专题05二次函数与一元二次方程同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题05二次函数与一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.建立二次函数与一元二次方程的联系，抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，可借助判别式判断方程根的情况与抛物线和 x 轴的公共点个数。 2.运用二者的关联解决问题，能够利用二次函数图像求一元二次方程近似根，并根据图像确定函数值大于 0 或小于 0 时自变量的取值范围。 ✅本节核心是二次函数图像与一元二次方程的相互转化，利用判别式判断抛物线与x轴的位置关系，学会借助图像求方程近似根、分析函数值正负区间，感受数形结合的思想方法。 ✺学习目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的联系，理解抛物线与 x 轴公共点横坐标和方程实数根的对应关系。 2.会利用判别式判断抛物线与 x 轴公共点个数及一元二次方程根的情况，学会用图像求方程近似根。 3.能结合图像确定函数值大于0、小于0时自变量的取值范围，解决基础与简单综合问题。 4.体会数形结合与转化思想，提升代数与几何综合分析能力。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.一元二次方程的解的估算 题型12.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 ▲对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0)。两者关系如下表： 知识点二、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式 知识点三、利用二次函数图象解一元二次方程 1.解方程ax2+bx+c=0：画出y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点的横坐标即为方程的实数根； 2.解方程ax2+bx+c=k（k为常数）：在同一平面直角坐标系中画出y=ax2+bx+c与直线y=k，两条图象交点的横坐标是该方程的实数根； 3.若交点横坐标不为整数，可根据图象刻度读出方程的近似实数根。 知识点四、根据图象判断函数值正负 前提：抛物线与 x 轴有两个公共点（Δ＞0） 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 2．抛物线与x轴交于点A、B，顶点是点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】把代入求出，，得出，再求出顶点，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， ∴， ∵， ∴顶点， ∴． 3．已知二次函数． (1)用配方法将其化为顶点式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）二次项系数为，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，凑完全平方； （2）令，解方程即可求出该抛物线与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：， 则，即， 故二次函数的顶点式为． （2）解：令，则， 则或， 即或， 故该抛物线与轴的交点坐标为，． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为， ∴在抛物线中，令， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 2．函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【答案】5 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，先理解题意，分别求出，，，再把数值代入的面积计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 1．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 2．关于x的二次函数，当__________时，y的值为0；当__________时，y的值等于9． 【答案】 3 0或6 【分析】令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵当的函数值为0， ∴， 解得， 当的函数值为9， ∴， 解得，， 故答案为：3；0或6． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的值是解答此题的关键． 3．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【分析】先根据对称轴公式得到与的关系，设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为，根据对称性可得，结合该二次函数的增减性，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 设二次函数与轴的左交点横坐标为，右交点横坐标为， 由题意得， ∵两个交点关于对称轴对称， ∴，即， ∵， ∴， ∵，抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即时，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，，时，，又， ∴，故A选项正确； ∵当时，， ∵， ∴，故B选项正确； ∵当时，，当时，， 又， ∴，故C选项错误； ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确． 2．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 【答案】1 【分析】令，得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∴二次函数的图像与轴的公共点的个数为1． 3．已知二次函数，若该抛物线与轴有两个交点，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴有两个交点得到，由二次项系数不为得，即可求解． 【详解】解：∵该抛物线与轴有两个交点， ∴，， ． 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 2．二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________． 【答案】 【分析】本题考查方程与二次函数图象的关系：根据图象得到二次函数的最小值，根据方程与函数图象的关系即可求解． 【详解】解：由图可知二次函数的最小值为， 方程有实数根，可看作二次函数与常数函数的图象存在交点， 故方程有实数根的条件是， 故答案为：． 3．如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，结合图象可得答案； （2）根据二次函数的图象得出当时，的值，再检验即可； （3）根据二次函数的图象经过点，结合对称性可得答案； （4）根据二次函数的图象与直线没有交点可得答案. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴方程的解是. （2）解：由图象可得：当时，， 则的解是. 检验：二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 当时， 解得：. （3）解：∵二次函数的图象经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴方程的解是. （4）解：∵二次函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有实数根. 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 2．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 3．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程的解理解为函数当时与x轴交点的横坐标，再解答即可． 【详解】解：∵对于函数， 当时， 当时， 可见，x取1.1与1.2之间的某一值时，， 则方程的一个解的取值范围是． 2．已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 3．利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 【答案】或 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是准确画出函数的图像，体现了数形结合的思想方法． 方程的根是函数与x轴交点的横坐标．先作出二次函数的图像，观察图像可知方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间．再根据精确度求出方程的解即可． 【详解】解：方程的根是函数与x轴交点的横坐标． 作出二次函数的图像，如图所示： 由图像可知，方程有两个根，一个在0和之间，另一个在4和5之间． 先求0和之间的根， 当时，；当时，， 因此，是方程的一个近似根， 同理，是方程的另一个近似根． 所以方程的两个近似根是：或． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可. 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：． （2）解：点，在抛物线上． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ∴． ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴，不符合题意． （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴． ②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴． ∴； （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴．不符合题意舍去； 综上所述，a的取值范围是或． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 2．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质和解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键；先根据点 M 和 N 在函数图象上求出和的表达式，再代入不等式，并结合点 P 在函数上得到 p 的表达式，消去常数 d 后得到关于 k 的不等式组，解不等式组即可得到 k 的取值范围． 【详解】解：∵在二次函数 上， ∴． ∵在二次函数上， ∴． ∵， ∴． 又∵ 在二次函数上， ∴， 代入不等式得 ． 即 ． 解左边不等式 即， 因式分解得， 解得 或 ． 解右边不等式，即， 因式分解得，解得 ． 取交集，得或 ． 故答案为或 ． 3．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵ ， ∴ 函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴ 的取值范围是. 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式：根据交点确定不等式的解集．观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是，结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是， 对应的函数图象在轴下方，由图象可得范围为． ∴不等式的解集为 故选：A 2．根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．通过求二次函数的根，结合抛物线开口方向，确定不等式解集，即可求解． 【详解】解：当时，， ， 解得：， 由于二次项系数为，抛物线开口向上， 因此当或时，函数值大于， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． 3．如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点，的面积为． (1)求抛物线解析式： (2)结合图象直接写出不等式 的解集． 【答案】(1)； (2)：或． 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的解析式求解、函数图象的交点问题及不等式的解集，熟练掌握函数图象的性质与交点坐标的求法是解题的关键． （1）先代入点求直线解析式，再利用的面积求点坐标，最后代入抛物线解析式求； （2）结合图象，找出直线在抛物线上方时的取值范围． 【详解】（1）解：∵ 直线经过点， ∴ ， ∴ ， ∴ 直线解析式为， ∵ 的面积为1，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 点在第三象限， ∴ ， 将代入得， 解得 ， ∴ 将代入得， 解得， ∴ 抛物线解析式为； （2）解：联立， ∴即， 解得， ∴ 另一个交点为， 结合图象，不等式的解集为：或． 题型11.一元二次方程的解的估算 1．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 2．探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 【答案】3 【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 【详解】解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1) 补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 2．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 3．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 二、填空题 4．某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，熟知相关性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向，利用顶点公式计算顶点坐标，代入求与y轴交点，依据对称轴分析单调性． 【详解】解：对于二次函数， ①二次项系数，因此函数图像开口向上，正确 ②顶点横坐标，纵坐标，因此顶点坐标为，正确 ③与y轴交点时，代入得，因此与y轴交点的坐标为，正确 ④对称轴为，且开口向上，函数在时y随x的增大而增大，正确， 故答案为：①②③④． 5．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 6．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 三、解答题 7．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据函数图象与x轴的两个交点的横坐标进行解答即可； （2）根据函数图象找出在x轴下方的部分所对的x值即可； （3）根据抛物线的开口方向和对称轴进行解答即可； （4）根据函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【答案】(1)①，，；②，；③左，，下， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次函数与一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.建立二次函数与一元二次方程的联系，抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，可借助判别式判断方程根的情况与抛物线和 x 轴的公共点个数。 2.运用二者的关联解决问题，能够利用二次函数图像求一元二次方程近似根，并根据图像确定函数值大于 0 或小于 0 时自变量的取值范围。 ✅本节核心是二次函数图像与一元二次方程的相互转化，利用判别式判断抛物线与x轴的位置关系，学会借助图像求方程近似根、分析函数值正负区间，感受数形结合的思想方法。 ✺学习目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的联系，理解抛物线与 x 轴公共点横坐标和方程实数根的对应关系。 2.会利用判别式判断抛物线与 x 轴公共点个数及一元二次方程根的情况，学会用图像求方程近似根。 3.能结合图像确定函数值大于0、小于0时自变量的取值范围，解决基础与简单综合问题。 4.体会数形结合与转化思想，提升代数与几何综合分析能力。 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.一元二次方程的解的估算 题型12.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 ▲对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0)。两者关系如下表： 知识点二：抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式 知识点三、利用二次函数图象解一元二次方程 1.解方程ax2+bx+c=0：画出y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点的横坐标即为方程的实数根； 2.解方程ax2+bx+c=k（k为常数）：在同一平面直角坐标系中画出y=ax2+bx+c与直线y=k，两条图象交点的横坐标是该方程的实数根； 3.若交点横坐标不为整数，可根据图象刻度读出方程的近似实数根。 知识点四、根据图象判断函数值正负 前提：抛物线与 x 轴有两个公共点（Δ＞0） 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．抛物线与x轴交于点A、B，顶点是点C，则的面积为______． 3．已知二次函数． (1)用配方法将其化为顶点式； (2)求该抛物线与轴的交点坐标． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．函数图象与轴的交点坐标是______ 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 1．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的二次函数，当__________时，y的值为0；当__________时，y的值等于9． 3．求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象与x轴的一个交点在和之间，且对称轴为直线，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时，y的值随x值的增大而增大 2．二次函数的图像与x轴的公共点的个数为______． 3．已知二次函数，若该抛物线与轴有两个交点，求的取值范围． 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 2．二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是_________． 3．如图，已知二次函数的图象经过点．利用图象解答： (1)方程的解是______； (2)方程的解是______； (3)方程的解是______； (4)方程的解的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根        B．有两个相等的实数根        C．无实数根        D．无法确定 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 3．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．根据下表可知，方程的一个解的取值范围为（     ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 A． B． C． D． 2．已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______． 3．利用函数图像求一元二次方程的近似解（精确到）． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（   ） A．或 B． C．或 D． 2．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 3．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求该函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 3．如图，直线经过点和，与抛物线在第三象限内交于点，的面积为． (1)求抛物线解析式： (2)结合图象直接写出不等式 的解集． 题型11.一元二次方程的解的估算 1．对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（     ） A． B． C． D． 2．探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 ✺课堂小练 一、单选题 1．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 3．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 4．某二次函数的函数关系式为：，则：①函数图像开口向上．②顶点坐标为．③与y轴交点的坐标为．④当时，y随x的增大而增大，以上说法中正确的序号是______． 5．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 6．关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 三、解答题 7．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 9．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $