专题02 不等式（期中真题汇编，上海专用）高三数学上学期

专题02 不等式 4大高频考点概览 考点01 不等式的解集 考点02 基本不等式及其应用 考点03 恒成立与存在性问题 考点04 绝对值不等式与比较大小 地 城 考点01 不等式的解集 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A．334 B．338 C．678 D．1012 【答案】B 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，数形结合讨论范围研究不等式整数解个数，即可得. 【详解】由，即， 对于，周期为，且， 所以在一个周期内的大致图象如下，注意， 由，易知在区间上的图象与区间上的图象相同， 结合图象知，在中，与区间上的图象相同的区间有个， 在中，与区间上的图象相同的区间有个， 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 故选：B. 2．（25-26高三上·上海·期中）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果. 【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】由绝对值不等式的解法求解出结果. 【详解】因为，所以，所以解集为. 故答案为： 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）不等式的解为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据零点分段法讨论的范围，解各个区间上的不等式，最后取并集即可求出结果. 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以； 当时，原不等式可化为，即，所以； 当时，原不等式可化为，即，所以． 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·期中）方程的解集为__________． 【答案】 【分析】运用对数换底公式，将不同底数的对数统一转化为常用对数，然后利用对数的运算法则对式子进行化简整理，最后求解的值即可. 【详解】已知：，根据换底公式可得：， 化简得：，约分整理得：，即：， 因此可得：或，即：或. 故方程的解集为. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】设，根据函数的单调性求解. 【详解】设，其定义域为. 因为在均为增函数，所以在上单调递增. 又，所以不等式，即， 所以，又因为定义域为， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】由，得：， 解得：. 故答案为： 10．（25-26高三上·上海·期中）设，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用对数函数单调性求解不等式. 【详解】当时，函数在上单调递减， 不等式，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．（25-26高三上·上海·期中）设，方程的解集是 _________ ． 【答案】 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则的解集为_________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式得到或，解得即可. 【详解】因为，对于不等式， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13．（25-26高三上·上海·期中）设，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，然后分类讨论求解不等式. 【详解】当时，单调递增，单调递减， 故单调递减，且； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 解得，与不符，故不等式无解； 当且，即时，，故不等式无解； 当且，即且，不可能成立； 当且，即时，，不等式成立， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 14．（25-26高三上·上海·期中）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【分析】分与两段求解二次不等式可得. 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 15．（25-26高三上·上海宝山·期中）一元二次不等式的解集是，则___________． 【答案】 【分析】先利用一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系求出，最后计算． 【详解】的解集是，不等式的二次项系数为，抛物线开口向上， 不等式解集是方程两根之间的区间， 方程的两根为：， ，解得， ． 故答案为：． 16．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 17．（25-26高三上·上海闵行·期中）设表示不超过的最大整数，求关于的不等式的解集________． 【答案】 【分析】首先求出的范围，然后根据新定义表示不超过的最大整数，得到的范围． 【详解】不等式，即，解得， 又表示不超过的最大整数，所以， 即关于的不等式的解集为. 故答案为： 地 城 考点02 基本不等式及其应用 一、单选题 1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）记表示，，，三个数中的最小数，若方程有解，其中，，均为正数，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方程有解得到，不妨设，从而得到，然后由作差法确定的值，然后由不等式的基本性质求得最大值. 【详解】，则， 若，则，故 ∴， ， ∴，当且仅当时取等号. 同理若，则，故 ∴， ， ∴，当且仅当时取等号. 同理若且，∵，故. ∴， ， ∴， 当且仅当时取等号. 综上所述：的最大值为. 故选：B. 二、填空题 2．（25-26高三上·上海·期中）设，的最小值为___________； 【答案】 【分析】应用两点间距离公式结合三角形旋转转化边长，最后结合距离和得出最小值即可. 【详解】设，设， 把以为旋转中心逆时针旋转时，得出，则， 所以， 当且仅当四点共线时取最小值 则的最小值为. 故答案为：.      60．（25-26高三上·上海·期中）设且，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】将用x表示，代入原式后利用基本不等式求乘积的最大值即可. 【详解】因为，则，即， 可得则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知正数满足，则的最小值为_____． 【答案】9 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故最小值为9， 故答案为：9 4．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知正数，满足，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件． 【详解】正数a，b满足ab=2， 则2a+b≥2=4， 当且仅当2a=b=时，上式取得等号， 则2a+b的最小值为4， 故答案为4． 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题． 5．（25-26高三上·上海·期中）如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，，由，，，共线可得，可得再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：设，， ，，，共线，，． ，则， 点，是线段上两个动点，，． ，当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为． 故答案为：． 6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知、，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式可得解； 【详解】， 当且仅当时即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 化简可得. 因为，所以. 当且仅当，即时等号成立， 此时取得最小值. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海徐汇·期中）对任意的实数，的最小值为______ 【答案】 【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即可，另外要特别注意等号成立的条件. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，且，即且时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，则， 当且仅当，且，即且时等号成立， 所以， 当且仅当且时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知实数、满足，则的最小值为________． 【答案】20 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 10．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，，的最小值为______ 【答案】 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 11．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】通过指数运算求出，进而根据常数代换和基本不等式即可求解. 【详解】由得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 12．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若正数x，y满足，则的最小值是___________. 【答案】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 13．（25-26高三上·上海·期中）若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式及圆柱的侧面积计算公式即可得出． 【详解】如图所示，不妨设矩形的长与宽分别为，， 旋转形成的圆柱的底面半径为，母线长， 则，即， ，得，当且仅当时取等号， 旋转形成的圆柱的侧面积， 旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为． 故答案为：． 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，表示向量的坐标，进而得出，最后利用基本不等式求解最小值． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，     ，四边形是矩形， ， 设，，则，则，， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 15．（25-26高三上·上海·期中）函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中则的最小值为_________ 【答案】8 【详解】∵函数（，且）的图象恒过定点A， ∴当时，，∴，又点A在一次函数的图象上，其中， ∴，又， ∴，，∴，（当且仅当时取“”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 16．（25-26高三上·上海松江·期中）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 17．（25-26高三上·上海·期中）华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） (2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元 【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式； （2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）由题意得：， 故当时，， 当时，， 故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为： . （2）当时，， 故当时，取得最大值，最大值为万元； 当时，由基本不等式得： （万元）， 当且仅当，时，等号成立， 因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元. 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为. (1)试用的代数式表示； (2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用表示，相乘即可得到结果； （2）利用基本不等式取等条件可求得结果. 【详解】（1），， . （2）（当且仅当，即时取等号）， 当时，整个版面的面积最小. 19．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数 (1)求方程的解集； (2)解不等式； (3)求出函数的最小值，若，求的最小值，并写出取最值时的值． 【答案】(1) (2) (3)，的最小值为，此时 【分析】（1）依题意可得，利用零点分段法分类讨论，分别求出方程的解； （2）首先将函数写成分段函数，再分段解不等式，即可得解； （3）首先求出函数的最小值，即，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）方程，即， 当时，方程左边，方程右边 所以恒成立，即； 当时，方程左边，方程右边， 则，解得，又，所以方程无解； 当时，方程左边，方程右边， 则，解得，又，所以方程无解； 当时，方程左边，方程右边， 则恒成立，即； 综上可得方程的解集为. （2）因为， 对于不等式，所以或或， 解得或或， 综上可得不等式的解集为； （3）因为， 当时单调递增，且， 当时单调递减，且， 所以，即， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，此时. 地 城 考点03 恒成立与存在性问题 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）A，B均为实数，X为任意正数，恒成立，则可得（    ） A． B． C． D．无法确定A与B的大小关系 【答案】A 【分析】根据恒成立问题将已知条件转化为，再结合绝对值的性质求解即可. 【详解】因为对任意的正数恒成立， 则只需， 又，所以，即. 故选：A. 2．（25-26高三上·上海·期中）设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题设得且，结合已知可得且，分类讨论求范围，即可得答案. 【详解】由题意知：且，则，， 又且，则，即，， 所以且， (或n为其它大于1的整数)不满足；时；时， 所以满足要求，其它不符合. 故选：D 3．（25-26高三上·上海·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、、结合导数求解即可. 【详解】当时，，满足不等式恒成立； 当时，易得在单调递减，值域为， 令，， 则， 当时，，单调递增，值域为，满足题意； 当，时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时的值域为， 当，即时，， 而在中， 此时存在，不符合题意； 所以，此时要使关于的不等式恒成立， 只需，即，可得． 综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为． 故选：A. 5．（25-26高三上·上海·期中）若关于x的二次不等式恒成立，则一定有　　 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】因为关于x的二次不等式恒成立，所以二次函数的图象开口方向向上，且与轴无交点 【详解】由题意关于x的二次不等式恒成立，得：，即， 故选B． 【点睛】对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴下方 二、填空题 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若对于任意，使得恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求出的最小值，再根据恒成立问题建立一元二次不等式求解. 【详解】因为， 所以， 由对于任意，使得恒成立， 所以，解得， 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海松江·期中）不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______． 【答案】 【分析】设，将问题转化为对任意的恒成立，分离参数得对任意的恒成立，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】设， 则原不等式转化为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 又因为， 所以， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题意，分且和且，两种情况讨论，构造函数，利用导数和基本不等式，求得函数的最值，即可求解. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， ①当对任意均成立时，可得对任意均成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以， 又由对任意均成立， 可得对任意均成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以. ②当且对于任意均成立时， 结合①可知且，此时无解. 综上可得，实数实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可得解. 【详解】对，都，使得不等式成立， 等价于, 当时，，所以， 当时，，所以， 所以恒成立，当且仅当时，， 所以对，恒成立，即对恒成立， 当，成立， 当时，恒成立，即恒成立. 记, 因为恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以恒成立，即， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 10．（25-26高三上·上海·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；（答案不唯一，满足的均可） (2)由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)存在， 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【详解】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） （2）略 （3）若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 地 城 考点04 绝对值不等式与比较大小 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可用特殊值法检验每个选项，即可判断. 【详解】对于选项A：若，显然选项A错误； 对于选项B：因为在上单调增加，，则，所以，所以选项B正确； 对于选项C：若，则无意义，所以选项C错误； 对于选项D：若，则，所以选项D错误. 故选：B. 2．（25-26高三上·上海·期中）若，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值的正负可判断A；取可判断BC；作差法可判断D. 【详解】A：因为，所以，所以，故错误； B：取，此时，故错误； C：取，此时，故错误； D：， 且，所以，故正确； 故选：D. 3．（25-26高三上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 4．（25-26高三上·上海·期中）设，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】由，可得，所以，故C一定成立， 若，，满足，但是，，故A、B、D不一定成立. 故选：C 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质解决即可. 【详解】因为，所以，故有. 故选：D. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 二、填空题 7．（25-26高三上·上海·期中）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式 4大高频考点概览 考点01 不等式的解集 考点02 基本不等式及其应用 考点03 恒成立与存在性问题 考点04 绝对值不等式与比较大小 地 城 考点01 不等式的解集 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A．334 B．338 C．678 D．1012 2．（25-26高三上·上海·期中）已知实数a，b满足，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为___________． 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）不等式的解集为__________． 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）不等式的解为__________． 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）不等式的解集为______． 7．（25-26高三上·上海·期中）方程的解集为__________． 8．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为_____. 9．（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为__________. 10．（25-26高三上·上海·期中）设，若，则实数的取值范围是______. 11．（25-26高三上·上海·期中）设，方程的解集是 _________ ． 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的表达式为，则的解集为_________. 13．（25-26高三上·上海·期中）设，则不等式的解集为__________. 14．（25-26高三上·上海·期中）已知，求的的取值范围_______. 15．（25-26高三上·上海宝山·期中）一元二次不等式的解集是，则___________． 16．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是________. 17．（25-26高三上·上海闵行·期中）设表示不超过的最大整数，求关于的不等式的解集________． 地 城 考点02 基本不等式及其应用 一、单选题 1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）记表示，，，三个数中的最小数，若方程有解，其中，，均为正数，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高三上·上海·期中）设，的最小值为___________； 60．（25-26高三上·上海·期中）设且，则的最大值为__________. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知正数满足，则的最小值为_____． 4．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知正数，满足，则的最小值为____________. 5．（25-26高三上·上海·期中）如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为________． 6．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知、，，则的最小值为______. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值为______． 8．（25-26高三上·上海徐汇·期中）对任意的实数，的最小值为______ 9．（25-26高三上·上海·期中）已知实数、满足，则的最小值为________． 10．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，，的最小值为______ 11．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知，，且，则的最小值为__________． 12．（25-26高三上·上海杨浦·期中）若正数x，y满足，则的最小值是___________. 13．（25-26高三上·上海·期中）若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____． 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为________．    15．（25-26高三上·上海·期中）函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中则的最小值为_________ 16．（25-26高三上·上海松江·期中）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为_____________. 三、解答题 17．（25-26高三上·上海·期中）华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） (2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为，整个矩形版面的面积为. (1)试用的代数式表示； (2)当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到） 19．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数 (1)求方程的解集； (2)解不等式； (3)求出函数的最小值，若，求的最小值，并写出取最值时的值． 地 城 考点03 恒成立与存在性问题 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）A，B均为实数，X为任意正数，恒成立，则可得（    ） A． B． C． D．无法确定A与B的大小关系 2．（25-26高三上·上海·期中）设，若在区间上存在a，b且，使得，则下列所给的值中只可能是（    ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高三上·上海·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，设函数，若关于x的不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期中）若关于x的二次不等式恒成立，则一定有　　 A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 二、填空题 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若对于任意，使得恒成立，则实数的取值范围为_____. 7．（25-26高三上·上海松江·期中）不等式对任意都成立，则实数a的取值范围______． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）设函数，其中.若对任意的，都存在，使得不等式成立，则的最大值为______． 三、解答题 10．（25-26高三上·上海·期中）若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； (3)试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 地 城 考点04 绝对值不等式与比较大小 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）若，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·期中）设，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26高三上·上海·期中）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $