第3章圆单元质量检测卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学圆单元检测卷，覆盖弦长、切线、内接多边形等核心知识，通过筒车文化素材、管道横截面等实际情境，考查几何直观、推理能力与应用意识，适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|圆心角与弦长关系、切线性质、外心坐标|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6/18|内切圆半径、正五边形内接圆、扇形面积计算|核心公式应用，融入几何性质| |解答题|8/72|切线证明、阴影面积、管道半径计算、筒车问题|综合应用，文化传承与实际情境结合，考查推理与建模能力|

第3章圆单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 2．已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 3．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 4．如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理求出的度数，最后在中利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 7．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 8．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 9．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 10．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 二、填空题（每题3分，共18分） 13．如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 14．如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 15．如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧所对的圆心角是解题的关键． 连接，根据正五边形的性质求出，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 五边形是正五边形， ， ． 故答案为：． 16．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 12．如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 11．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 18．如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为___________； (2)这个圆的半径为___________； (3)直接判断点与的位置关系．点D在 ___________；(填“内”或“外”或“上”) (4)的长度为___________(结果保留π)． 【答案】(1) (2) (3)内 (4) 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，点与圆的位置关系，求弧长，解题的关键是确定圆心的位置： （1）线段的中垂线的交点，即为圆心； （2）勾股定理求出的长即可； （3）求出的长进行判断即可； （4）根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故圆的半径为； （3）∵，， ∴， ∵； ∴点D在内； （4）∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 20．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 21．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 22．如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 23．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 24．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第3章圆单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1,如图，在半径为4的⊙0中，圆心角∠A0B=90°，则弦AB的长为() A A.4V2 B.&V2 C.4 D.8 2.己知⊙0的半径为10，P为⊙0内一点，若0P=8,则经过点P的弦长可能是() A.11 B.9 C.18 D.21 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,则△ABC外接圆的半径为() A.10 B.5 C.6 D.4 4.知图，四a形1CD内接于o0,孤=C,注接D.老1BC=2”,则2C 的度数为() Q A.25° B.38 C.54° D.72 5.如图，PA与⊙0相切于点A,连接P0并延长交⊙0于点B,连接AB.若∠B=24°，则∠P的度数是 () A.42° B.48° C.56° D.66 试卷第1页（共3页） 6如图，在平面直角坐标系0中，点40,3)，B2,),C2,-3),则△4BC的外心坐标是() B A.（2-2) B.(-2) c.（,-2) D.（,-) 7.如图，在扇形0MB中，点C在上.连接OC,4C,BC,ACB=132 ∠BOC=2∠AOC 若 的度数为() 0 A.16° B.24° C.32° D.36 8.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车 的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心0为圆心的圆，且圆心在水面上方， 若圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为2m,则筒车的直径是 () 水面 B Z二二1 图1 图2 A.8m B.10m C.12m D.13m 9.如图，A,B,C,D是⊙0上的四个点，C=DC,A=25”,则2D的度数是() 试卷第2页（共3页） 5 A.25° B.40° C.60° D.65° 10.如图，正方形ABCD是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接AF和DF,分别以E,G为圆心， AE的长为半径画弧，两弧交于正方形ABCD的中心O处，图中阴影部分的面积是() E+-- 0 B ------10 A.4 B.6 C.2π D.4π 二、填空题（每题3分，共18分） 13.如图，点A,B,C在⊙0上，若∠A=28°，则∠0=度. 14.如图，9 ORt△ABC ∠ABC=90°，CM=2,AM=3 为 的内切圆，切点分别 M,N0,已知 ⊙0 ,则 的半径为 M B 试卷第3页（共3页） 15.如图，正五边形ABCDE内接于OO,求∠ABD的度数一· D E ● B 16.如图，用一张半径为30©m的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的 底面半径为l0cm,则该扇形纸板的面积为 cm2 30cm 12,如图，o0的弦4BC 的延长线相交于点P,∠10C=150,∠P=40 BD ,则 的度数为 11.如图，△ABC是O0的内接三角形，将劣弧AC沿弦AC折叠后刚好经过弦BC中点D,若AC=6, ∠C=60°⊙0 ,则的半径为 试卷第4页（共3页） 0 B D 三、解答题（每题9分，共72分） 17.乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙0，如图所示，悬挂绳AB、AC分别切⊙0于点B、 C,连接OA B (I)求证：OA垂直平分BC. (2)当BC为40cm,四边形ABOC为正方形时，求⊙0的面积.（结果保留） 18。如图，在平面直角坐标系中，16)、B(5,6)、C(亿，4) (I)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 (2)这个圆的半径为」 (3)直接判断 D(6,-)与⊙M的位置关系.点D在OM ；(填“内”或“外”或“上”) 试卷第5页（共3页） 的长度为 (结果保留四. 19.如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB=6.求这个管道横截面的 半径. O D B C 20.如图，直线AB经过O0上的点C,并且OA=OB,CA=CB A B (I)求证：直线AB是⊙0的切线. (2)若∠40B=90°，0A=2,求阴影部分的面积. 21.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD经过⊙O的圆心O,过点A作AE⊥CD,与 CD的延长线交于点E,且DA平分∠BDE. 夕 D E (I)求证：∠ABO=∠EAD: (2)过点O作OH⊥CD于点H,连接OA,若OO的半径为5，求EH的长. 试卷第6页（共3页） 22.如图，AB,AC是⊙O的两条切线，切点分别为B,C,连接CO并延长交⊙O于点D,过点D作 ⊙0 AB 的切线交 的延长线于点B,EF LAC 于点F B (I)求证：四边形CDEF是矩形： ②若CD=2M而，DB=2,求4C的长 23.如图，AB是OO的直径，AD是OO的弦，过点B的切线交AD的延长线于点C,AD=DC=1 (1)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. 24.已知，如图： o0的半径R=55,弦B=14.点C在4B上CD1M交o0 于点D D 0. (I)若BC=4,求线段CD的长. (2)若点C在弦AB上运动，则AC+CD的最大值 试卷第7页（共3页）