专题04 导数及其应用（期中真题汇编，上海专用）高三数学上学期

专题04 导数及其应用 5大高频考点概览 考点01 导数的相关概念 考点02 导数的几何意义 考点03 利用导数研究单调性 考点04 函数的极值与最值 考点05 导数与恒成立、参数范围 地 城 考点01 导数的相关概念 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）若，则______． 【答案】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可知：. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数，则______． 【答案】 【分析】求导，即可结合导数的定义求解. 【详解】，则，故， 故. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则______． 【答案】6 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 故答案为:6. 4．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知，且_______ 【答案】 【分析】根据导数的定义可求极限值. 【详解】由题，, 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则___________. 【答案】1 【分析】根据函数导数的定义，求出指定导数值即可. 【详解】由题意得，， 则，可知； 故答案为：1. 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 【答案】1 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 7．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则_________. 【答案】 【分析】含未知导数值的函数，可将导数值看作常数，对函数求导后代入自变量1得到关于的关系式，即可求出的值. 【详解】由题意得，， 所以， 解得， 故答案为：. 地 城 考点02 导数的几何意义 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，进而即可判断AB；画出函数与图象，由可得，化简计算即可判断CD. 【详解】由题意知，，则， 所以曲线在点处的切线方程分别为 ， 因为切线均过原点，所以， 即，得，故AB错误； 由，得，画出函数与图象，如图， 设，如上图易知：， 由正切函数图象性质，得，即， 又，所以， 即，解得，故C正确，D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：证明选项CD的关键是根据构造新函数，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键. 2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 二、填空题　 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 4．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为_____. 【答案】/ 【分析】求导，确定切线斜率，即可求解. 【详解】设切线的倾斜角为， ， 所以， 所以在点处的切线斜率， 所以， 故答案为： 6．（25-26高三上·上海·期中）函数在点处的切线方程为___________. 【答案】 【分析】由导数的几何意义即可求出切线斜率，即可求解切线方程. 【详解】因为，所以，所以 所以在点处的切线斜率为，又， 则在点处的切线方程为 ，即. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海松江·期中）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 三、解答题　 8．（25-26高三上·上海·期中）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】(1)3 (2)曲线所有切线仅有一条，切线方程为. (3)存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可； （3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【详解】（1）曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. （2），所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3）略 9．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 【答案】(1)函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由：显然直线切的图象于点， 直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”； 对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同， 所以函数的图象不存在“自公切线”. (2)证明：由恒成立，且仅当时， 则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点， 令， 由的图象是连续曲线，且， 因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且， 使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设， 切线，， 有相同截距，即，而， 则，即， 则有，即，令，， 即函数在上单调递增，，因此当时，， 即在上无解， 所以的图象不存在“自公切线”. (3)证明：对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定， 又在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”， 则，又，则， 所以，且，从而存在， 使得，代入，可得，则，即是数列中的项； 反之，若是数列中的项，则存在，使得，即， 由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知， 令，则且， 即，可得，所以存在， 使得点与是函数的图象的一对“同切点”. 所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”. 【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断. （2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得. （3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 10．（25-26高三上·上海宝山·期中）设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，结合切线与轴平行（或重合）时斜率为来求解的值； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题，通过求导分析函数单调性进而求得最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）依题意得：， 曲线在点处的切线与轴平行，即切线斜率为，故， 代入得：，解得； （2）依题意得：， 令，则需对成立， 对求导得：， 令，则，当时，，故在上单调递增； ，因此，即在上单调递增； 在上单调递增，故， 因此，，即实数的取值范围为. 11．（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足真数，即可得解； （2）当时，确定的解析式，利用导数求出在处的斜率，即可求出切线方程. 【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； （2）当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 12．（25-26高三上·上海·期中）已知曲线，曲线，其中. (1)求曲线在处的切线； (2)证明：E与F存在唯一交点； (3)在（2）的条件下，设交点为，作在点处的切线，交轴于点，证明:. 【答案】(1) (2) 记. 则当时，，故， 而，故此时无零点； 当时，函数和均为减函数， 所以严格递减，且，故有唯一零点. 综上，与有唯一交点. (3) 由（2）得，对求导得， 故在点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为， 令得，故， 要证，只需证即. 由（）式得，故只需证. 记在上单调递增， 所以，即，故得证. 【分析】（1）由导数求出切线斜率，再由点斜式即可求解； （2）构造函数，将问题等价转化成研究函数的零点，分和两段依次分析函数的函数值情况和单调性情况即可得证； （3）先利用导数依次求出在点处的切线方程和点B，利用两点间的距离公式和将题设所要求证的问题等价转换成求证，再构造函数，利用导数分析其在上的单调性即可求证. 【详解】（1）对求导得， 当时，切线斜率为，， 所以所求切线方程为； （2）略 （3）略 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，若函数的图像上存在两点，同时满足以下两个条件，则称函数为“切线控制函数”，直线为其“控制切线”： ①直线恰为曲线的一条切线，且，两点都是直线与曲线的切点； ②记直线的方程为，对于任意，恒成立. (1)试判断函数，是否为“切线控制函数”（无需说明理由）； (2)已知为“切线控制函数”，求实数的取值范围： (3)证明：为“切线控制函数”，并求出其所有“控制切线”． 【答案】(1)是“切线控制函数”，不是“切线控制函数”． (2) (3) 控制切线需满足恒成立， 即，若，线性项主导导致左边无界，不合要求， 所以必有，即， 此时，故， 公切线构造，其中，又控制切线中， 令得，解得， 当，时，，切点纵坐标为， 故，所以，切线方程为， 当，时，，同理可得，切线方程为，但此时， 验证， 条件①：，均为切点，直线为公切线， 条件②：，故恒成立， 所以是 “切线控制函数”．其所有“控制切线”为：． 【分析】（1）由函数的新定义进行判断； （2）不妨设切点在上，切点在上，由导数几何意义分别写出在和处的切线方程，对照系数，得到方程组，变形得到，，构造函数，求导，得到其单调性进行求解； （3）推导出控制切线需满足，，由导数的几何意义得到切点横坐标，分两种情况，讨论得到切线方程，并通过验证，得到结论 【详解】（1）是“切线控制函数”，不是“切线控制函数”． 原因如下：对于，则， 取，则，， 故直线恰为曲线的一条切线，且，两点都是直线与曲线的切点，满足条件①， 直线，满足，满足条件②， 故是“切线控制函数”； 对于，则，显然函数在定义域上单调递增， 所以函数上任意两点的切线的斜率均不相同，则不满足条件①， 故不是“切线控制函数”． （2）在上单调递增，在上单调递增， 故切点不会同在，或，的图象上， 则切点必在轴的两侧， 不妨设切点在上，得， 切点在上，得， 由于， 故在点处的切线方程为， 即， ， 故在点处的切线方程为， 即， 两切线为同一切线，故， 由③得⑤， 将⑤代入④得，， 故，， 令，， 则， 故在上单调递减， 故，所以． 故实数的取值范围为： （3）略 14．（25-26高三上·上海·期中）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． (1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； (2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程； (3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 【答案】(1)是，理由：的定义域为，求导得，直线的斜率为2， 令，解得，不妨设切点， 则点处的切线方程为，即， 点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线的“双重切线”. (2)； (3)证明：设对应的切点为，对应的切点为， 由，得，， 由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中， 由及余弦函数在上递增知，， 则， ， 因此，又，， 则，同理， 令，求导得， 则在上单调递增，显然，且， 函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有， 由，同理可得，而，因此， 于是，即有， 所以，即. 【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可. （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程. （3）利用“双重切线”的定义，分别设出对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得. 【详解】（1）略 （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是设切点并利用和切线方程得到之间的等式，进而消去一个未知数，构造函数利用导数的性质求得方程的零点. 地 城 考点03 利用导数研究单调性 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】B 【分析】根据导函数图象得到导数的正负，从而得到函数的增减情况，判断A，根据导数的几何意义判断B，并根据函数的单调性，结合极值的定义判断CD． 【详解】根据的图象可知，在区间上，，则在区间上单调递减，故A错误； ，则的图象在处的切线斜率等于0，故B正确； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故C错误； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故D错误． 故选：B 二、填空题　 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）求函数在的单调递增区间_______________. 【答案】和 【分析】首先求出函数在上的单调递增区间，再与取交集. 【详解】因为，令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 所以函数在的单调递增区间为和. 故答案为：和 3．（25-26高三上·上海·期中）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为______．    【答案】/ 【分析】根据题意可知，利用导数判断单调性和最值，进而可得结果. 【详解】设圆的直径为， 则，即， 由题意可得：，则， 令时， 解得；令时， 解得； 可知在单调递增， 在单调递减，则时，取最大值． 此时． 所以 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·期中）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】若恰好有三个单调区间,则应有两个不同的零点,据此列式求解即可. 【详解】,则, 若函数恰好有三个单调区间, 则有两个不同的零点, 即有两个不同的根, 所以且, 故答案为:. 【点睛】本题结合导数考查函数单调性的应用,考查二次方程根的问题,难度不大. 三、解答题　 5．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）代入，对函数求导判断单调区间即可． （2）根据导函数的几何意义，以及切线方程的性质，求解即可． （3）对原不等式分离参数，再构造新函数，结合新函数的导函数判断函数单调性，求出函数最大值，求出参数范围即可． 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. （2）因， 故曲线在点处切线的方程为． 设直线与曲线相切于点，且， 则，且，解得． （3）由题意得，化简得． 设，则． 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 函数在处取得极大值，也是上的最大值，可知． 因此a的取值范围为． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 【答案】(1)或． (2)递增区间为和，递减区间为． (3) 【分析】（1）结合题意将原不等式转化为一元二次不等式，再求出解集即可. （2）结合题意并利用导数求解单调区间即可. （3）根据题意，有两个不等的实根，求得，再利用向量夹角公式求得，从而求得答案即可. 【详解】（1）由题意，又， 所以的图像关于对称， 则，即，得到， 由，所以，解得或， 故不等式的解集为或． （2）因为，所以， 因为为单位向量，所以，， 题意有，由， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故递增区间为和，递减区间为． （3）设与的夹角为θ． ∵，∴， ∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又，∴， 即，又，∴． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. (3)已知，则， 则， 则， 要证，即证， 即证， 令，则只需证， 先证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即； 再证，即证， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 综上，得证. 【分析】（1）利用，得出的值，再检验是函数的一个极值点，最后利用点斜式求切线方程； （2）求导，研究的正负性，分和两种情况，再结合一元二次函数的图象研究其正负性即可； （3）化简，再令，将问题转化为利用导数证明不等式，再通过构造函数研究函数的最值. 【详解】（1）的定义域为， 由，得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即，解得， 则，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则是的极小值点， 又， 则切线方程为，整理得. （2）的定义域为，， 令，其对称轴为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即或时， （i）当时，的两根为， 且， 则当或时，，； 当时，， . （ii）当时，的对称轴，且， 则在上恒成立，即在上恒成立. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）略 8．（25-26高三上·上海·期中）已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性即可； （2）根据，分类讨论结合导函数正负得出单调性及极值点计算求解. 【详解】（1）的定义域为，     ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为. （2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；     下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意；     当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则为函数的极大值点，不合题意；     当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 为函数的极小值点，符合题意；     综上，. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知，，e是自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 【答案】(1)单调区间见解析；当时，取得极小值0，无极大值 (2) (3)证明：因，由，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因，且，则可得，， 要证，需证， 因，且函数在上单调递减， 则只需证，又， 即需证，即证. 设， 则， 于是， 因，当且仅当 ，即当时，等号成立， 故，即函数在上单调递增，因， 则， 则，即得， 又函数在上单调递减，则，故得证. 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性，即得函数的极值； （2）依题意将方程有两个不等实根问题转化成函数与有两个交点问题，通过求导判断函数的单调性和极值趋势，作出图象，数形结合即可求得参数范围； （3）先利用求导判断函数的单调性，结合，且，可得，，经等价转化，将待证命题转化成证明，构造函数，求导判断在上单调递增，由得，从而推得，利用的单调性得到即得证. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为，求导得， 由可得，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，取得极小值0，无极大值. （2）由方程有两个不等实根可知，， 依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点. 由，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值， 且当；当，，故可作出函数的图象如下.    由图知，当且仅当时，函数与有两个交点.，故a的取值范围为. （3）略 地 城 考点04 函数的极值与最值 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）若函数无极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为． 故选：A. 二、填空题　 2．（25-26高三上·上海·期中）设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为________. 【答案】 【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得． 【详解】由题可设，，则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为， 因为曲线导数，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解. 3．（25-26高三上·上海虹口·期中）函数在上的极大值点为__________. 【答案】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性并确定极值点即可. 【详解】由， 时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数在上的极大值点为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知在处取得极值，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】由已知在处取得极值求得，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】解：由， 因为函数在处取得极值，所以有， 则， 因为， 所以， 当且仅当，结合，即时取等号. 故答案为：8 5．（25-26高三上·上海虹口·期中）设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【详解】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则. 【考点】函数的最值问题.. 6．（25-26高三上·上海·期中）若为的极大值点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的不等式，由此可得出实数的取值范围. 【详解】，则. 设，则. ①若，则，当时，，当时，， 此时，为函数的极小值点，不合乎题意； ②若，解得， 设函数的零点为，则. （i）若，则， 当时，，当时，， 此时，为函数的极小值点，不合乎题意； （ii）若，则， 当时，，当时，. 此时，为函数的极小值点，不合乎题意； ③若，解得或，设函数的两个零点分别为、. （i）若，则. 当时，，当时，， 此时，不是函数的极值点，不合乎题意； （ii）若，， 当时，，当时，， 此时，为函数的极小值点，不合乎题意； （iii）若，当时，，当时，， 此时，为函数的极小值点，不合乎题意； （iv）若，当时，，当时，， 此时，为函数的极大值点，合乎题意. 即函数的零点一正一负，故，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误． 三、解答题　 7．（25-26高三上·上海·期中）某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形宽为2.4米，车长为，车厢的左侧直线与双车道的分界线相交于、，记． (1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好，且也都在双车道的分界线上，直线也恰好过路口边界，分别求与的长； (2)在（1）的条件下，求此时大卡车的车长； (3)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线，求此大卡车车长的最大值． 【答案】(1)米，米， (2)米 (3)米 【分析】（1）（2）通过解直角三角形，分别求出即可求解， （3）用表示，利用换元法并结合函数的单调性，求出的最小值，即可得到大卡车车长的最大值. 【详解】（1）如图所示， 作 ，垂足为，作 ，垂足为， 因为 ，所以 ， 在中， 在中，. 在中，（米）， 在 中，（米）. （2）由（1）知： 米. （3）因为 ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ，， 所以 ， 设 ，则 ，所以 ， 易知 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上单调递减， 所以当 ，即 时， 取得最小值 . 所以最终符合条件的大卡车车长最大值为（）米. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，没有极值点；当时，有两个极值点． (3) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可； （3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； （2）由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． （3）， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． 9．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值. 【详解】（1）由题意得： ， 曲线在处切线为：，即 （2）由（1）知： 当时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增     又，， 由零点存在定理知：在上有一个零点 在上单调递增    该零点为上的唯一零点     （3）由题意得： 为的两个极值点，即为方程的两根 ，         ，又，解得： 令， 则 在上单调递减     即     即实数的最大值为： 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题. 10．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 地 城 考点05 导数与恒成立、参数范围 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海松江·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论： ①在区间上优于； ②当时，在区间上优于． 那么（    ） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 【答案】B 【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解. 【详解】①：当时，；当时，， 所以函数图象都经过点， 则直线的方程为，即， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可知，， 即存在使得在区间上恒成立， 所以在区间上优于，故①正确； ②：当时， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可得，，即， 所以直线的方程为，即. 设曲线在处且平行于直线的切线为， 由，，得，解得， 则切点， 所以，即， 由， 所以此时切线位于直线的下方，则当时存在实数使得. 所以当时，在区间上不一定优于，故②错误； 故选：B 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查函数的综合性质，主要考查函数不等式恒成立问题和导数的几何意义，考查运算能力，注重培养数形结合的思想，属于难题. 二、填空题 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若函数存在极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】求导得到，有解得到，排除和得到答案. 【详解】，，则， 有极值点，则有解，则， 解得或， 当时，，函数单调递增，不满足； 当时，，函数单调递增，不满足； 综上所述：. 故答案为： 三、解答题　 3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，，其中. (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； (2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，对称中心为，. (2) 不存在，理由如下： 极值点满足， 即，而. 考虑在附近的极值点、、， 需要，无解， 故不存在，使得函数在区间上恰有个极值点. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求出的值，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标； （2）极值点满足，即，而，根据题意得出，判断此不等式组无解，即可得出结论. 【详解】（1）函数的最小正周期为，可得，此时. 令解得， 所以图象的对称中心为，. （2）略 4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导，求出，结合，从而利用导函数几何意义得到切线方程； （2）转化为对恒成立，结合得到，从而求出答案； （3）求导，分，，及，结合函数定义域，结合函数单调性，得到函数极值情况，得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 又， 在处的切线方程为． （2）即对恒成立， ， 即对恒成立， 且，解得． （3）， ①当时，，此时函数定义域为， 其中，对恒成立， 在上单调递增，不存在极值，不符题意． ②当时，，此时函数定义域为，， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值，但不符题意． ③当时，，此时函数定义域为，令得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 不存在极大值，不符题意． ④当时，的定义域为， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值， ， ， ，即，符合题意． 综上，． 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 5．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将问题转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将问题转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围. 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增； (2)或 (3) 【分析】（1）先求导，对和进行分类讨论，结合二次函数性质，由导数正负确定原函数增减，即可求解； （2）由于与1，2的大小关系不确定，故需分为，，三类情况分类讨论，由导数正负确定原函数增减，进而确定在上，解出对应值； （3）采用分离参数法得，，令，求得，再令，利用二阶导确定一阶导的单调性和正负，进而确定原函数的单调性和正负，进而得解. 【详解】（1）由得，当时，，故在上单增； 当时，令，解得， 时，，单增； 时，，单减； 时，，单增； 综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增； （2）由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故； 当时，令，解得， 和时，，单增； 时，，单减； 故最大值在或处取到，， 解得（舍去），，解得舍去； 当，即时，时，，单增；时，，单减， 故，解得，故； 当时，即时，时，，单减， 故，解得（舍去）， 综上所述，或 （3）要使在区间上恒成立，即对于任意恒成立，分离参数得，，令， 则，令， 则，故在单增，， 故，即在成立，故在单增， ，所以. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，其导函数为， (1)若函数有三个零点，且，试比较与的大小. (2)若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由. (3)在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)存在，理由： ，开口向上， ，，， ①当时，， 根据零点存在定理可知，存在使得， 且时，，单调递增，时，，单调递减， 所以在区间上存在极大值点， ②当时，，， 根据零点存在定理可知，存在使得，且时，， 时，，所以在区间上存在极小值点； (3)2 【分析】（1）根据分析得到，是方程的两根，由韦达定理得，计算出； （2）由导函数为二次函数，开口向上，结合特殊点的函数值及零点存在性定理得到极值点情况； （3）将分别代入，得到不等式组，整理得到，求出，进而求出的最大值. 【详解】（1）因为，故一正一负， ，所以，所以是方程的两根， 由韦达定理得， 因为 所以，故，，， 因为，，所以； （2）略 （3）对任意的，总存在使得成立， 设，的最大值为，则， 即①，②，③， 由①+③得④， 由②得⑤， ④+⑤得，即， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为2. 【点睛】设一元三次方程的三个根为， 原方程可化为， 整理得， 比较左右两边同类项，得到一元三次的根与系数关系： . 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用 5大高频考点概览 考点01 导数的相关概念 考点02 导数的几何意义 考点03 利用导数研究单调性 考点04 函数的极值与最值 考点05 导数与恒成立、参数范围 地 城 考点01 导数的相关概念 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）若，则______． 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数，则______． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则______． 4．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知，且_______ 5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则___________. 6．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 7．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数，则的值为__________. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则_________. 地 城 考点02 导数的几何意义 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题　 3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________． 4．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为_____. 6．（25-26高三上·上海·期中）函数在点处的切线方程为___________. 7．（25-26高三上·上海松江·期中）若直线是曲线的一条切线，则_________. 三、解答题　 8．（25-26高三上·上海·期中）若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． (1)若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； (2)求曲线所有切线的方程； (3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 9．（25-26高三上·上海·期中）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 10．（25-26高三上·上海宝山·期中）设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 11．（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 12．（25-26高三上·上海·期中）已知曲线，曲线，其中. (1)求曲线在处的切线； (2)证明：E与F存在唯一交点； (3)在（2）的条件下，设交点为，作在点处的切线，交轴于点，证明:. 13．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，若函数的图像上存在两点，同时满足以下两个条件，则称函数为“切线控制函数”，直线为其“控制切线”： ①直线恰为曲线的一条切线，且，两点都是直线与曲线的切点； ②记直线的方程为，对于任意，恒成立. (1)试判断函数，是否为“切线控制函数”（无需说明理由）； (2)已知为“切线控制函数”，求实数的取值范围： (3)证明：为“切线控制函数”，并求出其所有“控制切线”． 14．（25-26高三上·上海·期中）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． (1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； (2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程； (3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 地 城 考点03 利用导数研究单调性 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 二、填空题　 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）求函数在的单调递增区间_______________. 3．（25-26高三上·上海·期中）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为______．    4．（25-26高三上·上海·期中）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是________. 三、解答题　 5．（25-26高三上·上海·期中）设． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值； (3)若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知. (1)若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)已知实数，若点是曲线上两点，直线AB的斜率为，求证：. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知，，e是自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 地 城 考点04 函数的极值与最值 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）若函数无极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题　 2．（25-26高三上·上海·期中）设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为________. 3．（25-26高三上·上海虹口·期中）函数在上的极大值点为__________. 4．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知在处取得极值，则的最小值为__________. 5．（25-26高三上·上海虹口·期中）设若是的最小值，则的取值范围是　　　　　. 6．（25-26高三上·上海·期中）若为的极大值点，则的取值范围为______． 三、解答题　 7．（25-26高三上·上海·期中）某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形宽为2.4米，车长为，车厢的左侧直线与双车道的分界线相交于、，记． (1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好，且也都在双车道的分界线上，直线也恰好过路口边界，分别求与的长； (2)在（1）的条件下，求此时大卡车的车长； (3)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线，求此大卡车车长的最大值． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数； (3)若对于任意总有，求实数的取值范围． 9．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 10．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 地 城 考点05 导数与恒成立、参数范围 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海松江·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论： ①在区间上优于； ②当时，在区间上优于． 那么（    ） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 二、填空题 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若函数存在极值点，则的取值范围是__________. 三、解答题　 3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设，，其中. (1)若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； (2)是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 5．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，其导函数为， (1)若函数有三个零点，且，试比较与的大小. (2)若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由. (3)在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $