13.3.1 三角形的内角(2) 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内角(2)”，核心知识点为直角三角形两锐角互余及判定。以“内角吵架”故事导入，基于三角形内角和180°，通过三角板问题引导归纳性质，提供应用格式与例题作为学习支架。 资料特色在于情境化导入激发好奇心，多解法（平行性质、直角三角形性质）训练推理能力，变式题与分层检测提升应用意识，助力学生用数学思维分析问题，发展抽象能力与创新意识。

13.3.1三角形的内角(2) 【感知数学】 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？ 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的. 【新知学习】 1.问题1：如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度? 归纳：直角三角形的两个锐角 . · 应用格式： ∵　∠C=90°， ∴　∠A+∠B=90°. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC . 2.如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ 解：∠A=∠D.理由如下： 方法一(利用平行的判定和性质)： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二(利用直角三角形的性质)： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. 思路方法：两个直角三角形的两个锐角为对顶角，则另一对锐角也相等. 【变式题】如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 3.如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 解： 4.如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°,则△ABC是直角三角形. 理由是： ∵∠A+∠B+∠C=180o ，∠A+∠B=90° ∴∠C=90° ∴△ABC是直角三角形. 归纳：有两个角 的三角形是直角三角形. 应用格式： ∵∠A+∠B=90°， ∴△ABC 是直角三角形. 5.如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：△ADE是直角三角形.理由如下： 在Rt△ABC中， ∠2+∠A=90°. ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠A=90°. 即△ADE是直角三角形. 思路方法：判断一个三角形是否是直角三角形，只需说明两个锐角互余即可. 【变式题】如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？ 【学习检测】 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( 　) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A：∠B：∠C=1：2：3 D.∠A=∠B=3∠C 3.(2026苏州)如图，△ABC中，∠A=55°，∠ACB=65°，延长BC至D，过C作CE∥AB，则∠DCE的度数是( ) A.50°　　B.55°　　C.60°　　D.65° 第3题图 第4题图 4.(2024凉山)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 　 　 . 5.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________. 6.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________. 第6题图 第7题图 7.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=________. 8.如图，AB∥CD，∠BAE＝∠DCE=45°.填空： ∵　AB∥CD， ∴　∠1＋45°＋∠2＋45°=_______. ∴　∠1＋∠2＝________ ∴　∠E＝_________. 第8题图 第9题图 9.利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下: 已知:△ABC中，∠C=90°. 求证:∠B+∠BAC=90°. 证明:如图，过点A作AD⊥AC，(①) 则∠DAC=90°. ∵∠C=90°， ∴∠DAC+∠C=90°+90°=180°. ∴.DA∥BC .(②) ∴∠B=∠DAB . ∴∠B+∠BAC=∠DAB+∠BAC=∠DAC=90°. 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是__________________ 证明过程中，②处应填写的依据是____________ 10.(2022哈尔滨)在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是 度.(提示：注意分类讨论) 11.(2025山东)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30° ∠BAC的平分线AD交BC于点D.如图，求∠ADC的度数. 12.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠1＝∠2，∠C＝65°.求∠BAC的度数. 13.已知:如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A=∠DCB. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由; (2)如图2，若AE 是△ABC 的角平分线，AE、CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF. 参考答案 13.3.1三角形的内角(2) 【新知学习】 1.互余 2.变式：解：∠A=∠C.理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. 3.解：∠CAE=∠DBE.理由如下： ∵∠C=∠D=90°， ∴∠CAE+∠AEC=90°，∠DBE+∠BED=90°. ∵∠AEC=∠BED， ∴∠CAE=∠DBE. 4.归纳：互余 5.变式 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 【学习检测】 1-3.BDC； 4.100° 5.直角三角形 6.90o 7.52o 8.180o，90o，90o 9.①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ②同旁内角互补，两直线平行. 10.解:根据题意，分三种情况讨论: ①高在三角形内部，如图所示: 在△ABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30° ∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°， ∵∠CAD=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°; ②高在三角形边上，如图所示: 可知∠CAD=0°， ∵∠CAD=20°， 故此种情况不存在，舍弃; ③高在三角形外部，如图所示: 在△ABD中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°， ∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60° ∵∠CAD=20° ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°; 综上所述:∠BAC=80°或40°， 故答案为: 80°或40°. 11.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∴∠BAC =60°, ∵∠BAC的平分线AD交BC于点D， ∴∠BAD =∠CAD=30°, ∴∠ADC = 180°-30°-30°=120° 12.解:在△ABD 中,∠1+∠2=90°, ∴∠1=45°， 在△ACD 中，∠CAD=90°-65°=25°， ∴∠BAC=45°+25°=70°. 13.解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下: ∵在△ABC中,CD是高,∴∠CDA=90°， ∴∠CAD+∠ACD=90°. 又∵∠DAC=∠DCB, ∴∠DCB+∠ACD=90°, ∴∠ACB=90°, ∴△ABC是直角三角形. (2)证明:∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠DAF=∠CAE. ∵∠FDA=90°,∠ACE=90°, ∴∠DAF+∠AFD=90°,∠CAE+∠CEA=90°, ∴∠AFD=∠CEA. 又:∠AFD=∠CFE, ∴∠CFE=∠CEA， 即∠CFE=∠CEF. 学科网（北京）股份有限公司 $