13.3.1 三角形的内角(1) 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内角”核心内容，通过折叠、剪拼三角形纸片的生活情境导入，引导学生发现内角和定理，结合平行线性质等旧知，搭建从直观操作到逻辑证明的学习支架。 资料突出数学思维与实践结合，多种证法渗透转化思想培养推理能力，结合方位角、折纸等生活情境及方程思想，提升模型意识与应用意识，习题层次分明，助力学生巩固知识与核心素养发展。

13.3.1三角形的内角(1) 【学习新知】 亲爱的同学，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图中，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到了一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：三角形的三个内角和等于_______. 我们知道这个结论是通过度量或剪拼的方式得到的。 下图就是几种常用的剪拼方法，请你试着拼一下，看看能不能借助拼的过程，找到证明方法： 1.做一个三角形并将其中两个角剪下，与第三个角拼凑，你有什么发现？ 从中可以发现：∠ABC+∠BAC+∠ACB=__________ 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 证法2： 证法3： 思路方法：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 2.算一算. (1) x=________ (2) x=________ (3) x=________ (4) x=________ 3.如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解： 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A=50°，∠B=70°，求∠EDC，∠BDC的度数. 4.在△ABE和△CDE中， ∵∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED=180O (三角形的内角和为180o) ∠AEB=∠CED ∴∠A+∠B =∠C+∠D 【变式题】如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A=30°,∠FCD=80°，求∠D. 解： 归纳：由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 5.如图，C岛在A岛的北偏东50o方向，B岛在A岛的北偏东80o方向，C岛在B岛的北偏西40o方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 解：∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=180° ∴∠ABE=180o-∠BAD=180o-80°=100°， ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100o-40°=60°. 又∵∠CAB=∠BAD-∠CAD=80o-50o=30°. ∴∠ACB=180o-∠ABC-∠CAB=180o-60o-30o=90o 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60o，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90o. 【变式题】如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30o，从B处观测C处的仰角∠CBD=45o.从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度? 6.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B为xo，则∠A为(3x)o，∠C为(x＋15)o， 根据题意得 3x＋x＋(x＋15)=180. 解得 x=33. 所以 3x=99 ，x＋15=48. 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99o，33o，48o. 思路方法：题目中出现了角度的倍分、和差、比例关系时，借助方程思想，先设未知数，再运用三角形的内角和定理列方程求解.这是一个重要的数学思想. 【变式题】在△ABC中，∠A=∠B=∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数. (提示：用方程思想求解) 【学习检测】 1.求出下列各图形中x的值: x=_______ x=_______ x=_______ x=_______ 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为(　　) A.34° B.44° C.124° D.134° 3.一个缺角的三角形ABC残片如图，量得∠A=60°，∠B=75°，则这个三角形残缺的∠C的度数为( ) A.75° B.60° C.45° D.40° 第3题图 第4题图 4.(2026攀枝花)如图，把一块直角三角板ABC放置在直线MN、PQ之间，点B、C分别落在直线PQ、MN上，若∠ACN=40°，则∠ABQ=(　　) A.30°　　B.40°　　C.50°　　D.60° 5.(2025梧州)在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C等于( ) A.32° B.36° C.40° D.128° 6.(2026山东)如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a，c于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部交于点C；作射线AC交b于点D．若∠ABD=54o，则∠ADB的度数是（ ） A.36° B.54° C.63° D.72° 第6题图 第7题图 7.(2026泸州)如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B，AB⊥BC，AE平分∠BAD，若∠1=40°，则∠2的度数是(　　) A.55°　　B.60°　　C.65°　　D.70° 8.(2023遂宁)若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 三角形. 9.如图，∠A=40o,则∠1+∠2+∠3+∠4=_____. 第9题图 10.(2026内江)如图，若AB∥CD，∠A=80°，∠E=36°，则∠C的度数为______. 11.将一个大三角形分成两个小三角形，这两个小三角形的内角和分别是_______，________. 12.如图，△ABC中，ED∥AC，∠B=55°，∠DEB=90°，则∠A 的度数为________. 第12题图 第13题图 13.(2026烟台)如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为AB、CD.若AB∥CE，∠CAB=36°，则∠CDB的度数为______. 14.在△ABC中，∠B比∠A大10o，∠C比∠B大10o，求△ABC的各个内角的度数. 15.如图，有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60度方向上，行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C，在北偏东15度方向上，试求△ABC内角的度数. 16.已知：如图，△ABC中， AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75o，∠C=45o，求∠DAE与∠AEC的度数. 参考答案 13.3.1三角形的内角(1) 【新知学习】 1800 1.1800 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 2.70o，60o，30o，50o 3.变式：∵∠A=50°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°－∠A－∠B=60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD=∠ACB=30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠BCD=30°， 在△BDC中， ∠BDC=180°－∠B－∠BCD=80°. 5.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA=90°. ∵∠FEA=90°，∠A=30°， ∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60° 又∵∠CFD=∠AFE， ∴∠CFD=60°. ∴在△CDF中，∠CFD=60°，∠FCD=80°， ∠D=180°－∠CFD－∠FCD=40°. 5.变式：15°． 6.变式：解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 解：∵∠A=∠B=∠ACB， 设∠A=x，∴∠B=2x，∠ACB=3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°， ∴x＋2x＋3x=180°，得x=30°， ∴∠A=30°，∠ACB=90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=180°－90°－30°=60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE=×90°=45°， ∴∠DCE=∠ACD－∠ACE=60°－45°=15°. 【学习检测】 1.33°，60°，54°，60° 2-7.ACCA CC 8.直角 9.280°. 10.B 解析:∵AB∥CD,∴∠EFD=∠A=80°.∵∠EFD是△CEF的外角,∴∠EFD=∠C+∠E,∴∠C=∠EFD-∠E=80°-36°=44°,故选B. 11.180o；180o 12.∵∠B=55°，∠DEB= 90°， ∴∠BDE =180°-∠B-∠DEB=180°-55°-90°= 35° ∵ED∥AC， ∴∠A= ∠BDE =35°, 故答案为: 35°. 13.【答案】18° [解析]∵AB∥CE，∠CAB=36°，∴∠FCE=∠CAB=36°.由折叠得，∠FCD=∠ECD=∠FCE=18°.∵AB∥CE，∴∠CDB=∠FCD=18°. 14.解：设∠A为xo，则∠B为(x+10)o，∠C为(x+10+10)o， 根据题意得 x+x+10+(x+10+10)=180. 解得 x=50. 所以 x+10=60 ，x+10+10=70. 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为50，60o，70o. 15.解：∵∠CAB=90°−60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°， ∴∠C=180°−∠CAB−∠CBA=45°. 16.分析：由∠B=75°，∠C=45°，利用三角形内角和求出∠BAC．又AE平分∠BAC，求出∠BAE.∠CAE．再利用AD是BC上的高在△ABD中求出∠BAD，此时就可以求出∠DAE．最后利用三角形的外角和内角的关系可以求出∠AEC． 解：方法1: ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°， ∴∠BAC=60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×60°=30°， ∵AD是BC上的高， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠BAD=90°−∠B=90°−75°=15°， ∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=30°−15°=15°， 在△AEC中， ∠AEC=180°−∠C−∠CAE =180°−45°−30°=105° 方法2:同方法1，得出∠BAC=60°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠BAC=×60°=30°. ∵AD是BC上的高， ∴∠C+∠CAD=90°， ∴∠CAD=90°−45°=45°， ∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=45°−30°=15°. ∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°， ∴∠AEC+30°+45°=180°， ∴∠AEC=105°. 答：∠DAE=15o，∠AEC=105°. 学科网（北京）股份有限公司 $