数列中高难度专项训练40题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列核心概念与综合应用，通过分层题型构建从基础到高阶的知识逻辑链，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|单选1-2、6、8|考查通项与前n项和关系|从数列定义出发，建立an与Sn的转化逻辑| |递推关系与通项|单选1、5、7、10、16、17，填空25、29、34|涉及等差、等比及复杂递推|通过递推式变形（构造法、累加法）实现概念到通项的推导| |数列性质与极限|单选3、9、13、14、18、19、20，填空27、32|判断单调性、最值及极限存在性|结合函数性质分析数列特征，体现数形结合思维| |综合证明与应用|解答题35-40|含数学归纳法、不等式证明及实际问题|整合知识体系，强化逻辑推理与数学表达能力|

数列中高难度专项训练（40 题） （详细答案解析） 选择题答案速查表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A A C A B A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B A B B A A B C B C 题号 21 22 23 24 答案 AB ABC ABC ABCD 一、单项选择题解析 1. 答案 B。 逐项递推：，，，，。（通法：两边加 得 ，故 ，即 ，代入 同样得 。） 2. 答案 D。 ；当 时，，且 相容，故 。裂项：。对 从 到 求和，相消得 。 3. 答案 B。 配方：，故最小值为 （在 时取得），选 B。 4. 答案 C。 。看相邻乘积之比：。当 时比值大于 （乘积增大）；当 时比值 ，即 ；当 时比值小于 （乘积减小）。故 在 和 时同时取得最大值，选 C。 5. 答案 A。 取倒数：，故 ，即 。因此 。 6. 答案 A。 。（一般地， 时 。） 7. 答案 C。 累加：。故 。 8. 答案 A。 分母有理化：。求和时中间项成对相消：。 9. 答案 B。 是 的二次函数（无常数项）。由 知抛物线的对称轴为 。又 且 说明数列先增后减，即 ，抛物线开口向下，故 在顶点 处最大。 10. 答案 A。 两边除以 ：。设 ，则 ，，故 ，即 。因此 。 11. 答案 B。 逐项计算： 周期为 ，且每个周期内六项之和为 。，故 等于前 项之和：。 12. 答案 A。 由 得 。。首项 ，公比 。等比求和：。 13. 答案 B。 作比：。该比值大于等于 等价于 ，即 。故只有 ，从 起递减，即 ，最大项为 。（各项均正，作比即可，不必作差。） 14. 答案 B。 同第 8 题，，故 。 等价于 ，两边平方得 ，即 。故最大正整数 。 15. 答案 A。 等比数列中 ，故 ，得 。又 ，且 ，故 与 是方程 的两根，即 和 。由 得 （此时公比 ）。 16. 答案 A。 直接递推：，，。 17. 答案 B。 待定构造：设 ，希望 。展开：，即 。与 比较得 ，。故 满足 ，，于是 ，即 。（验证：，，成立。） 18. 答案 C。 存在最大值说明公差 且数列必有非正项，。若 则 ，矛盾，故 只能是 。由等差中项：，即 。于是 到 均为正，， 起为负， 并列最大，故 在 或 时最大，选 C。 19. 答案 B。 各项非负，作比：。该比值大于等于 等价于 ，即 ，解得 ，约等于 。故 取 到 时比值大于 （此时 ）， 时比值小于 （此时 ），最大项为 ，选 B。 20. 答案 C。 先证有界：；若 ，则 ，且 。归纳得 对一切 成立。再证递增： 等价于 （两边均非负可平方），即 ，即 ，即 ，即 ，已证成立。故数列单调递增有上界，收敛。设极限为 ，则 且 ，两边平方：，解得 或 （舍去），故极限为 ，选 C。A 无上界错，B 错，D 递减错。 二、多项选择题解析 21. 答案 AB。 A 是 的求和公式，正确；B 是 的求和公式，正确。C 错：反例 ，，数列为 ，递增但 。D 错：反例 时 是等差数列而非等比数列； 时 含常数项 ，也不是等比数列。 22. 答案 ABC。 取倒数：，故 ，即 ，A 对。由 且 知 B 对。C：对每个正整数 ，由 （）取 得 。对 从 到 求和，左边错位相消为 ，得 ，C 对。D：，令其等于 得 ，无整数解，D 错。 23. 答案 ABC。 A： 为正数，由均值不等式 ，正确。B：若 ，则 ，为常数列，正确。C：，周期为 ，正确。D：，故 ，D 错。 24. 答案 ABCD。 数列为斐波那契数列 。A：，对。B：由 累加：，对。C：利用 ，裂项：。求和相消得 ，对（可用 验证：）。D：各项奇偶性为奇、奇、偶、奇、奇、偶、 周期为 ， 为偶数当且仅当 是 的倍数。，余 ，故 是奇数，对。 三、填空题解析 25. 答案：。构造：设 ，则 。，故 ，即 。（验证：，，成立。） 26. 答案：。裂项：。前 项和 。当 无限增大时，末两项趋于 ，故各项和 。 27. 答案：。 与 之比 ，两处同时最大说明 ，即 。故 ，，正数解 。此时 ， 时各项 ， 时各项 ，乘积确实在 、 处同时最大。 28. 答案：。当 时 ，；当 时 。前 项之和 。从第 项到第 项（共 项）之和 。其中 。故这段和 。总计 。 29. 答案：。先算前几项：，，，，，。归纳可证：奇数项 ，偶数项 （代入 与 均成立）。，故 30. 答案：。裂项：。求和时中间项成对相消：。 31. 答案：。记 。当 时，。中括号内 。故 ，。 时 ，也满足。 32. 答案：。设极限为 。递推式两边取极限（收敛数列的 与 极限相同）：，即 ，解得 。 33. 答案：。等差数列前 项和无常数项，可设 。由 得 ，展开：，得 。于是 ，。 34. 答案：。两边加 ：。设 ，则 ，。逐次平方：，故 。（验证：，直接计算 ，成立。） 四、解答题解析 35. （1）两边除以 ：。设 ，则 ，，故 。因此 。（验证：，直接计算 ，成立。） （2）把 的各项写开： 拆成两部分： 记 （即 ， 从 到 ）。用错位相减：两边乘 得 ，两式相减得 。又 。故 于是 ，即 ，证毕。 36. （1）各项恒正（，正数经该递推仍为正）。取倒数：。故 ，即 。（验证：，直接计算 ，成立。） （2）当 时，，故 。于是 证毕。 37. （1）作差： 比 少了一项 ，多了 和 两项，故 故 ， 单调递增。 （2）由（1）， 对一切 成立。，故 ，证毕。 （3）对每个整数 ，当 属于区间 时，（分母更小）。对该区间积分： 对 从 到 求和，不等式左边错位相消为 ，右边相加为 。故 两边再加 得 ，证毕。 38. （1）设每年年初存入 万元。第 年年初存入的 到第 年年末本息为 ；第 年年初存入的到第 年年末为 ；；第 年年初存入的到年末为 。故第 年年末本息和为 （2）代入 ：。 约等于 ，故 约等于 （万元）。 （3）由（1）的公式，需 ，即 ，约等于 。故每年年初至少应存入约 万元。 39. （1）数学归纳法。 时，左边 ，右边 ，成立。设 时结论成立，即 。两边加 ： 即 时成立。归纳完成。 （2）。裂项（两式差为 ）： 故 。求和相消： （3）由（2），，故 ，证毕。 40. （1） 满足 。分母 恒成立。作两个差： 若 ，则第一式右端分子、分母均为正，得 ；第二式右端分子 带负号，得 。故 。归纳得对一切正整数 都有 ，证毕。 （2）作差： 由（1），，故 ，而 、，得 ，即数列单调递减。又由（1）它以 为下界。单调递减有下界的数列必收敛，设极限为 ，则 且 ，即 ，，（取正根），证毕。 （3）由（1）的恒等式 ，且 时 ，故 反复迭代（共 次）：，证毕。 要使 ，只需 ，即 。因 ，故 ，最小正整数 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列中高难度专项训练（40 题）——2027 届高三数学复习 说明：全卷共 40 题：单项选择题 20 题、多项选择题 4 题、填空题 10 题、解答题 6 题。 一、单项选择题（每题只有一个正确选项） 1. 已知数列 满足 ，，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3. 已知数列 的通项 ，则该数列的最小项的值为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4. 已知正项等比数列 满足 ，公比 ，记前 项积为 ，则使 取最大值的 为（　　） A. 　　B. 　　C. 或 　　D. 或 5. 已知数列 满足 ，，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6. 已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. 已知数列 满足 ，，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 8. 数列 的通项为 ，则其前 项和为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 9. 已知等差数列 满足 ，，则当 （　　）时前 项和 最大 A. 　　B. 　　C. 　　D. 10. 已知数列 满足 ，，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 11. 已知数列 满足 ，，，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 12. 已知正项数列 满足 ，记 ，则数列 的前 项和为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 13. 已知数列 的通项 ，则该数列的最大项为（　　） A. ，值为 　　B. ，值为 　　C. ，值为 　　D. 不存在 14. 数列 的通项为 ，记 为前 项和，则使 成立的最大正整数 为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 15. 已知正项等比数列 满足 ，，且 ，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 或 16. 已知数列 满足 ，，则 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 17. 已知数列 满足 ，，则其通项公式为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 18. 已知等差数列 的前 项和 存在最大值，且 ，则当 取何值时 最大（　　） A. 　　B. 　　C. 或 　　D. 19. 已知数列 的通项 ，则该数列的最大项为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 不存在 20. 已知数列 满足 ，，则下列说法正确的是（　　） A. 数列单调递增且无上界　　B. 数列的极限为 　　C. 数列的极限为 　　D. 数列单调递减 二、多项选择题（每题至少一个正确选项，错选不得分，漏选得部分分） 21. 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 是递增数列，则 D. 数列 一定是等比数列 22. 已知数列 满足 ，，前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　） A. B. 数列 单调递减且恒大于 C. 对任意正整数 ，都有 D. 存在正整数 ，使得 23. 已知正数数列 满足 ，记 ，则下列说法正确的是（　　） A. 对任意 ， B. 若 ，则 为常数列 C. 若 ，则数列 是周期为 的数列 D. 对任意 ， 24. 已知数列 满足 ，，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. D. 是奇数 三、填空题 25. 已知数列 满足 ，，则其通项公式 __________。 26. 无穷数列 ，，，，， 的各项和为 __________。 27. 已知正项等比数列 满足 ，其前 项积 在 和 时同时取得最大值，则其公比 __________。 28. 已知数列 的通项 ，则 __________。 29. 已知数列 满足 ，，则 __________。 30. 已知数列 的通项 （其中 ），则其前 项和为 __________。 31. 已知数列 满足 对一切 成立，则 __________。 32. 已知数列 收敛，且满足 ，，则其极限为 __________。 33. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________。 34. 已知数列 满足 ，，则其通项公式 __________。 四、解答题（写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 35. 已知数列 满足 ，。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 为数列 的前 项和，证明：。 36. 已知数列 满足 ，。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 为数列 的前 项和，证明：。 37. 已知 为正整数，记 。 （1）证明：，即 单调递增； （2）证明：对一切 ，都有 ； （3）证明：。 38. 某人从今年年初开始，每年年初存入银行 万元，年利率为 ，且按复利计算（即上一年年末的本息和全部作为下一年的本金）。 （1）推导第 年年末该笔存款的本息和公式（用等比数列求和表示）； （2）计算第 年年末的本息和（参考数据：）； （3）若此人希望第 年年末本息和达到 万元，则每年年初应存入多少万元？（结果保留两位小数） 39. 已知数列 满足 。 （1）用数学归纳法证明：； （2）设 ，求数列 的前 项和 ； （3）证明：。 40. 已知数列 满足 ，。 （1）证明：对一切正整数 ，都有 ； （2）证明：数列 单调递减，且以 为下界（从而收敛，其极限为 ）； （3）证明：，并由此求最小正整数 ，使得 。 学科网（北京）股份有限公司 $