专题04 指数函数与对数函数（期中真题汇编，广东专用）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广东东莞·联考）若，则的化简结果是（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·广东清远·期中）式子的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 4．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）设，则的分数指数幂形式为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·广东六校·质量检测）（1）计算: ； （2）已知，求的值. 6．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）（1）化简：； （2）若，求的值． 7．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）计算： （1）； （2）已知，其中，求的值. 9．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）用分数指数幂表示（式中字母均为正数）：. （3）已知，求的值. 10．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）化简：　　　　　　. 考点02 指数函数 1．（2026·广东五校·联考）若函数是指数函数，则的值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 4 2．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知 是上的单调递增函数，则实数a的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（       ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 5．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 的最大值为3 C. 当x＞1时，的最小值是3 D. 的最大值为5 7．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）函数的图像大致为 (　　) A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知函数 ，则的值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  9．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 10．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（     ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值 11．（2026·广东东莞·联考）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． （1）求a，λ的值； （2）当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 12．（2026·广东五校·联考）函数 在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数：　　　　　　　　　　　　. （1） ，若则（2） 14．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）在，，，中，最大的数为　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知指数函数（且）的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域 16．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知函数（，且）． （1）若函数的图象过点，求b的值； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值． 17．（2026·广东五校·联考）已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 考点03 对数 1．（2026·广东东莞·联考）（多选）设a，b，c都是正数，且，那么（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）设，用表示为　　　　　　　　 ． 3．（2026·广东五校·联考）（1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 4．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）计算　　　　　. 5．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）（1）计算：； （2）. 考点04 对数函数 1．（2026·广东东莞·联考）已知函数 ，则（       ） A.  B.  C.  D. 5 2．（2026·广东六校·质量检测）设集合，集合N为函数的定义域，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知，，，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·广东六校·质量检测）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·广东东莞·联考）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·广东东莞·联考）设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·广东五校·联考）已知命题：，：.则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）设均为正数，且，，．则（　　） A.  B.  C.  D.  10．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知对数函数的图象过点. （1）求的解析式； （2）关于的方程在上有解，求的取值范围. 12．（2026·广东五校·联考）设函数过定点，则　　　　　　. 13．（2026·广东东莞·联考）已知函数，且. （1）求的值及函数的定义域： （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 14．（2026·广东六校·质量检测）已知函数的反函数为，则 的单调递减区间为　　　　　　　　. 考点05 函数的应用（二） 1．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 2．（2026·广东五校·联考）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·广东东莞·联考）某同学在求函数和的图像的交点时，计算出了下表所给出的函数值，则交点的横坐标在下列哪个区间内（ ） 2 2.125 2.25 2.375 2.5 2.625 2.75 2.875 3 0.301 0.327 0.352 0.376 0.398 0.419 0.439 0.459 0.477 0.5 0.471 0.444 0.421 0.400 0.381 0.364 0.348 0.333 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（       ） A. 28h B. 28.5h C. 29h D. 29.5h 5．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 6．（2026·广东东莞·联考）（多选）已知函数的零点分别为，则有（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）（多选）若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（     ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 9．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数 ，则方程实数根的个数为（     ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 10．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 ，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（2026·广东东莞·联考）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点．已知函数恒有两个互异的不动点，则实数的取值范围为：　　． 12．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系： ，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 13．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 14．（2026·广东东莞·联考）已知函数，. （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 15．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数的取值范围. 16．（2026·广东六校·质量检测）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天()，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ①；②；③，其中含的项的系数均不为0. （1）请根据表格数据从①，②，③中选择一个最合适的函数模型，求出其函数解析式，并预测第4天时的舆论场指数； （2）若本次舆情不是严重的，求的最小值. 17．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 18．（25-26学年高一上·广东多校·期中）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入(单位：元)关于月产量(单位：台)满足函数 . （1）将利润(单位：元)表示为月产量的函数；(利润总收入总成本) （2）若称为月平均单件利润(单位：元)，当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 19．（2026·广东东莞·联考）已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求的值; （2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 20．（25-26学年高一上·广东广州·期中）某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并入该工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：）成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：）之间的函数关系为（实数为常数）.记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S（单位：万元）. （1）试解释的实际意义，并写出S关于的函数关系； （2）该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值. （3）要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积（单位：）的取值范围. 21．（25-26学年高一上·广东清远·期中）某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元， ，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本） （1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式； （2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值. 22．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为　　　　　． 23．（2026·广东六校·质量检测）函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知函数． （1）若，，求的值域． （2）设集合，． ①证明：当时，存在唯一的，使得． ②证明：当时，存在唯一的，使得． 25．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）某厂以的速度匀速生产某种产品，每小时可获得的利润是元. （1）要使生产该产品获得的利润为6900元，求. （2）要使生产该产品获得的利润最大，该厂的生产速度应为多少？并求利润的最大值. 26．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． （1）求x关于t的函数； （2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 27．（25-26学年高一上·广东广州·期中）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”. （1）若集合，，请判断集合、是否为1的“理想集”，并说明理由； （2）记集合，若集合为的“理想集”，则实数的最大值； （3）记集合，若集合是的“理想集”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）下列选项正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用根式的运算性质、根式与分数指数幂的互化、指数的运算性质逐项判断即可. 【详解】 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 2．（2026·广东东莞·联考）若，则的化简结果是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】 ，，. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·广东清远·期中）式子的值为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 根据根式的性质运算即可得解. 【详解】 ， 故选：A 4．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）设，则的分数指数幂形式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】 ． 故选：A． 5．（2026·广东六校·质量检测）（1）计算: ； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）应用指数幂、对数的运算性质化简求值； （2）由立方和公式将目标式化为，结合已知求值. 【详解】 （1）原式； （2）原式. 6．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）（1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1）2；（2）2. 【分析】 （1）根据指数的运算可得答案； （2）将平方可得答案. 【详解】 （1） （2）因为，所以， 所以. 7．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数运算相关运算法则计算即可． 【详解】 解：原式 ． 故答案为：． 8．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）计算： （1）； （2）已知，其中，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数幂运算和对数运算法则直接求解即可； （2）由，可得，结，可得，代入可求解． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： ，， ，， ，， 又，， . 9．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）（1）计算（式中字母均为正数）：. （2）用分数指数幂表示（式中字母均为正数）：. （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据指数运算直接化简即可； （2）根据分数指数幂和根式的关系化简可得； （3）已知条件平方求出，然后再次平方可得. 【详解】 （1）（或）. （2）. （3）因为，所以，即. 因为，所以 10．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）化简：　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用指数幂的运算性质化简求解即可. 【详解】 . 故答案为： 考点02 指数函数 1．（2026·广东五校·联考）若函数是指数函数，则的值为（       ） A. 2 B. 3 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】 函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 2．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知 是上的单调递增函数，则实数a的取值范围（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，利用分段函数的单调的判定方法，结合指数函数与一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由题意，函数 是上的单调递增函数， 则满足 ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）（多选）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 依题意可得、两个数一个大于，一个大于且小于，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可； 【详解】 解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，① 当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C； ② 当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A； 故选：AC 4．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（       ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】ACD 【分析】 根据高斯函数的定义，结合指数函数的性质，以及函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，函数，其定义域为， 则，即， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确； 对于B中，由， 可得，，所以不是偶函数， 所以B错误； 对于C中，由函数， 因为，可得为单调递增函数，则为增函数， 所以函数为单调递增函数，所以C正确； 对于D中，因为，可得，所以，则， 可得，即，所以D正确. 故选：ACD. 5．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用指数函数和幂函数单调性比较大小. 【详解】 由在定义域上单调递减，所以得：， 由在定义域上单调递增，所以得：， 即：.故A项正确. 故选：A. 6．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）下列结论正确的是（     ） A. 的最小值为 B. 的最大值为3 C. 当x＞1时，的最小值是3 D. 的最大值为5 【答案】ABD 【分析】 通过换元法、分区间讨论、基本不等式、二次函数最值分析，逐一验证各选项的正确性. 【详解】 选项A，设（），则，代入得：. 该二次函数开口向上，顶点在处，代入得：，故A正确. 选项B，分区间讨论：当时，原式； 当时，原式，范围为； 当时，原式. 其最大值为3，故B正确. 选项C，当时，，令（），则原式. 由基本不等式，，但等号成立需（即，），与矛盾， 故最小值取不到3，C错误. 选项D，，二次函数开口向下，顶点在处， 最大值为，故，D正确. 故答案为：ABD 7．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）函数的图像大致为 (　　) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；② 由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③ 由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④ 由函数的周期性，判断图象的循环往复． 8．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知函数 ，则的值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 结合分段函数的解析式，直接计算得到答案. 【详解】 ，. 故选：D 9．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值 C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】 由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B.由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D. 【详解】 A,当时，，定义域为， 因为， 所以为偶函数，A正确； B，因为， 所以， 则有最大值，没有最小值，B错误； C，因为在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； D，当时，， 所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 10．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（     ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【分析】 先利用函数过定点的性质通过待定系数法求参数关系，再利用渐近线特征确定参数具体值，最后结合绝对值与指数函数的单调性分析最值即可. 【详解】 因为函数的图象过原点，得： ，所以，即. 因为， 所以当时，，此时， 又因为函数图象无限接近直线但不相交， 因此：，又因为，得. 则， 因为，得，则， 所以：， 所以：， 即函数无最大值，最小值为0. 故选：B. 11．（2026·广东东莞·联考）某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知工厂内部有毒气体的浓度与应急系统处理时间t（小时）之间存在函数关系（其中），且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为162ppm，继续处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm． （1）求a，λ的值； （2）当有毒气体的浓度降低到以下（含）时，工厂能够正常运行，假设从启动应急系统开始经过t小时后，工厂能够恢复正常生产，求t的最小值． 【答案】（1）     （2）20      【分析】 （1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得； （2）依题，使（1）中求出的解析式小于，解不等式即得. (1) 小问详解： 依题意可得， 由可得：，即，故， 代入①，，故. (2) 小问详解： 令，即得，因是减函数， 则，解得，故t的最小值为20. 12．（2026·广东五校·联考）函数 在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 所以 ，所以 ， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 13．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）请写出一个同时满足下列两个条件的函数：　　　　　　　　　　　　. （1） ，若则（2） 【答案】，答案不唯一 【分析】 由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数； 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数. 【详解】 令， 则为R上增函数，满足条件（1）. 又， 故 即成立. 故答案为：，（，等均满足题意） 14．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）在，，，中，最大的数为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数的运算性质化简. 【详解】 因为，，，， 所以最大的数是. 故答案为： 15．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知指数函数（且）的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． (2) 小问详解： ，令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 16．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知函数（，且）． （1）若函数的图象过点，求b的值； （2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值． 【答案】（1）1     （2）或      【分析】 （1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值. (1) 小问详解： ，解得. (2) 小问详解： 当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 17．（2026·广东五校·联考）已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别求解指数不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定义即得； （2）由条件判断集合B是集合的真子集，进而得到关于参数的不等式，求解即得. (1) 小问详解： 由可得，故集合， 当时，即，解得，即， 所以． (2) 小问详解： 因为“”是“”的必要不充分条件，故集合B是集合的真子集， ，，则有，解得，故实数m的取值范围为． 考点03 对数 1．（2026·广东东莞·联考）（多选）设a，b，c都是正数，且，那么（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到. 【详解】由于，，都是正数，故可设， ，，，则，，. ，，即，去分母整理得，. 故选AD. 【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题. 2．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）设，用表示为　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】 由， 得. 故答案为：. 3．（2026·广东五校·联考）（1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 【答案】（1）；（2）17；（3）. 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可； （3）根据指数与对数互化可得，，再由对数的换底公式计算即可. 【详解】 （1）原式； （2）原式 ； （3）由已知，，， 所以. 4．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）计算　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 5．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）（1）计算：； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 根据指数幂和对数的运算性质运算即可. 【详解】 （1）原式=. （2）原式. 故答案为：（1）；（2）. 考点04 对数函数 1．（2026·广东东莞·联考）已知函数 ，则（       ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】C 【分析】 利用给定的分段函数，依次判断代入计算. 【详解】 函数 中，， 所以. 故选：C 2．（2026·广东六校·质量检测）设集合，集合N为函数的定义域，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解. 【详解】 由，所以， 又，所以， 故选:D 3．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知，，，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由，，， ， 故选：A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，需熟记指数函数、对数函数的性质，此题属于基础题. 4．（2026·广东六校·质量检测）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查指数、对数函数的性质，与中间量“0”和“-1”进行比较. 【详解】 因为，，； 又因为，； 所以，，. 所以. 故选：C. 5．（2026·广东东莞·联考）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】 由反函数的定义以及对数运算即可求解. 【详解】 因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，所以. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足 即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】 令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以 ，解得， 故选：C 7．（2026·广东东莞·联考）设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质比较大小. 【详解】 依题意，， 所以. 故选：A 8．（2026·广东五校·联考）已知命题：，：.则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 解对数不等式、绝对值不等式求p、q对应的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系. 【详解】 已知命题：，解得， 命题：，解得， 显然q能推得p，p不能推得q，故p是q的必要不充分条件. 故选：B 9．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）设均为正数，且，，．则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出 ． 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用． 【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】 10．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用二次函数、对数函数的性质，结合分段函数的单调性列不等式即可求得. 【详解】 由图象的开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而函数在为增函数， 则由在R上单调递增，可得 ，解得. 故选：D 11．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知对数函数的图象过点. （1）求的解析式； （2）关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出对数函数解析式，将点代入，求得参数，即得答案； （2）关于的方程在上有解，即在上有解，求出的值域，即得答案. (1) 小问详解： 设对数函数且， 其图象过点，即， 故. (2) 小问详解： 因为关于的方程在上有解， 故在上有解， 而当时，是增函数，故， 故的取值范围为. 12．（2026·广东五校·联考）设函数过定点，则　　　　　　. 【答案】9 【分析】 根据对数复合函数的定点得出参数计算求解. 【详解】 因为函数过定点，且， 则函数，令，则，， 所以函数过定点， 所以， 则. 故答案为：9. 13．（2026·广东东莞·联考）已知函数，且. （1）求的值及函数的定义域： （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1），     （2）偶函数，理由如下： 由（1）可得：，定义域为：； ， 所以函数为偶函数；      【分析】 （1）由即可求，由对数式有意义构造不等式可求定义域； （2）由奇偶性的定义即可判断； (1) 小问详解： 由，可得：， 解得， 由 可得：， 所以定义域为：； (2) 小问详解： 略 14．（2026·广东六校·质量检测）已知函数的反函数为，则 的单调递减区间为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出对数函数的反函数，再由复合函数的单调性求解即可. 【详解】 因为函数的反函数， 所以， 令，则可以看作由与复合而成， 当时，单调递减，而在上单调递增 所以的单调递减区间为， 故答案为： 考点05 函数的应用（二） 1．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数的图象是连续不间断的，且对应关系如下表： 1 1.5 1.75 1.875 2 -6 -2.625 -0.14 1.342 -0.158 则在上的零点个数（　　） A. 只有1个 B. 至少有2个 C. 至多有2个 D. 只有2个 【答案】B 【分析】 结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的， 且， 所以根据零点存在性定理，函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由，所以函数在区间上至少存在一个零点； 因此，函数在区间上至少存在2个零点. 故选：B. 2．（2026·广东五校·联考）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】 因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 3．（2026·广东东莞·联考）某同学在求函数和的图像的交点时，计算出了下表所给出的函数值，则交点的横坐标在下列哪个区间内（ ） 2 2.125 2.25 2.375 2.5 2.625 2.75 2.875 3 0.301 0.327 0.352 0.376 0.398 0.419 0.439 0.459 0.477 0.5 0.471 0.444 0.421 0.400 0.381 0.364 0.348 0.333 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】试题分析：根据二分法的概念，所以交点在区间. 考点：零点与二分法. 4．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（       ） A. 28h B. 28.5h C. 29h D. 29.5h 【答案】B 【分析】 根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解. 【详解】 解：根据题意可得， 则当时， ， 所以， 即当放电电流，放电时间为28.5h. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 110 B. 116 C. 119 D. 122 【答案】B 【分析】 把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 6．（2026·广东东莞·联考）（多选）已知函数的零点分别为，则有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABC 【分析】 由与的交点，画出图像逐项判断； 【详解】 由题意三个函数零点可转换成（红线），（黑线），（绿线）函数图像与（紫线）的交点横坐标大小比较，画出图像： 由图像可知， 由，并结合图像可得：， 又，的图像可看做：，向右平移一个单位得到， 所以，的图像关于对称， 且与垂直，相交于， 所以， 综上可知ABC正确，D错误， 故选：ABC 7．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】 根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 8．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）（多选）若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（     ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 【答案】AC 【分析】 根据判别式为正判断A，根据根的分布得关于参数的不等式，求出解可判断BC，根据根的方程得关于的方程，求出解后判断D. 【详解】 对于A，由，得，所以A正确. 对于B，若，则，解得，所以B错误. 对于C，若，则 ，解得，所以C正确. 对于D，因为，，所以. 由，得或. 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 9．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数 ，则方程实数根的个数为（     ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【分析】 先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】 令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——① ，——② ，——③ ，——④. 再由 ，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——② ，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③ ， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④ ，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 10．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 ，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解. 【详解】 作函数与的图像如下： 方程有4个不同的根，，，，且， 可知关于对称，即，且， 则，即，则 即，则； 当得或，则；； 故，； 则函数，在上为减函数，在上为增函数； 故取得最小值为，而当时，函数值最大值为. 即函数取值范围是. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题. 11．（2026·广东东莞·联考）对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点．已知函数恒有两个互异的不动点，则实数的取值范围为：　　． 【答案】，且 【分析】 根据题意得到一元二次方程有两个不同的解即可求解. 【详解】 函数恒有两个互异的不动点， 即有两个不等实根，整理得出 △，解得，且， 故答案为：，且. 12．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系： ，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元．      【分析】 （1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. (1) 小问详解： 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . (2) 小问详解： 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 13．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3；     （2）8；     （3）.      【分析】 （1）根据不动点定义列出方程求解程即得. （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可. （3）根据不动点定义得恒有不动点，再借助判别式及一元二次不等式恒成立求解.. (1) 小问详解： 由，得，解得或， 所以二次函数的不动点为和3. (2) 小问详解： 依题意，方程有两个不相等的正实数根， 于是 ，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. (3) 小问详解： 一元二次方程， 依题意，对任意实数，恒成立， 因此，而，解得， 所以的取值范围是. 14．（2026·广东东莞·联考）已知函数，. （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若存在，对任意的，都有，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）根据零点存在定理，以及函数单调性，列出不等式，求出参数范围即可； （2）根据双变量恒成立的性质，判断函数最值之间的关系，根据函数性质，判断在所给区间上的最值，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. (1) 小问详解： 的对称轴是， 在区间上是减函数， 当在上存在零点，则有 ，即 ，解得， 故实数的取值范围为； (2) 小问详解： 由题意可得，当存在，对任意的，都有时，等价于， 由（1）可知的对称轴是，根据二次函数对称性可知， 当时，，则， 故，解得，即的取值范围为. (3) 小问详解： 若对任意，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数值域的子集. 当时，，的值域为， 下面求，的值域， ① 当时，，不合题意，故舍； ② 当时，的值域为， 只需，即 ，解得； ③ 当时，的值域为， 只需要，即 ，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 15．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 （1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据二次函数的性质和零点存在定理求解； （2）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. (1) 小问详解： 因为，所以该函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减； 又因为函数在上存在零点，所以， 所以，解得，所以a的取值范围为； (2) 小问详解： 若对任意的，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集. 当时，的值域为. 当时，为常数，不符合题意舍去； 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 综上，的取值范围为. 16．（2026·广东六校·质量检测）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天()，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ①；②；③，其中含的项的系数均不为0. （1）请根据表格数据从①，②，③中选择一个最合适的函数模型，求出其函数解析式，并预测第4天时的舆论场指数； （2）若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】（1） 选择模型③ ，函数解析式为.预测第4天时的舆论场指数为.     （2）      【分析】 （1）根据数据的增长速度，选择指数型函数刻画数据，再结合已知数据求函数解析式，再求的值即可. （2）问题转化为不等式，恒成立，结合换元法与二次函数的单调性，可求的最小值. (1) 小问详解： 因为舆论场指数，，，增长速度越来越快，所以应该选择模型③ 来刻画数据. 由题意得： . 因为； 由. 所以， 将代入，可得. 将，代入，可得. 所以函数解析式为. 令，得，即预测第4天时的舆论场指数为. (2) 小问详解： 因为本次舆情不是严重的，即在时恒成立. 所以，. 设，，则. 又在上单调递增，所以. 所以. 所以的最小值为. 17．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】（1）模型① ③不符合，选模型②，解析式为     （2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．      【分析】 （1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． (1) 小问详解： 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型① ③不符合，选模型②， 则 ，解得 ， 所以； (2) 小问详解： （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 18．（25-26学年高一上·广东多校·期中）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入(单位：元)关于月产量(单位：台)满足函数 . （1）将利润(单位：元)表示为月产量的函数；(利润总收入总成本) （2）若称为月平均单件利润(单位：元)，当月产量为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？ 【答案】（1） ；（2）当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元. 【详解】（1）本题可分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果； （2）本题首先可根据得出 ，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. 【详解】 （1）当时，利润； 当时，利润， 故 . （2）因为，所以 ， 当时， 因为，当且仅当时取等号， 所以，当时，取最大值； 当时，，为单调递减函数， 此时， 综上所述，当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元. 【点睛】 关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题. 19．（2026·广东东莞·联考）已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求的值; （2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可; (2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果; (3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可. (1) 小问详解： 解:由题知, 因为,所以为开口向上的抛物线, 且有对称轴为, 所以在区间上是单调增函数, 则 , 即 , 解得; (2) 小问详解： 由(1)得, 则, 因为在上有解, 即,使得成立, 因为, 所以有成立, 令,因为,所以, 即,使得成立, 只需即可, 记, 因为,得, 所以k的取值范围是; (3) 小问详解： 因为有三个不同实数解, 即有三个不同的根, 令,则, 则图象是由图象先向下平移一个单位, 再将轴下方图像翻折到轴上方,画出函数图象如下: 根据图像可知,一个的函数值,最多对应两个值, 要使有三个不同的根, 则需有两个不同的实数解、, 且有,,或,, 记, 当,时, 只需 , 解得, 当,, 只需 , 解得不存在,故舍去, 综上:实数k的取值范围是. 【点睛】 方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有: (1)对方程进行整体换元; (2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象; (3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数; (4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 20．（25-26学年高一上·广东广州·期中）某工厂每年消耗电费32万元.为了节能环保，考虑修建一个可使用12年的沼气发电池，并入该工厂的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：）成正比，比例系数为0.15.由于场地的限制，如果修建沼气发电池，它的容积不能超过.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该工厂每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：）之间的函数关系为（实数为常数）.记该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为S（单位：万元）. （1）试解释的实际意义，并写出S关于的函数关系； （2）该工厂应修建多大容积的沼气发电池，可使S最小，并求出S的最小值. （3）要使S不超过114万元，求沼气发电池的容积（单位：）的取值范围. 【答案】（1）为未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费；，     （2）该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元     （3）      【分析】 （1）根据题中函数关系式，可直接得到的实际意义；求出，进而可得S关于的函数关系； （2）根据（1）中S的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值； （3）将，转化为关于的一元二次不等式，求解即可. (1) 小问详解： 的实际意义是修建这种沼气发电池的容积为时的用电费用， 即未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费. 由题意可得：，则， 所以该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为，. (2) 小问详解： 由（1）可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元. (3) 小问详解： 为使S不超过114万元，即， 整理得，即，解得， 且，可得， 所以的取值范围是. 21．（25-26学年高一上·广东清远·期中）某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入万元，最大产量万斤，每生产万斤，需其他投入万元， ，根据市场调查，该农产品售价每万斤万元，且所有产量都能全部售出.（利润收入成本） （1）写出年利润（万元）与产量（万斤）的函数解析式； （2）求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值. 【答案】（1）     （2）当年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据利润收入成本列出函数解析式； （2）分别求各段的最大值，比较得到函数的最大值，即最大利润. (1) 小问详解： 由题意得： ； (2) 小问详解： 当时，， 则当时，； 当时， （当且仅当，即时取等号）， ； ， 当，即年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元. 22．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意可得、是的两根，、是的两根，且 （数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得 且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围. 【详解】 于的方程有且仅有四个实根，其中， 因为，所以， 则方程的两根为，方程的两根为， 则 （数轴上，的中点是， 因为， 不妨设，， 因为，是的两根， 所以，， 再不妨设， 因为，是的两根， 则 ，， 所以， 则，又， 因为，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 23．（2026·广东六校·质量检测）函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用复合函数法分析可知，函数在定义域上为增函数，则存在使得在上的值域为,进一步分析可知，关于的方程至少有两解，令，，则函数有两个不等的正零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】 当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数； 当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数. 综上所述，函数在定义域上为增函数， 根据题意，存在存在使得在上的值域为, 则 ， 所以，关于的方程至少有两解，即，可得， 令，， 由题意可知，函数有两个不等的正零点、， 所以， ，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 24．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知函数． （1）若，，求的值域． （2）设集合，． ①证明：当时，存在唯一的，使得． ②证明：当时，存在唯一的，使得． 【答案】（1）      （2） ① 当时，，则， 由，可得，由，可得， 所以，， 若，则，解得， 所以，当时，存在唯一的且，使得； ② 当时，， 若，不妨设，则，则，则， 即，解得，此时， 则，令，可得，解得， 此时， 故当时，存在唯一的且，使得.      【分析】 （1）当，时，，利用基本不等式可求得函数的值域； （2）① 当时，求出集合、，根据可求得实数的值，即可证得结论成立；② 假设存在实数，使得，不妨设，则，则，可求出实数的值，然后求出集合、，即可证得结论成立. (1) 小问详解： 若，，则，该函数的定义域为， 当时，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 综上所述，当，时，函数的值域为. (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）某厂以的速度匀速生产某种产品，每小时可获得的利润是元. （1）要使生产该产品获得的利润为6900元，求. （2）要使生产该产品获得的利润最大，该厂的生产速度应为多少？并求利润的最大值. 【答案】（1）;     （2）该厂以3的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元      【分析】 （1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. (1) 小问详解： 由， 得，解得或. 因为，所以； (2) 小问详解： 生产100kg该产品获得的利润为元，. 令，，则，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 故该厂以3kg/h的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元. 26．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． （1）求x关于t的函数； （2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【答案】（1）     （2）     （3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可. （2）利用销售收入减去成本即得利润. （3）利用基本不等式处理该最值问题. (1) 小问详解： 由题意：与成反比例， 所以设，                                              将t＝0，x＝1代入，得k＝2，                                  所以. (2) 小问详解： 当年生产x(万件)时，年生产成本为：，              当销售x(万件)时，年销售收入为：，             由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 所以 即：. (3) 小问详解： 由（2）有：              因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立.所以，，即. 所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大． 27．（25-26学年高一上·广东广州·期中）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”. （1）若集合，，请判断集合、是否为1的“理想集”，并说明理由； （2）记集合，若集合为的“理想集”，则实数的最大值； （3）记集合，若集合是的“理想集”，求实数的取值范围. 【答案】（1）集合不是1的“理想集”， 集合是1的“理想集”，理由如下： 因为，即. 因为，此时，则， 构造，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 则在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 因为集合不是的子集， 即存在，使得无解，所以集合不是1的“理想集”； 因为集合是的子集， 即对任意，使得有解，所以集合是1的“理想集”.     （2）20     （3）       【分析】 （1）构造，，可得在内的值域为，结合题意分析判断即可； （2）构造，，可得在内的值域为，可得，列式求解即可； （3）由题意可知关于b的方程在内有解，取或，解方程并结合零点存在性定理分析求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，此时，， 构造，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，则在内的值域为， 若集合为的“理想集”，则， 则 ，解得， 所以实数的最大值为20. (3) 小问详解： 若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或， 所以； 若，即， 构建，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则， 且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则， 且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．B 2．C 3．A 4．A 5．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）应用指数幂、对数的运算性质化简求值； （2）由立方和公式将目标式化为，结合已知求值. 【详解】 （1）原式； （2）原式. 6．【答案】（1）2；（2）2. 【分析】 （1）根据指数的运算可得答案； （2）将平方可得答案. 【详解】 （1） （2）因为，所以， 所以. 7．【答案】 【分析】 根据指数运算相关运算法则计算即可． 【详解】 解：原式 ． 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数幂运算和对数运算法则直接求解即可； （2）由，可得，结，可得，代入可求解． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： ，， ，， ，， 又，， . 9．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据指数运算直接化简即可； （2）根据分数指数幂和根式的关系化简可得； （3）已知条件平方求出，然后再次平方可得. 【详解】 （1）（或）. （2）. （3）因为，所以，即. 因为，所以 10．【答案】 【分析】 利用指数幂的运算性质化简求解即可. 【详解】 . 故答案为： 考点02 指数函数 1．A 2．D 3．AC 4．ACD 5．A 6．ABD 7．B 8．D 9．ACD 10．B 11．【答案】（1）     （2）20      【分析】 （1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得； （2）依题，使（1）中求出的解析式小于，解不等式即得. (1) 小问详解： 依题意可得， 由可得：，即，故， 代入①，，故. (2) 小问详解： 令，即得，因是减函数， 则，解得，故t的最小值为20. 12．【答案】 【分析】 根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】 因为函数 在上单调递减， 所以 ，所以 ， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 13．【答案】，答案不唯一 【分析】 由条件（1） ，若则.可知函数为R上增函数； 由条件（2）.可知函数可能为指数型函数. 【详解】 令， 则为R上增函数，满足条件（1）. 又， 故 即成立. 故答案为：，（，等均满足题意） 14．【答案】 【分析】 根据指数的运算性质化简. 【详解】 因为，，，， 所以最大的数是. 故答案为： 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将代入即可求解， （2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． (2) 小问详解： ，令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 16．【答案】（1）1     （2）或      【分析】 （1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值. (1) 小问详解： ，解得. (2) 小问详解： 当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）分别求解指数不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定义即得； （2）由条件判断集合B是集合的真子集，进而得到关于参数的不等式，求解即得. (1) 小问详解： 由可得，故集合， 当时，即，解得，即， 所以． (2) 小问详解： 因为“”是“”的必要不充分条件，故集合B是集合的真子集， ，，则有，解得，故实数m的取值范围为． 考点03 对数 1．AD 2．【答案】 【分析】 利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】 由， 得. 故答案为：. 3．【答案】（1）；（2）17；（3）. 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可； （3）根据指数与对数互化可得，，再由对数的换底公式计算即可. 【详解】 （1）原式； （2）原式 ； （3）由已知，，， 所以. 4．【答案】 【分析】 根据指数幂运算公式和对数运算性质计算即可. 【详解】 故答案为：. 5．【答案】（1）；（2）. 【分析】 根据指数幂和对数的运算性质运算即可. 【详解】 （1）原式=. （2）原式. 故答案为：（1）；（2）. 考点04 对数函数 1．C 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C 7．A 8．B 9．A 10．D 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设出对数函数解析式，将点代入，求得参数，即得答案； （2）关于的方程在上有解，即在上有解，求出的值域，即得答案. (1) 小问详解： 设对数函数且， 其图象过点，即， 故. (2) 小问详解： 因为关于的方程在上有解， 故在上有解， 而当时，是增函数，故， 故的取值范围为. 12．【答案】9 【分析】 根据对数复合函数的定点得出参数计算求解. 【详解】 因为函数过定点，且， 则函数，令，则，， 所以函数过定点， 所以， 则. 故答案为：9. 13．【答案】（1），     （2）偶函数，理由如下： 由（1）可得：，定义域为：； ， 所以函数为偶函数；      【分析】 （1）由即可求，由对数式有意义构造不等式可求定义域； （2）由奇偶性的定义即可判断； (1) 小问详解： 由，可得：， 解得， 由 可得：， 所以定义域为：； (2) 小问详解： 略 14．【答案】 【分析】 求出对数函数的反函数，再由复合函数的单调性求解即可. 【详解】 因为函数的反函数， 所以， 令，则可以看作由与复合而成， 当时，单调递减，而在上单调递增 所以的单调递减区间为， 故答案为： 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6．ABC 7．D 8．AC 9．D 10．D 11．【答案】，且 【分析】 根据题意得到一元二次方程有两个不同的解即可求解. 【详解】 函数恒有两个互异的不动点， 即有两个不等实根，整理得出 △，解得，且， 故答案为：，且. 12．【答案】（1）     （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元．      【分析】 （1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. (1) 小问详解： 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . (2) 小问详解： 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 13．【答案】（1）和3；     （2）8；     （3）.      【分析】 （1）根据不动点定义列出方程求解程即得. （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可. （3）根据不动点定义得恒有不动点，再借助判别式及一元二次不等式恒成立求解.. (1) 小问详解： 由，得，解得或， 所以二次函数的不动点为和3. (2) 小问详解： 依题意，方程有两个不相等的正实数根， 于是 ，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. (3) 小问详解： 一元二次方程， 依题意，对任意实数，恒成立， 因此，而，解得， 所以的取值范围是. 14．【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）根据零点存在定理，以及函数单调性，列出不等式，求出参数范围即可； （2）根据双变量恒成立的性质，判断函数最值之间的关系，根据函数性质，判断在所给区间上的最值，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. (1) 小问详解： 的对称轴是， 在区间上是减函数， 当在上存在零点，则有 ，即 ，解得， 故实数的取值范围为； (2) 小问详解： 由题意可得，当存在，对任意的，都有时，等价于， 由（1）可知的对称轴是，根据二次函数对称性可知， 当时，，则， 故，解得，即的取值范围为. (3) 小问详解： 若对任意，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数值域的子集. 当时，，的值域为， 下面求，的值域， ① 当时，，不合题意，故舍； ② 当时，的值域为， 只需，即 ，解得； ③ 当时，的值域为， 只需要，即 ，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据二次函数的性质和零点存在定理求解； （2）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可. (1) 小问详解： 因为，所以该函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减； 又因为函数在上存在零点，所以， 所以，解得，所以a的取值范围为； (2) 小问详解： 若对任意的，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集. 当时，的值域为. 当时，为常数，不符合题意舍去； 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 当时，的值域为，要使， 需且，解得. 综上，的取值范围为. 16．【答案】（1） 选择模型③ ，函数解析式为.预测第4天时的舆论场指数为.     （2）      【分析】 （1）根据数据的增长速度，选择指数型函数刻画数据，再结合已知数据求函数解析式，再求的值即可. （2）问题转化为不等式，恒成立，结合换元法与二次函数的单调性，可求的最小值. (1) 小问详解： 因为舆论场指数，，，增长速度越来越快，所以应该选择模型③ 来刻画数据. 由题意得： . 因为； 由. 所以， 将代入，可得. 将，代入，可得. 所以函数解析式为. 令，得，即预测第4天时的舆论场指数为. (2) 小问详解： 因为本次舆情不是严重的，即在时恒成立. 所以，. 设，，则. 又在上单调递增，所以. 所以. 所以的最小值为. 17．【答案】（1）模型① ③不符合，选模型②，解析式为     （2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．      【分析】 （1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． (1) 小问详解： 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型① ③不符合，选模型②， 则 ，解得 ， 所以； (2) 小问详解： （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 18．【答案】（1） ；（2）当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元. 【详解】（1）本题可分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果； （2）本题首先可根据得出 ，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. 【详解】 （1）当时，利润； 当时，利润， 故 . （2）因为，所以 ， 当时， 因为，当且仅当时取等号， 所以，当时，取最大值； 当时，，为单调递减函数， 此时， 综上所述，当月产量为时，月平均单件利润最大，最大月平均单件利润为元. 【点睛】 关键点点睛：本题考查分段函数在实际生活中的应用，能否根据题意确定每一段区间内对应的函数解析式是解决本题的关键，考查基本不等式求最值，是中档题. 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 (1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可; (2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果; (3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可. (1) 小问详解： 解:由题知, 因为,所以为开口向上的抛物线, 且有对称轴为, 所以在区间上是单调增函数, 则 , 即 , 解得; (2) 小问详解： 由(1)得, 则, 因为在上有解, 即,使得成立, 因为, 所以有成立, 令,因为,所以, 即,使得成立, 只需即可, 记, 因为,得, 所以k的取值范围是; (3) 小问详解： 因为有三个不同实数解, 即有三个不同的根, 令,则, 则图象是由图象先向下平移一个单位, 再将轴下方图像翻折到轴上方,画出函数图象如下: 根据图像可知,一个的函数值,最多对应两个值, 要使有三个不同的根, 则需有两个不同的实数解、, 且有,,或,, 记, 当,时, 只需 , 解得, 当,, 只需 , 解得不存在,故舍去, 综上:实数k的取值范围是. 【点睛】 方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有: (1)对方程进行整体换元; (2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象; (3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数; (4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 20．【答案】（1）为未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费；，     （2）该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元     （3）      【分析】 （1）根据题中函数关系式，可直接得到的实际意义；求出，进而可得S关于的函数关系； （2）根据（1）中S的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值； （3）将，转化为关于的一元二次不等式，求解即可. (1) 小问详解： 的实际意义是修建这种沼气发电池的容积为时的用电费用， 即未修建沼气发电池时，该工厂每年消耗的电费. 由题意可得：，则， 所以该工厂修建此沼气发电池的费用与12年所消耗的电费之和为，. (2) 小问详解： 由（1）可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该工厂应修建容积为280立方米的沼气发电池时，可使S最小，且最小值为万元. (3) 小问详解： 为使S不超过114万元，即， 整理得，即，解得， 且，可得， 所以的取值范围是. 21．【答案】（1）     （2）当年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）根据利润收入成本列出函数解析式； （2）分别求各段的最大值，比较得到函数的最大值，即最大利润. (1) 小问详解： 由题意得： ； (2) 小问详解： 当时，， 则当时，； 当时， （当且仅当，即时取等号）， ； ， 当，即年产量为万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为万元. 22．【答案】 【分析】 由题意可得、是的两根，、是的两根，且 （数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得 且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围. 【详解】 于的方程有且仅有四个实根，其中， 因为，所以， 则方程的两根为，方程的两根为， 则 （数轴上，的中点是， 因为， 不妨设，， 因为，是的两根， 所以，， 再不妨设， 因为，是的两根， 则 ，， 所以， 则，又， 因为，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 利用复合函数法分析可知，函数在定义域上为增函数，则存在使得在上的值域为,进一步分析可知，关于的方程至少有两解，令，，则函数有两个不等的正零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】 当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数； 当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数. 综上所述，函数在定义域上为增函数， 根据题意，存在存在使得在上的值域为, 则 ， 所以，关于的方程至少有两解，即，可得， 令，， 由题意可知，函数有两个不等的正零点、， 所以， ，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 24．【答案】（1）      （2） ① 当时，，则， 由，可得，由，可得， 所以，， 若，则，解得， 所以，当时，存在唯一的且，使得； ② 当时，， 若，不妨设，则，则，则， 即，解得，此时， 则，令，可得，解得， 此时， 故当时，存在唯一的且，使得.      【分析】 （1）当，时，，利用基本不等式可求得函数的值域； （2）① 当时，求出集合、，根据可求得实数的值，即可证得结论成立；② 假设存在实数，使得，不妨设，则，则，可求出实数的值，然后求出集合、，即可证得结论成立. (1) 小问详解： 若，，则，该函数的定义域为， 当时，，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，由基本不等式可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 综上所述，当，时，函数的值域为. (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1）;     （2）该厂以3的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元      【分析】 （1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. (1) 小问详解： 由， 得，解得或. 因为，所以； (2) 小问详解： 生产100kg该产品获得的利润为元，. 令，，则，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 故该厂以3kg/h的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元. 26．【答案】（1）     （2）     （3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可. （2）利用销售收入减去成本即得利润. （3）利用基本不等式处理该最值问题. (1) 小问详解： 由题意：与成反比例， 所以设，                                              将t＝0，x＝1代入，得k＝2，                                  所以. (2) 小问详解： 当年生产x(万件)时，年生产成本为：，              当销售x(万件)时，年销售收入为：，             由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 所以 即：. (3) 小问详解： 由（2）有：              因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立.所以，，即. 所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大． 27．【答案】（1）集合不是1的“理想集”， 集合是1的“理想集”，理由如下： 因为，即. 因为，此时，则， 构造，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 则在内单调递增，且，， 可知在内的值域为， 因为集合不是的子集， 即存在，使得无解，所以集合不是1的“理想集”； 因为集合是的子集， 即对任意，使得有解，所以集合是1的“理想集”.     （2）20     （3）       【分析】 （1）构造，，可得在内的值域为，结合题意分析判断即可； （2）构造，，可得在内的值域为，可得，列式求解即可； （3）由题意可知关于b的方程在内有解，取或，解方程并结合零点存在性定理分析求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，此时，， 构造，， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，则在内的值域为， 若集合为的“理想集”，则， 则 ，解得， 所以实数的最大值为20. (3) 小问详解： 若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或， 所以； 若，即， 构建，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则， 且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则， 且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $