26.3 二次函数与一元二次方程（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的核心联系，系统梳理二次函数图像与x轴交点情况（通过判别式△）决定方程根的个数，以及二次函数与不等式的关系，构建从知识点（表格对比△、交点、根的关系）到11类题型（求交点、根的情况等）再到探究与检测的完整学习支架。 资料亮点在于探究式学习（如函数图像翻折问题）培养创新意识，题型中图像分析（如近似根估算）提升几何直观与推理能力，复盘笔记助力学生用数学语言总结。课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺，强化知识应用与实践。

简一数理 初中专题讲义 专题26.3 二次函数与一元二次方程 （新教材人教版） 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 2 知识点二、二次函数与不等式的关系 3 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 4 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 8 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 10 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 13 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 15 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 19 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 22 【题型8 图像法解一元二次方程】 24 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 29 【题型10 根据交点确定不等式的解集一元二次方程的解的估算 】 33 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 36 【探究式学习】 39 【课后检测】 47 【复盘笔记】 64 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 【例1】已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】利用表格中的已知点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将代入，得， 将，分别代入，得 解得：， 二次函数解析式为． ， 函数图象开口向下，A错误． 图象的对称轴为直线，B错误． 令，得 解得或， 函数图象与轴的一个交点为，C正确． ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，D错误． 【变式1-1】如图，抛物线与轴交于点A、B，其顶点为．把这条抛物线在轴及其上方的部分记为，将向右平移得到与轴交于点的顶点为，连接．则图中阴影部分图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】过点作于点，根据题意和平移的特点，可以发现图中阴影部分图形的面积等于矩形的面积，然后根据抛物线解析式可以求得和的长，然后即可得到矩形的面积，从而可以得到阴影部分的面积． 【详解】过点作于点，如图所示， 则阴影部分的面积等于四边形的面积， 当时，， 解得，， ， 根据解析式可得，该抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为，将向右平移得到，与x轴交于点B、D，的顶点为F， ， ， ， ， 四边形是矩形， 则矩形的面积是， ∴图中阴影部分图形的面积为4． 【变式1-2】如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 【变式1-3】如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 【例2】如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 【变式2-1】已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与轴恒有1个交点，要使总交点数为3，则抛物线与轴需要有2个不同交点，利用一元二次方程根的判别式求解范围，结合选项得出结果． 【详解】是抛物线， 二次项系数满足，即，排除选项； 当时，代入得， 抛物线与轴恒有个交点， 要使抛物线与坐标轴共三个交点，需抛物线与轴有2个不同交点； 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得； 综上可得a的范围是且； 结合选项可知，只有选项的4符合要求． 【变式2-2】关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的一般形式，分析系数的值，判断开口方向、对称轴、增减性和与轴交点． 【详解】解：， ，抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 对称轴，故B错误，不符合题意； ，开口向下，对称轴， 当时，随的增大而减小，故C错误，不符合题意； 当时，， 图象与轴交点为，故D正确，符合题意． 故选D． 【变式2-3】已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的对称轴在轴的左侧 B．函数的最小值为 C．图象的顶点在直线上 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】∵二次函数为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 选项A：对称轴的位置取决于的符号，不一定在轴左侧，故A错误； 选项B：∵，抛物线开口向下，有最大值，无最小值，故B错误； 选项C：顶点坐标的值恒为，所以顶点在直线上，故C正确； 选项D：令，得，仅当时，，故图象与轴的交点坐标不一定为，故D错误； 故选C． 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 【例3】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论： 甲：abc＞0； 乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根； 丙：3a＋c＞0． 则下列判断正确的是（    ） A．甲和丙都错 B．乙和丙都对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 【答案】B 【分析】根据二次函数图形可得到对称轴和相关系数的正负，然后逐个判断甲乙丙三人的正误即可． 【详解】解：由图像可知a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故甲结论是错误的； 根据图象判断，当y=-2时，对应的x值有两个， ∴方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根；，故乙同学结论正确； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1， ∴即， 令x=-1，则y=， 由图像可知当x=-1时，y＞0即，故丙同学结论正确． 故选：B 【点睛】本题主要考查二次函数图象性质和特征，能够利用二次函数图像判断出系数的正负是解题的关键． 【变式3-1】已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点， ∴当时，， 即纵坐标为的点是或， ∴或， ∴关于的一元二次方程有个解． 故选：C． 【变式3-2】已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 【变式3-3】点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 【例4】二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 【变式4-1】已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 【变式4-2】若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 【变式4-3】若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先把代入二次函数中解得，再将代入方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， 将代入方程， 得， 移项得， 开方得， ∴，． 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 【例5】如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线开口方向，对称轴公式、对称轴位置以及顶点坐标确定符号以及数量关系，即可判断①②；然后根据二次函数的性质判断③；再由一元二次方程的解与函数图象之间的关系判断④． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则； 抛物线的顶点的坐标为， 则对称轴为，得； 抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 抛物线与轴的一个交点位于0和1之间，且开口向下， 当时，， ∴， ∴，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为， 则点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远值越小， ，故③正确； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与直线无交点， 而抛物线开口向下，顶点坐标纵坐标为 ∴当时，抛物线与直线无交点，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②③④，共4个． 【变式5-1】如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置判断 关系；利用抛物线对称性确定 时函数值的符号；根据顶点坐标公式变形判断等式；结合函数图象顶点纵坐标与直线 的位置关系判断方程根的情况 ． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，则 抛物线顶点坐标为 对称轴为直线 ，即 ，故②错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点在和之间 当时， ，故①正确； 顶点坐标为 ，故③正确； 抛物线顶点纵坐标为，且开口向下， 抛物线与直线有两个交点 一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 【变式5-2】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 【变式5-3】已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 【例6】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 【变式6-1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式6-2】题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、丙答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，分类求解确定位置是解题的关键．当点M在线段上时，当点M在点B的左侧时，当点M在点A的右侧时，分类求解确定的位置，进而求解． 【详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 将点A的坐标代入直线表达式得：，解得， 抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当点M在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点， 的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即， 当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点， 即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整， 故选：C． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 【例7】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 【变式7-1】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【变式7-2】．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【变式7-3】如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 【题型8 图像法解一元二次方程】 【例8】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【变式8-1】如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 根据抛物线的开口向下得到，结合抛物线的对称轴直线为，得到，根据抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，当时，，得到，根据函数图象可知，在范围内，，将代入函数解析式得到该函数的最大值，再将代入函数解析式，从而得出结论即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴直线为， ∴， ，故①正确； 抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的两个根是，，故②正确； 当时，， ， ，即，故③错误； 由于抛物线开口向下，且与x轴两交点的坐标为与， 结合图象可知，当时，，故④错误； 由得， 当时，抛物线最大值为， 当时，， 则对于任意实数m，总有，故⑤正确， 综上所述，正确的应该为①②⑤， 故答案为：C． 【变式8-2】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x（y）轴交点等知识．根据二次函数的图象及性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ∵图象过点， ∴图象与x轴左侧的交点为， 将代入得： ，③正确； 由图象知顶点在x轴下方， ∴，即， 而开口向上，， ∴， ∴，④正确； ∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上， ∴时，，⑤正确； ∴正确的有①③④⑤， 故选：D． 【变式8-3】如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程 有两个实数根 D．二次函数 的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 根据二次函数的图像和性质即可求解； 【详解】解：A、当时，根据函数图象可得：； 故该选项错误； B、∵对称轴经过点， ∴， 故该选项错误； C、二次函数的图像与x轴交于，两点， 将，代入中， 可得：， 解得：， 函数解析式为： 将代入， 可得：， 即， ，，， ，故方程没有实数根， 该选项错误； D、，故二次函数 的顶点坐标为， 该选项正确； 故选：D 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 【例9】已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和与x轴的交点坐标，先确定a的符号，求出对称轴得到a与b的关系，再判断c的符号，最后逐一分析各选项，得到错误结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 【变式9-1】已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 【变式9-2】已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选：B． 【变式9-3】已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 【题型10 根据交点确定不等式的解集一元二次方程的解的估算 】 【例10】已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 【变式10-1】二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 【变式10-2】如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 【变式10-3】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 【例11】如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 【变式11-1】．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程转化为二次函数与直线交点问题，利用二次函数图像性质判断根的范围即可． 【详解】解：设二次函数， 由于二次项系数为，且， 则抛物线开口向上，与轴交于，两点， 原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标， 由于，则抛物线开口向上， 如图： 则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧， 即得到． 【变式11-2】根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 【变式11-3】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 【探究式学习】 1．某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下： (1)按照列表，描点，连线的步骤作出函数的图象． … … … … 请完成上述表格，并根据所给图象画出该图象的另一部分： (2)观察函数图象，当随增大而减小时，的取值范围是______； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个实数根； ②若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______． 【答案】(1) 补充表格为： … … … … 根据表格补充图像为： (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了函数的图象绘制、函数的单调性、函数与方程的关系，熟练运用函数的性质、数形结合思想是解答本题的关键． （1）利用代入法计算函数值，补全表格，结合函数的对称性画出完整图象； （2）观察函数图象，结合单调性的定义，确定随增大而减小的的取值范围； （3）①将方程的实数根个数转化为函数图象与轴的交点个数求解； ②将方程变形为函数相等的形式，转化为直线与函数的图象交点个数问题，结合图象确定的取值范围． 【详解】（1）解：分别将、、、代入函数，将得到的函数值补充表格； （2）解：从图像看，当随增大而减小时，的取值范围是或； （3）解：①从图像看，函数图像与轴有个交点，所以对应方程有个实数根； ②方程可化为，则当直线与函数图像有两个交点时，关于的方程有个实数根， 由图可知，的取值范围是或． 2．【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、、三点的坐标分别为、、 (2)或 (3) 【分析】（1）令，求解可得点、的坐标和函数的对称轴方程，点在函数的对称轴上，从而可求点的坐标； （2）讨论两种情况，当直线与函数的图象相切时和当直线经过点时，据此即可求解； （3）根据函数的对称性得点翻折后的点坐标为，直线经过该点时和直线与轴重合是2个临界情况，直线在两个情况之间时与新的函数图象有4个公共点，据此求解即可． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象翻折、二次函数的图象和性质，确定临界点和利用根和系数的关系处理求参数是解题的关键． 【详解】（1）解：令， 解得或， 则点、的坐标分别为、，函数的对称轴为直线， 当时，， 则点的坐标为； （2）由题意得翻折部分翻折后的表达式为：， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得， 整理得有且只有1个解， 则， 解得； ②当直线经过点时： 将点的坐标代入得， 则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得点翻折后的点坐标为， 直线经过该点时，与新的函数图象恰有3个公共点，此时， 直线向下移动且保持在轴上方时，与新的函数图象有4个公共点， 则． 3．等腰三角形对称且美丽．定义：若抛物线与直线（直线上点的纵坐标为）有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形仅是等腰三角形（顶角非直角），则称抛物线为该直线的“美丽抛物线”；若是等腰直角三角形，则称抛物线为该直线的“最美抛物线”． 已知：在平面直角坐标系中，已知二次函数． 探究（一）  （直线为轴） （1）若，求抛物线顶点的坐标；判断它是该直线的“__________抛物线”； （2）当抛物线是该直线的“最美抛物线”时，求出的值； （3）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”时，直接写出的取值范围__________； 探究（二）   （4）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）；美丽；（2）；（3）且；（4）或 【分析】（1）根据题干提供的新定义进行判断即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，得出抛物线的顶点到x轴的距离为，设，是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系得出：，根据当拋物线是该直线的“最美抛物线”时，抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，且抛物线的顶点为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质得出，求出m的值即可； （3）根据抛物线的开口向上，得出当抛物线的顶点在x轴下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”，得出，求出m的取值范围即可； （4）求出抛物线的顶点坐标为，根据抛物线的开口向上，得出当抛物线的顶点在直线下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”，，，令，求出，抛物线的顶点到直线的距离为：，根据当抛物线是该直线的“美丽拋物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，抛物线与直线的两个交点间的距离大于抛物线顶点到直线的距离2倍，得出，求出或，最后得出答案即可． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或， 与间的距离为：， 与间的距离为：， 与间的距离为：， ∵， ∴抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形仅是等腰三角形，但不是直角三角形， ∴它是该直线的“美丽抛物线”； （2）二次函数， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点到x轴的距离为， 把代入得：， 设，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， 当拋物线是该直线的“最美抛物线”时，抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，且抛物线的顶点为直角顶点， ∵等腰直角三角形底边是底边上高的2倍， ∴ 令，则， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时抛物线顶点纵坐标为， ∴此时抛物线的顶点在x轴上，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意； 当时，，，此时抛物线顶点纵坐标为， ∴抛物线的顶点在x轴下方， ∵中， ∴抛物线的开口向上， ∴此时抛物线与x轴有两个交点，符合题意， ∴当拋物线是该直线的“最美抛物线”时，； （3）∵中， ∴抛物线的开口向上， ∴当抛物线的顶点在x轴下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∵当时，拋物线是该直线的“最美抛物线”， ∴， ∴当抛物线是该直线的“美丽抛物线”时，的取值范围是且； （4）根据解析（2）得出：抛物线的顶点坐标为， ∵中， ∴抛物线的开口向上， ∴当抛物线的顶点在直线下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”， ∴， 整理得：， 解得：， 令， 整理得：， 设，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， ∴抛物线与直线的两个交点间的距离为： ， 抛物线的顶点到直线的距离为： ， ∵当抛物线是该直线的“美丽拋物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，抛物线与直线的两个交点间的距离大于抛物线顶点到直线的距离2倍， ∴， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴不等式可变为：， 即， 解得：或， 又∵， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，新定义运算，等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程或不等式． 【课后检测】 1．命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需满足且二次函数与轴无交点，先排除不符合的选项，再验证剩余选项的判别式． 【详解】解：要说明命题为假命题，反例需满足，且二次函数与轴无交点， ∵ 命题的条件为， ∴ 、均不满足条件，故B、D，不符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴无交点，符合反例要求； 故A符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴有一个交点，不符合反例要求，故C不符合题意． 2．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】结合二次函数的性质对各项逐一判断． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，， ∴一元二次方程的根为，，故①错误； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上，当时，； ∵方程（）的根为整数， ∴根的取值范围为，其中整数为，，， 结合对称性，与对应函数值相等，对应一个值； 对应顶点函数值，对应另一个值，故的值只有两个，③正确； ∵点关于对称轴的对称点为，时，时随增大而增大， 又， ∴，即，故④正确． 3．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 4．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 【答案】C 【分析】设点是上的一点，则点是上的一点，据此可推出对应的函数解析式为，画出，的图象，结合函数图象可得答案． 【详解】解：设点是上的一点，则点是上的一点， ∴， ∴对应的函数解析式为； ∵， ∴当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最小值； 如图所示， 由函数图象可知，当时，直线（a为常数）与，的交点为0个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为4个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为3个， 当时，直线（a为常数）与，的交点为2个， 综上所述，直线（a为常数）与，的交点共有0个或2个或3个或4个． 6．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 7．函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由抛物线与x轴无交点，可得，即可判断①；将代入抛物线可判断②；求出抛物线对称轴为直线，得到抛物线过点，代入抛物线可判断③；当时，抛物线在直线的下方，得到，整理后可判断④． 【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴无交点， ∴，故此选项错误； ②由图象可知：抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ③∵抛物线过点， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线过点， ∴抛物线过点， ∴， ∴，故此选项正确； ④由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， ∴， ∴， ∴，故此选项正确． 综上所述，正确的结论有3个． 8．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 9．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①根据对称轴得出； ②当时，结合图象进行判断； ③得出点的对称点为，当时，可得结论； ④根据图象可得增减性． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 即， 故①正确； ②当时，函数值大于零，即， 故②错误； ③∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点的对称点为， 当时， 即， 故③正确； ④由图象可知，当时，的值随值的增大而减小， 故④正确； 综上，正确的选项为①③④，共3个． 10．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，在以下结论中： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④； ⑤若m，n（）为方程的两个根，则，． 其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】由开口方向，对称轴和与y轴的交点得到，，，可判断①；由图象可判断②；由图象与x轴的交点可判断③；求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后得到当时，，可判断④；将方程转化为，设，得到当或时，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得当时，y随x增大而减小，故②正确； 由图象可得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，即，故④正确； ∵， ∴， 设， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵m，n（）为方程的两个根， ∴当或时，， ∵当或时，， ∴，，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有5个． 11．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 12．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 13．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 14．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 15．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2) (3)①；②． 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）①根据抛物线顶点式可知，抛物线开口向下，在处有最大值为；当时，为最小值，即可得解； ②根据题意可知，平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度，即可得解． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 17．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 【复盘笔记】 第 2 页 共 63 页 第 1 页 共 63 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题26.3 二次函数与一元二次方程 （新教材人教版） 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 2 知识点二、二次函数与不等式的关系 3 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 4 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 5 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 6 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 7 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 8 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 9 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 10 【题型8 图像法解一元二次方程】 11 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 13 【题型10 根据交点确定不等式的解集一元二次方程的解的估算 】 13 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 15 【探究式学习】 16 【课后检测】 19 【复盘笔记】 24 知识点一、二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数 图像 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点 △＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点 △＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点 知识点二、二次函数与不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）： 图像 有两个交点 有1个交点 无交点 判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0 或 的全体实数 全体实数 无解 无解 或 无实根 或 无实根 无解 无解 或 的全体实数 全体实数 【题型1 求抛物线与X轴的交点】 【例1】已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1-1】如图，抛物线与轴交于点A、B，其顶点为．把这条抛物线在轴及其上方的部分记为，将向右平移得到与轴交于点的顶点为，连接．则图中阴影部分图形的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1-2】如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【变式1-3】如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2 求抛物线与Y轴的交点】 【例2】如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【变式2-3】已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的对称轴在轴的左侧 B．函数的最小值为 C．图象的顶点在直线上 D．图象与轴的交点坐标为 【题型3 已知二次函数值求自变量的值】 【例3】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，甲、乙、丙得出如下结论： 甲：abc＞0； 乙：方程ax2＋bx＋c＝－2有两个不等实数根； 丙：3a＋c＞0． 则下列判断正确的是（    ） A．甲和丙都错 B．乙和丙都对 C．乙对，丙错 D．甲对，丙错 【变式3-1】已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【变式3-3】点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型4 抛物线与X轴的交点问题】 【例4】二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式4-1】已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【变式4-2】若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【变式4-3】若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的实数根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【题型5 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】 【例5】如图，抛物线的顶点的坐标为．现有下列结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-2】二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【题型6 求X轴与抛物线的截线长】 【例6】老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-1】二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-2】题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．” 对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、丙答案合在一起才完整 【变式6-3】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【题型7 图像法确定二次函数的近似根】 【例7】下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【变式7-2】．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【变式7-3】如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【题型8 图像法解一元二次方程】 【例8】如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程 有两个实数根 D．二次函数 的顶点坐标为 【题型9 利用不等式求自变量或函数值的范围 】 【例9】已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【变式9-1】已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式9-2】已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【题型10 根据交点确定不等式的解集一元二次方程的解的估算 】 【例10】已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【变式10-1】二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【变式10-2】如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式10-3】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【题型11 一元二次方程的解的估算 】 【例11】如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下： (1)按照列表，描点，连线的步骤作出函数的图象． … … … … 请完成上述表格，并根据所给图象画出该图象的另一部分： (2)观察函数图象，当随增大而减小时，的取值范围是______； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个实数根； ②若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______． 2．【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 3．等腰三角形对称且美丽．定义：若抛物线与直线（直线上点的纵坐标为）有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形仅是等腰三角形（顶角非直角），则称抛物线为该直线的“美丽抛物线”；若是等腰直角三角形，则称抛物线为该直线的“最美抛物线”． 已知：在平面直角坐标系中，已知二次函数． 探究（一）  （直线为轴） （1）若，求抛物线顶点的坐标；判断它是该直线的“__________抛物线”； （2）当抛物线是该直线的“最美抛物线”时，求出的值； （3）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”时，直接写出的取值范围__________； 探究（二）   （4）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，直接写出的取值范围__________． 【课后检测】 1．命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 3．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 4．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，函数的图象为，关于y轴对称的图象为，则直线（a为常数）与，的交点共有（     ） A．2个 B．1个或2个 C．0个或2个或3个或4个 D．无数个 6．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，的值随值的增大而减小．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，在以下结论中： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③； ④； ⑤若m，n（）为方程的两个根，则，． 其中正确的结论有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 12．若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 13．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 14．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 15．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 16．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 17．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【复盘笔记】 第 2 页 共 63 页 第 1 页 共 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