重难点专训02 数列中的不等式恒成立·有解·不等式证明·交汇问题（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦数列与不等式综合问题，构建“方法提炼-题型通法-分层训练”体系，系统整合恒成立、证明及交汇问题的解题策略，强化数学思维与规范表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|4类策略|含不等式证明方法、恒成立转化、函数交汇技巧及答题模板|从通项求法到求和再到综合应用，形成完整逻辑链| |题型通法|3题型（各含典例+变式）|恒成立用单调性求最值、证明用裂项/逐项放缩、交汇问题剥离背景|题型与方法一一对应，覆盖核心考法与易错点| |分层过关练|巩固8题+创新1题|分层设计，基础题强化通法，创新题提升探究能力|从基础应用到综合创新，符合一轮复习递进需求|

重难点专训02 数列中的不等式恒成立·有解·不等式证明·交汇问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数列中的不等式恒成立、有解问题 2 题型2 数列中的不等式证明问题 7 题型3 数列与其他知识的交汇问题 12 重难专题分层过关练 17 巩固过关 17 创新提升 30 解题方法及技巧提炼 1．数列与不等式交汇问题的解题策略 (1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. (2)数列与不等式交汇问题的答题模板 第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式； 第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和； 第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围； 第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤. 2．数列与函数交汇问题的解题策略 数列与函数综合问题的主要类型及解题策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形. 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性. 3．子数列问题的解题策略 子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维. 4．数列中结构不良题的解法 (1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解. (2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答. 题型通法及变式提升 题型1 数列中的不等式恒成立、有解问题 【典例1-1】（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，则时，且， 所以，显然也满足，故， 设的公差且，，而， 所以且， 所以，则， 所以，即. （2） ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 数列恒成立与有解，核心转化为数列最值。恒成立：an>k恒成立等价an最小值大于k；an<k恒成立等价an最大值小于k。存在有解，恰好相反。借助作差法判断数列单调性，求取最值。数列属于离散变量，禁止直接求导。求出取到最值的正整数n。易错点：混淆恒成立和存在有解，忽视n取值为正整数。求出参数区间之后，检验端点。大题书写完整单调性推导，不可直接跳步写出最值，步骤完整，规避逻辑漏洞。 【典例1-2】（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【答案】(1)， (2)（i） （ii）， . 设，① 则，② ①-②得， 所以 ， 则，所以. 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. （2）（i）由（1）知， 所以， ， 同理. , 所以； （ii）略 【变式1-1】（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）证明：首先证明，当，即时，， 当时，， 由（i）可知， 所以，， 反之，若，则必有，否则若，则 ， 故当且仅当时，， 再证明集合中有个大于0的元素， 首先，当，即时，对于任意， 都有和两种可能，故有种不同形式， 下面证明这种不同形式的结果互不相同， 任取其中的两种不同形式，记为， ， 因为为两种不同形式，则必存在，使得， 将其中最大的记为，不妨设， 若，则显然， 若，则 ， 故，因此集合中有个大于0的元素， 将这个元素记为，其中给定， 满足的元素个数为个，满足的元素个数也为， 因此 ， 所以集合中所有大于0的元素之和为.. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由， 得：，即， 所以，解得：或（舍），， 从而，； （2）（i）当时，取最大值， 此时，①， ②， ①-②得： ， 故，即集合中的最大元素为； （ii）略 题型2 数列中的不等式证明问题 【典例2-1】（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1) ，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. (2) (3) 因为 ， 所以 ，即命题得证. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）略 数列不等式证明主流方法为裂项放缩、逐项放缩。若是求和型不等式，优先裂项相消，放缩之后求和。通项单调的数列，可以采用数学归纳法。放缩需要把控尺度，放得过大或者过小均无法完成证明。多个放缩模型需要灵活选用。易错点：放缩一步到位，缺少微调；忽略起始项，一般从第二项之后放缩。小题直接放缩估算，大题分步放缩，书写严谨。证明结束之后，验证前几项核对不等式。不要盲目套用固定放缩模板，结合通项特征选择方法，规范答题步骤。 【典例2-2】（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 【答案】(1)， (2) (3)证明：由（1）得， 所以 所以 ， 所以 ． 因为，，所以 所以，证毕. 【详解】（1）解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． （2）解：由（1）知． 记的前项和为，的前项和为， 所以 ① ② ①－②得， 所以． 所以． （3）略 【变式2-1】（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3) ，， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时， ， 综上，原不等式成立. 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程即可； （2）根据等差数列求和公式得到，然后利用错位相减法求和即可； （3）通过放缩的思路得到，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的通项公式为，，， ，由得，即，故. 解得， ∴，， 设的通项公式为，，， 由已知， 整理为， ∴，. （2），，，         ①     ② ①-②得：         ③     ④ ③-④得： ，. （3）略 题型3 数列与其他知识的交汇问题 【典例3-1】（2026·天津西青·三模）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 【答案】(1) (2)（i）； （ⅱ）若存在，使得有三个不同的零点， 即为方程的根， 即， 两式相加得， 因为成等差数列，所以， 则，即， 故，即， 又，故， 即，则， 下面推导对数平均不等式，， 只需证， 令，只需证， 令，则， 故在上单调递增， 又，故，证毕， 而，又，故等号取不到， 所以，即， 所以，由（i）知，， 故，证毕． 【详解】（1）当时，，所以， 则，所以切点为， 则曲线在处的切线方程为，即． （2）（i）由，，即，故， 因为有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，， 则有两个不同的变号零点， 令，，则， 令，得， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，且当时，，当时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足，即， 此时存在实数，使得有3个不同的正根， 故的取值范围为； （ⅱ）略 数列交汇题型常联合函数、不等式、平面向量、解析几何。解题第一步剥离背景，提取数列递推或者通项。与函数交汇，借助单调性分析数列，但谨记n是正整数，不可直接求导。与不等式交汇，运用放缩、最值、恒成立思路。几何类交汇，先求出边长构成的数列。易错点是题意读取不清，项数下标出错。不要被复杂背景迷惑，回归数列核心方法。做完检验前两项，确认通项无误。大题分步书写，先求解通项，之后再处理后续设问，拆分难点。 【典例3-2】（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)或 (3)显然偶数“归一数”必为形如的整数， 下面探究奇数“归一数”，不妨设置如下区间： ， 若奇数，不妨设， 若为“归一数”，则且， 即且，当且时， ，当时， ，所以且， 又因为，即， 易知为上述不等式的唯一整数解，区间存在唯一的奇数“归一数”， 所以且，显然为奇数“归一数”，所有的奇数“归一数” 为，所以所有的奇数“归一数”的倒数为， 因为，所以， ， 即 【分析】（1）根据“归一数”概念，结合列举法求解. （2）分析题意可知必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解. （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）根据定义逐个计算的： （奇）：，得是归一数； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，是归一数； （偶）：，得，不是； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，是归一数； （奇）：，得，不是； （偶）：，得，不是. （2）由题意可知为奇数，所以为偶数， 所以存在正整数，使得，即， 因为，且，所以， 或，或，解得或， 所以，或， 所以的值为或. （3）略 【变式3-1】（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的递推公式，构造常数列求出通项公式. （2）（i）利用组合计数问题求出中每个元素出现的次数，再利用等差数列前项和公式求出，然后利用并项求和法求出； （ii）利用组合计数问题求出中的每个元素为最大元素的个数，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． 2．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 【答案】(1)（i）;（ii） (2)证明：因为，所以. 由，，可得，. 则. 设 ③ 则 ④ ③ - ④得： 所以. 则. 当足够大时，会大于2025，所以，使得 【分析】（1）（i）通过将两递推式相加找到与的关系，进而求出； （ii）通过两递推式相减找到与的关系，再结合平方差公式求出； （2）根据得到的范围，再利用放缩法证明不等式. 【详解】（1）（i）已知，，将两式相加可得： ，又， ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 根据等比数列通项公式可得. 所以. （ii）将与两式相减可得： 即，又， 所以数列是以 为首项，为公差的等差数列. 所以. 由平方差公式，则 设 ① 则 ② ① - ②得： 所以 则. （2）略 3．（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先由题意求出，接着由指数函数性质研究分析的单调性和最值即可求解. 【详解】由题可设等比数列的公比为， 因为，，所以或， 所以，， 所以为单调递增数列，为单调递减数列， 所以单调递增，故， 故若恒成立，则的最小值为. 故选：D 4．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3) ，， 当时，； 当时，即 又， 所以，当时，， 所以． 【分析】（1）根据等差和等比数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）为奇数时，求得，为偶数时，利用错位相减法得，最后相加即可； （3），利用作差法得其单调性，即可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以． （2）为奇数时，， ， 为偶数时，， ， 所以 所以． （3）略 5．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； (3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，若对任意都有成立，求正整数的最小值.（参考值：，） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）设出公差和公比，根据题意得到方程组，结合，，求出公差和公比，得到通项公式； （2），先考虑，分组求和，利用等比数列求和公式得到答案，再考考，利用进行求解，得到答案； （3）方法一：推出，错位相减得到，又时，，放缩得到，并得到，从而得到正整数的最小值； 方法二：推出，错位相减得到，又时，时，，放缩得到，并得到，从而得到正整数的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，， 解得， 所以； （2）由（1）得， 当时， ， 当时， ， 综上； （3）方法一：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为； 方法二：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时，， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为 6．（2024·天津和平·一模）若数列满足，其中，则称数列为M数列. (1)已知数列为M数列，当时. （ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式； （ⅱ），求. (2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得. 【答案】(1)（ⅰ）由，可得， 所以数列是首项为公差为1的等差数列， （ⅱ） (2)若是M数列，有， 故，且， 即 ， 则 ， 由随的增大而增大， 若，可得， 因为，故对任意的，总存在正整数使， 即总存在正整数，使得. 【分析】（1）(ⅰ)根据等差数列定义即可证明并写出通项公式（ⅱ）分组求和得出，利用裂项相消法求解即可； （2）求出，利用放缩法可得，相加相消即可，据此即可得证. 【详解】（1）（ⅰ）所以， 又因为，所以. （ⅱ）， 设，， ，， 所以， . （2）略 7．（2026·河北保定·三模）已知数列 的前n项和为 且 为等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)若从数列的前项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为，证明： 【答案】(1) (2)证明：，， ， 又，， 则数列的前项中有项能被3整除， ， 又函数在单调递减，且， ． 【分析】（1）设，利用等差数列的概念求出，进而得到，再根据与的关系求通项即可； （2）先确定数列的前项中能被3整除的项数，再结合组合计算出，然后由单调性得到范围即可证明． 【详解】（1）解：设，则，又为等差数列， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列， ，则， 时，， 时，， 综上，； （2）略 8．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1) (2)，证明： 由，得， 所以， 又，所以，得证. 【分析】（1）根据递推关系及的关系求得、，再由等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）因为，， 当时，，又，所以或，又，则. 当时，因①；所以②， ①②：，化简：， 由，，故， 所以是以2为首项，公差为1的等差数列，则. （2）略 创新提升 1．（2026·甘肃酒泉·二模）某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. (1)求的值； (2)令，证明：； (3)在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 【答案】(1)； (2)证明如下： 经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以， 因为，所以， 整理即得. (3)证明如下： 当时，，此时，不等式成立； 假设时，成立. 证右边： 设函数，易知在上单调递增， 因为，所以， 即， 因为，所以， 所以，右边成立； 证左边： 因为，所以， 即， 因为， 所以，所以， 综上，当时，不等式成立. 所以对任意正整数，都有. 【分析】（1）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求概率，然后根据互斥事件的概率公式求解可得； （2）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求出的递推公式，将条件代入化简即可得证； （3）利用数学归纳法，结合函数的单调性即可得证. 【详解】（1）由题知， 经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个后，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以. （2）略 （3）略 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 数列中的不等式恒成立·有解·不等式证明·交汇问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数列中的不等式恒成立、有解问题 2 题型2 数列中的不等式证明问题 3 题型3 数列与其他知识的交汇问题 4 重难专题分层过关练 5 巩固过关 5 创新提升 7 解题方法及技巧提炼 1．数列与不等式交汇问题的解题策略 (1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. (2)数列与不等式交汇问题的答题模板 第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式； 第二步：根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和； 第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围； 第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤. 2．数列与函数交汇问题的解题策略 数列与函数综合问题的主要类型及解题策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形. 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性. 3．子数列问题的解题策略 子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维. 4．数列中结构不良题的解法 (1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解. (2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进行解答. 题型通法及变式提升 题型1 数列中的不等式恒成立、有解问题 【典例1-1】（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 数列恒成立与有解，核心转化为数列最值。恒成立：an>k恒成立等价an最小值大于k；an<k恒成立等价an最大值小于k。存在有解，恰好相反。借助作差法判断数列单调性，求取最值。数列属于离散变量，禁止直接求导。求出取到最值的正整数n。易错点：混淆恒成立和存在有解，忽视n取值为正整数。求出参数区间之后，检验端点。大题书写完整单调性推导，不可直接跳步写出最值，步骤完整，规避逻辑漏洞。 【典例1-2】（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，记数列的前项和为． （i）求； （ii）求证：． 【变式1-1】（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 题型2 数列中的不等式证明问题 【典例2-1】（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 数列不等式证明主流方法为裂项放缩、逐项放缩。若是求和型不等式，优先裂项相消，放缩之后求和。通项单调的数列，可以采用数学归纳法。放缩需要把控尺度，放得过大或者过小均无法完成证明。多个放缩模型需要灵活选用。易错点：放缩一步到位，缺少微调；忽略起始项，一般从第二项之后放缩。小题直接放缩估算，大题分步放缩，书写严谨。证明结束之后，验证前几项核对不等式。不要盲目套用固定放缩模板，结合通项特征选择方法，规范答题步骤。 【典例2-2】（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和； (3)记，证明． 【变式2-1】（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 题型3 数列与其他知识的交汇问题 【典例3-1】（2026·天津西青·三模）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 数列交汇题型常联合函数、不等式、平面向量、解析几何。解题第一步剥离背景，提取数列递推或者通项。与函数交汇，借助单调性分析数列，但谨记n是正整数，不可直接求导。与不等式交汇，运用放缩、最值、恒成立思路。几何类交汇，先求出边长构成的数列。易错点是题意读取不清，项数下标出错。不要被复杂背景迷惑，回归数列核心方法。做完检验前两项，确认通项无误。大题分步书写，先求解通项，之后再处理后续设问，拆分难点。 【典例3-2】（2026·天津北辰·三模）对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为．若，则称正整数n为“归一数”． (1)求10以内的“归一数”； (2)已知，求m的值； (3)将所有“归一数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：． 【变式3-1】（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（2025·天津·三模）已知数列和的满足， (1)（i）求的值； （ii）求的值. (2)若数列满足对于，求证：，使得． 3．（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 4．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 5．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； (3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，若对任意都有成立，求正整数的最小值.（参考值：，） 6．（2024·天津和平·一模）若数列满足，其中，则称数列为M数列. (1)已知数列为M数列，当时. （ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式； （ⅱ），求. (2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得. 7．（2026·河北保定·三模）已知数列 的前n项和为 且 为等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)若从数列的前项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为，证明： 8．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 创新提升 1．（2026·甘肃酒泉·二模）某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. (1)求的值； (2)令，证明：； (3)在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $