平移符合题意，符合题意，如图： ∴． 综上，或． 故选：D． 27．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数的四个结论： ①对任意实数m，取及，对应的函数值总相等； ②若，对应的y的整数值有4个，则或； ③若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则； ④若，是抛物线上两点，若，，则． 其中正确的结论有__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断①；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断②；设，，则，，，求得，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，即与关于对称轴直线对称， ∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得：； 综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故②正确； ∵抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，且， ∴设，，则，，， 解得：， 在中，令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，若抛物线开口向下，且与x轴交于不同两点A，B，满足，则，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合得出； 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合得出，故④错误； 综上所述，正确的有①②③； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数的解析式化为顶点式，采用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 28．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． (2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①可证明抛物线经过点，则由对称性可求出对称轴；②根据①所求可得直线解析式为；根据对称轴计算公式得到，进而得到原抛物线顶点坐标为，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可得，解之即可得到答案； （2）当时，一定有；而当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况，当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况，当时，一定有，据此可得答案． 【详解】（1）解：①在中，当时，， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； ②由①得， ∵， ∴直线解析式为； ∵原抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线的顶点到轴的距离为1， ∴， 解得或； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵，， ∴， ∴当时，一定有； 当时，一定有， 当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况， 当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况， 又∵对于抛物线上的任意两点，，对于，都有， ∴， 综上所述，． 29．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数． (1)若它的图像过点，求此二次函数解析式． (2)当时，随的增大而增大，求的范围． (3)如果，，都在这个二次函数上，且，求的范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数图形的性质，运用待定系数法，二次函数的单调性，及二次函数的对称性推导参数的取值范围． （）已知二次函数的图像过点，将点的坐标代入函数解析式即可求出a的值，进而得到二次函数解析式； （）根据二次函数的对称轴公式，结合函数在时的单调性，随的增大而增大，确定的取值范围； （）依据二次函数的对称性(纵坐标相同的点关于对称轴对称)，先求出对称轴，再结合点的坐标关系以及的条件，确定a的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入中，可得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数的对称轴为， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，且对称轴， ∴； （3）解：∵二次函数的对称轴为， ∵，，都在这个二次函数上，且和的纵坐标相同， ∴和关于对称轴对称， ∴，即， 因此距离对称轴均为2个单位， ∵，且， ∴点的横坐标与对称轴的距离为， ∴当时，， ∴， 解得， 当时，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大， 等价于点比点离对称轴更近，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即， 解得； 当时，开口向下，函数值随离对称轴距离增大而减小， 等价于点比点离对称轴更远，即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 即， 解得， 综上，的范围为或． 30．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】(1)；， (2)①对称轴为；②过定点， (3)6 【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 31．已知抛物线（，为常数）经过点． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的函数表达式． ②若抛物线上的点在直线上方，且时，求的取值范围． (2)若关于的一元二次方程有解，且解都为非负实数，求的最大值和最小值． 【答案】(1) ①； ② (2) 的最大值为，最小值为 【分析】（1）①根据抛物线过已知点和，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的二元一次方程组，解方程组即可求出，得到函数表达式； ②：先求直线的解析式，根据点在直线上方，列不等式结合已知条件得到的取值范围，再结合抛物线的开口方向与对称轴，分析该区间内函数的最值，得到的范围； （2）首先将点坐标代入原抛物线解析式，得到关于的表达式，代入方程，整理为标准一元二次方程形式，根据方程的解都为非负实数，所以先保证判别式，再结合韦达定理，要求两根之和、两根之积，联立不等式组求解的范围，进而得到最值. 【详解】（1）解：①∵抛物线（，为常数）经过点，， ∴， 解得：， ∴； ②设直线的解析式为：， 由题意得： 解得：， ∴， ∵点在抛物线上， ∴当时，， ∵抛物线上的点在直线上方， ∴， 解得： ∵ ∴ ∵， ∴当时，为， 当时，为， ∴； （2）解：∵抛物线（，为常数）经过点， ∴即：， ∵关于的一元二次方程有解， ∴有解， ∴， 即：， 解得：或， ∵方程的解都为非负实数，设两根为， ∴， 解得：， ∴， ∴的最大值为，最小值为. 32．已知二次函数，下列结论： ①当时，二次函数图象经过原点； ②当时，二次函数有最小值； ③当时，二次函数的对称轴在y轴右侧； ④当，时，y随x的增大而减小，则正确结论有______（填序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】①把代入即可判断；②根据开口方向即可判断；③写出对称轴方程后即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断． 【详解】解：当时，此二次函数表达式为，令，则， ∴函数图象过原点，故①正确；， 当时，开口向上，二次函数有最小值，故②正确； ∵此抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，二次函数的对称轴在y轴右侧， 当时，，二次函数的对称轴在y轴左侧，故③错误； 当，此时，二次函数的对称轴在y轴左侧，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，故④正确； 综上，①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础． 33．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的交点为． (1)求二次函数的表达式； (2)若抛物线上有一点，将线段沿着轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值是，最小值是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的确定，平移的性质，二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）设二次函数的表达式为：，把代入求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得直线的解析式，再与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）根据二次函数的性质分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为：， 把代入得，，解得， 二次函数的表达式为：； （2）解：把代入得：， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得， 直线的解析式为， 点的纵坐标为，且将线段沿着轴向上平移个单位后得到线段， 使平移后的直线解析式为，， 令，整理得， 平移后的线段与该抛物线恒有公共点， ，解得， 的取值范围是； （3）解：， 顶点坐标为，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，， 在范围内． 当时，，当时，． 当时，，当时，． 当时，，当或时，． ． 34．已知二次函数（），其函数图象顶点为P． (1)记与y轴交点为A，求直线的函数表达式（含a的代数式表示）． (2)若将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位，还是在该函数图象上． ①求a的值． ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求m的值． 【答案】(1)； (2)①；②m的值为和4 【分析】（1）先求出抛物线与轴的交点，然后求出顶点，再由待定系数法求解函数解析式即可； （2）①先求出顶点平移后的对应坐标，再代入函数解析式求解即可； ②分三种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】（1）解:对于，令，则 ∴点， ∵， ∴顶点 设直线的函数表达式， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵， ∴将点P向上平移4个单位，向右平移2个单位后，对应点的坐标为， ∵平移后的还是在该函数图象上， ∴， 解得； ②∵， ∴， 当时，，解得（舍）； 当时，， 解得（舍），； 当时，， 解得（舍），（舍）； 当时，，解得； ∴m的值为和4． 35．如图，二次函数，（a为常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中，且的图象过点． (1)求的值． (2)与轴平行的直线与的图象交于，两点，记点，的横坐标分别是，，且，当时，求的函数值的取值范围． (3)已知点，（其中，）分别在，图象上，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）把代入，解方程求出的值即可； （2）先求出的对称轴为直线，根据二次函数的对称性得出，根据求出，求出顶点坐标为，把，分别代入，求出的值，即可得出的函数值的取值范围； （3）把，分别代入，，可得，整理后，根据判别式得出，解不等式，结合，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴的对称轴为直线， ∵与轴平行的直线与的图象交于，两点， ∴，即， ∵ ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴的顶点坐标为， 把代入得，， 把代入得，， ∵， ∴当时，的函数值的取值范围为． （3）解：∵点，分别在，图象上， ∴，， ∴， 整理得，， ∵关于的一元二次方程需有实数根， ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 36．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． (2)若，，求b的取值范围； (3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)；；； (2) (3)b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当，则， 那么，在取得最大值，在取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）； ②当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或， ③当，解得， 那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述，b的值为或． 37．在平面直角坐标系中，将过点的抛物线（b为常数）向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，其顶点为E． (1)求点E的坐标；（用含m，n的式子表示） (2)若抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标； (3)当时，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，且当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等，探究下列问题： ①求m的取值范围； ②若存在一点F，满足，求点F的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或 (3)①；② 【分析】（1）把点代入抛物线求出，根据图象的平移的性质，即可得到抛物线：，顶点E的坐标为； （2）由于抛物线与坐标轴有且只有两个公共点，分别讨论当抛物线经过原点时和抛物线不经过原点时两种情况．当抛物线经过原点时满足要求，将代入抛物线：，即可求出顶点E的坐标为；当抛物线不经过原点，与轴一定会有一个交点，所以抛物线与轴只有一个交点，即当顶点落在轴上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，此时，顶点E的坐标为； （3）① 画出图象可知，当时，抛物线纵坐标取值范围是，要满足题目要求，D点纵坐标要小于等于-1，即，同时点横坐标小于等于2，即，由此可解出m的取值范围； ② 存在一点F，满足，故点在的中垂线上，即抛物线的对称轴上，设，然后利用两点间的坐标公式，结合，化简可得，即是关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线，在，随着的增大而减小，根据函数增减性，即可求出点F的纵坐标的取值范围； 【详解】（1）抛物线过点， ，解得， 抛物线． 向右平移m个单位（），再向上平移n个单位（）得到新的抛物线，根据图象的平移，可得， 抛物线：． 其顶点E的坐标为． （2） 抛物线与坐标轴有且只有两个公共点， ① 当抛物线经过原点时满足条件，如图所示，    将代入抛物线：， 得，即， 顶点E的坐标为． ② 当抛物线不经过原点，与轴一定会有一个交点，所以抛物线与轴只有一个交点，即当顶点落在轴上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，如图所示，    此时，，顶点E的坐标为． 综上所述，顶点E的坐标为或． （3）① 当时，抛物线为：，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，如图所示，    当，， 点坐标为， 当，即，解得，， ，， 当时，抛物线纵坐标取值范围是， 当时，对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P，Q的纵坐标相等， 点纵坐标要小于等于-1，即，解得，或（由于，舍去） 同时点横坐标小于等于2，即，解得， 综上，． ② 存在一点F，满足， 点在的中垂线上，即抛物线的对称轴上，故设， ，， ， ， ，即， ， 整理化简得，， ， ， 二次函数的对称轴为直线，开口向下， 在，随着的增大而减小， 当时，，时，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，图象的平移，勾股定理，利用函数的增减性求函数值的取值范围，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． 38．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． (1)求顶点的坐标（用含有字母的代数式表示） (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)当时，函数的最小值等于6，求的值． 【答案】(1)顶点A的坐标为； (2)； (3)或． 【分析】（1）将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标； （2）根据函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此建立不等式求解即可； （3）分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1，3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点A的坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴， ∴或， ∴； （3）解：∵二次函数图象的开口向上， ∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，且二次函数的对称轴为， 分类讨论： ①当，即时， 则当时二次函数取得最小值为， 又∵当时，函数的最小值等于6， ∴，解得或， 又∵， ∴； ②当，即时， 则当时二次函数取得最小值为， 又∵二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又∵， ∴或都不符合题意； ③当，即时， 则当时二次函数取得最小值为， 又∵二次函数最小值为6， ∴，解得或， 又∵，故符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 39．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为m，且，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)向右平移1个单位或向左平移5个单位 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将二次函数化为顶点式，设平移后的函数解析式，再根据新图象经过原点，求出平移的单位，从而确定平移方式； （3）先求出二次函数的顶点坐标，确定其最值情况．然后分三种情况讨论：；；，分别求出每种情况下的最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，且对称轴为直线， ， ， 该二次函数的表达式为； （2）解：， 设将其左右平移h个单位后，函数解析式为， 新图象经过原点， ， 即， 开方得， 当时，；当时，， 平移方式为：向右平移1个单位或向左平移5个单位； （3）解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值 ①当，即时，函数在取最小值，时取最大值， 当时，y随x的增大而增大， 此时时，y有最小值； 当时，y有最大值， ∴， ， ， 解得， ， ； ②当时，当时，y随x的增大而减小， 此时时，y有最大值； 时，y有最小值， ∴， ， ， ， ， ； ③，即时，y的最大值为9， 若，即时，时y取的最小值， ∴， ， ， 解得或， ， ， 若，即时，时y取得最小值， ∴， ， ， 解得或， ， ． 综上，实数t的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的解析式，图象的平移、函数的最值等，分类求解是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $