13.3.1 三角形的内角 导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦三角形内角和定理及直角三角形性质与判定，通过前置补偿平角、平行线性质等旧知，引导学生回顾剪拼实验猜想内角和，再从实验局限性出发过渡到逻辑证明，借助平行线辅助线实现转化，结合角平分线、方位角例题构建学习支架。 资料以“实验猜想—推理论证”为主线，通过剪拼与辅助线的内在联系培养几何直观和推理意识，分层作业与规范推理书写设计提升应用意识，助力学生自主探究数学原理，发展从数学角度分析解决问题的思维能力。

13.3.1 三角形的内角 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 回顾课本介绍的两种剪拼方法得到内角和猜想，辨析实验操作的局限性，体会从 “实验猜想” 到 “逻辑证明” 的必要性；借助平行线作辅助线完成三角形内角和定理证明，理解辅助线和剪拼之间的内在联系，体会转化思想。 2. 会应用三角形内角和定理完成课本例 1、例 2 角度计算，解决方位角类实际几何问题。 3. 掌握直角三角形的表示方法、性质，通过例 3 巩固性质；再经过课本思考，得到直角三角形的判定方法。 4. 规范几何简单推理书写，提升读题识图能力。 学习重点：三角形内角和定理；例 1、例 2、例 3；直角三角形性质与判定。 学习难点：两种剪拼方法的对比理解；辅助线的由来；例 2 方位角识图；推理语言规范书写。 【前置补偿】 1. 平角的度数为________。 2. 两直线平行，内错角________；两直线平行，同旁内角________。 3. 方位角：北偏东、北偏西，南北方向线互相________。 【学生自学】 阅读课本了解探究顺序： ①回顾课本两种剪拼操作，得到猜想：三角形内角和等于 180°； ②思考发现：剪拼、度量属于实验，猜想需要严谨推理证明； ③观察剪拼图形特征，启发作平行线辅助线，模拟剪拼的角度移动，完成定理证明； ④例 1：三角形内角和 + 角平分线计算； ⑤例 2：方位角实际应用题（三岛视角）； ⑥推导直角三角形性质：直角三角形两锐角互余，认识 Rt△记法； ⑦例 3：应用直角三角形两锐角互余进行角度比较； ⑧课本思考：反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？（引出判定） ⑨得到直角三角形判定； ； 探究一：从两种剪拼猜想到严谨证明三角形内角和定理 活动 1 回顾课本的两种剪拼实验 小学以及课本给出两种剪拼三角形内角的方法： 剪拼方法一：剪下三角形的∠B、∠C，拼在顶点 A 的左右两侧，∠A、∠B、∠C 三个角拼接在一起，形成一个________。 剪拼方法二：剪下三角形的∠A、∠B，拼在∠C的同一侧，三个内角同样拼成一个________。 猜想：通过剪拼操作，我们猜想：三角形三个内角的和等于________。 小组思考 1： 通过动手剪拼，我们看到手中的几个三角形内角接近 180°，能不能就此断定：所有三角形的内角和都是 180°？为什么？ 提示：裁剪纸片会有局限性，测量存在误差；剪拼只能得到猜想，不能作为普遍成立的结论。想要确信对任意三角形成立，必须进行逻辑推理证明。 纸片可以靠裁剪撕扯移动角，在几何画图中不能撕纸片，那我们用什么办法，不动纸片，也能实现 “把角移动位置” 呢？ （回忆平行线的性质：两直线平行，可以实现角的等量转移。） 活动 2 证明三角形内角和定理 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点A作直线 l，使 l____BC。 ∵ l____BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，） 同理 ∠3=∠5。 ∵ ∠1，∠4，∠5 组成________， ∴ ∠1+∠4+∠5=（平角定义）。 ∴ ∠1+∠2+∠3=（）。 归纳定理：三角形的内角和等于________________。 小组思考 2：一个三角形最多有几个直角？最多有几个钝角？为什么？ 探究二 例题学习 例 1：如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线。求∠ADB 的度数。 解题思路： ∵ AD 平分∠BAC ∴ ∠BAD=∠ = ° 在△ABD 中， ∠ADB=180°− − =________。 例 2：如图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50°方向，B岛在 A 岛的北偏东 80°方向，C岛在 B 岛的北偏西 40°方向。从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角 ∠ACB呢？ 分析思考： ∠CAB= −∠CAD= °− °= °。 ∵ AD∥BE， ∴ + =180°，（理由：________________） ∠ABE=180°−80°=100°， ∠ABC=∠ABE−∠CBE= °。 在△ABC 中， ∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=________°。 探究三：直角三角形 直角三角形性质： 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴ ∠A+∠B= 。 结论：直角三角形的 。 直角三角形符号记作：________。 例3：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC 相交于点 E。比较∠CAE 与∠DBE 的大小。 解题思路： 在 Rt△ACE 中，∠CAE=90°−∠ 。 在 Rt△BDE 中，∠DBE=90°−∠ 。 ∵________________（对顶角相等）， ∴ ∠CAE________∠DBE。 思考： 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由。 直角三角形判定： 如果一个三角形有两个角________，那么这个三角形是直角三角形。 【课本练习】 1. 从 A 处观测 C 处仰角∠CAD=30°，从 B 处观测 C 处仰角∠CBD=45°，求∠ACB。 2. 在△ABC 中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED 的度数。 【合作学习，课堂研讨】 1. 课本给出两种剪拼方法，剪拼得到猜想，为什么仍然需要做严格证明？ 2. 作平行线辅助线和纸片剪拼，二者思维上有什么相通的地方？ 3. 例 2 中南北两条方向线 AD 与 BE 是什么位置关系？给解题提供什么条件？ 4. 例 3 使用了直角三角形哪一条性质？课本思考得到什么判定结论？ 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 两种剪拼都只是实验猜想，实验会有误差；只有推理论证之后才是定理；平行线辅助线，就是模拟剪拼把内角平移拼为平角。 2. 三角形内角和恒为 180°，和三角形大小无关。 3. 例 1：角平分线先平分内角，再在小三角形中用内角和求角。 4. 例 2 方位角：南北方向线互相平行，得到同旁内角互补，是解题关键。 5. 例 3：利用直角三角形两锐角互余 + 对顶角相等，得到同角的余角相等。 6. 性质：已知直角三角形⇒两锐角互余；判定：两角互余⇒直角三角形；记法 Rt△ABC。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 课本真实探究路径：两种剪拼实验，得到猜想→分析实验的局限性，提出需要证明→借鉴剪拼 “集中内角成平角” 的思路，作平行线转移角度，完成内角和定理证明→例 1 内角和 + 角平分线计算→例 2 方位角实际应用题→直角三角形性质（两锐角互余）→例 3 性质应用例题→课本反向思考→直角三角形判定→课本练习。 2. 核心知识点： ①两种剪拼得到猜想，推理证明得到定理：三角形内角和 180°；辅助线本质：模拟剪拼，转移内角，凑出平角； ②结合角平分线、方位角做角度计算（例 1、例 2）； ③直角三角形：性质两锐角互余；例 3 巩固性质；思考推导判定：两角互余为直角三角形；Rt△记法。 3. 数学思想：实验猜想 —— 推理论证；转化思想，模型思想，数形结合。 【课内自测】 1. 在△ABC，∠A=35°，∠B=65°，则∠C=________。 2. Rt△XYZ，∠Z=90°，∠X=28°，则∠Y=________。 3. 在△ABC 中，∠A=60°，∠B=30°，这个三角形是________三角形。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°，求△ABC 各内角的度数。 2. 直角三角形的一个锐角为 36°，求另一个锐角度数。 B 组【能力提升】 3. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠1=∠2，∠C=65°。求∠BAC 的度数。 4. 如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1 和∠2 的度数。 C 组【拓广探索・培优】 5. 如图，AB ∥ CD，∠BAE = ∠DCE = 45°。求证：∠E = 90°。 证明： ∵ AB ∥ CD ∴ ∠1 + ∠BAE + ∠2 + ∠DCE = ∵ ∠BAE = ∠DCE = 45° ∴ = 90°， ∴ ∠E = 90°。 6. 如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上一点，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。求∠BDC 和∠BFD 的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.1 三角形的内角 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 回顾课本介绍的两种剪拼方法得到内角和猜想，辨析实验操作的局限性，体会从 “实验猜想” 到 “逻辑证明” 的必要性；借助平行线作辅助线完成三角形内角和定理证明，理解辅助线和剪拼之间的内在联系，体会转化思想。 2. 会应用三角形内角和定理完成课本例 1、例 2 角度计算，解决方位角类实际几何问题。 3. 掌握直角三角形的表示方法、性质，通过例 3 巩固性质；再经过课本思考，得到直角三角形的判定方法。 4. 规范几何简单推理书写，提升读题识图能力。 学习重点：三角形内角和定理；例 1、例 2、例 3；直角三角形性质与判定。 学习难点：两种剪拼方法的对比理解；辅助线的由来；例 2 方位角识图；推理语言规范书写。 【前置补偿】 1. 平角的度数为 180°。 2. 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。 3. 方位角：北偏东、北偏西，南北方向线互相平行。 【学生自学】 阅读课本了解探究顺序： ①回顾课本两种剪拼操作，得到猜想：三角形内角和等于 180°； ②思考发现：剪拼、度量属于实验，存在误差，无法证明全部三角形，猜想需要严谨推理证明； ③观察剪拼图形特征，启发作平行线辅助线，模拟剪拼的角度移动，完成定理证明； ④例 1：三角形内角和 + 角平分线计算； ⑤例 2：方位角实际应用题（三岛视角）； ⑥推导直角三角形性质：直角三角形两锐角互余，认识 Rt△记法； ⑦例 3：应用直角三角形两锐角互余进行角度比较； ⑧课本思考：反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？（引出判定） ⑨得到直角三角形判定； 探究一：从两种剪拼猜想到严谨证明三角形内角和定理 活动 1 回顾两种剪拼实验 小学以及课本给出两种剪拼三角形内角的方法： 剪拼方法一：剪下三角形的∠B、∠C，拼在顶点 A 的左右两侧，∠A、∠B、∠C 三个角拼接在一起，形成一个平角。 剪拼方法二：剪下三角形的∠A、∠B，拼在底边 BC 的同一侧，三个内角同样拼成一个平角。 猜想：通过剪拼操作，我们猜想：三角形三个内角的和等于 180°。 小组思考 1： 通过动手剪拼，我们看到手中的几个三角形内角接近 180°，能不能就此断定：所有三角形的内角和都是 180°？为什么？ 答：不能。纸片裁剪会产生缝隙，测量工具存在误差；三角形有无穷多种，不可能全部拿来剪拼。剪拼只能得到猜想，不能作为普遍成立的结论，必须逻辑推理论证。 衔接过渡（课本思维启发）： 虽然纸片剪拼不能当作证明，但是剪拼给了我们非常重要的几何思路：把分散在三角形三个顶点的内角，移动、集中到同一个顶点处，拼成一个平角。 纸片可以靠裁剪撕扯移动角，在几何画图中不能撕纸片，那我们用什么办法，不动纸片，也能实现 “把角移动位置” 呢？ 回忆平行线的性质：两直线平行，可以实现角的等量转移。受第一种剪拼方式启发：过顶点 A 作直线 l ∥ BC，利用平行线的内错角相等，就可以把∠B、∠C 等量 “搬” 到点 A 的位置，复刻剪拼时把角集中拼接成平角的效果。 活动 2 证明三角形内角和定理 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过点 A 作直线 l，使 l∥BC。 ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4（两直线平行，内错角相等） 同理 ∠3=∠5。 ∵ ∠1，∠4，∠5 组成平角， ∴ ∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）。 ∴ ∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）。 归纳定理：三角形的内角和等于 180°。 小组思考 2：一个三角形最多有几个直角？最多有几个钝角？为什么？ 答：最多 1 个直角，最多 1 个钝角。若存在两个直角或者两个钝角，内角和将大于 180°，与内角和定理矛盾。 探究二 例题学习 例 1 题目：如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是△ABC 的角平分线。求∠ADB 的度数。 解题思路填空： ∵ AD 平分∠BAC ∴ ∠BAD=1/2∠BAC=20° 在△ABD 中， ∠ADB=180°−∠B−∠BAD=85°。 完整解答： 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=40° ∴ ∠BAD=1/2∠BAC=1/2×40°=20° 在△ABD 中， ∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−75°−20°=85°。 例 2 题目：图是 A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向。从 B 岛看 A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 思考填空： ∠CAB=∠BAD−∠CAD=80°−50°=30°。 ∵ AD∥BE，∴ ∠BAD+∠ABE=180°，（依据：两直线平行，同旁内角互补） ∠ABE=180°−80°=100°， ∠ABC=∠ABE−∠CBE=60°。 在△ABC 中，∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=90°。 完整解答： 解：∠CAB=80°−50°=30° ∵ AD∥BE ∴ ∠BAD+∠ABE=180° ∠ABE=180°−80°=100° ∠ABC=∠ABE−∠CBE=100°−40°=60°。 在△ABC 中， ∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=180°−30°−60°=90°。 答：∠ABC=60°，∠ACB=90°。 探究三 ：直角三角形 1. 直角三角形性质： 在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=90°。 结论：直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形符号记作：Rt△ABC。 例 3 题目：如图，∠C=∠D=90°，AD，BC 相交于点 E。比较∠CAE 与∠DBE 的大小。 解题思路填空： 在 Rt△ACE 中，∠CAE=90°−∠AEC。 在 Rt△BDE 中，∠DBE=90°−∠BED。 ∵∠AEC=∠BED（对顶角相等）， ∴ ∠CAE = ∠DBE。 完整解答： 解：在 Rt△ACE 中，∠CAE=90°−∠AEC。 在 Rt△BDE 中，∠DBE=90°−∠BED。 ∵ ∠AEC=∠BED（对顶角相等）， ∴ ∠CAE=∠DBE。 课本思考（紧跟例 3）： 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由。 答：是；若∠A+∠B=90°，由内角和 180° 得∠C=90°，所以该三角形为直角三角形。 1. 直角三角形判定： 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。 【课本练习】 1. 从 A 处观测 C 处仰角∠CAD=30°，从 B 处观测 C 处仰角∠CBD=45°，求∠ACB。 解：∠ACB=∠CBD−∠CAD=45°−30°=15°。 2. 在△ABC 中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED 的度数。 解：∠B+∠C=180°−40°=140°； ∠ADE+∠AED=180°−40°=140°； 总和 = 140°+140°=280°。 【合作学习，课堂研讨】 1. 课本给出两种剪拼方法，剪拼得到猜想，为什么仍然需要做严格证明？ 答：剪拼只是实物实验，有误差，只能说明手中几个三角形成立，不能代表全部三角形；作平行线辅助线，相当于纸上模拟剪拼，把角进行平移转移，把实验转化为严谨推理。 2. 作平行线辅助线和纸片剪拼，二者思维上有什么相通的地方？ 答：目标一致，都是把分散的三个内角，集中拼接成一个平角；剪拼靠裁剪移动纸片，证明靠平行线性质实现角度转移。 3. 例 2 中南北两条方向线 AD 与 BE 是什么位置关系？给解题提供什么条件？ 答：互相平行；得到同旁内角互补，求出∠ABE 的度数。 4. 例 3 使用了直角三角形哪一条性质？课本思考得到什么判定结论？ 答：例 3 使用直角三角形两锐角互余；思考得到：有两个角互余的三角形是直角三角形。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】 🔔课本重点易错警示 1. 两种剪拼都只是实验猜想，实验会有误差；证明才得到普遍成立的定理；平行线辅助线，就是模拟剪拼把内角平移拼为平角。 2. 三角形内角和恒为 180°，和三角形大小无关。 3. 例 1：角平分线先平分内角，再在小三角形中用内角和求角。 4. 例 2 方位角：南北方向线互相平行，得到同旁内角互补，是解题关键。 5. 例 3：利用直角三角形两锐角互余 + 对顶角相等，得到同角的余角相等。 6. 性质：已知直角三角形⇒两锐角互余；判定：两角互余⇒直角三角形；记法 Rt△ABC。 课堂笔记： 【总结提升】 1. 课本真实探究路径：两种剪拼实验，得到猜想→分析实验的局限性，提出需要证明→借鉴剪拼 “集中内角成平角” 的思路，作平行线转移角度，完成内角和定理证明→例 1 内角和 + 角平分线计算→例 2 方位角实际应用题→直角三角形性质（两锐角互余）→例 3 性质应用例题→课本反向思考→直角三角形判定→课本练习。 2. 核心知识点： ①两种剪拼得到猜想，推理证明得到定理：三角形内角和 180°；辅助线本质：模拟剪拼，转移内角，凑出平角； ②结合角平分线、方位角做角度计算（例 1、例 2）； ③直角三角形：性质两锐角互余；例 3 巩固性质；思考推导判定：两角互余为直角三角形；Rt△记法。 3. 数学思想：实验猜想 —— 推理论证；转化思想，模型思想，数形结合。 【课内自测】 1. 在△ABC，∠A=35°，∠B=65°，则∠C=80°。 2. Rt△XYZ，∠Z=90°，∠X=28°，则∠Y=62°。 3. 在△ABC 中，∠A=60°，∠B=30°，这个三角形是直角三角形。 【分层作业】 A 组【基础过关】 1. 在△ABC 中，∠B 比∠A 大 10°，∠C 比∠B 大 10°，求△ABC 各内角的度数。 解：设∠A=x，∠B=x+10°，∠C=x+20° x+x+10°+x+20°=180°，解得 x=50° ∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°。 2. 直角三角形的一个锐角为 36°，求另一个锐角度数。 解：90°−36°=54°。 B 组【能力提升】 3. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠1=∠2，∠C=65°。求∠BAC 的度数。 解：∵ AD⊥BC，∠C=65°，∴ ∠DAC=90°−65°=25° ∴ ∠1=∠2=25°，∠BAC=∠1+∠2+∠DAC=75°。 4. 如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1 和∠2 的度数。 解：∵ AB∥CD，∴ ∠1=∠A=40°，∠2=∠1+∠D=85°。 C 组【拓广探索・培优】 5. 如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上一点，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。求∠BDC 和∠BFD 的度数。 解：在△ADC 中，∠BDC=180°−∠A−∠ACD=180°−62°−35°=83°； 在△BDF 中，∠BFD=180°−∠ABE−∠BDC=180°−20°−83°=77°。 学科网（北京）股份有限公司 $