精品解析：广东深圳市新安中学（集团）高中部2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

新安中学（集团）高中部2024-2025学年第一学期期中考试题 高一年级数学 2024年11月 本试卷分选择题与非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（共58分） 一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，或，则（    ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 函数 的定义域为（    ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 若函数是偶函数，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 6. 已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（   ） A. 4 B. 6 C. D. 8 8. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列判断正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 10. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，方程的两个实根和为0 B. 方程无实根的一个必要条件是 C. 方程有两个正实根的充要条件是 D. 方程有两个正实根的一个充分条件是 11. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 方程有无数解 D. 函数f（x）的值域为Z 第II卷（共92分） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 13. 设，，，则的最小值为________． 14. 若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　 （1）求函数的解析式； （2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象； （3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间． 17. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，. （1）函数的图象是否有对称中心？请用题设结论证明； （2）用表示，中的最小值，设函数，请讨论是否对任意的，都有最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安中学（集团）高中部2024-2025学年第一学期期中考试题 高一年级数学 2024年11月 本试卷分选择题与非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（共58分） 一、单项选择题: 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，或，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意， 故. 2. 命题“”的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题. 【详解】命题“ ”的否定为“”， 故选：A. 3. 函数 的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 4. 已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数的单调性列不等式组即可求得. 【详解】函数的对称轴为. 要使函数在区间上是单调函数，只需或， 解得：或. 故选：A 5. 若函数是偶函数，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数是偶函数，利用 得到 的值，代入函数求值即可． 【详解】是偶函数，即 即 ，所以 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的定义，其中利用偶函数的条件求得a值是解题的关键． 6. 已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 7. 函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（   ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】令指数为，可得定点坐标，将其坐标代入到方程中，可得，由，，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 8. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于函数，下列判断正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得：  ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 10. 已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A. 当时，方程的两个实根和为0 B. 方程无实根的一个必要条件是 C. 方程有两个正实根的充要条件是 D. 方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 11. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 方程有无数解 D. 函数f（x）的值域为Z 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目中函数的定义，可设函数，结合不等关系、奇函数定义，可得答案. 【详解】由题意，设，则， 对于A，显然，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，由函数定义，可得D正确. 故选：ACD. 第II卷（共92分） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 13. 设，，，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据并结合已知条件求解即可. 【详解】解：，，，即， 又， ， ．当且仅当时取等号， 故的最小值为． 故答案为：2 14. 若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为对任意都恒成立. 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用指数运算求解即可； （2）①对原等式两边平方即可求解；②化简即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．　 （1）求函数的解析式； （2）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全完整函数的图象； （3）根据（2）中画出的函数图像，直接写出函数的单调区间． 【答案】（1）； （2）图象： （3）单调递增区间是，单调递减区间为和． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用函数是奇函数，结合时，即可求出；（2）因为奇函数的图象关于原点成中心对称，故可画出另一侧图象.（3）观察图象，从左向右看，上升为增函数，下降为减函数，据此写出单调区间. 试题解析： （1）设，则， ∵当时，， ∴， ∵函数是定义在上的奇函数， ∴（）， ∴ （2）函数的图象如图所示： （3）由图像可知，的单调递增区间是，单调递减区间为和． 点睛：本题全面考察了函数的奇偶性，单调性，图象，恒成立问题，属于中档题.涉及了利用奇偶性求函数的解析式，函数单调性的问题，二次函数分类讨论求函数的最小值，恒成立问题，恒成立问题一般要转化成最值问题，求函数最小值时，可根据函数的类型选用不同方法. 17. 已知函数，且. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）最大值为，最小值为6. 【解析】 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【小问1详解】 函数，因为， 所以，则. 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6． 18. 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）把不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立， 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由不等式，可得，即， ①当时，不等式可化为，解得 当时，方程的解，或， ②当时， 或； ③当时， （i）当时，即， ； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，， ， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，. （1）函数的图象是否有对称中心？请用题设结论证明； （2）用表示，中的最小值，设函数，请讨论是否对任意的，都有最大值. 【答案】（1） 函数的图象有对称中心，证明如下： 因为， 假设函数的图象关于点成中心对称图形， 等价于函数为奇函数， 因为，即， 可知的定义域为，可得，即， 此时，可得，解得， 此时为定义在内的奇函数， 所以的对称中心为. （2）不是 【解析】 【分析】（1）假设函数的图象关于点成中心对称图形，根据题设结合奇函数的定义与性质分析求解； （2）分、、和四种情况，结合单调性和最值判断的大小关系，进而可得，结合分段函数最值分析求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）当时，则， 可得， 又因为，则， 所以； （ⅱ）当时，则， 可得， 可知在内单调递增，且，即， 又因为，则， 所以； （ⅲ）当时，则， 可得， 令， 因为，则在内单调递减， 则在内单调递减， 且，， 可知存在唯一实数，使得， ①当时，则，即； ②当时，则，即； 所以； （ⅳ）当时，则， 可得， 又因为，则， 所以； 综上所述：， 可知：在内单调递增，此时的最大值为； 在内单调递减，无最大值； 在内单调递增，且； 又因为，即， 令，解得，， 可得：当时，，此时的最大值为； 当时，，此时无最大值； 所以不是对任意的，都有最大值. 【点睛】关键点睛：在分析解析式时，应当合理讨论，并结合函数单调性分析求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $