专题01 集合与常用逻辑用语（期中真题汇编，上海专用）高三数学上学期

专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的运算（交、并、补） 考点02 集合间关系与含参子集 考点03 命题与量词 考点04 充分条件与必要条件 考点05 集合的新定义与综合 地 城 考点01 集合的运算（交、并、补） 一、单选题 1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）设全集，若集合满足，则符合条件的可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高三上·上海·期中）设集合，集合，则_________． 3．（25-26高三上·上海·期中）若集合，，则______． 4．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知集合，，则______. 5．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知全集，则集合______. 6．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，则______ 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知集合，则___________． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，则______ 9．（25-26高三上·上海·期中）已知全集，集合，则__________． 10．（25-26高三上·上海·期中）设全集，集合，则______． 11．（25-26高三上·上海·期中）设全集，，则________ 12．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知集合，，则__________. 13．（25-26高三上·上海宝山·期中）已知集合，，则可用列举法表示为__________. 14．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，集合，则_____________ 15．（25-26高三上·上海·期中）集合，，则____. 16．（25-26高三上·上海·期中）全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ，若 则集合 的取法共有________种. 17．（25-26高三上·上海徐汇·期中）设集合，集合，若集合A，B满足，，且集合中元素是整数，则的值是__________ 三、解答题 18．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 地 城 考点02 集合间关系与含参子集 一、单选题 1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）集合共有个三元子集，若将的三个元素之和记为，则（     ） A．1980 B．6600 C．990 D．3300 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·期中）若，则集合B的子集的个数为___________； 4．（25-26高三上·上海浦东新·期中）若集合，则有______个非空真子集.   5．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为___________． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为____． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知集合．若，则a的最大值为_______． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，且，则_____. 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合和集合，若集合，构成“偏食”，则实数的取值范围为____. 三、解答题 10．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知集合，. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 地 城 考点03 命题与量词 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，曲线在区间内恰有一条对称轴和一个对称中心，给出下述两个命题，命题：对任意，存在，使得；命题：存在，对任意，满足．下列说法正确的是（    ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题和命题都是真命题 D．命题和命题都是假命题 2．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）给出命题：“如果n是素数，那么不是素数”.甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反例可以是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·期中）设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 二、填空题 5．（25-26高三上·上海闵行·期中）用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 地 城 考点04 充分条件与必要条件 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 2．（25-26高三上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·上海·期中）已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·上海·期中）设，则是的（    ）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·上海·期中）“”是“直线与直线互相垂直的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·上海闵行·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海·期中）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）“”是“”的（    ）条件.   A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 10．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高三上·上海·期中）在中，“”是“”的什么条件（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 二、填空题 12．（25-26高三上·上海·期中）在中，“”是“”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”） 三、解答题 13．（25-26高三上·上海闵行·期中）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 64．（25-26高三上·上海·期中）已知全集为实数集，集合，常数． (1)当时，求； (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 地 城 考点05 集合的新定义与综合 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 2．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数，_______. 三、解答题 4．（25-26高三上·上海·期中）已知数集．若的两个非空子集和满足：，，则称集合和是的一个“分拆”．已知和是的一个分拆，表示数集中所有元素的和． (1)若，，求；（用数值表示） (2)证明：； (3)若n为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合A． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 5大高频考点概览 考点01 集合的运算（交、并、补） 考点02 集合间关系与含参子集 考点03 命题与量词 考点04 充分条件与必要条件 考点05 集合的新定义与综合 地 城 考点01 集合的运算（交、并、补） 一、单选题 1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）设全集，若集合满足，则符合条件的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，说明集合中的元素是只能有整数，从而可作出判断. 【详解】由集合满足，说明集合中的元素是只能有整数，故A正确； 而中存在非整数，中存在分数，中只有无理数，故BCD错误； 故选：A. 二、填空题 2．（25-26高三上·上海·期中）设集合，集合，则_________． 【答案】 【分析】利用并集的定义直接求解即得. 【详解】集合，，所以. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海·期中）若集合，，则______． 【答案】 【分析】先解得集合，再根据交集的运算即可求得. 【详解】集合， 因为，所以， 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知集合，，则______. 【答案】 【分析】根据题意，利用集合交集的概念与运算，准确计算，即可求解. 【详解】由集合，，根据集合交集的运算，可得. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知全集，则集合______. 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由全集， 根据集合并集的概念与运算，可得或，即. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，则______ 【答案】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合相等求解. 【详解】由可知，，解得或. 又根据集合中元素的互异性，可知，故. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知集合，则___________． 【答案】 【分析】根据集合交集的运算直接求解即可． 【详解】， ． 故答案为：． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，则______ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式求解集合，结合交集运算可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知全集，集合，则__________． 【答案】 【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据补集的定义计算可得. 【详解】由，即，即，等价于，解得或， 所以或， 又全集，所以. 故答案为： 10．（25-26高三上·上海·期中）设全集，集合，则______． 【答案】 【分析】利用补集的定义可得出结合. 【详解】因为全集，集合，则. 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海·期中）设全集，，则________ 【答案】 【分析】由补集的定义求解. 【详解】全集，，则. 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知集合，，则__________. 【答案】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 故. 故答案为：. 13．（25-26高三上·上海宝山·期中）已知集合，，则可用列举法表示为__________. 【答案】 【分析】化简集合A，根据集合的补集、交集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 14．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，集合，则_____________ 【答案】 【分析】由补集的定义及交集的定义直接可得. 【详解】因，所以或， 所以. 故答案为： 15．（25-26高三上·上海·期中）集合，，则____. 【答案】； 【分析】先化简集合A,B,再求得解. 【详解】由题得，， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 16．（25-26高三上·上海·期中）全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ，若 则集合 的取法共有________种. 【答案】 【分析】由条件可知，再通过列举的方法，计算集合的取法. 【详解】由集合的元素和为， 若则， 所以，即 不妨设，则， 所以，所以，即. 则只能有. 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，2种取法； 当时，则满足，且需从中取： 此时有0种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，6种取法； 当时，则满足，且需从中取，所以有，1种取法. 所以共有， 故答案为：. 17．（25-26高三上·上海徐汇·期中）设集合，集合，若集合A，B满足，，且集合中元素是整数，则的值是__________ 【答案】3或-3. 【分析】首先得，结合题意得或，分两种情况求出即可. 【详解】若集合A，B满足，，则，即， 所以方程和方程的二次项系数、一次项系数和常数项对应成比例， 所以，所以， 而方程的判别式，两根之积为， 若集合中元素是整数，则或， 若，则，此时， 若，则，此时. 故答案为：3或-3. 三、解答题 18．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的运算性质求解即可. （2）首先根据题意得到，再根据包含关系得到，解不等式组即可. 【详解】（1）当时， ， ，或， 则. （2）因为，， 因为，所以， 所以. 故的取值范围为. 地 城 考点02 集合间关系与含参子集 一、单选题 1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式得到集合，从而得到.讨论集合是否为空集，得到不等式（组）解得的取值范围. 【详解】令，则，所以或， 即或，可得， 而，分如下情况讨论， ①，即，则， ②，则，则， ∴，即. 故选：A. 2．（25-26高三上·上海·期中）集合共有个三元子集，若将的三个元素之和记为，则（     ） A．1980 B．6600 C．990 D．3300 【答案】A 【分析】先得到三元子集的个数，再得到各含元素1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的三元子集的个数求解. 【详解】解：由题意得，， 而含元素1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的三元子集各有个， 所以， 故选：A. 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·期中）若，则集合B的子集的个数为___________； 【答案】 【分析】先求出集合，再根据子集个数公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 则集合B的子集为，所以子集的个数为； 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海浦东新·期中）若集合，则有______个非空真子集.   【答案】 【分析】根据集合中元素可直接求得其非空真子集的个数. 【详解】有个元素，有个非空真子集. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】分别应用一元二次不等式及绝对值不等式化简集合，利用两集合的关系，列不等式解出的范围． 【详解】集合或， 因为，所以， 即，无解． 故答案为：． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为____． 【答案】 【分析】先根据交集结果得出集合间的包含关系，再结合集合范围确定参数的取值范围. 【详解】由题意，因为，所以， 又， 则. 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·期中）已知集合．若，则a的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用集合的包含关系求出的取值范围即可. 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，且，则_____. 【答案】 【分析】根据题意，利用集合相等的概念，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海闵行·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合和集合，若集合，构成“偏食”，则实数的取值范围为____. 【答案】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再化简集合，依题意则，即可得到，再确定的范围. 【详解】由，即，解得， 所以， 又， 因为集合，构成“偏食”，则，所以，所以， 因为集合，有公共元素但不互为对方的子集， 所以或 可得，即实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 10．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知集合，. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数值域和对数函数定义域的求法可求得集合，根据交集定义可求得结果； （2）根据并集定义可得，分别讨论和的情况，根据子集定义列不等式求解可求得的取值范围. 【详解】（1），，； 由得：，； . （2）由（1）知：； 当时，，满足； 当时，，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 地 城 考点03 命题与量词 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，曲线在区间内恰有一条对称轴和一个对称中心，给出下述两个命题，命题：对任意，存在，使得；命题：存在，对任意，满足．下列说法正确的是（    ） A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题和命题都是真命题 D．命题和命题都是假命题 【答案】A 【分析】利用整体代换法求得的对称轴和对称中心，根据其在内的对称轴和对称中心个数可构造不等式组求得的范围，进而结合正弦型函数值域的求法依次判断两个命题即可. 【详解】由得：，即的对称轴为； 由得：，即的对称中心为； 在内恰有一条对称轴和一个对称中心，且， ，解得：； 对于命题，当时，，又， 当时，， 即存在，使得，则命题为真命题； 对于命题，当时，，又， 则对任意，总存在大于的部分，则命题为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数性质的综合应用问题，解题关键是能够利用整体代换法求得正弦型函数的对称轴和对称中心，进而根据区间内的对称轴和对称中心个数确定的取值范围. 2．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①； ②； ③ ④； 其中是“垂直对点集”的序号的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案. 【详解】对于①，，为偶函数，定义域为， 对于任意实数对， 则存在，满足，集合M是“垂直对点集”； 对于②，，取实数对, 假设存在，使成立，则，与矛盾， 即不是“垂直对点集”； 对于③，,作出函数的图象如图， 图象过点，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 对于④，作出函数的图象如图， 图象向左向右无线延伸， 在的图象上任取一点，连接OA，作， 则OB总与函数图象相交，设交函数图象于， 即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”； 故集合M是“垂直对点集”的有3个， 故选：D 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）给出命题：“如果n是素数，那么不是素数”.甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需要找出一个反例，即存在一个素数 ，使得 也是素数，然后一一验证即可. 【详解】由题意得：需要找出一个反例，即存在一个素数 ，使得 也是素数. 选项A：当 时，计算：， 不是素数（合数），符合命题结论， 不能作为反例，故选项A不正确； 选项B：当 时，计算：， 11是素数，满足反例条件，故选项B正确； 选项C： 不是素数，不满足命题前提， 不能作为反例，故选项C不正确； 选项D：当 时，计算：， 不是素数（合数，可被 3 整除），符合命题结论， 不能作为反例，故选项D不正确. 故选：B 4．（25-26高三上·上海·期中）设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】C 【分析】首先画出函数的图象.根据二次函数的对称性得，根据得，从而求得的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出的根，再对根的大小分类讨论，并结合的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假. 【详解】当时，，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和； 当时，，图象过，如图所示. 对于①，当方程有四个不同的实根、、、时，不妨假设， 则，，且，， 所以，所以. 因此，， 所以，故①为真命题. 对于②，方程等价于且，所以或. 当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根； 当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根； 当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根； 当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根； 综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6. 故②为假命题. 故选：C 二、填空题 5．（25-26高三上·上海闵行·期中）用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【答案】不都为零 【分析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论. 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】或. 【分析】根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出为真命题时，实数的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分真假和假真，两种情况讨论，即可得到实数的取值范围． 【详解】解：，不等式恒成立； 即恒成立； 由于的最小值为2， 故为真命题时， ，有最小值． 表示以为底的对数函数为增函数，且恒成立 即，解得 故为真命题时， 两个命题中有且只有一个是真命题， 当真假时，或，，，或， 当假真时，这样的值不存在 故实数的取值范围是或 故答案为：或. 【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题和命题为真命题时，实数的取值范围，是解答本题的关键． 地 城 考点04 充分条件与必要条件 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假. 【详解】对于①： 设，，则， 因为在R上为严格增函数，故， 即，则在R上单调递增， 由于，故，即。 即； 当成立时，即， 由于在R上单调递增，故， 故“”是“”的充要条件，①为真命题； 对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立； 当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数， 即不恒大于等于0，即，使得， 由于在R上为严格增函数，故时，， 此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线， 故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大， 这与对任意都有矛盾， 则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立， 即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立. 2．（25-26高三上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案. 【详解】是增函数， 又， ， 又是增函数， 则，故充分性成立； 是增函数，， ， 又是增函数， ，故必要性成立. 即“”是“”的充要条件. 故选：. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线面关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，为平面内的一条直线， 由推不出，如且，此时得不到，故充分性不成立； 由也推不出，事实上当时，或与异面均有可能，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件。 故选：D 4．（25-26高三上·上海·期中）设，则是的（    ）条件． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取，则，；当时，，根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设，，取，则，， 所以得不到； 当时，即， ， 所以能得到, 综上所述：是的必要不充分条件. 故选：B 5．（25-26高三上·上海·期中）“”是“直线与直线互相垂直的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】由两直线垂直，则，整理得， 所以或，经检验均满足题设， 所以“”是“直线与直线互相垂直的充分不必要条件. 故选：A 6．（25-26高三上·上海闵行·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 7．（25-26高三上·上海·期中）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 8．（25-26高三上·上海浦东新·期中）“”是“”的（    ）条件.   A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，而当时，也成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 10．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 11．（25-26高三上·上海·期中）在中，“”是“”的什么条件（    ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】利用大边对大角定理、正弦定理以及二倍角的余弦公式判断可得出结论. 【详解】， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、填空题 12．（25-26高三上·上海·期中）在中，“”是“”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【分析】充分性根据条件可直接得到，必要性利用正弦定理及三角形的性质也可直接得到. 【详解】在中，因为，所以，所以充分性成立； 在中，因为，由正弦定理可得(为外接圆的半径）， 所以，即，所以必要性成立； 故“”是“”的充要条件. 故答案为：充要. 三、解答题 13．（25-26高三上·上海闵行·期中）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据并集的定义计算可得； （2）依题意是的真子集，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 当时， 由，即，解得， 所以， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 又恒成立，即， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围为. 64．（25-26高三上·上海·期中）已知全集为实数集，集合，常数． (1)当时，求； (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求解集合和，再求，最后求交集. （2）先确定集合，再对的正负分类讨论求解集合，结合必要非充分条件的集合关系求解的范围. 【详解】（1）当时， 对于集合，，即，解得，故. 对于集合，，因单调递减，故， 即，解得，故. 则，因此. （2）由（1）知. 对于集合，，即. 当时，，. 因是的必要非充分条件，故是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得. 当时，，，此时为负数区间， 为正数区间，不可能是的真子集，无解. 综上，实数的取值范围是. 地 城 考点05 集合的新定义与综合 一、单选题 1．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 【答案】C 【分析】由题意得除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可. 【详解】，且 能被3整除，    ∴除以3的余数相同， 集合的元素中， 能被3整除的整数有， 被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个，或可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， ∴满足条件的集合共有个． 故选：C. 2．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题： ①已知点，直线，则； ②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（    ） A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立 C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立 【答案】C 【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，无最值， 综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故①正确； 对于②，定点、，动点， 满足， 则：， 显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，. 当时，有，得：； 当时，有，此时无解； 当时，有，； 则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线. 结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确， 故选：C. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝. 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数，_______. 【答案】 【分析】根据条件，分析可得当时，满足要求的元素个数，可得的个数，根据组合数的性质，即可求得答案. 【详解】因为，所以P中元素是中满足且的元素， 对于，则， 所以满足要求的元素有，共有个元素， 所以在不考虑顺序的情况下，共有对， 故. 故答案为： 三、解答题 4．（25-26高三上·上海·期中）已知数集．若的两个非空子集和满足：，，则称集合和是的一个“分拆”．已知和是的一个分拆，表示数集中所有元素的和． (1)若，，求；（用数值表示） (2)证明：； (3)若n为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合A． 【答案】(1) (2) 证明：由题可知均为正整数. 假设，因，则. 注意到为奇数，则不为整数， 这与均为正整数相矛盾，故； (3)； 【分析】（1）由题目所给信息可得与，即可得答案； （2）由反证法结合与为整数可证明结论； （3）由题可得方程判别式为完全平方数，据此可得表达式，后构造函数可求得最小值，再由的二进制表示可得集合A. 【详解】（1）由题，当时，. 又由题可知，结合题意又可知， 则； （2）略 （3）设，又由（2）可知，结合， 则. 因其有整数根，则其判别式为完全平方数， 不然的根一定含有为无理数，与题意不符. 设，其中. 则， 因均为正整数，则，其中.则. 构造函数，其中.则. 令.则. 则在上单调递增，注意到， 则. 得在上单调递减，在上单调递增. 则若，要取最小值，则应为离最近的整数，则或. 则，其中. 则，即的最小值为. 注意到. 则在二进制下的表示为，因任意正整数在二进制下的表示唯一， 则当取最小值时，集合A只能为. 【点睛】关键点睛：本题第一问较为基础；本题第二问，需证两表达式不等，常用反证法解决； 第三问，涉及二次方程的整数根，此类问题若不能分解因式，常利用判别式为完全平方数入手. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $