专题06 数列（期中真题汇编，上海专用）高三数学上学期

专题06 数列 5大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03递推数列与通项公式 考点04数列求和 考点05数列新定义与不等式 地 城 考点01 等差数列 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）设是等差数列.下列结论中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高三上·上海·期中）无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 4．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 二、填空题 6．（25-26高三上·上海·期中）在数列中，，则的最小值为__________. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列．若数列的前三项和为6，则__________． 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是________. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为_________. 10．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________. 11．（25-26高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______． 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 13．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 地 城 考点02 等比数列 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的正整数，满足，则下列选项中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高三上·上海·期中）数列中，，，则______． 3．（25-26高三上·上海松江·期中）已知等比数列中，，则__________. 4．（25-26高三上·上海·期中）若数列是各项均为正数的等比数列，数列满足，且，，则数列的前项和为______. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，n是正整数，，若是公比为q等比数列，且，，n是正整数，则q的取值范围是__________. 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知等比数列的前项和为，若，则实数________. 7．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知等比数列的公比，若，，设，记数列的前项和为，则使得成立的最大值为______. 8．（25-26高三上·上海·期中）在等比数列中，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是____________． 9．（25-26高三上·上海虹口·期中）数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 10．（25-26高三上·上海闵行·期中）在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则________. 三、解答题 11．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列，并求； 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明： 有唯一零点； (3)记的零点为，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 14．（25-26高三上·上海闵行·期中）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 地 城 考点03 递推数列与通项公式 一、单选题 1．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A．2 B．3 C．5 D．4 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知正项数列满足，下列说法正确的是（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，存在正整数，当时， 二、解答题　 4．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 5（25-26高三上·上海松江·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)若，求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，，成等比数列，求的最小值． 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知. (1)写出函数的单调增区间； (2)求关于的方程的解集； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，计算. 地 城 考点04 数列求和 一、单选题 1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（   ） A．p、q均是假命题 B．是真命题，是假命题 C．p、q均是真命题 D．是假命题，是真命题 2．（25-26高三上·上海·期中）已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（   ） A．p、q均是假命题 B．是真命题，是假命题 C．p、q均是真命题 D．是假命题，是真命题 3．（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，，则____ 5．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，则___________． 三、解答题 6．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 地 城 考点05 数列新定义与不等式 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（25-26高三上·上海黄浦·期中）数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 3．（25-26高三上·上海·期中）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ） A．存在等差数列，使得是的“M数列” B．存在等比数列，使得是的“M数列” C．存在等差数列，使得是的“M数列” D．存在等比数列，使得是的“M数列” 4．（25-26高三上·上海·期中）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 6．（25-26高三上·上海虹口·期中）数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（    ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、解答题　 7．（25-26高三上·上海·期中）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和的调和中项； (2)已知调和数列，，，求的通项公式. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 5大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03递推数列与通项公式 考点04数列求和 考点05数列新定义与不等式 地 城 考点01 等差数列 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项. 【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）设是等差数列.下列结论中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误， D选项，故D错， 下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则， 故选C. 考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查. 3．（25-26高三上·上海·期中）无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】由为递增数列， 可得，必要性成立；利用特殊值证明充分性不成立. 【详解】等差数列的首项为,公差为,前项和为, 则, 若为递增数列， ，必要性成立； 若，不能推出（如）, 即不能推出为递增数列，充分性不成立， 故“”是“”为递增数列的必要非充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查数列的增减性，以及充分条件与必要条件的定义，属于难题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 4．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________. 【答案】3 【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可. 【详解】因为成等差数列， 故，即， 解得：或. 因为等比数列是严格减数列，且，故. 所以. 故答案为：3 5．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 二、填空题 6．（25-26高三上·上海·期中）在数列中，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】运用累加法，结合等差数列前项和公式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】， ， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，， 因此当，或，有最小值， 即的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·期中）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列．若数列的前三项和为6，则__________． 【答案】 【分析】根据等差、等比数列的通项公式列式求值即可. 【详解】由题意：，，且， 所以. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是________. 【答案】 【分析】由等差数列可得，分析可知直线过定点，即可得点到直线距离的最大值. 【详解】因为实数，，成等差数列（，不同时为0）， 则，即， 直线即为， 可得，可知直线过定点， 所以点到直线的最大距离是. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为_________. 【答案】21 【分析】不妨设数列的公差大于零，不妨取，则，设，再分和两种情况讨论，可得出的值，再讨论，即可求出，即可得解. 【详解】不妨设数列的公差大于零， 由于，得， 且时，，时，， 不妨取，则， 设， 若，则，此时式子取不了最大值； 若，则， 又时，， 因为，此时式子取不了最大值； 因此这就说明必成立. 若，则， 这也就说明不成立，因此， 所以. 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，，成等比数列，则________. 【答案】4 【分析】根据等差、等比数列的通项公式、求和公式，进行化简求值即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，，成等比数列，则， 即，可得， . 故答案为：4. 11．（25-26高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列（公差不为0），则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围. 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等差数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以 . 故答案为：. 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）2025年6月底，某厂的废水池已储存废水75吨，以后每月新产生的6吨废水也存入废水池．该厂2025年7月开始对废水处理后进行排放，7月底排放4吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加1吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2026年1月开始对废水池中的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化？ 【答案】(1)2026年9月 (2)2026年的11月 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为，由已知条件，，当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列，而从2025年7月起第个月废水存量为：，再结合等比数列的前项和公式求解． 【详解】（1）设从2025年7月起第个月处理后的废水排放量为， 则数列是首项为4，公差为1的等差数列， 所以， 令，整理得， 解得或， 又因为是正整数，则， 当时，处理后的废水排放量大于新产生的6吨废水，所以不会有废水存积. 故该厂在2026年9月底第一次将废水池中的废水排放完毕； （2）设从2025年7月起第个月深度净化的废水量为吨， 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 则数列的前项和， 而从2025年7月起第个月废水存量为：， 当时，， 当时，， 所以2026年的11月份开始，废水池中的废水能全部被深度净化． 13．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式将和改成的等式，联立方程组求出，从而得到等差数列的通项公式； （2）将代入，得到的通项公式，证明是等差数列，利用等差数列的求和公式求出，将代入，解关于的一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，，， ，， 联立，解得， 所以， 的通项公式； （2），，， ，， 数列是以为首项，8为公差的等差数列， ， ，，， ，为正整数，， 正整数的最小值10. 地 城 考点02 等比数列 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的正整数，满足，则下列选项中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，当，时，结合等比数列的通项和性质分析判断． 【详解】是等比数列，公比为，存在无穷多个不同的满足， 当时，则： ①当时，则为非零常数列，，符合题意，故A可能成立； ②当时，则为单调数列，恒不成立，且不合题意； 当时，可得，则： ①当时，若，为偶数时，则； 若时，为奇数时，则； 符合题意，故B可能成立； ②当，若，为偶数时，则，，， 且，即； 若，为奇数时，则，，，且， 即；故符合题意，故D可能成立； ③当，，， ，则，，可得， 则，这与等比数列相矛盾， 故和均不合题意，故C不可能成立． 故选：C． 二、填空题 2．（25-26高三上·上海·期中）数列中，，，则______． 【答案】 【分析】由无穷递缩等比数列的求和公式计算． 【详解】，，即，是等比数列，公比为， ∴． 故答案为：2. 3．（25-26高三上·上海松江·期中）已知等比数列中，，则__________. 【答案】 【分析】根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 4．（25-26高三上·上海·期中）若数列是各项均为正数的等比数列，数列满足，且，，则数列的前项和为______. 【答案】 【分析】根据，，求出的通项公式，即可求出的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式计算可得. 【详解】解：设正项等比数列的首项为，公比为， ，且， ， 即， ，， 故答案为： 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，等差数列前项和公式，属于基础题. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，n是正整数，，若是公比为q等比数列，且，，n是正整数，则q的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由已知条件得到，由得到，分别讨论和两种情况，在当时，由得到；分别讨论，，进行求解即可 【详解】，是公比为q等比数列，，， ， 当时，这三个数正负交替出现，不满足； 当时，，； 当时，，，，此不等式对所有的成立； 当时，，，， ，， ，， ，， 对于不等式，令，得到，解得， ，，，成立， ； 当时， ，，， ，， ，， ，， ，， ， 时，不等式恒成立. 综上，的取值范围为. 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知等比数列的前项和为，若，则实数________. 【答案】3 【分析】根据等比数列前项和公式的特点可得出关于的等式，即可解. 【详解】由， 当时，，不合题意. 当时，， 对比系数可得， 故答案为：3. 7．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知等比数列的公比，若，，设，记数列的前项和为，则使得成立的最大值为______. 【答案】8 【分析】根据等比数列的下标和的性质、等比数列的通项公式求出，继而可得，再根据等差数列的前项和公式可得，解不等式，结合即可求解. 【详解】为等比数列，且公比， 所以，可得， ，可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 所以，可得， 所以，可得， 解得，又， 所以使得成立的最大值为8. 故答案为：8. 8．（25-26高三上·上海·期中）在等比数列中，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是____________． 【答案】/ 【分析】根据等比数列的通项公式求得公比后，利用等比数列的前项和公式建立方程，解出即可. 【详解】设数列的公比为， 则， 解得， 故，， 所以，， 又，则， 由得， ， 解得， 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海虹口·期中）数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 【答案】1或 【分析】先判断是等差数列，然后根据等比中项的知识列方程求得. 【详解】由题意可得数列是公差为3的等差数列， ，， 与的等比中项是2，， 即，解得或， 或. 故答案为：1或 10．（25-26高三上·上海闵行·期中）在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则________. 【答案】 【分析】根据函数驻点的性质与等比数列的性质求解即可. 【详解】函数，则 ，分别是函数的两个驻点，所以，是方程的两根， 所以，所以 在等比数列中，且等比数列奇数项同号，则，所以. 故答案为：. 三、解答题 11．（25-26高三上·上海·期中）已知等差数列不是常数列，其前四项和为10，且成等比数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，求证数列是等比数列，并求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意建立关于的方程组，求解后代入通项公式化简即得； （2）在求出的通项后，利用等比数列的定义证明是等比数列，再由无穷项的等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 依题意得：， 化简得，解得. 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 由，可得数列是等比数列， 且等比数列的首项为，公比为， 则. 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明： 有唯一零点； (3)记的零点为，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由. 【答案】(1) (2) 当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有一个零点1， 当时，因为， 所以有唯一的零点； (3)数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列.理由如下： 由（2）有：，且， 两边取自然对数得①， 所以②， 由②①有：， 所以， 因为，所以在上单调递增， 所以，所以数列单调递增， 假设数列中存在成等比数列， 所以，即③， 由①有：代入③有： ， 所以④， 因为，所以， 当且仅当时取等， 又因为， 所以方程④无解，故数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. 【分析】（1）先求，根据导数的几何意义即可求切线方程； （2）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理即可判断零点； （3）由方程两边取对数，转化为，再构造函数在上单调递增，结合等比数列的性质，即可判断证明. 【详解】（1）由题意有，所以，， 所以，即， 所以切线方程为； （2）略 （3）略 13．（25-26高三上·上海·期中）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. （2）. 所以 14．（25-26高三上·上海闵行·期中）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）将全部用代换，结合等比性质可求的通项公式； （2）化简得，结合分组求解法求出，由的单调性可求的最小值． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，，成等比数列及， 得，即，解得． 当时，，，构成等比数列，符合条件； 当时，，，不能构成等比数列，不符合条件． 因此，于是数列的通项公式为； （2）由（1）知，故，所以 易知在正整数集上严格递增，且，． 故满足的正整数的最小值为6． 地 城 考点03 递推数列与通项公式 一、单选题 1．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是 A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【详解】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，且其前n项和An和Bn满足，则 . 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数. 故选C. 2．（25-26高三上·上海浦东新·期中）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意代入即可得结果. 【详解】因为， 当时，左边，故C正确. 故选：C. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知正项数列满足，下列说法正确的是（   ） A．当时，数列单调递减 B．当时，数列单调递增 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，存在正整数，当时， 【答案】D 【分析】构建，结合导数分析的单调性和大小关系，利用递推法分析数列的单调性和取值范围，结合选项即可判断. 【详解】设，可知在内单调递增， 构建，则， 可知在内单调递减，且 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可得的函数图象，如图所示： 对于选项AC：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递增，且， 即不存在正整数，当时，，故AC错误； 对于选项BD：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递减，且， 所以存在正整数，当时，（只需即可），故B错误，D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建，分析两个函数的单调性从而得到大小关系，结合图象分析数列性质. 二、解答题　 4．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 【答案】(1) 由，两边取倒数，可得， 即有数列是首项，公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得，故. (2) 由， 可得 【分析】（1）两边同取倒数即可得，再根据等差数列的定义与通项公式即可得到答案； （2）裂项得，再求和即可. 【详解】（1）略 （2）略 5（25-26高三上·上海松江·期中）记为数列的前n项和，已知． (1)若，求的值； (2)证明：数列是等差数列； (3)若，，成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 证明：由，则，① 当时，，② ①②，得， 即， 即，所以数列是以1为公差的等差数列. (3) 【分析】（1）结合和的关系，赋值即可求解； （2）根据和的关系，结合题设化简可得，即可求证； （3）由题意可得，再根据等差数列基本量的计算可求得，进而得到，再根据二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）由， 当时，， 则，即，而， 所以. （2）略 （3）由（2）知，等差数列的公差， 因为，，成等比数列， 所以，则， 即，解得， 所以，函数开口向上，对称轴为, 而，所以或12时，取得最小值. 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知. (1)写出函数的单调增区间； (2)求关于的方程的解集； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，计算. 【答案】(1)的单调增区间是; (2); (3). 【分析】（1）先找绝对值的 “分界点”，令，得；再分区间拆绝对值； （2）先换元化简令，方程变为；再按的范围拆绝对值，最后还原求解即可； （3）先按n的范围拆通项，把拆成不同对应的表达式，再判断时的数列类型，最后把拆为 “单独项 + 等比数列和”取极限即可. 【详解】（1）令，得分界点为； 当时，； 由于是单调递增函数，因此在上单调递增； 当时，； 由于是单调递减函数，因此在上单调递减； 综上，的单调增区间是. （2）令，方程变为， 根据绝对值的几何意义（数轴上到和的距离之和），或分段讨论： 当时，，解得，符合； 当时，，等式恒成立； 当，解得，符合； 因此，即，解得. 故方程的解集为：. （3）数列通项的分段形式为： 当，即时：时，，； 当，即时：. 因此数列的前项和： 当时， 当时，， 因此： 地 城 考点04 数列求和 一、单选题 1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（   ） A．p、q均是假命题 B．是真命题，是假命题 C．p、q均是真命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】由递推公式变形，得出的初步范围进行放缩即可判断命题，利用余弦的二倍角公式进行构造，再利用导数进行放缩，即可判断命题. 【详解】由题意，即， 由于，则与同号， 由于，则， 所以， 所以单调递减， 当时，， 当时，，， ， 所以命题是真命题； ，， 由于，则可以设， 代入得，则可令， 由，令，则， 设，，则 设，则， 则单调递增，， 则，单调递增，， 所以，当时等号成立， 所以， 所以， 因为， 所以成立，命题是真命题. 故选：C. 2．（25-26高三上·上海·期中）已知正项数列满足，记为数列的前项和，则对于p：“”；q：“”，判断正确的是（   ） A．p、q均是假命题 B．是真命题，是假命题 C．p、q均是真命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】由递推公式变形，得出的初步范围进行放缩即可判断命题，利用余弦的二倍角公式进行构造，再利用导数进行放缩，即可判断命题. 【详解】由题意，即， 由于，则与同号， 由于，则， 所以， 所以单调递减， 当时，， 当时，，， ， 所以命题是真命题； ，， 由于，则可以设， 代入得，则可令， 由，令，则， 设，，则 设，则， 则单调递增，， 则，单调递增，， 所以，当时等号成立， 所以， 所以， 因为， 所以成立，命题是真命题. 故选：C. 3．（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而确定，即可得解. 【详解】由已知对任意正整数，，都有， 则令，可得， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 又当，所以， 即，即， 所以的最小值为， 故选：A. 二、填空题 4．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，，则____ 【答案】243 【分析】根据与的关系，利用，求出数列的通项公式，进而求出 【详解】，当时，有. 当时，有. 故，即，. 又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列. 因此. 当时，. 故答案为：243. 5．（25-26高三上·上海·期中）记为数列的前项和，若，则___________． 【答案】 【分析】首先根据题意得到数列是以，公比为的等比数列，再求即可. 【详解】当时，，解得； 当时，由，则， 所以， 即，则数列是以，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 三、解答题 6．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 【答案】（Ⅰ），； （Ⅱ）由(Ⅰ)可得， 故，， 从而， 所以. （Ⅲ）. 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可； (Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可. 【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q. 由，，可得d=1. 从而的通项公式为. 由， 又q≠0，可得，解得q=2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)略 (Ⅲ)当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， 和 ① 由①得 ② 由①②得， 由于， 从而得：. 因此，. 所以，数列的前2n项和为. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题. 地 城 考点05 数列新定义与不等式 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列.关于命题：①若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；②若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列.下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】对于①：根据等差数列的求和公式可得，结合可得，进而根据二次函数性质分析判断；对于②：可以取一个公比为负数的等比数列说明其存在性即可. 【详解】对于①：设等差数列的公差为， 则，所以， 即为公差为的等差数列， 若为和谐数列，则， 即，则， 所以关于的二次函数，开口向上， 所以在上一定存在最小值，所以①正确； 对于②：取， 则，且, 为和谐数列等价于， 证明上述不等式即说明存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列， 即证，即证， 当时，上式左边为负数，显然成立； 当时，即证，即证，（*） 设，， 则在上单调递增，可得， 即（*）式成立，所以②正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：命题②的关键点在于取一个公比为负数的等比数列说明其存在性. 2．（25-26高三上·上海黄浦·期中）数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”现有如下两个命题：①等比数列为“某数列”；②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.则下列选项中正确的是（    ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】C 【分析】利用等比数列前n项和公式计算，再建立方程并判断①；求出等差数列的通项，再拆分成两个等差数列，结合等差数列前n项和建立方程判断②. 【详解】对于①，由等比数列，得， 若对任意正整数，总存在正整数，使得，则，即，显然不成立，①为假命题； 对于②，设等差数列的公差为，则. 令，，则， 下面证是“某数列”. 设的前项和为，则， 于是对任意的正整数，总存在正整数，使得，所以是“某数列”. 同理，可证也是“某数列”. 所以对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得成立，故②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 3．（25-26高三上·上海·期中）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ） A．存在等差数列，使得是的“M数列” B．存在等比数列，使得是的“M数列” C．存在等差数列，使得是的“M数列” D．存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】C 【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故A为真命题； 对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故B为真命题； 对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”， 设等差数列的公差为， ∵、均为严格增数列，则，故， 取满足，可知必存在，使得成立， 当时，对任意正整数，则有； 对任意正整数，则有； 故不存在正整数，使得，故C为假命题； 对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故D为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可. 4．（25-26高三上·上海·期中）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（   ） A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】A 【分析】根据题目条件，利用不等式，对各条件中的代数式进行放缩. 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】由题意，结合，的变化情况，利用极限思想即可判断①；根据题意，结合“可控数列”的定义，举出实例说明②，即可得出答案. 【详解】①数列不是常数列，则，则看作是一次函数的变化， 由得，看作是二次函数的变化， 当足够大时，极限的思想说明不成立； ②取，则， 当时，取，满足， 当时，取，满足； 故选：. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 6．（25-26高三上·上海虹口·期中）数列的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（    ） ①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式求出，再取一个单调递增函数，按给定的条件使方程有正整数解的函数个数即可判断. 【详解】对于①，数列单调递增，令函数，显然，由， 得，整理得，此方程有正整数解， 如方程中取，则，即， 对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，①错误； 对于②，数列单调递增，，令，由， 得，取，显然对每一个正整数都有唯一的正数， 并且不同的值，值不同，因此与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个，②正确， 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 二、解答题　 7．（25-26高三上·上海·期中）若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项. (1)求和的调和中项； (2)已知调和数列，，，求的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案； （2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式. 【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列， 所以，解得：， 故和的调和中项为； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 试卷第1页，共3页 36 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $