精品解析：广东深圳市南头中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

南头中学2024～2025学年度第一学期期中考试 高一数学 （满分：150分　考试时间：120分钟） 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上． 1. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 2. 关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】由，得， 解得，所以不等式的解集为. 故选：D 3. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合． 【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M， ∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}， ∵N⊆M，∴或=1． 解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}． 故选D． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 4. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数为奇函数排除A，当时，，排除C，计算零点排除B，得到答案. 【详解】，函数定义域为， ，函数为奇函数，排除A； 当时，，排除C； 当时，取得到，函数只有一个零点，排除B； 故选：D. 6. 心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（ ） A. 150 B. 128 C. 122 D. 61 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可求出，再代入即可求出. 【详解】由题可得，则， 所以， 即该学生在从能记忆的单词个数为122. 故选：C. 7. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：A. 8. 若定义在上的奇函数满足：，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：①；②；③；④，其中为“函数”的是 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用“函数”的定义逐项分析即得. 【详解】∵定义在上的奇函数满足：，且，都有， ∴为定义在上的奇函数，且为增函数， ①不是奇函数，所以①不是“函数”， ②在上单调递减，所以②不是“函数”， ③定义域不是，所以③不是“函数”， ④在上递增且为奇函数，故④为“函数”. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】对选项A：函数单调递增，故，错误； 对选项B：函数在上单调递增，故，正确； 对选项C：函数单调递减，故，错误； 对选项D：，，故，正确； 故选：BD 10. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用与逐项判断即可. 【详解】因为，均为正数，且，所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； ， 当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确； ， 当且仅当，即，时，等号成立， 而，均为正数，故等号不成立，所以D错误. 故选：BC. 11. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A. -2 B. C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】考虑时，，时，，依次将各个选项中的数据带入，计算集合，再判断和之间的关系得到答案. 【详解】当时，， 当时，， 对选项A：若，，此时，不满足； 对选项B：若，，此时，满足； 对选项C：若，，此时，满足； 对选项D：若，，此时，满足； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____ 【答案】 【解析】 【分析】运用指数幂的运算法则进行求解即可. 【详解】 故答案为： 13. 函数，且，则的值是____． 【答案】6 【解析】 【分析】设，利用奇函数的性质求解即可. 【详解】令， 因为定义域为，且， 所以函数为奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：6 14. 古希腊数学家希波克拉底曾研究过如下图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.若以斜边为直径的半圆面积为，则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，所以，由以斜边为直径的半圆面积为可求得，再由基本不等式即可求得的最大值，即可求得弧长之和的最大值. 【详解】设，，所以，即， 因为以斜边为直径的半圆面积为，所以，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以以，为直径的两个半圆的弧长之和为， 即以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数单调性解不等式化简集合A，解二次不等式可化简集合B，后由交集定义可得答案； （2）由题可得，A是B的真子集，据此可得答案. 【小问1详解】 ，则. 当时，，则. 故； 【小问2详解】 . 由题，则. 又“”是“”成立的充分不必要条件， 则A是B的真子集，则，又注意到满足条件. 则实数的取值范围是 16. 已知函数的图象过点. （1）求实数m的值，并判断的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 【答案】（1）m＝1，奇函数 （2） 在上单调递增， 证明：，设， 则 又由，则，即； 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数图象过点，可得关于m的解析式，求出m的值，判断函数的奇偶性可得答案； （2）根据题意，利用作差法分析可得结论． 【小问1详解】 根据题意，函数的图象过点， 则有，解可得， 则，其定义域为， 则有，函数为奇函数. 【小问2详解】 略 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数，令，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元 【解析】 【分析】（1）由利润，代入即可得； （2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在上的最大值，比较即可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立． 由得当时，． 所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元． 19. 已知定义域为，对任意都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 是上的单调递减函数． 证明：任取， 则， 由于当时，，易知，则， 故， 可得是上的单调递减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得； （2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得. 【小问1详解】 取， 则，于是， 令， 则， 又，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式可化为， 也即， 令 于是，都有恒成立， 由于为上的单减函数，则， 都有恒成立， 即成立，即恒成立； 令，它是关于的一次函数， 故只需，解得． 即， 解得 【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，要充分利用已知条件和函数单调性将不等式转化为求解自变量大小恒成立问题，再结合题意通过合理变形转化解不等式即可求得参数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南头中学2024～2025学年度第一学期期中考试 高一数学 （满分：150分　考试时间：120分钟） 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上． 1. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 2. 关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（ ） A. 150 B. 128 C. 122 D. 61 7. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数满足：，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：①；②；③；④，其中为“函数”的是 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 11. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A. -2 B. C. 0 D. 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____ 13. 函数，且，则的值是____． 14. 古希腊数学家希波克拉底曾研究过如下图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.若以斜边为直径的半圆面积为，则以，为直径的两个半圆的弧长之和的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 16. 已知函数的图象过点. （1）求实数m的值，并判断的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 17. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 18. 某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 19. 已知定义域为，对任意都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $